2020年高考数学二轮复习资料答案与解析

第 一 篇
专题1 函数与导数
考 向 分 析
一、
1.【解析】由题意知函数y=sinx x
(x ∈(-π,0)∪(0,π))为偶函数,排除B ,C ;当x=π时,函数值为零,排除D .故选A .
【答案】A 2.【解析】因为f (-x )=
4cos(-2x)(-x)2
+π
=
4cos2x x 2+π
=f (x ),x ∈R ,所以函数f (x )=
4cos2x x 2+π
是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除选项D ;
又因为当x=0时,y=4
π
,所以排除选项A ;
令x=1,则y=
4cos2π+1
<0,故选C .
【答案】C
3.【解析】当x →+∞时,ln |x+1|>0,x+1>0,∴f (x )>0,故可排除选项C ,D ; 当x →-∞时,ln |x+1|>0,x+1<0,∴f (x )<0,故可排除选项B . 故选A . 【答案】A
4.【解析】因为当x ∈(0,1]时,f (x )=x (x-1),所以令f (x )=-2
9
,得x (x-1)=-2
9
,解得x=1
3
或x=2
3
,所以f (
1
3
)=f (23)=-2
9.又f (x+1)=2f (x ),所以
f (
4
3
)=f (53)=-49,f (73)=f (83)=-8
9.根据f (x+1)=2f (x )得出x 从(0,1]开始每向右平移1个单位长度,函数值变为原来的2倍,又当x ∈(0,1]时,f (x )=x (x-1)∈[-1
4
,0],所以当x ∈(1,2]时,f (x )∈[-12,0];当x ∈(2,3]时,f (x )∈[-1,0].数形结合易知,当x ∈(-∞,73]时,都有f (x )≥-8
9;当x ∈[
73,8
3
]时,f (x )≤-8
9.所以m 的取值范围是[7
3,+∞). 【答案】B
5.【解析】∵函数f (x )满足f (x+3)=-1
f(x)
,
∴f (x+6)=-
1f(x+3)
=-1
-1f(x)
=f (x ), ∴f (x )在R 上是以6为周期的函数, ∴f (12.5)=f (12+0.5)=f (0.5),
f (-4.5)=f (-4.5+6)=f (1.5).
又y=f (x+3)为偶函数,∴f (x )的图象的对称轴为直线x=3, ∴f (3.5)=f (2.5).
又0<0.5<1.5<2.5<3,且f (x )在(0,3)上单调递减, ∴f (2.5)<f (1.5)<f (0.5), 即f (3.5)<f (-4.5)<f (12.5). 故选B . 【答案】B
6.【解析】由f (x )是定义在R 上的奇函数,得f (0)=1+m=0,解得m=-1,∴f (x )=3x -1.
∵log 35>log 31=0,∴f (-log 35)=-f (log 35)=-(3log 35-1)=-4.故选B .
【答案】B
7.【解析】由g (x )=f (x )-kx=0,得kx=f (x ), 又x>0,∴k=
f(x)x
.令h (x )=
f(x)x
.
当0<x ≤1时,h (x )=
f(x)x
=
log 12
x
x
, 则h'(x )=
1
xln 12·x -log 12x x 2
=
log 12e -log 12
x x 2
,
当0<x ≤1时,e >x ,则h'(x )<0,此时h (x )为减函数,且h (1)=0; 当x>1时,h (x )=
f(x)x
=-(x-1)(x-3)=-(x-2)2+1.
画出函数h (x )的图象,如图所示,要使y=k 与y=h (x )的图象有两个不同的交点,则k=0或k=1.故选C .
【答案】C
8.【解析】由f (x+4)=-f (x+2)=f (x ),得f (x )的周期为4. ∵f (x )是定义在R 上的奇函数,且当0≤x ≤1时,f (x )=x 2,
∴f (1)=1,f (2)=-f (0)=0,f (3)=-f (1)=-1,f (4)=f (0)=0,即f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0, ∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2019)=505×[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)]-f (4)=0. 故选B . 【答案】B
9.【解析】由题意得b=3log 3π>3=a , a=3=3log ππ=log ππ3,c=πlog π3=log π3π. 令f (x )=
lnx x
,x>e ,则f'(x )=
1-lnx x 2
<0,
∴f (x )在(e ,+∞)上单调递减, ∴f (3)>f (π),即
ln33
>
ln ππ
,因此πln 3>3ln π,
故ln 3π>ln π3,∴3π>π3,可得c>a.
∵
b c =3log 3ππlog π3=3π·ln π
ln3ln3ln π
=3π·ln 2πln 23=ln 2π
πln 23
3
, 令g (x )=
ln 2x x
,e <x<e 2,则g'(x )=
lnx(2-lnx)
x 2
>0,
∴f (x )在(e ,e 2)上单调递增, ∴g (π)>g (3),即
ln 2ππ
>
ln 233
,∴b
c
>1,故b>c.
综上可得,b>c>a.故选B . 【答案】B
10.【解析】由题意得f'(x )=
1
x+1
-a ,曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,
所以1-a=2,解得a=-1. 【答案】-1
11.【解析】∵f (x )=x ln x+x , ∴f'(x )=ln x+2.
∵曲线f (x )在点A (x 0,f (x 0))处的切线平行于直线y=2x+3, ∴f'(x 0)=ln x 0+2=2, ∴x 0=1,f (x 0)=f (1)=1, 即点A 的坐标为(1,1),
故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 【答案】2x-y-1=0 二、
1.【解析】(1)由题意得f'(x )=
e x x -e x x 2
,x ≠0,因为切线ax-y=0过原点(0,0),
所以e x 0x 0-e x 0x 0
2=
e x 0
x 0x 0,解得x 0=2.
(2)设g (x )=
f(x)x
=e x x
2(x>0),则g'(x )=e x (x -2)x 3
.
令g'(x )=
e x (x -2)x 3
=0,解得x=2.
当x 在(0,+∞)上变化时,g'(x ),g (x )的变化情况如下表:
x
(0,2) 2 (2,+∞) g'(x ) - 0 +
g (x )
↘
e
2
4
↗
所以当x=2时,g (x )取得最小值,最小值为e 2
4,
所以当x>0时,g (x )≥e 2
4
>1,即f (x )>x.
(3)F (x )=0等价于f (x )-bx=0,等价于e x x
2-b=0(x ≠0),即e x x
2=b ,则问题可转化为函数y=e x
x
2的图象与直线y=b 的交点个数问题.
