第五章 液体三元流动基本原理w

水力学
涡通量（涡旋强度）
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
d dA
d dA
A
u y ux ux uz uz u y ( )dydz ( )dxdz ( )dxdy A y z z x x y
t 为流线方程的参数，积分时可视作常数。
水力学
2. 迹线
（1）定义：迹线是流体质点运动的轨迹。 （2）迹线方程 由
dx dy dz ux , u y , uz dt dt dt
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
得出迹线微分方程：
dx dy dz dt u x ( x, y , z , t ) u y ( x, y , z , t ) u z ( x, y , z , t )
涡线微分方程
dx
x

dy
y

dz
z
水力学
涡量、涡通量、速度环量和斯托克斯定理
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理 涡量:速度的旋度。 u
2
k
i u x ux
j y uy
z uz
u y源自文库ux ux uz uz u y ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
质量净流出
液 dM dM 体 三 元 流 [ x ( ux ) y ( u y ) z ( uz )]dxdydzdt t ( dxdydz )dt 动 基 [ ( ux ) ( u y ) ( uz )] 0 本 t x y z 原 理 ( u ) 0 液体三元流动的连续性方程
1 u x u z ( ) y 2 z x
1 u y ux ( ) z 2 x y
1 u x u z ( ) zx 2 z x
xi y j z k
根据旋转角速度 是否为0将流动分为有旋运动和无旋运动
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
1 d (d d ) 2
1 d (d d ) 2
1 1 u y ux d (d d ) ( )dt 2 2 x y
d 1 u y ux ( ) xy dt 2 x y
角变形率
1 1 u y ux d (d d ) ( )dt 2 2 x y
dt时段,x,y,z三个方向流出
与流入控制体积的液体
的质量差为：
dM x , dM y , dM z
dM dM x dM y dM z
水力学
dM dM x dM y dM z
第 u y dy u y dy dy dy 五 章 dM y [( y 2 )(u y y 2 )dxdz ( y 2 )(u y y 2 )dxdz ]dt 液 体 dM [( dy u u y dy ) ( dy u u y dy )]dxdzdt y y y 三 y 2 y 2 y 2 y 2 元 流 u y 动 dM y [( dyu y dy )]dxdzdt y y 基 本 u y 原 [(u y )]dxdydzdt 理 y y
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
平移是指液体微团在运动
过程中任一线段的长度和
方位均不变。
平移速度为ux,uy
水力学
线变形是指液体微团在运动过程中仅存在各线段 的伸长或缩短。
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
ux (u x dx)dt u x dt x u x dxdt x
（1）恒定流动，不论液体是否压缩
0, t
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
( u ) 0
（2）不可压缩流体流动，不论是否恒定
u x u y u z 0, x y z
（4）对于二维恒定不可压缩流动
u x u y 0, x y
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
3．连续性方程的意义
（1）质量守恒 （2）用连续性方程判别流动能否发生 （3）用连续性方程推求某一速度分量 （4）与运动微分方程联立求解
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
例1
已知二维恒定不可压缩流动速度场为
u x 3x y
x
dt
u x u x dydt / dy dt y y
1 d d 1 u y ux ( ) 角变形率 xy yx 2 dt 2 x y
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角变形和旋转
u y 第 dxdt u y 五 d tan d x dt 章 dx x
水力学
第5章
5.1概述
液体三元流动基本原理
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
工程中绝大多数水利工程可用一元恒定总流方程解决；
实际工程中遇到的二元或三元的流动问题可建立三元流 动的基本方程解决；
重点解决恒定平面势流问题（主要用于解决地下水渗流 问题）
水力学
第5章
本章内容 5.2 5.3 5.4
t 为变量。
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
例1
为
已知用欧拉变数表示的流体运动的速度场
ux kx, uy ky, uz 0
(式中，k 为大于零的常数) ，求流线与迹线。
水力学
5.3
液体三元流动的连续性方程
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
1、方程的推导
1、液体微团运动形式： 平移、旋转和变形
u u0 dr ε dr
水力学
2、液体质点的基本运动形式分析
设微团平行于xoy平面的投影面为ABCD，在t瞬时，各 角点沿x,y方向的速度分量
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
水力学
液体质点的基本运动形式

