高三数学第一轮复习讲义(小结) 导数

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专题06 导数 6.3导数与函数的极值、最值题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)

�
� �
�
当 a≥0 时，f′（x）＞0 恒成立，f（x）在（0，+∞）递增；
故选：C．
4．已知函数�(�) =
范围是（
）
�2
A．( − ∞， 4 ]
��
+ 2�� − ��，若 x＝2 是函数 f（x）的唯一极值点，则实数 k 的取值
�2
�
B．( − ∞， 2 ]
C．
（0，2]
【解答】解：∵函数 f（x）的定义域是（0，+∞），
∴f′（x）=
��(�−2) 2�
(��−��2)(�−2)
﹣
﹣
解得 a＝﹣1．
可得 f′（x）＝（2x﹣1）ex 1+（x2﹣x﹣1）ex 1，
﹣
﹣
＝（x2+x﹣2）ex 1，函数的极值点为：x＝﹣2，x＝1，
﹣
当 x＜﹣2 或 x＞1 时，f′（x）＞0 函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，
x＝1 时，函数取得极小值：f（1）＝（12﹣1﹣1）e1 1＝﹣1．
（1）①a≤0 时，f（x）在(0， �)单减，( �， + ∞)单增，极小值点为� = �
高中数学一轮复习讲义
②0＜�＜ �时，（
f x）在（0，a）单增，(�， �)单减，( �， + ∞)单增，极小值点为� = �，
极大值点为 x＝a
③� = �时，f（x）在（0，+∞）单增，无极值点．
④�＞ �时，f（x）在(0， �)单增，( �，�)单减，（a，+∞）单增，极小值点为 x＝a，
3
3
3
27
2��
+2c，
3

导数的概念及其意义、导数的运算课件-高三数学一轮复习

复合函数求导
y′
⋅
u′
u
x
间具有关系′ =__________,这个关系用语言表达就是“对的
导数等于对的导数与对的导数的乘积”
◆ 对点演练 ◆
题组一常识题
1.［教材改编］
已知函数f x =
[解析] f 6 = 108,f 2 =
2
3x ，则y
=f x
24
在[2,6]上的平均变化率为____.
2−x
e
= 3−
2
x
2−x
e .
探究点二导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2（1）
[2023·南京模拟] 函数f x =
方程为(
)
B
A.y = −2x − 1
4
x
B.y = −2x + 1
−
3
2x 的图象在点
C.y = 2x − 3
1, f 1 处的切线
D.y = 2x + 1
［思路点拨］（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线的方程.
e .故选C.
=
m
e
m
e
+m=
m
e
− 1)(x − m .
− 1)(e − m ，
e+1
e
− 1)(x − e − 1 − e − 1，
角度2 求切点坐标
例3
已知f x =
3
x
−
2
3x
+ ax − 1，若曲线y = f x 在点 x0 , f x0 处的切线经
1
1或−
过坐标原点，则x0 =_________.
2
［思路点拨］根据导数的几何意义及切线过原点写出切线方程，由切线过切点

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《利用导数研究函数的零点》课件

即x－y－3＝0.
(2)若函数f(x)在(0,16]上有两个零点，求a的取值范围.
①当 a≤0 时，f′(x)＝ax－ 1x<0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意； ②当 a>0 时，由 f(x)＝aln x－2 x＝0 可得2a＝lnxx，令 g(x)＝lnxx，其中 x>0，则直线 y＝2a与曲线 y＝g(x)的图象在(0,16] 内有两个交点，
即 g(x)在π2，π上单调递减，又 gπ2＝1>0，g(π)＝－π<0，则存在 m∈π2，π，使得 g(m)＝0，且当 x∈π2，m时，g(x)>g(m)＝0，即 f′(x)>0，则 f(x)在π2，m上单调递增，当x∈(m，π]时，有g(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0，则f(x)在(m，π]上单调递减，
由图可知，当 ln 2≤2a<2e，
即 e<a≤ln22时，直线 y＝2a与曲线 y＝g(x)的图象在(0,16]内有两个交点，
即f(x)在(0,16]上有两个零点，因此，实数 a 的取值范围是e，ln22.
题型三构造函数法研究函数的零点
例3 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值. (1)求a； [切入点：求f(x)，g(x)的最小值] (2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝ f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
又 f π2＝π2－1>0，f(π)＝－1<0，所以f(x)在(m，π]上有且只有一个零点，综上，函数y＝f(x)在[0，π]上有2个零点.
思维升华