令H (x )=e x x
2(x ≠0),则H'(x )=
e x (x -2)x 3
.
当x<0时,H'(x )>0,H (x )单调递增,且H (x )>0.
由(2)知,当x>0时,H (x )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,且H (x )min =H (2)=e 2
4.
又当x<0且x →0时,H (x )→+∞,当x →-∞时,H (x )→0,
所以可画出H (x )的图象如图所示,
由图可知,当b ≤0时,函数H (x )的图象与直线y=b 无交点; 当0<b<e 2
4时,函数H (x )的图象与直线y=b 只有一个交点;
当b=e 24时,函数H (x )的图象与直线y=b 有两个交点;
当b>e 24
时,函数H (x )的图象与直线y=b 有三个交点. 综上,当b ≤0时,函数F (x )的零点个数为0; 当0<b<e 2
4时,函数F (x )的零点个数为1;
当b=e 24时,函数F (x )的零点个数为2;
当b>e 24
时,函数F (x )的零点个数为3.
2.【解析】(1)由题可得函数f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=2x-1
x ,所以f'(1)=1.又f (1)=1,所以所求切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.
(2)由题意得h (x )=f (x )-g (x )=-ln x+x-t , 函数h (x )在[
1
e
,e]上恰有两个不同的零点,等价于-ln x+x-t=0在[1e ,e]上恰有两个不同的实根,等价于t=x-ln x 在[1
e ,e]上恰有两个不同的实根. 令k (x )=x-ln x (x ∈[
1
e
,e]),则k'(x )=1-1x =x -1
x . 当x ∈[
1
e
,1)时,k'(x )<0,则k (x )在[1
e ,1)上单调递减; 当x ∈(1,e ]时,k'(x )>0,则k (x )在(1,e ]上单调递增.
故k (x )min =k (1)=1. 又k (
1
e )=1e
+1,k (e )=e -1,k (1e )-k (e )=2-e +1
e <0, 所以k (
1
e
)<k (e ),所以k (1)<t ≤k (1
e ), 故实数t 的取值范围为(1,1+
1e
].
3.【解析】(1)f'(x )=
a(2-x)x
(x>0),
当a>0时,f (x )在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减; 当a<0时,f (x )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.
(2)设F (x )=f (x )+(a+1)x+2-e =2a ln x-ax-1+ax+x+2-e =2a ln x+x+1-e , 则F'(x )=
x+2a x
,令F'(x )=0,解得x=-2a ,
若-2a ≤e ,即a ≥-e
2
,则F (x )在[e ,e 2]上单调递增,
所以F (x )max =F (e 2)=4a+e 2-e +1≤0,a ≤
e -1-e 24
,不满足条件;
若
e <-2a<e 2,即-
e 22
<a<-e
2,则F (x )在[e ,-2a )上单调递减,在(-2a ,e 2]上单调递增,
所以F (e )=2a+1≤0,即a<-12
,且
F (e 2)=4a+e 2-e +1≤0,即
a ≤
e -1-e 24
,所以-e 22
<a ≤
e -1-e 24;
若-2a ≥e 2,即a ≤-e 22
,则F (x )在[e ,e 2]上单调递减,所以F (x )max =F (e )=2a+1≤0,a ≤-12
,所以a ≤-e 22
. 综上,实数a 的取值范围为(-∞,
e -1-e 24
].
微专题01 函数的基本性质与基本初等函数
1.D
2.B
3.C
4.B
5.1
能力1
例1 A 变式训练 (-∞,1]∪[4,+∞)
能力2
例2 D 变式训练 A
能力3
例3 A 变式训练 D
能力4
例4 C 变式训练
b<c<a
1.A
2.C
3.D
4.A
5.【解析】因为f (-x )=cos ([-x ]+x )≠f (x ),所以f (x )不是偶函数,故A 不正确;又因为f (x+π)=cos ([x+π]-x-π)≠f (x ),所以B 不正确;C 正确;由于函数h (x )=[x ]-x 是单调递减函数,且h (x )∈(-1,0],因此f (x )的值域为(cos 1,1],故D 正确. 【答案】AB
6.【解析】A 中,函数的定义域为{-1,1},值域为{0},故f (-x )=f (x ),f (-x )=-f (x )总成立,则该函数既是奇函数又是偶函数,故A 错误.B 中,由ln a<1=ln e ,得0<a<e ,故B 错误.C 中,当x=-1时,y=-1,故C 正确. D 中,根据韦达定理有x 1x 2=a<0,故D 正确.E 中,由于y=6-ax 是减函数,根据复合函数单调性同增异减,得a>1;当x=0时,6-ax>0,当x ≠0时,由6-ax>0,得a<6
x ,故当x ∈(0,2]时,a<(
6x )
min
,解得a<3.综上可得
1<a<3,故E 正确. 【答案】CDE
7.【解析】由题意知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f'(x )=2a
x
+2x-2=
2(x 2-x+a)
x
.
∵f (x )在定义域上为增函数,
∴x 2-x+a ≥0对任意x ∈(0,+∞)恒成立, 即a ≥-x 2+x 对任意x ∈(0,+∞)恒成立,
当x=12
时,-x 2+x 取得最大值,最大值为-14+12=1
4
,
∴a ≥14
,即a 的最小值为1
4
.
