“笨”方法巧解一道竞赛题
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２ １ 年 第 ４期 ００
中学数 学 月刊
・４ ・ ３
” 方法巧解一道 竞 赛题
赵文 苑 （ 南省长 沙县 实验 中学 湖 ４ ０ ０ ） 指导教 师 赵优 良 １ １ ０
试 题 如 图 １ Ｐ是抛 物线 Ｙ ， 。一 ２ ｘ上 的动
点 ， Ｂ。 点 Ｃ在 ３轴上 ． （ １ Ｙ ， 圆 一 ） ＋ 一 １内切 于
解 设 Ｐ（ 。 ） ｘ， ， 。
，
Ｂ（ 。） Ｃ（ ，） 不 妨设 ６ Ｃ 直 线 Ｐ 的方 程 ； Ｏ ６ 。 Ｏｃ ， ＞ ． Ｂ Ｙ
—
所 以（ ｌ 是 ） 一 （ １ ｋ ） ４ ｌ ｋ 惫 一 ２。 ＋ ２ 一 ｋ ・ ２
ｂ ；
。 简得 （ 一ｂ ｘ 。 化 ） —ｚ ｙ＋ｘ ｂ ０ 。； ．
一 一
Ｘｏ
一
， －Ｃ 则 ６ ）
由 （） １ 得过 点 Ｐ（ 。Ｙ ） 圆 （ ｘ ，。 作 一１。 Ｙ 一 ）＋ 。 １的两条 切线 在 Ｙ轴 上 的截距 离分别 为
ｂ ｌ Ｙ ０一 是 ｏ， ２一 Ｙ０一 是２ １ ｂ Ｘｏ，
４３ ４ 一８。 ｚ＋
是神 来之 笔． 有没 有别 的解答 方法 呢 ？ 原参 考 还 受 答案 的启 发 ， 利用 直线 的斜 率 。 到 如下解 法 ｚ 得
难的竞赛题也可以用常规的“ 方法人手解答． 笨” 这 大大地 增强 了我 学 习数学 的信 心．
ｋ — Ｙ＋ ｙ ｘ ｏ— ｋ ｘｏ一 ０ ． （ ） １
不就 是刚 学 的内容 吗 ！ 抱 着试 一试 的心态 ， 开 始 便 求解 ． 当我 把试题 完 整 地 阅读 了几 遍 之 后 才 发 现
．
刁
图 １
因直线 与 圆 （ １ 。 ＝１ 一 ） ＋Ｙ ＝ 相切 ， 圆心 ＝ 故 （ ，）到切 线 Ｚ １Ｏ 的距 离 为 １ 即 ，
（ ２ ＋≥√。 ） ＋ ） 。 ＋ ４２ｚ ２ 一 （ ・ 一
４ ； ８，
当 ｚ 一２一 — 。
， 一２ 即（ 。 ）＝ ４时 ， 上式
取 等号 ， 时 。 ４ Ｙ ＝±２ ． 此 一 ，。 因此 ｓ 删 的最 △ 小 值为 ８ ．
做 完这 道题后 ， 兴奋 不 已 。 我 同时 也发现 这么
△ Ｐ Ｃ， △ Ｐ Ｃ 面积 的 最 小值 ． ２０ Ｂ 求 Ｂ （０８年 全 国
高 中数 学联合 竞赛 试题 ） 简洁 的文 字 ， 优美 的
图形 ， 有 那 圆 和 切 线 ， 还
、
解 由于切线要与 轴有交点。 以其斜率 所 必然 存在 ． 设过 抛物 线 ｙ ＝ ２ 点 Ｐ（ ，ｏ 的 ｘ上 。ｙ ） 圆的切线 ｚ 的斜 率为 ｋ 其 方程 为 Ｙ— Ｙ ｋ ｘ— ， 。一 （ ｚ ） 化简 为 。，
』 ．． 二壁 ｛ ．± ． ． ；１
’
、
故 （ ｚ ） ＋２ １ 。 。 ＋ 一１— ０ ｚ 一２ 。 （ 一ｚ ） ｋ ． 所以 愚 ＋ ｚ一一
屉 ‘南 一 Ｘｏ－ Ｘｏ ￣ ２ ．
