异面直线所成的角的求法

P
B
cos PNB
10 5
例8.
3 三 四棱锥 A－BCD 中，AD＝1，AC＝ 2 ，BC＝ 3，BD＝
13 2 ，AD⊥BC，则 AC 与 BD 所成的角为________．
• 例9．如图，在正三角形ABC中，D、E、F 分别为各边的中点，G、H、I、J分别为 AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、 EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角 的度数为________
假设EF与PC不是异面直线, 则EF与PC共面由题意可知 其平面为PBC
F B
P 平面PBC PE 平面PBC即PA 平面PBC P, A, B, C共面 E 平面PBC
这与已知P为ΔABC所在平面外一点矛盾
12、空间四边形PABC中，M，N分别 是PB，AC的中点， PA=BC=4，MN=3， 求PA与BC所成的 角？
• (3)找出异面直线所成的角后求角的大 小．一般要归到一个三角形中，通过解三 角形求出角的大小，如本题思路1中可归 结为解△DEM.思路2中可归结为解△DEN 等等，由于本例中三角形是斜三角形，待 我们学过解斜三角形后，即可计算． • (4)实际问题中，若含有“中点”“比例点” 常利用中位线，比例线段进行平移．
A
Q
F D
（2）求CF与DE所 成的角。
E
C
异面直线所成的角的求法: 典例剖析
D A
D1
C B D1 C1
D1
例1：如图正方体AC1， ①求异面直线AB1和CC1所成角的 大小 ②求异面直线AB1和A1D所成角的 大小
〖分析〗 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解
• 例、10 由四个全等的等边三角形围成的 封闭几何体称为正四面体．如图，正四面 体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中 点，CF与DE是一对异面直线，在图形中 适当的选取一点作出异面直线CF、DE的 平行 线 ， 找 出异面 直线 C F 与 D E 所 成的 角．
[解析] 思路1：选取平面ACD，该平面有以 下两个特点：①该平面包含直线CF，②该 平面与DE相交于点D，伸展平面ACD，在 该平面中，过点D作DM∥CF交AC的延长线 于M，连结EM.可以看出：DE与DM所成的 角，即为异面直线DE与CF所成的角．如图 1.
例7.
S是正△ABC所在平面外一点，SA=SB=SC且 ∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°，M，N分别是AB 和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角。
C S a
2 a 2
N
a a P
N
2 a 4
6 a 2
C P
A
2a M
B A M
6 a 4
2 a 2
14 a 4
B
2 a 4
14 a 4
5 a 2
大小.

60 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小；

G O
AC∥ A’C’∥ EF, 90 OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
补形法
平移法

例6 空间四边形SABC中，SA=SB=SC=AB=BC=CA， E、F分别是SA、BC中点，则异面直线EF与SC所 成的角 900
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系 习题课
问题一：异面直线的判定
例1.已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β， α∩β＝l，则l( ) • A．与m、n都相交 • B．与m、n中至少一条相交 • C．与m、n都不相交 • D．与m、n中的一条直线相交
• 例2.已知点P、Q、R、S分别是正方体 的四条棱的中点，则直线PQ与RS是异 面直线的一个图是 ( )
A1
B
1
解: ①∵ CC1//BB1 ∴ AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 ∵ 在△ABB1中，AB1和BB1所成的角是450 ∴ 异面直线AB1和CC1所成的角是450 。
异面直线所成的角的求法: 典例剖析
D A
D1
C B D1 C1
D1
例1：如图正方体AC1， ①求异面直线AB1和CC1所成角的 大小 ②求异面直线AB1和A1D所成角的 大小
2
5
2 2
C
Cos∠QNC=
QN