高三数学第一轮复习导数的应用(一)

2．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点 x ＝ b 附近的其他点的函数值都大， f′(b) ＝ 0 ，而且在点 f′(x)＞0 x＝b附近的左侧 f′(x)＜0 ，右侧，则点 b 叫做函数 y ＝ f(x) 的极大值点， f(b) 叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．
运用导数解决函数的单调性问题
[典题导入] ln x＋k (2012· 山东高考改编)已知函数 f(x)＝ ex (k 为常数， e＝2.718 28„是自然对数的底数)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平行． (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间．

解析
(1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令 f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， ∵ex＞0，∴－x2＋2＞0，解得－ 2＜x＜ 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(－ 2， 2)．

第十二节
(一) 导数的应用

[主干知识梳理] 一、函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b )上为．增函数 f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b )上为．减函数

第14讲、导数的概念与运算(教师版)2025高考数学一轮复习讲义

第14讲导数的概念与运算知识梳理知识点一：导数的概念和几何性质1、概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．知识点诠释：①增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；②当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆．2、几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3、物理意义函数()s s t =在点0t 处的导数0()s t '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即0()v s t '=；()v v t =在点0t 的导数0()v t '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即0()a v t '=．知识点二：导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数()f x c =（c 为常数）()0f x '=()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠，()ln x f x a a'=()log (01)a f x x a a =>≠，1()ln f x x a'=()xf x e =()xf x e '=()ln f x x =1()f x x'=()sin f x x =()cos f x x '=()cos f x x=()sin f x x'=-2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；（2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；（3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=．3、复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：【解题方法总结】1、在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2、过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．必考题型全归纳题型一：导数的定义【例1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的图象如图所示，函数()y f x =的导数为()y f x '=，则（）A ．(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'B ．(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'C ．(2)(3)(2)(3)f f f f <-'<'D ．(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'【答案】D【解析】由()f x 图象可知()()()()''323221f f f f -<<-，即()()()()''3322f f f f <-<.故选：D【对点训练1】（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm ，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系式为3213h t t =+，当t t =0时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s ，则当01t t =+时，液体上升高度的瞬时变化率为（）A ．5cm/sB ．6cm/sC ．8cm/sD ．10cm/s【答案】C【解析】由3213h t t =+，求导得：22h t t '=+.当t t =0时，20023h t t '=+=，解得01t =（03t =-舍去）.故当012t t =+=时，液体上升高度的瞬时变化率为22228cm/s +⨯=.故选：C【对点训练2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数()f x 的导函数是()f x '，若()02f x '=，则0001()()2lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()02f x '=所以00000Δ0Δ011(Δ)()(Δ)()1122lim lim ()11Δ22Δ2x x f x x f x f x x f x f x x x→→'+-+-===故选：B【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）若函数()f x 在0x 处可导，且()()0002lim12x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=（）A ．1B ．1-C ．2D ．12【答案】A【解析】由导数定义可得()()()00002lim 2x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，所以()01f x '=．