浙江省台州市蓬街私立中学人教版高中数学必修五学案(无答案)2.8等差、等比数列的性质综合

2.8等差数列、等比数列的知识小结

编制:闫利编制时间:6月4日使用:高一(1、2)班编号：55

基础梳理：

一、等差、等比数列的基本公式：

1、等差数列{}n a 的定义： .；等比数列{}n a 的定义： .

2、若数列{}n a 为等差数列，则=n

a ； =n S ；

若数列{}n a 为等比数列，则=n

a ；

=n S ；

3、A 是a 和b 的等差中项： ；A 是a 和b 的等比中项： ；

4、{}n a 是等差数列⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ；

{}n a 是等比数列⇔

⇔ ⇔ ⇔ .

二、等差、等比数列的性质

1、 {}n a 为等差数列， {}n a 为等比数列 若q p n m +=+，则 ； 若 q p m +=2， 则 ；

2、=

-n m a a 即：+

=n

m a a ； =

n

m a a 即：⋅

=n m a a

3、片段和：=++k a a 1 , =+++k k a a 21 , =+++k k a a 312 ,… 若{}n a 为等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成 数列

若{}n a 为等比数列（且S k 0≠），则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成 数列

4、若{}n a 为等差数列，则{}n a ⋅c ，{}n a +c ，{}n qb p +n a 是 数列，（c ，p ，q 均为常数，{}n b 是等差数列）

若{}n a 为正项等比数列，则{}n a ⋅c ，{}b k +n a 为 数列，{}n a lg 为 数列

三、等差、等比数列的函数思想

等差数列{}n a：等比数列{}n a：

1、公式特征：()=

=n

f

a

n ；()=

=n

f

a

n

；

2、前n项和公式：=n S；=n S；

3、数列{}n a为单调递增数列⇔，数列{}n a为单调递减数列⇔

考点1、等差、等比数列的基本运算 例1、 (1)等差数列{}n a 中，

①若3

1-=d ，87=a ，则=1a ；

②若a 5=10，S 3=3，则=1a ， d = ；

③若a n =a n －1+12 (n ≥2，*n N ∈)，a n =32，前n 项和S n =－15

2，

则a 1＝ ，n ＝ .

④若S 7=7，S 15=75，T ｎ为数列｛n

S n ｝前ｎ项和,求T n

(2)等比数列{}n a 中，

①若182=a ,84=a ,则q = ；

②若=1a 1,512-=n a ,n S =341-,则q = ， n = ； ③若3318,26a s ==,则5a = ； ④若,91,762==S S 则S 4= . 例2、(1)数列{}n a 中,若316n a n =-,求n s 的最小值；

(2)等差数列{}n a 中，首项10a >， n S 是其前n 项和，且1525S S =，则当n S 最大时，n = (3)在{}n a 中,若m S n n +⋅=32,则m = 时,数列

{}n a 是等比数列，此时q = ；

例3、(1)已知等比数列111,,,a a ，n

a 1则它的前n 项和

n S = ；

(2)在等差数列{}n a 中，12,60171-=-=a a ，求数列{}n a 的前项和

考点2、等差、等比数列的性质应用 例4、(1)设等差数列{}n a 中，

①若a 5+ a 6 ＝2, a 15+ a 16 ＝4,则a 25+ a 26= ； ②若21512841=+---a a a a a ，则133a a += ， S 15= ；

③若a 2+a 4+a 15是一个确定的常数，则数列{}n S 中是 常数的项为（ ）A.S 7 B.S 8 C.S 11 D.S 13

④等差数列的前n 项为S n ，已知前6项和为36，S n =324，最后6项和为180（n ＞6），求此数列的项数n 及a 9+a 10

(2)设等比数列{}n a 中，

①若a 5+ a 6 ＝2, a 15+ a 16 ＝4,则a 25+ a 26＝__ ；

②等比数列{}n a 的各项均为正数，且18a a a a 7465=+，

则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ；

③若128,66121==+-n n a a a a ，前ｎ项和S ｎ＝126，求n 和q .

例2、 (1)设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5

935,95S S

a a 则 (2)等差数列{}n a 、{}n

b 的前n 项和n S 、n T 满足

3125

n n S n T n +=

+，则55a b =

(3)等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；

(4)已知等比数列{}n a 满足,,2,1,0 =>n a n 且

)3(22525≥=⋅-n a a n n ，则当1≥n 时，

=+++-1223212log log log n a a a

(5) 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比q =2,且

123a a a (3030)

2a =，则369a a a …30a =( )

A ．20

2 B ．102 C ．162 D ．152

例3、（1）已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=2，S 4=10，则S 6= ；

（2）已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=6，S 4=30，则S 18= ；

(2)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若63S S =3,则6

9S S

=