故选A . 【答案】A
8.【解析】令x=-3,则由f (x+6)=f (x )+f (3),函数y=f (x )是定义在R 上的偶函数,可得f (3)=f (-3)+f (3)=2f (3),故f (3)=0,故A 正确;由f (3)=0可得f (x+6)=f (x ),故函数f (x )是周期为6的周期函数,∵f (x )是偶函数,y 轴是其图象的对称轴,故直线x=-6也是函数y=f (x )的图象的一条对称轴,故B 正确;
∵当x 1,x 2∈[0,3],且x 1≠x 2时,
f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2
>0,
∴f (x )在[0,3]上单调递增,
又∵f (x )是偶函数,∴f (x )在[-3,0]上单调递减, ∵函数f (x )是周期为6的周期函数, ∴f (x )在[-9,-6]上单调递减,故C 错误;
∵函数f (x )是周期为6的周期函数,∴f (-9)=f (-3)=f (3)=f (9)=0,故函数y=f (x )在[-9,9]上有四个零点,故D 不正确. 综上所述,命题正确的是AB . 【答案】AB
9.【解析】∵幂函数f (x )=x m 2
-2m -3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,∴m 2-2m-3是偶数,且
{m 2-2m -3<0,m ∈N *,解得m=1. 【答案】1
10.【解析】由题意可知Δ=a 2-4>0,解得a<-2或a>2,所以实数a 的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞). 【答案】(-∞,-2)∪(2,+∞) 11.【解析】因为f (-x )=lg
(-x)2+1|-x|
=lg
x 2+1|x|
=f (x ),所以f (x )为偶函数,由偶函数定义可知函数f (x )的图象关于y 轴对称,所以①正确;
因为x 2+1|x|
=|x|+
1
|x|
≥2(当且仅当|x|=1时取等号),所以f (x )=lg
x 2+1|x|
≥lg 2,所以f (x )的最小值为lg 2,所以②错误;
令g (x )=
x 2+1|x|
=|x|+1
|x|
,结合函数的图象与性质,可知g (x )在(-∞,-1),(0,1)上是减函数,在(-1,0),(1,+∞)上是增函数,所以f (x )=lg
x 2+1|x|
在(-
∞,-1),(0,1)上是减函数,在(-1,0),(1,+∞)上是增函数,所以③错误; 由③可知,f (x )没有最大值,所以④正确. 综上所述,正确命题的序号是①④. 【答案】①④ 12.【解析】(1)∵
x -5x+5
=1-
10
x+5
,x ∈[10,15],
∴
x -5x+5
∈[
13,12
].
∵函数y=log 2t 在定义域内是增函数,∴f (x )∈[-log 23,-1], ∴函数f (x )的值域为[-log 23,-1].
(2)函数y=f (x )的定义域为(-∞,-5)∪(5,+∞),函数y=g (x )的定义域为(3,+∞), ∵方程f (x )-1=g (x )有实根,
∴log a
x -5
x+5
-1=log a (x-3)在(5,+∞)上有实根, 即log a
x -5
(x+5)a
=log a (x-3)在(5,+∞)上有实根,
整理得x 2+(2-
1
a
)x-15+5
a =0,其在(5,+∞)上有解.
设h (x )=x 2+(2-
1
a
)x-15+5
a , 其图象的对称轴为直线x=-1+12a
. 当-1+1
2a
≤5,即a ≥1
12
且a ≠1时,
∵h (5)>0且y=h (x )在(5,+∞)上单调递增,
∴方程h (x )=0在(5,+∞)上无解. 当-1+1
2a
>5,即0<a<1
12时,
Δ≥0,解得0<a ≤
3-√516
. 综上可知,0<a ≤
3-√516
.
13.【解析】(1)由题意得g (x )=|x 2+2x-8|=|(x+1)2-9|, 令x 2+2x-8=0,解得x=-4或x=2.
可得函数g (x )的图象,如图所示.
由图象可知,g (x )的单调递增区间为(-4,-1)和(2,+∞). (2)由题意得x 2+2x+2-3mx ≥1,即3mx ≤x 2+2x+1,即3m ≤x+1
x +2,x ∈[
12
,2].
令μ(x )=x+1
x
+2,
∵μ(x )在[
12
,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,
∴μ(x )min =μ(1)=4. ∴3m ≤4,即m ∈(-∞,
43
].
(3)由题意得h (x )=x 2+2x+2+(2a-3)x-6=x 2+(2a-1)x-4,x ∈[-1,3], 其图象的对称轴为直线x=-2a -12
=-a+1
2
.
①当-a+12
≤-1,即a ≥32
时,
h (x )max =h (3)=9+3(2a-1)-4=0,解得a=-1
3(舍去).
②当-1<-a+12
<1,即-12
<a<3
2
时,
h (x )max =h (3)=9+3(2a-1)-4=0,解得a=-1
3
,符合题意.
③当1≤-a+12
<3,即-52
<a ≤-1
2
时,
h (x )max =h (-1)=1-2a+1-4=0,解得a=-1,符合题意. ④当-a+1
2
≥3,即a ≤-5
2
时,
h (x )max =h (-1)=1-2a+1-4=0,解得a=-1(舍去). 综上可知,a=-1
3或a=-1.
微专题02
1.A
2.(0,1)
3.a>-34
4.2或12
5.B
能力1
例1 B 变式训练 D 能力2
例2 A 变式训练 D 能力3
例3 (1)21天 (2)
207
变式训练 (1)f (x )={-1
4
x 2+2x,x ∈[0,6],-34x +15
2,x ∈(6,10]
(2)1千米
1.C
2.B
3.C
4.A
5.【解析】
根据已知可得函数f (x )=(x-2k )2,x ∈[2k-1,2k+1),k ∈Z ,在平面直角坐标系中画出它的图象,如图所示.当直线y=x+a 与抛物线y=x 2相切时,或直线y=x+a 过原点时,符合题意,故a=-1
4或a=0.
【答案】D
6.【解析】由题意知,函数y=f (f (x ))-3的零点个数即方程f (f (x ))=3的实数根个数.
设t=f (x ),则f (t )=3,画出f (t )的图象,如图所示,结合图象可知,方程f (t )=3有三个实根t 1=-1,t 2=1
4,t 3=4,
则f (x )=-1有1个解,f (x )=1
4
有1个解,f (x )=4有3个解,
故方程f (f (x ))=3有5个解. 【答案】C
7.【解析】容器是球形,两头水面高度小,中间体积大,在一开始单位时间内水面高度的增长率变慢,超过球心后水面高度的增长率变快,根据图象增长率可得对应的图象可能是C . 【答案】C
8.【解析】由图象可得-2≤g (x )≤2,-2≤f (x )≤2.