故选：A ．【对点训练4】（2024·高三课时练习）若()f x 在0x 处可导，则()0f x '可以等于（）．A ．()()000lim x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】A【解析】由导数定义()()()0000=lim x f x x f x x xf ∆→+∆-∆'，对于A ，()()()()()()00000000=lim limx x f x f x x f x f x x f x x x x x∆→∆→--∆-=--∆'-∆∆，A 满足；对于B ，()()()()()()()00000000lim lim2=x x f x x f x x f x x f x x x x x x x xf ∆→∆→+∆--∆+∆--∆=+∆--∆∆'，()()()00001=lim2x f f x x f x x x x∆→+∆--∆∆'，B 不满足；对于C ，()()()()()()()0000000022lim =l =im23x x f x x f x x f x x f x x x x x x xf x ∆→∆→-+∆-∆+∆--∆+'∆--∆∆，()()()000021lim3=x f x x f x f x x x∆→+--∆'∆∆，C 不满足；对于D ，()()()()()()()0000000022lim lim23=x x f x x f x x f x x f x xx x x x x xf ∆→∆→+∆--∆+∆--∆=+∆--∆∆'，()()()0000132=limx f x x f x x x f x∆→+∆--∆'∆，D 不满足.故选：A.【解题方法总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．题型二：求函数的导数【例2】（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．(1)()()221f x x =-+；(2)()()ln 41f x x =-；(3)()322x f x +=(4)()f x =【解析】（1）因为()()2221441f x x x x =-+=-+，所以()84f x x '=-.（2）因为()()ln 41f x x =-，所以()441f x x '=-.（3）因为()322x f x +=，所以()3232ln2x f x +'=⨯（4）因为()f x =，所以()f x '=【对点训练5】（2024·高三课时练习）求下列函数的导数：(1)()2321cos y x x x =++；(2)y (3)18sin ln y x x x =+-；(4)32cos 3log xy x x x =-；(5)33sin 3log xy x x =-；(6)e cos tan x y x x =+．【解析】（1）()()()22321cos 321cos y x x x x x x '''=+++++⋅()2(62)cos 321sin x x x x x =+-++.（2）3122235y x x x-=+-+，所以1222213331311222912y x x x x --'=⨯⋅+-⋅=-+.（3）17118cos y x x x'=+-.（4）()()()()332cos 2cos 3log log x x y x x x x x x '⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x =---.（5）()()13sin 3sin 3ln 3xxy x x x '''=+-⋅()313ln 3sin 3cos 3log e xx x x x=+-⋅.（6）sin e cos tan e cos cos x xxy x x x x=+=+，故()()()()2sin cos cos sin e cos e cos cos x x x x x xy x x x ''-'''=+⋅+21=e cos e sin cos x x x x x-+.【对点训练6】（2024·海南·统考模拟预测）在等比数列{}n a 中，32a =，函数()()()()12512f x x x a x a x a =---L ，则()0f '=__________．【答案】16-【解析】因为()()()()()()()1251251122f x x x a x a x a x x a x a x a '⎛⎫''=---+---⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭L L ()()()()()()1251251122x a x a x a x x a x a x a '=-⋅--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L L ，所以()125102f a a a '=-L ．因为数列{}n a 为等比数列，所以2152434a a a a a ===，于是()21042162f '=-⨯⨯=-．故答案为：16-【对点训练7】（2024·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数()f x ，()g x 定义域均为R ，对任意x 满足()21212f x x g x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且()11f =，求()112f g ⎛⎫''+= ⎪⎝⎭__________.【答案】3【解析】由题意可知，令1x =，则()211211112f g ⎛⎫+⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭，解得()111222f g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()21212f x x g x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得()()()221122122f x x g x x g x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫'''++=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()2114122f x xg x x g x ⎛⎫⎛⎫''++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x =，得()211141111122f g g ⎛⎫⎛⎫''+⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1114122f g g ⎛⎫⎛⎫''++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得()111114143222f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''+=-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：3.