根本 无从 下手 ， 于是 就 仔 细地 看参 考答 案 ：
所 ｓ ｃ 专６ｆ ｛ ｚ＝ 以 △ 一 （ ） 。 ’ 舶 一 ・ 。
（。 ） ｚ 一２ ＋ ＋４ ２ ≥ √ ＋４— ８ ．
当（ 一 ２ 一 ４时 。 。 ） 上式 取等 号 ， 时 Ｘ 此 。一
４Ｙ ： ２ ，。＝土 ＝ 因此 ｓ Ｐ。的最小值 为 ８ △Ｂ ． 参考 答 案上 的解 法太 巧 妙 了 ， 怎 么也 想 不 我 到把 Ｂ。 Ｃ两点 坐标 设 出来会 有这 么大 的用 处 ， 真
。
故Ｂ Ｃ— ｆ ｚ — ｆ ｚ『 ＝ 一６ ｆ 意 一南 ． ６ 。
所 以 Ｓ ＰＣ； ｃ Ｉ 。 Ａ Ｂ １ Ｊ ． Ｂ
； ・ 。
．
一
因 Ｐ（ 。Ｙ ） 抛物 线上 的 点 ， Ｙ ｘ ，。 是 有 ； ２ 。 。
６ ｚ＝ ， ６一 ｃ一 ．
一
又 圆 心 （ ， ）到 Ｐ 的 距 离 为 １ １Ｏ Ｂ ，所 以
—ｂ ｘ ｂ ｌ一 Ｉｏ ｙ ＋ ｏ
’
一
Ｉ 『 一ｘ ］ ４ ２ Ｉ一 ｙ ｚ － 一 ２ ‘ ｏ１ × 一２。 －
、
０
；
［ 一
］ 一× ４
’
ｃ
故 （ 一６ 。 ３ （ 。 ） ＋ ２ 。 （ 。 ） ） ＋ｚ 一 一６ ｘ ｂ ｙ 一６
＋ｚ ６。
２ ） ｘ０
一
一
４
易 知 ｚ ＞ ２ 上 式化 简得 。 。
（ ０— ２ ｂ ） ＋ ２ ０ ｙ ６一 ｚ ０— ０，
又易 知 ｚ 。＞ ２ 故 Ｉ 一七 ＝ —三 ． ， ｋ 。Ｉ ＝ ＝
同理有 （ 。 ２ ． ＋ ２ 。 — 一 ） ｙ Ｃ 。＝ ０ ｆ ． 所 以 ６ ＝ ＋ｆ
中学数 学 月刊
・４ ・ ３
” 方法巧解一道 竞 赛题
赵文 苑 （ 南省长 沙县 实验 中学 湖 ４ ０ ０ ） 指导教 师 赵优 良 １ １ ０
试 题 如 图 １ Ｐ是抛 物线 Ｙ ， 。一 ２ ｘ上 的动
点 ， Ｂ。 点 Ｃ在 ３轴上 ． （ １ Ｙ ， 圆 一 ） ＋ 一 １内切 于
解 设 Ｐ（ 。 ） ｘ， ， 。
，
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所 以（ ｌ 是 ） 一 （ １ ｋ ） ４ ｌ ｋ 惫 一 ２。 ＋ ２ 一 ｋ ・ ２
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由 （） １ 得过 点 Ｐ（ 。Ｙ ） 圆 （ ｘ ，。 作 一１。 Ｙ 一 ）＋ 。 １的两条 切线 在 Ｙ轴 上 的截距 离分别 为
ｂ ｌ Ｙ ０一 是 ｏ， ２一 Ｙ０一 是２ １ ｂ Ｘｏ，
４３ ４ 一８。 ｚ＋
是神 来之 笔． 有没 有别 的解答 方法 呢 ？ 原参 考 还 受 答案 的启 发 ， 利用 直线 的斜 率 。 到 如下解 法 ｚ 得
难的竞赛题也可以用常规的“ 方法人手解答． 笨” 这 大大地 增强 了我 学 习数学 的信 心．
ｋ — Ｙ＋ ｙ ｘ ｏ— ｋ ｘｏ一 ０ ． （ ） １