对于A ,由于满足方程f (g (x ))=0的g (x )有三个不同值,一个值在-2与-1之间,一个值为0,一个值在1与2之间,由g (x )的图象可得每个g (x )值对应两个x 值,故满足f (g (x ))=0的x 值有六个,即方程f (g (x ))=0有且仅有六个根,故A 正确.对于B ,由图可得满足g (f (x ))=0的f (x )有两个不同值,一个值在-2与-1之间,由f (x )的图象可得此时对应一个x 值;另一个值在0与1之间,由f (x )的图象可得此时对应三个x 值,因此该方程有且仅有四个根,故B 不正确.对于C ,由于满足方程f (f (x ))=0的f (x )有三个不同的值,从图中可知f (x )=0或f (x )∈(-2,-1)或f (x )∈(1,2).当f (x )=0时,对应三个不同的x 值;当f (x )∈(-2,-1)时,只对应一个x 值;当f (x )∈(1,2)时,也只对应一个x 值.故满足方程f (f (x ))=0的x 值共有五个,故C 正确.对于D ,由于满足方程g (g (x ))=0的g (x )值有两个,而结合图象可得每个g (x )值对应两个不同的x 值,故满足方程g (g (x ))=0的x 值有四个,即方程g (g (x ))=0有且仅有四个根,故D 不正确. 【答案】AC
9.【解析】(法一)因为偶函数y=f (x )的图象关于直线x=2对称,所以f (2+x )=f (2-x )=f (x-2), 即f (x+4)=f (x ),
所以f (-1)=f (-1+4)=f (3)=3.
(法二)因为函数y=f (x )的图象关于直线x=2对称,所以f (1)=f (3)=3. 因为f (x )是偶函数,所以f (-1)=f (1)=3. 【答案】3
10.【解析】画出函数f (x )的图象,如图所示,由图可知8<c<12,而|log 2a|=-log 2a=log 21
a =log 2
b ,故ab=1,所以7<c-1<11.
【答案】(7,11)
11.【解析】由题意可得函数y=|4x-x 2|的图象和直线y=-a 有4个交点,如图所示. 则-a ∈(0,4),即a ∈(-4,0).
【答案】(-4,0)
12.【解析】(1)设x<0,则-x>0,所以f (-x )=x 2+2x. 又因为f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-x 2-2x.
所以f (x )={x 2-2x,x ≥0,
-x 2-2x,x <0.
(2)方程f (x )=a 恰有3个不同的解,
即y=f (x )与y=a 的图象有3个不同的交点.
作出y=f (x )与y=a 的图象,如图所示,故若方程f (x )=a 恰有3个不同的解,只需-1<a<1. 故实数a 的取值范围为(-1,1).
13.【解析】(1)根据题意,若f (x )是偶函数,则f (-x )=f (x ), 所以log 2(2-x +1)+a (-x )=log 2(2x +1)+ax ,
化简可得2ax=log 2(2-x +1)-log 2(2x +1)=-x ,解得a=-1
2.
(2)当a>0时,函数y=log 2(2x +1)和函数y=ax 都是增函数,则函数f (x )=log 2(2x +1)+ax 为增函数. (3)根据题意,函数f (x )=log 2(2x +1)+ax ,有f (0)=1. 又f (f (x )-a (1+x )-log 4(2x -1))=1, 所以f (f (x )-a (1+x )-log 4(2x -1))=f (0).
又由(2)的结论,当a>0时,函数f (x )=log 2(2x +1)+ax 为增函数, 所以f (x )-a (1+x )-log 4(2x -1)=0, 即log 2(2x +1)-log 4(2x -1)=a , 化简可得log 4
(2x +1)22x -1
=a.
设g (x )=log 4
(2x +1)22x -1
,
若方程f (f (x )-a (1+x )-log 4(2x -1))=1在区间[1,2]上恰有两个不同的实数解,则函数g (x )在区间[1,2]上的图象与直线y=a 有两个交点. 对于g (x )=log 4
(2x +1)22x -1
,设h (x )=
(2x +1)22x -1
(x ∈[1,2]),
则h (x )=
(2x +1)22x -1
=
[(2x -1)+2]22x -1
=(2x -1)+
4
2x -1
+4.
又由1≤x ≤2,得1≤2x -1≤3,所以h (x )min =8, 又h (1)=9,h (2)=25
3,所以h (x )max =9.
若函数g (x )在区间[1,2]上的图象与直线y=a 有两个交点,则log 48<a ≤log 425
3
,
故a 的取值范围为(log 48,log 4
253
].
微专题03 导数及其应用
1.C
2.B
3.-1或3
4.C
5.-
173
能力1
例1 1-ln 2
变式训练 -e
-
43
能力2
例2 略 变式训练 略 能力3
例3 18 变式训练 A
1.B
2.B
3.A
4.AD
5.【解析】因为点(0,-1)不在曲线y=f (x )上,所以设切点坐标为(x 0,y 0). 因为f (x )=x ln x ,所以f'(x )=1+ln x ,所以{
y 0=x 0ln x 0,y 0+1=(1+ln x 0)x 0,
解得{x 0=1,
y 0=0,所以切点坐标为(1,0),所以f'(1)=1+ln 1=1,所以
直线l 的方程为y=x-1,即x-y-1=0.故选B .
【答案】B
6.【解析】令y'=(1+x )e x ≥0,因为e x >0,所以1+x ≥0,所以x ≥-1.故选A . 【答案】A
7.【解析】根据导函数图象可知当x ∈(-∞,-2)时,f'(x )<0,当x ∈(-2,+∞)时,f'(x )≥0,则函数y=f (x )在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,∴-2是函数y=f (x )的极小值点,故A ,D 正确.
由题图可知在x=1的左侧导函数值与右侧导函数值同号,故1不是函数y=f (x )的极值点,故B 不正确. ∵函数y=f (x )在x=0处的导数大于零,
∴y=f (x )的图象在x=0处的切线的斜率大于零,故C 不正确. 故正确的为AD . 【答案】AD
8.【解析】首先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的简易图象如图所示.
由图得,函数f (x )在[-1,0]和[4,5]上单调性相反,但原函数不一定对称,A 为假命题. B 为真命题.因为在[0,2]上导函数为负,所以原函数在[0,2]上是减函数. C 为假命题.当t=5时,也满足x ∈[-1,t ]时,f (x )的最大值是2. D 为真命题.由图可知函数y=f (x )-a 的零点个数可能为0,1,2,3,4. 【答案】AC 9.【解析】由y=x
e x 得y'=
e x -xe x e 2x
=
1-x e x
,
∴当0≤x<1时,y'>0;当1<x ≤2时,y'<0.
∴函数y=x
e x 在[0,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,
∴函数y=x e
在x=1处取最大值,最大值为1
e
.
【答案】
1e
10.【解析】因为5 min 后甲桶和乙桶的水量相等, 所以函数f (t )=a e n t 满足f (5)=a e 5n =1
2
a ,可得n=1
5
ln 1
2
.