NC QC
A
P
wenku.baidu.com
Q
B
2 QN NC

2 5
例 5、 在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱 长为a，E、F分别是棱A’B’，B’C’的中 点，求： ①异面直线 AD与 EF所成角的大小； 45
60 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小； ③异面直线 B’D与 EF所成角的
C
F
B
例14、如图，在三棱锥D－ABC中， DA⊥平面ABC，∠ACB = 90°， ∠ABD = 30°，AC = BC，求异 面直线AB 与CD所成的角的余弦值。
D
A
B
思考题 四面体A—BCD的棱 长均为a, E，F分别 为棱BC，AD的中点， P （1）求异面直线CF 和BD所成的角的余 B 弦值。
• 思路2：选取平面BCF，该平面有以下两 个特点：①该平面包含直线CF，②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF中，过点E作 CF的平行线交BF于点N，连结ND，可以 看出：EN与ED所成的角，即为异面直线 FC与ED所成的角．如图2. • 思路3：选取平面ADE，该平面有如下两 个特点：①该平面包含直线DE，②该平面 与CF相交于点F.在平面ADE中，过点F作 FG∥DE，与AE相交于点G，连结CG，可 以看出：FG与FC所成的角，即为异面直 线CF与DE所成的角．如图3.
例3．如图，已知α∩β＝a，b⊂α，c⊂β， b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直 线．
异面直线的证明:
(1)反证法，假设两直线共面，随后导出矛 盾，故两直线异面．
(2)过平面外一点与平面内一点的直线和平 面内不过该点的直线是异面直线(异面直线 判定定理)．
问题二：求异面直线所成的角
预备知识
a=2RsinA
角的知识
b c C a B A
正弦定理a=2RsinA A
S
1 ABC= bc sinA 2
余弦定理
b c a cosA= 2bc
2 2 2
c
b
B
a
C
二、数学思想、方法、步骤：
1.数学思想： 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而 转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。 2.方法： 求异面直线所成的角： 3.步骤： 平移 构造可解三角形
• 思路4：选取平面BCD，该平面有如下特点： ①该平面包含直线DE，②该平面与CF相交 于点C，伸展平面BCD，在该平面内过点C 作CK∥DE与BD的延长线交于点K，且DK ＝BD，连结FK，则CF与CK所成的角，即 为异面直线CF与DE所成的角．如图4.
• 总结评述：(1)上面四个思路的共同点是： 由两条异面直线中的一条与另一条上一个 点确定一个平面，在该平面内过该点作该 直线的平行线，从而找出两条异面直线所 成的角，这是立体几何“化异为共”“降 维”的基本思想．
①作（找） ② 证 ③ 点 ④ 算
例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4 (1) 求直线BA1和CC1所成的角的大小 (2) 若M，N分别为棱A1B1和B1B的中点， 求直线AM与CN所成的角的余弦值.
D1 M A1 B1 N D BQ=1 BN=2 QN= C1
5
QC=
17
NC= 2
10．A为正三角形BCD所在平面外一点，且 AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中 点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、 A CE所成角的余弦值。
解：连结DF，取DF的中点G，连结EG， CG，又E是AD的中点，故EG//AF， 所以∠GEC（或其补角）是异面直线 B AF、CE所成的角。 E
7 PF FC PC 2 FC PC cos120 a. 2 3 AP 2 EC 3a. AF a, 2 2 PAF中应用余弦定理, 得 cos PAF . 3
2 2
E
D C
F
P
2 ∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是 3
练习1：如图，P为Δ ABC所在平面外一点， PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中 P 点。 （1）求证：EF与PC为异面直线； E （2）求EF与PC所成的角； C A （3）求线段EF的长。
• (2)求两条异面直线所成角的关键是作出这 两条异面直线所成的角，作两条异面直线 所成的角的方法是：将其中一条平移到某 个位置使其与另一条相交或是将两条异面 直线同时平移到某个位置使它们相交，然 后在同一平面内求相交直线所成的角．值 得注意的是：平移后相交所得的角必须容 易算出，因此平移时要求选择恰当位 置．一般提倡像思路2、思路3那样作角， 因为此角在几何体内部，易求．
A
E B
P
M C N
变题:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.
O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,求AF与OE 所成的角
D1
E A1 F B1 C1
D C N A O
B
2、若M为A1B1的中点，N为BB1的中点， 求异面直线AM与CN所成的角；
D1
M A1 B1 C1
N
D A E
G
D
F C
1 1 3 3 1 3 AB a. EG AF a. FG DF 2 2 2 4 2 4
CG FG 2 FC 2 ( 3 1 7 AB) 2 ( AB) 2 a. 4 2 4 2 在EGC中用余弦定理得cos GEC . 3 2
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
正方体ABCD- A1B1C1D1中,P为 BB1的中点,
如图画出下面各题中指定的异面直线
D1 A1 B1
C1 A1
D1 B1
C1 A1
D1 B1
C1
P●
D A D
C
C
D A
C
B
A
B
B
异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时， 表示异面直线所成的角是它的补角.
以第三幅图为例，设正方体的棱长为1， 求异面直线的夹角
3
11．A为正三角形BCD所在平面外一点，且 AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中 点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、 CE所成角的余弦值。 A
另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点， 故∠PAF(或其补角)为异面直 ∴AP//EC。 线AF、CE所成的角。 B
异面直线A1C1与D1B的夹角是900
B
E
补形法
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体， 如正方体、长方体等，其目的在于易于发 现两条异面直线的关系。
练习
在空间四边形S-ABC中，SA⊥BC且 SA=BC, E, F分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ B ）A)300 ( (B)450 (C)600 (D)900
〖分析〗 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解
A1
B
1
②∵在面A1B1CD中， ∵ A1B1 CD ∴ A1D//B1C ∴ AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角 ∵ 在△AB1C中，AB1和CC1所成的角是600 ∴异面直线AB1和A1D所成的角是600 。
S
E
A D F B
C
如图，补一个与原正方体全等的并与原正方体有公共面的正方体
D1 A1 B1 C1
解：根据图像知，A1C1E或它的补角是A1C1与BD1的夹角
F1 E1
A1C1 = 2,BD1 = 3,A1E= 5 A1C12 +BD12 =A1E 2 ,则A1C1E是直角三角形
F
D A
C
A1C1E 900