【对点训练8】（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()212f x x f x '=++，则()1f '=______．【答案】1-【解析】因为()()212f x x f x '=++，则()()211f x xf ''=+，故()()1211f f ''=+，故()11f '=-．故答案为：1-.【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________.【答案】-2【解析】由函数2()(0)e e x x f x f -'=-求导得：2()2(0)e e x x f x f -''=+，当0x =时，(0)2(0)1f f ''=+，解得(0)1f '=-，因此，2()e e x x f x -=--，所以(0)2f =-.故答案为：-2【解题方法总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．题型三：导数的几何意义方向1、在点P 处切线【例3】（2024·广东广州·统考模拟预测）曲线()321y x =-在点()1,1处的切线方程为__________．【答案】650x y --=【解析】函数()321y x =-的导函数为()2621y x '=-，所以函数()321y x =-在1x =处的导数值16x y ='=，所以曲线()321y x =-在点()1,1处的切线斜率为6，所以曲线()321y x =-在点()1,1处的切线方程为()161y x -=-，即650x y --=，故答案为：650x y --=.【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）曲线3()ln(2)2f x x =++在点()()0,0f 处的切线方程为______．【答案】22ln 230x y -++=【解析】因为3()ln(2)2f x x =++，所以1()2f x x '=+，则()102f '=，又3(0)ln 22f =+，所以曲线在点()()0,0f 处的切线方程为31ln 222y x --=，即22ln 230x y -++=．故答案为：22ln 230x y -++=.【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知函数321()cos 32f x x bx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π，()f x '为()f x 的导函数.若()f x '的图象关于直线x ＝1对称，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为______【答案】73y =-【解析】2ππ()2sin 22f x x bx x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，令2()2g x x bx =+，ππ()sin 22h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()()f x g x h x '=+，令πππ22x k =+，Z k ∈，解得x ＝2k ＋1，Z k ∈，当k ＝0时，x ＝1，所以直线x ＝1为()h x 的一条对称轴，故()g x 的图象也关于直线x ＝1对称，则有212b-=，解得b ＝－1，则321π()cos 32f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2ππ()2sin 22f x x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，7(2)3f =-，()20f '=，故切线方程为73y =-.故答案为；73y =-.【对点训练12】（2024·湖南·校联考模拟预测）若函数()()()322f x x x x λλ=+-∈R 是奇函数，则曲线()y f x =在点()(),f λλ处的切线方程为______．【答案】24320x y --=【解析】因为()()()322f x x x x λλ=+-∈R 是奇函数，所以()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立，即()()()3232222220x x x x x λλλλλ-+-++-=-=对x ∀∈R 恒成立，所以2λ=，则()32f x x =，故()26f x x '=，所以()()3222216,26224f f '=⨯==⨯=，所以曲线()y f x =在点()216,处的切线方程为()16242y x -=-，化简得24320x y --=.故答案为：24320x y --=方向2、过点P 的切线【对点训练13】（2024·江西·校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线ln y x =相切，则该直线的方程是______．【答案】1ey x=【解析】由题意可得()1f x x'=，设该切线方程y kx =，且与ln y x =相切于点()00,x y ，()000000ln 1y kx y x k f x x ⎧⎪=⎪⎪=⎨'⎪⎪==⎪⎩，整理得0ln 1x =，∴0e x =，可得1e k =，∴1ey x =.故答案为：1ey x =.【对点训练14】（2024·浙江金华·统考模拟预测）已知函数()31f x x ax =-+，过点()2,0P 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则实数a 的取值范围是___________.【答案】19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由2()3f x x a '=-，设切点为(,)m n ，则切线斜率为2()3f m m a '=-，所以，过()2,0P 的切线方程为2(3)(2)y m a x =--，综上，23(3)(2)1n m a m n m am ⎧=--⎨=-+⎩，即23(3)(2)1m a m m am --=-+，所以322261a m m =-++有三个不同m 值使方程成立，即2y a =与32()261g m m m =-++有三个不同交点，而2()612g m m m '=-+，故(,0)-∞、(2,)+∞上()0g m '<，()g m 递减，(0,2)上()0g m '>，()g m 递增；所以()g m 极小值为(0)1g =，极大值为(2)9g =，故129a <<时两函数有三个交点，综上，a 的取值范围是19,22⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：19,22⎛⎫⎪⎝⎭【对点训练15】（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线3y x =的切线，写出一条切线方程：__________.