因此当k min 后甲桶中的水只有a 4
升时,f (k )=a 4
,即(
1
5
ln 12)k=ln 14,所以(15ln 12)k=2ln 1
2,解得k=10,所以m=k-5=5. 【答案】5
11.【解析】由题意得f'(x )=1
x ,
故直线l 的斜率k=f'(1)=1.
又f (1)=ln 1=0,所以直线l 的方程为y=x-1. 联立{
y =x -1,
y =1
2x 2+mx +7
2(m <0),可得x 2+2(m-1)x+9=0.
因为Δ=4(m-1)2-4×9=0,m<0,所以m=-2. 【答案】-2
12.【解析】当x>2时,f'(x )=
lnx -1(lnx)2
,令f'(x )<0,则2<x<e ;令f'(x )>0,则x>e .故f (x )在(2,e )上单调递减,在(e ,+∞)上单调递增,即函数f (x )在
x>2时的最小值为f (e ).当x ≤2时,f (x )=(x-a )2+e 的图象的对称轴为直线x=a.欲使f (2)是函数的最小值,则
{a ≥2,f(2)≤f(e)⇒{a ≥2,-1≤a ≤6⇒2≤a ≤6. 【答案】[2,6]
13.【解析】(1)∵f (x )=ln x-a(x+1)x -1
(x>0且x ≠1),
∴f'(x )=1x +
2a
(x -1)2
.
∵曲线y=f (x )在点(1
2,f (1
2
))处的切线平行于直线y=10x+1, ∴f'(
1
2
)=2+8a=10,∴a=1,∴f'(x )=
x 2+1x(x -1)2
.
∵x>0且x ≠1,∴f'(x )>0,
∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞),无单调递减区间. (2)在区间(1,+∞)上存在唯一一个满足条件的x 0.
∵g (x )=ln x ,∴g'(x )=1
x
,
∴切线l 的方程为y-ln x 0=1
x 0
(x-x 0),
即y=1
x 0
x+ln x 0-1. ①
设直线l 与曲线h (x )=e x 相切于点(x 1,e x 1),
∵h'(x )=e x ,∴e x 1=1
x 0
,∴x 1=-ln x 0,
∴直线l 的方程也可以写成y-1x 0=1
x 0
(x+ln x 0),
即y=1
x 0
x+
ln x 0x 0
+1x 0
. ②
由①②得ln x 0-1=
ln x 0x 0
+1x 0
,∴ln x 0=
x 0+1x 0-1
.
下证在区间(1,+∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. 由(1)可知,f (x )=ln x-x+1x -1
在区间(1,+∞)上单调递增,
又∵f (e )=-
2e -1
<0,f (e 2)=
e 2-3e 2-1
>0,
∴结合零点存在性定理,知方程f (x )=0在区间(e ,e 2)上有唯一的实数根,这个根就是所求的唯一满足条件的x 0.
微专题04 函数与导数的综合应用
1.C
2.BD
3.A
4.(0,3)
5.(-3,1)
能力1
例1 (1)a=2 (2)x=4
变式训练 (1)y=ka x
2+
kb
(18-x)2
(2)b=8
能力2
例2 (-∞,1]
变式训练 (1)当m ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当m>0时,f (x )在(0,√m
m
)上单调递增,在(√m
m ,+∞)上单调递减 (2)(0,1) 能力3
例3 (1)略 (2)当t-e 2>2e
,即t>e 2+2e
时,方程无实数根;当t-e 2=2e
,即t=e 2+2e
时,方程有一个实数根;当t-e 2<2e
,即t<e 2+2
e
时,方程有两
个实数根
变式训练 (1)a=-1,最小值为2 (2)(-e 2,0)
1.【解析】(1)函数f (x )的定义域是(-∞,+∞),f'(x )=e x -a.
令f'(x )=0,得x=ln a ,易知当x ∈(ln a ,+∞)时,f'(x )>0,当x ∈(-∞,ln a )时,f'(x )<0,
所以函数f (x )在x=ln a 处取极小值,g (a )=f (ln a )=e ln a
-a ln a=a-a ln a ,g'(a )=1-(1+ln a )=-ln a. 当0<a<1时,g'(a )>0,g (a )在(0,1)上单调递增; 当a>1时,g'(a )<0,g (a )在(1,+∞)上单调递减.
所以a=1是函数g (a )在(0,+∞)上的极大值点,也是最大值点,所以g (a )max =g (1)=1. (2)显然,当x ≤0时,e x -ax ≥0(a>0)恒成立. 当x>0时,由f (x )≥0,即e x -ax ≥0,解得a ≤e x
x .
令h (x )=e x x
,x ∈(0,+∞),则h'(x )=
e x x -e x x 2
=
e x (x -1)x 2
,
当0<x<1时,h'(x )<0;当x>1时,h'(x )>0. 故h (x )的最小值为h (1)=e ,所以a ≤e . 故实数a 的取值范围是(0,e ]. f (a )=e a -a 2,a ∈(0,e ],f'(a )=e a -2a , 易知e a -2a>0对a ∈(0,e ]恒成立,
故f (a )在(0,e ]上单调递增,所以f (0)=1<f (a )≤f (e )=e e -e 2,即f (a )的取值范围是(1,e e -e 2].
2.【解析】(1)对任意的x 1,x 2∈[1,e ],都有f (x 1)≥g (x 2)成立,等价于当x ∈[1,e ]时,f (x )min ≥g (x )max .
当x ∈[1,e ]时,g'(x )=1+1
x >0,所以g (x )在[1,e ]上单调递增,所以g (x )max =g (e )=e +1.
只需证f (x )≥e +1,即x+a 2x
≥e +1,即a 2≥(e +1)x-x 2在[1,e ]上恒成立即可. 令h (x )=(e +1)x-x 2, 当
x ∈[1,e ]时,h (x )=(e +1)x-x 2=-(x -
e+12
)2+(
e+12
)2的最大值为h (
e+12
)=(
e+12
)2.
所以a 2≥(e+12
)
2.又因为a>0,所以a ≥
e+12
.
故实数a 的取值范围是[e+12
,+∞).
(2)存在x 1,x 2∈[1,e ],使得f (x 1)<g (x 2),等价于当x ∈[1,e ]时,f (x )min <g (x )max . 当x ∈[1,e ]时,g'(x )=1+1
x >0,所以g (x )在[1,e ]上单调递增,所以g (x )max =g (e )=e +1.
又f'(x )=1-a 2
x
2,令f'(x )=0,得x=a 或x=-a ,
故f (x )=x+a 2
x
(a>0)在(0,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增.