不就 是刚 学 的内容 吗 ！ 抱 着试 一试 的心态 ， 开 始 便 求解 ． 当我 把试题 完 整 地 阅读 了几 遍 之 后 才 发 现
．
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图 １
因直线 与 圆 （ １ 。 ＝１ 一 ） ＋Ｙ ＝ 相切 ， 圆心 ＝ 故 （ ，）到切 线 Ｚ １Ｏ 的距 离 为 １ 即 ，
（ ２ ＋≥√。 ） ＋ ） 。 ＋ ４２ｚ ２ 一 （ ・ 一
４ ； ８，
当 ｚ 一２一 — 。
， 一２ 即（ 。 ）＝ ４时 ， 上式
取 等号 ， 时 。 ４ Ｙ ＝±２ ． 此 一 ，。 因此 ｓ 删 的最 △ 小 值为 ８ ．
做 完这 道题后 ， 兴奋 不 已 。 我 同时 也发现 这么
△ Ｐ Ｃ， △ Ｐ Ｃ 面积 的 最 小值 ． ２０ Ｂ 求 Ｂ （０８年 全 国
高 中数 学联合 竞赛 试题 ） 简洁 的文 字 ， 优美 的
图形 ， 有 那 圆 和 切 线 ， 还
、
解 由于切线要与 轴有交点。 以其斜率 所 必然 存在 ． 设过 抛物 线 ｙ ＝ ２ 点 Ｐ（ ，ｏ 的 ｘ上 。ｙ ） 圆的切线 ｚ 的斜 率为 ｋ 其 方程 为 Ｙ— Ｙ ｋ ｘ— ， 。一 （ ｚ ） 化简 为 。，
』 ．． 二壁 ｛ ．± ． ． ；１
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故 （ ｚ ） ＋２ １ 。 。 ＋ 一１— ０ ｚ 一２ 。 （ 一ｚ ） ｋ ． 所以 愚 ＋ ｚ一一
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根本 无从 下手 ， 于是 就 仔 细地 看参 考答 案 ：
所 ｓ ｃ 专６ｆ ｛ ｚ＝ 以 △ 一 （ ） 。 ’ 舶 一 ・ 。
（。 ） ｚ 一２ ＋ ＋４ ２ ≥ √ ＋４— ８ ．
当（ 一 ２ 一 ４时 。 。 ） 上式 取等 号 ， 时 Ｘ 此 。一
４Ｙ ： ２ ，。＝土 ＝ 因此 ｓ Ｐ。的最小值 为 ８ △Ｂ ． 参考 答 案上 的解 法太 巧 妙 了 ， 怎 么也 想 不 我 到把 Ｂ。 Ｃ两点 坐标 设 出来会 有这 么大 的用 处 ， 真
。
故Ｂ Ｃ— ｆ ｚ — ｆ ｚ『 ＝ 一６ ｆ 意 一南 ． ６ 。
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因 Ｐ（ 。Ｙ ） 抛物 线上 的 点 ， Ｙ ｘ ，。 是 有 ； ２ 。 。
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又 圆 心 （ ， ）到 Ｐ 的 距 离 为 １ １Ｏ Ｂ ，所 以
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同理有 （ 。 ２ ． ＋ ２ 。 — 一 ） ｙ Ｃ 。＝ ０ ｆ ． 所 以 ６ ＝ ＋ｆ