【答案】0y =或32y x =+（写出一条即可）【解析】由3y x =可得23y x '=，设过点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线3y x =的切线的切点为00(,)x y ，则300y x =，则该切线方程为20003()y y x x x -=-，将2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得3200023()3x x x -=--，解得00x =或01x =-，故切点坐标为(0,0)或(1,1)--，故切线方程为0y =或32y x =+，故答案为：0y =或32y x =+【对点训练16】（2024·海南海口·校联考模拟预测）过x 轴上一点(),0P t 作曲线():3e x C y x =+的切线，若这样的切线不存在，则整数t 的一个可能值为_________．【答案】4-，5-，6-，只需写出一个答案即可【解析】设切点为()()000,3e x x x +，因为()4e xy x '=+，所以切线方程为()()()000003e 4e x x y x x x x -+=+-．因为切线l 经过点P ，所以()()()000003e 4e x xx x t x -+=+-，由题意关于0x 的方程()2003430x t x t ----=没有实数解，则()2Δ(3)4430t t =-++<，解得73t -<<-．因为t 为整数，所以t 的取值可能是6-，5-，4-.故答案为：4-，5-，6-，只需写出一个答案即可【对点训练17】（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线()2e xy x =+的切线，则切点的横坐标为___________.【答案】1-1-【解析】由()2e xy x =+可得()3e xy x '=+，设切点坐标为()00,x y ，所以切线斜率00(3)e xk x =+，又因为()0002e x y x =+，则切线方程为()()()000002e 3e x xy x x x x -+=+-，把()0,0代入并整理可得200220x x +-=，解得01x =-或01x =-故答案为：1-+1-【对点训练18】（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）若过点()()1,P a a ∈R 有n 条直线与函数()()2e xf x x =-的图象相切，则当n 取最大值时，a 的取值范围为__________.【答案】()3,e --【解析】设过点()1,P a 的直线l 与()f x 的图象的切点为()()000,2e xx x -，因为()()1e xf x x '=-，所以切线l 的斜率为()()0001e xf x x '=-，所以切线l 的方程为()()()000002e 1e x xy x x x x --=--，将()1,P a 代入得()()()000002e 1e 1x xa x x x --=--，即()()()()0002000001e 12e 33e x x x a x x x x x =--+-=-+-，设()()2e 33x g x x x =-+-，则()()()()2233e 23e e x x xg x x x x x x =-+-+-+=-+'，由()0g x '=，得0x =或1x =，当0x <或1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞上单调递减；当01x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增，所以()()()03,()1e g x g g x g ==-==-极小值极大值，又22333324x x x ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭0，所以()0g x <恒成立，所以()g x 的图象大致如图所示，由图可知，方程()02003e 3x a x x =-+-最多3个解，即过点()()1,P a a ∈R 的切线最多有3条，即n 的最大值为3，此时3e a -<<-.故答案为：()3,e --.【对点训练19】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()321113f x x f x '=++，其导函数为()f x '，则曲线()f x 过点()3,1P 的切线方程为______．【答案】1y =或38y x =-【解析】设切点为()00,M x y ，由()()321113f x x f x '=++，得()()221f x x f x ''=+，∴()()1121f f ''=+，得()11f '=-，∴()32113f x x x =-+，()22f x x x '=-，∴切点M 为320001,13x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()20002f x x x '=-，∴曲线()f x 在点M 处的切线方程为()()322000001123y x x x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭①，又∵该切线过点()3,1P ，∴()()3220000111233x x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭，解得00x=或03x =．将00x =代入①得切线方程为1y =；将03x =代入①得切线方程为()133y x -=-，即38y x =-．∴曲线()f x 过点()3,1P 的切线方程为1y =或38y x =-．故答案为：1y =或38y x =-方向3、公切线【对点训练20】（2024·云南保山·统考二模）若函数()4ln 1f x x =+与函数()()2120g x x x a a=->的图象存在公切线，则实数a 的取值范围为（）A ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由函数()4ln 1f x x =+，可得()4f x x'=，因为0a >，设切点为(),4ln 1t t +，则()4f t t'=，则公切线方程为()44ln 1y t x t t --=-，即44ln 3y x t t =+-，与212y x x a =-联立可得21424ln 30x x t a t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，所以()2412434ln 0t t a ⎛⎫∆=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，整理可得221134ln t a t⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，又由00a t >⎧⎨>⎩，可得34ln 0t ->，解得340e t <<，令()22134ln t h t t⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，其中340e t <<，可得()()2424ln 1134ln t t t t t h t t +-⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭'=-，令()4ln 1t t t ϕ=+-，可得()410t t ϕ'=+>，函数()t ϕ在340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()10ϕ=，当01t <<时，()0t ϕ<，即()0h t '<，此时函数()h t 单调递减，当341t e <<时，()0t >φ，即()0h t '>，此时函数()h t 单调递增，所以()()min 13h t h ==，且当0t +→时，()h t →+∞，所以函数()h t 的值域为[)3,+∞，所以13a≥且0a >，解得103a <≤，即实数a 的取值范围为1(0,]3.