当0<a ≤1时,f (x )在[1,e ]上单调递增,f (x )min =f (1)=1+a 2<e +1,符合题意; 当1<a<e 时,f (x )在[1,a ]上单调递减,在[a ,e ]上单调递增,f (x )min =f (a )=2a , 此时2a<e +1,解得1<a<
e+12
;
当a ≥e 时,f (x )在[1,e ]上单调递减,f (x )min =f (e )=e +a 2e
,此时e +a 2e
<e +1,解得0<a<√e ,与a ≥e 矛盾,不符合题意. 综上可知,实数a 的取值范围是(0,
e+12
).
3.【解析】(1)∵f (0)=b>0,f (a+b )=a sin (a+b )-(a+b )+b=a [sin (a+b )-1]≤0, ∴f (0)·f (a+b )≤0,
∴函数f (x )在(0,a+b ]内至少有一个零点. (2)∵f (x )=a sin x-x+b ,∴f'(x )=a cos x-1. 由题意得f'(
π
3
)=0,即a cos π3-1=0,得a=2,则问题等价于b>x+cos x-sin x 对于一切x ∈[0,π
2]恒成立. 记g (x )=x+cos x-sin x ,x ∈[0,π2
], 则g'(x )=1-sin x-cos x=1-√2sin (x
+π
4
).
∵0≤x ≤π2
,∴π4
≤x+π4≤3π
4,
∴
√2
2
≤sin (x
+π
4)≤1,即1≤√2sin (x +π
4
)≤√2, ∴g'(x )≤0,即g (x )在[0,
π2
]上单调递减,
∴g (x )max =g (0)=1.
故实数b 的取值范围是(1,+∞). 4.【解析】(1)∵f'(x )=1
x -1=
1-x x
,
∴当x>1时,f'(x )<0,当0<x<1时,f'(x )>0,∴f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞), ∴f (x )在x=1处取得极大值,极大值为f (1)=0,无极小值. (2)∵g'(x )=2x-3a (a ≥1),
∴当x ∈(0,1)时,g'(x )=2x-3a<0,g (x )单调递减,此时g (x )的值域为(2a 2-3a-4,2a 2-5). 由(1)得,当x ∈(0,1)时,f (x )的值域为(-∞,0). 由题意可得2a 2-5≤0,∴1≤a ≤√10
2
.
(3)令
x+1x
=t ,则x=
1
t -1
,∵x>0,∴t>1,
原不等式等价于1-1
t
<ln t<t-1.
由(1)知f (t )=ln t-t+1在(1,+∞)上单调递减, ∴f (t )<f (1)=0,即ln t<t-1. 令h (t )=ln t-1+1
t
,则h'(t )=1t -1t
2=
t -1
t 2
,
∵当t ∈(1,+∞)时,h'(t )>0,∴h (t )=ln t-1+1t
在(1,+∞)上单调递增, ∴h (t )>h (1)=0,即1-1
t
<ln t.
综上所述,对任意x ∈(0,+∞),恒有
1
x+1
<ln
x+1x
<1x
成立.
专题2 三角函数与解三角形
考 向 分 析
一、
1.【解析】因为函数y=|cos2x |和y=|sin2x |的周期均为π
2,且在(
π6
,π)上有增有减,所以排除A ,B .
作出y=sin |x|的图象,如图所示,
因为y=cos |x |=cos x ,所以f (x )=cos |x|的周期为2π,且在π6
,π上单调递减.故选C .
【答案】C
2.【解析】f (x )=cos x+sin x=√2sin (x
+π
4),则由-π
2≤x+π4≤π2,得-3π4≤x ≤π
4.因为f (x )在[-a ,a ]上是增函数,所以{
-a ≥-3π4
,
a ≤π
4,
解得a ≤π
4
,所以
0<a ≤π4
,所以a 的最大值是π
4
.故选A .
【答案】A
3.【解析】因为sin 2α=cos 2α+1,所以2sin αcos α=2cos 2α.又α∈(0,
π
2
),所以cos α>0,sin α>0,所以sin α=cos α,所以tan α=1,即α=π
4.故sin α=
√2
2
.故选A .
【答案】A
4.【解析】将sin α+cos β=
√6
3
的两边平方得sin 2α+cos 2β+2sin αcos β=2
3
, ①
将sin β-cos α=1的两边平方得sin 2β+cos 2α-2sin βcos α=1. ② ①+②得sin (α-β)=-1
6.故选B .
【答案】B
5.【解析】因为cos C=1-2sin 2 C
2
=1-2×15=3
5
,所以由余弦定理,得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos C=25+1-2×5×1×3
5
=20,所以AB=2√5.故选D .
【答案】D 二、
1.【解析】(1)(法一)因为b cos C+c cos B=2a cos B ,所以由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos B ,得sin A=2sin A cos B. 因为sin A ≠0,所以cos B=1
2
,因为0°<B<180°,所以B=60°.
(法二)因为b cos C+c cos B=2a cos B ,所以由余弦定理,得b ·
a 2+
b 2-
c 22ab
+c ·a 2+c 2-b 2
2ac
=2a ·
a 2+c 2-
b 2
2ac
,
化简得
a 2+c 2-
b 22ac
=12
,即cos B=1
2
.
因为0°<B<180°,所以B=60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =
√3
4
a.
由正弦定理得a=csinA sinC
=
sin (120°-C )sinC
=
√3
2tanC +1
2
.
因为△ABC 为锐角三角形,所以0°<A<90°,0°<C<90°.由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故12
<a<2,从而
√3
8
<S △ABC <
√3
2
.
因此,△ABC 面积的取值范围是(√38
,√3
2
). 2.【解析】(1)因为sin (2A +
π2
)-cos (B+C )=-1+2cos A ,
所以cos 2A+cos A=-1+2cos A ,即2cos 2A-1+cos A=-1+2cos A , 可得2cos 2A-cos A=0,解得cos A=1
2或cos A=0.
因为△ABC 为锐角三角形, 所以cos A=1
2
,可得A=π
3
.
(2)因为S △ABC =12
bc sin A=12
bc×√3
2
=3√3,所以bc=12,
又b=3,所以c=4.
在△ABC 中,由余弦定理可知,a 2=b 2+c 2-2bc cos A=9+16-2×3×4×1
2
=25-12=13,解得a=√13.