速度 u 为平移速度 u 0 、旋转速度( dr ) 与变
形速度 (ε dr ) 之和。
流体的速度分解定理：流场中任一点处的
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
5.5

有旋运动简介
有旋流动（有涡流动）
旋转角速度
0 的流动称为有旋流动或 有涡流动 。
u y u x u z 线变形率分量： xx , yy , zz x y z
1 u y u x 角变形率分量： xy ( ) yx 2 x y 1 u z u y yz ( ) zy 2 y z 1 u x u z zx ( ) xz 2 z x
u x dydt 液 u x y d tan d dt 体 dy y 三
元 流 动 基 本 原 理
d d d d d d
1 d (d d ) 2
1 d (d d ) 2
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
线变形率 u x xx x
u y y
yy
u z zz z
水力学
角变形
第 五 章
角BAC的减少量为 d d
液 体 三 元 d tg (d ) 流 动 基 d tg (d ) 本 原 理
1 平均角变形为 （d d ） 2
u y x dxdt / dx u y x
解：
(ru r ) u 0 r
u (ru r ) A cos A (r ) 2 cos 2 r r r r A sin u C (r ) 2 r
水力学
5.4
液体微团运动的基本形式
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
t
i j k x y z
哈密顿算子
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
柱坐标系下连续性方程 1 ( rur ) 1 u uz 0 r r r z
水力学
2．连续性方程的简化
[ ( ux ) ( u y ) ( uz )] 0 t x y z
旋转角速度分量：
1 u z u y 1 u y u x u u 1 x z x ( ) ， y ( ) ) ， z ( 2 y z 2 x y 2 z x
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
变形率（应变率）张量为：
xx yx zx ε xy yy zy xz yz zz
( u y )dxdydzdt y
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
dM y ( u y )dxdydzdt y
dM x ( u x )dxdydzdt x
dM z ( u z )dxdydzdt z
dM dM x dM y dM z
[ ( ux ) ( u y ) ( uz )]dxdydzdt x y z
水力学
dM [ ( ux ) ( u y ) ( uz )]dxdydzdt x y z 第 五 dM ( dxdydz )dt 质量减少 章 t
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
u dr 0
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
（2）流线方程：
由
u dr u x u y u z 0 dx dy dz
i
j
k
得出流线微分方程：
dx dy dz u x ( x, y , z , t ) u y ( x, y , z , t ) u z ( x, y , z , t )
液体三元流动基本原理
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
流线与迹线微分方程 液体三元流动的连续性方程 液体微团运动的基本形式
5.5
5.6 5.7
有旋运动简介
液体恒定平面势流 边界层简介
水力学
5.2 流线与迹线微分方程
1. 流线 （1）定义：流线是某 瞬时在流场中绘出的曲 线，曲线上各点的速度 矢量均与该曲线相切。
类似于流速场引用流线、流管、流束、流量 有旋运动的涡 场引入涡线、涡管、涡束、涡通量 的概念来表征。
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
涡线、涡管、涡束
在某瞬时，在涡场中假想的一条空间几何曲线，在此 曲线上，各质点的旋转角速度矢量 都与该点的曲线相 切，则定义这条曲线为涡线。
2
u y (6 xy x)
判别流动是否能发生。
解：
u x u y 6x 6x 0 x y
所以该流动能发生。
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
例2
已知二维恒定不可压缩流动径向速度分量为
ur ( A cos / r )
2
式中A为常数，求切向速度分量
d 1 u y ux ( ) z dt 2 x y
旋转角速度
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角变形率
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
旋转角速度
1 uz u y ( ) x 2 y z
1 u y ux ( ) xy 2 x y 1 uz u y ( ) yz 2 y z