在△ABC 中,由正弦定理a
sinA =c
sinC ,可得sin C=c ·sinA a =4×√3
2√13=2√39
13
. 微专题05 三角函数的图象与性质
1.C
2.B
3.B
4.sin (2x -π
3
) π
3
能力1
例1 (1)a=1,最小正周期为π (2)
π3
变式训练 A 能力2
例2 (1)f (x )=2sin (x +π
3
) (2)[
π
8
+kπ,5π8
+kπ](k ∈Z )
变式训练 B
能力3
例3 D 变式训练 B 能力4
例4 (1)π (2)略
变式训练 (1)k π-π12
,k π+
5π12
(k ∈Z ) (2)[1,√3]
1.B
2.C
3.BC
4.C
5.【解析】因为角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称,所以β=-α+2k π(k ∈Z ), 所以cos (α-β)=cos 2α=1-2sin 2α=7
9.故选C .
【答案】C
6.【解析】由函数f (x )的最小正周期T=2πω
=2π
3,解得ω=3.
所以f (x )=sin (3x
+π3)-1,令3x+π3=k π+π2(k ∈Z ),解得x=kπ3+π
18(k ∈Z ).
取k=1,可得f (x )图象的一条对称轴方程为x=7π18
.故选C . 【答案】C
7.【解析】因为x=-π
4
是f (x )图象的一条对称轴,所以-π
4
ω+φ=m π+π
2
(m ∈Z ), ①
又因为(
π
4
,0)是f (x )图象的一个对称中心,所以π
4ω+φ=n π(n ∈Z ), ②
②-①得,ω=2(n-m )-1(m ,n ∈Z ),
因为m ,n ∈Z ,所以(n-m )∈Z ,所以ω可以表示为ω=2k-1(k ∈Z ),已知ω>0,所以ω是从1开始的奇数,对照选项,选BC . 【答案】BC
8.【解析】由图象知,A=2,T 4=5π6-7π12=π
4,即T=π,则2π
ω
=π,得ω=2,
由2×5π
6
+φ=k π(k ∈Z ),|φ|<π2
得φ=π3
,则f (x )=2sin (2x
+π
3
),故A 正确. 将函数f (x )的图象向右平移π6
个单位长度得到g (x )的图象,
即g (x )=2sin [2(x -π
6
)+π
3]=2sin 2x , g (-
π
4
)=2sin (-π
2)=-2, 则x=-π4
是函数g (x )图象的一条对称轴,故B 正确.
当x=π3
时,f (
π
3
)=2sin π=0,则函数f (x )的图象不关于直线x=π
3对称,故C 错误. f (x )+g (x )=2sin 2x+
π3
+2sin 2x=2sin 2x cos π3
+2cos 2x sin π
3
+2sin 2x=3sin 2x+√3cos 2x=2√3sin (2x
+π
6),
则f (x )+g (x )的最大值为2√3,故D 错误. 故选AB .
【答案】AB
9.【解析】由函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0,φ<0)的最小正周期为π,得ω=2π
π=2.
因为f (x )≥f (
π3
)对任意实数x 都成立,
所以sin (2x+φ)≥sin (2π3
+φ)恒成立,故sin
2π3
+φ=-1.
所以2π
3+φ=2k π+
3π2
(k ∈Z ),解得φ=5π6
+2k π(k ∈Z ),又φ<0,故φ的最大值为-7π6
.
【答案】2 -
7π6
10.【解析】函数的图象如图所示,直线y=m (x+2)(m>0)过定点(-2,0).
当x ∈[
π2
,3π2
)时,f (x )=-cos x ,f'(x )=sin x ,由图象可知切点坐标为(x 4,-cos x 4),切线方程为y+cos x 4=(x-x 4)sin x 4, 又因为切线过点(-2,0),所以cos x 4=(-2-x 4)sin x 4,即(x 4+2)tan x 4=-1. 【答案】-1
11.【解析】(1)由图象可知,A=2,T 4=5π12-π6
,即T=π,
所以π=2π
ω,解得ω=2.
又因为函数f (x )的图象经过点(π
6
,2),所以2sin (2×π
6+φ)=2, 解得φ=π
6+2k π(k ∈Z ).
又因为|φ|<π2
,所以φ=π
6
,
所以f (x )=2sin (2x +π
6
).
(2)因为 x ∈[0,m ], 所以2x+π
6∈[
π
6
,2m +π
6]. 若对任意x ∈[0,m ],f (x )≥1恒成立,则2m+π6≤5π6
,解得m ≤π3
.又m>0,所以0<m ≤π3
, 所以m 的最大值是π
3.
12.【解析】(1)f (x )=sin 2x+√3sin x cos x+2cos 2x =
1-cos2x 2
+
√32sin 2x+(1+cos 2x )
=
√3
2
sin 2x+12
cos 2x+
32
=sin (2x
+π
6)+3
2,
所以f (x )的最小正周期T=2π2
=π. 令2k π-π
2
≤2x+π
6
≤2k π+π
2
(k ∈Z ),
得-π3
+k π≤x ≤π
6
+k π(k ∈Z ),
所以函数f (x )的单调递增区间为-π3
+k π,π
6
+k π(k ∈Z ).
(2)由(1)知f (x )在[-π3
+kπ,π
6
+kπ](k ∈Z )上为增函数,
所以f (x )在[-π3,π6]上为增函数,
即f (x )在[-
π3,π
12
]上为增函数,
故f (x )在[-
π
3,π12]上的最大值f (x )max =f (π
12
)=sin 2×π12+
π
6
+32
=
√3+3
2
.
微专题06
1.D
2.D
3.C
4.
12
能力1
例1 (1)A (2)B
变式训练 (1)ω=2,f (
π
2
)=-√3
2 (2)3+4√310
能力2
例2 (1)π3
(2)1
变式训练 (1)2π3
(2)6+4√3 能力3
例3 (1)sin B=
3√2+√3
6
,b=1+√6 (2)
4√3-310
变式训练 (1)π3
(2)
1314
能力4
例4 (1)2 (2)
π3
变式训练 (1)π
3
(2)√7
1.A
2.A
3.B
4.CD
5.【解析】连接AC (图略),在△ABC 中,AC=√42
+52=√41,cos ∠ACB=
√41
,∠ACB=
√41
.cos ∠ACD=cos (120°-∠ACB )=(-
1
2
)×
+
√3
2×
=
√3-.在△ACD 中,AD=√2√41
=√65-12√3A .
【答案】A
6.【解析】因为6sin C cos A=7sin 2A , 所以6sin C cos A=14sin A cos A , 即(3sin C-7sin A )·cos A=0,可得3sin C=7sin A 或cos A=0. 由5a=3b 知a<b ,故A 为锐角,所以cos A=0不符合,舍去. 由正弦定理可得3c=7a ,即c=7a
3.
由余弦定理可得cos C=
a 2+
b 2-c
22ab
=
a 2+(5a 3)2-(7a 3
)2
2a ·
5a
3
=-1
2
.
因为C ∈(0,π),所以C=2π
3
.故选B .
【答案】B
7.【解析】A 选项,sin x+cos x=√2sin (x
+π
4),则sin x+cos x ∈[-√2,√2],
又-√2<π3
<√2,∴存在x ,使得sin x+cos x=π3
,可知A 正确. B 选项,∵△ABC 为锐角三角形,∴A+B>π
2
,即A>π
2
-B ,
∵B ∈(0,
π
2
),∴π2-B ∈(0,π2),又A ∈(0,π2)且y=sin x 在(0,π
2)上单调递增, ∴sin A>sin (
π2
-B)=cos B ,可知B 正确.
C 选项,y=sin (
2
3x -7π2)=cos 2x 3
,则cos 2(-x)3
=cos 2x 3
,则y=sin (
2
3x -7π
2
)为偶函数,可知C 正确.
D 选项,y=sin 2x 的图象向右平移π4
个单位长度得y=sin 2(x -
π
4
)=sin (2x -π
2)=-cos 2x 的图象,可知D 错误. 本题选ABC .
【答案】ABC
8.【解析】因为a cos A=b cos B ,所以sin A cos A=sin B cos B ,故sin 2A=sin 2B , 因此A=B 或A+B=π
2
,因为sin C=3
5
,所以A+B=π
2
舍去,故A=B ,所以a=b.
当C>π2
时,由sin C=35
得cos C=-4
5
,又c=2,
所以,根据余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 可得4=2a 2+85
a 2,解得a 2=10
9
,
因此,S △ABC =12
ab sin C=12
×a 2×35=310×109=1
3;
当C<π2
时,由sin C=3
5
得cos C=45
,又c=2,
所以,根据余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 可得4=2a 2-8
5
a 2,解得a 2=10,
因此,S △ABC =12
ab sin C=12
×a 2×35=3
10
×10=3.
故选AC . 【答案】AC
9.【解析】因为a 2+b 2-c 2=ab , 所以cos C=
a 2+
b 2-
c 22ab
=
ab 2ab =12
.
因为C ∈(0,π), 所以C=π
3.
因为A=π
4
,c=3,
所以由正弦定理
a
sinA =
c
sinC
,可得√22
=√32
,a=√6.
【答案】π3
√6
10.【解析】由大边对大角可知角A 最大, 所以cos A=
b 2+
c 2-a 2
2bc
=
√=
√10
10
,sin A=√1-cos 2A =
3√1010
.
△ABC 的面积为S=1
2
bc sin A=12
×2√2×√5×
3√1010
=3.
【答案】
√10
10
3
11.【解析】因为b cos C+c cos B=2a cos B ,所以sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos B , 所以sin (B+C )=sin A=2sin A cos B. 因为sin A ≠0,所以cos B=1
2.
因为0<B<π,所以B=π
3
.
把a=4,b=6代入b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得c 2-4c-20=0, 解得c=2+2√6或c=2-2√6(舍去). 所以S △ABC =1
2
ac sin B=1
2
×4×(2+2√6)×
√3
2
=6√2+2√3.
【答案】6√2+2√3
12.【解析】因为sin C=sin (A+B )=sin A cos B+cos A sin B , 所以由正弦定理可得a cos B+b cos A=c. 又因为a cos B+b cos A=
absinC asinA+bsinB -csinC
,
所以由正弦定理可得c=
abc
a 2+
b 2-
c 2
,
即a 2+b 2-c 2=ab ,所以c 2=a 2+b 2-ab=(a+b )2-3ab. 因为a+b=3,所以c 2=9-3ab. 因为ab ≤(
a+b 2
)
2=94
,
当且仅当a=b=3
2
时取等号,
所以-274
≤-3ab<0,
所以94
≤9-3ab<9,即94
≤c 2<9,所以32
≤c<3,故c 的取值范围为[
32
,3).
【答案】[
32
,3)
13.【解析】(1)由正弦定理得
a
2b -a =
sinA
2sinB -sinA
,又
tanA tanC =
sinAcosC cosAsinC
,
所以
sinAcosC
cosAsinC =
sinA
2sinB -sinA
.
因为sin A ≠0,所以cos C (2sin B-sin A )=cos A sin C , 即cos C sin A+cos A sin C=2sin B cos C , 即sin B=sin (A+C )=2sin B cos C. 因为sin B ≠0,所以cos C=1
2.
又0<C<π,所以C=π
3.
(2)由S △ABC =12
ab sin C ,得3√3=12
ab×
√3
2
,所以ab=12.
因为CD
⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1
4
(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14
(b 2+a 2+2ab cos C )=14
(b 2+a 2+ab )≥14
(2ab+ab )=9,当且仅当a=b 时取等号. 所以边CD 的最小值为3.
专题3 数列
考 向 分 析
一、
1.【解析】由题意知,{S 4=4a 1+d
2×4×3=0,a 5=a 1+4d =5,
解得{
a 1=-3,
d =2,
∴a n =2n-5,a 6=2×6-5=7.故选A .
【答案】A
2.【解析】设等比数列{a n }的公比为q (q>0),则{a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3=15,
a 1q 4=3a 1q 2+4a 1,
解得{
a 1=1,
q =2,∴a n =a 1q n-1=2n-1.
【答案】2n-1
3.【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 1=1
3,a 42
=a 6,所以(13q 3)2=13q 5,又q ≠0,所以q=3,所以a 5=13
×34=27. 【答案】27
4.【解析】设等差数列{a n }的公差为d , 因为a 2=3a 1,所以a 1+d=3a 1,即2a 1=d , 所以
a 10
S 5=
a 1+9d 5a 1+5×42
d =19a 125a 1=19
25
.
【答案】1925
5.【解析】当n ≥2时,S n-1=2a n-1+1,所以S n -S n-1=2(a n -a n-1),即a n =2a n-1.。