故选：A.【对点训练21】（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线1(1)1y k x =+-与曲线e x y =相切，直线21)1(y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为___________.【答案】1【解析】设()x f x e =，则()e x f x '=，设切点为11(,)x y ，则11e xk =，则切线方程为111e ()x y y x x -=-，即111e e ()x xy x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以1111e e (1)x x x --=--，所以11e 1xx =，设()ln g x x =，则1()g x x'=，设切点为22(,)x y ，则221k x =，则切线方程为2221()y y x x x -=-，即2221ln ()y x x x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以22211ln (1)x x x --=--，所以22ln 1x x =，则12,x x 是函数()f x e x =和()ln g x x =的图象与曲线1y x=交点的横坐标，易知()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，而曲线1y x=也关于直线y x =对称，因此点1122(,),(,)x y x y 关于直线y x =对称，从而12e xx =，12ln x x =，所以1122e 1x k k x ==．故答案为：1.【对点训练22】（2024·河北邯郸·统考三模）若曲线e x y =与圆22()2x a y -+=有三条公切线，则a 的取值范围是____．【答案】()1,+∞【解析】曲线e x y =在点()00,x y 处的切线方程为()000e e x xy x x -=-，由于直线()000e ex x y x x -=-与圆()222x a y -+=*）因为曲线e x y =与圆()222x a y -+=有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，即方程()()0220e122x x a ---=有三个不相等的实数根.令()()()22e12xg x x a =---，则曲线()y g x =与直线2y =有三个不同的交点.显然，()()()22e21xg x x a x a '=---+.当(),1x a ∈-∞-时，()0g x '>，当()1,2x a a ∈-+时，()0g x '<，当()2,x a ∈++∞时，()0g x '>，所以，()g x 在(),1a -∞-上单调递增，在()1,2a a -+上单调递减，在()2,a ++∞上单调递增；且当x →-∞时，()()22120e xx a g x ----=→，当x →+∞时，()()()22e12xg x x a =---→+∞，因此，只需()()1222g a g a ⎧->⎪⎨+<⎪⎩，即()()2122e 1-e2a a -+⎧>⎪⎨<⎪⎩，解得1a >.故答案为：()1,+∞【对点训练23】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线21:()C f x x a =+和曲线2:()2ln C g x x =恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,)-+∞【解析】由题意得2()2,()(0)f x x g x x x''==>，设与曲线2()f x x a =+相切的切点为()211,x x a +，与曲线()2ln g x x =相切的切点为()22,2ln x x ，则切线方程为()21112y x x x x a =-++，即2112y x x x a =-+，()22222ln y x x x x =-+，即2222ln 2y x x x =+-，由于两切线为同一直线，所以1221222,2ln 2x x x a x ⎧=⎪⎨⎪-+=-⎩，得()21112ln 20a x x x =-->．令2()2ln 2(0)x x x x ϕ=-->，则22(1)(1)()2x x x x x xϕ+-'=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,1)单调递减，当1x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 在(1,)+∞单调递增．即有1x =处()ϕx 取得极小值，也为最小值，且为(1)1ϕ=-．又两曲线恰好存在两条公切线，即()a x ϕ=有两解，结合当0x →时，2x 趋近于0，ln x 趋于负无穷小，故()ϕx 趋近于正无穷大，当x →+∞时，2x 趋近于正无穷大，且增加幅度远大于ln x 的增加幅度，故()ϕx 趋近于正无穷大，由此结合图像可得a 的范围是(1,)-+∞，故答案为：(1,)-+∞【对点训练24】（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知曲线21:()C f x x =与曲线()12:e (0)x C g x a a +=>有且只有一条公切线，则=a ________．【答案】34e 【解析】设曲线()yf x =在1x x =处的切线与曲线()yg x =相切于2x x =处，()2f x x '=，故曲线()y f x =在1x x =处的切线方程为21112()y x x x x -=-，整理得2112y x x x =-.()1e x g x a +'=，故曲线()y g x =在2x x =处的切线方程为()22112e e x x y a a x x ++-=-，整理得()22112ee 1x x y a x a x ++=--.故()()()2211121212e 2e 1x x x a x a x ++⎧=⎪⎨-=--⎪⎩由(1)再结合0a >知1>0x ，将(1)代入(2)，得21122(1)x x x -=--，解得122(1)x x =-且21x >，将122(1)x x =-代入(1)，解得()21241e x x a +-=且21x >，即()22141e x x a +-=且21x >，令21t x =+，则()42e tt a -=，2t >.令()()42ett h t -=，()()43ett h t ='-，则()h t 在区间(2,3)单调递增，在区间(3,)+∞单调递减，且()343e h =，又两曲线有且只有一条公切线，所以()42e tt a -=只有一个根，由图和0a >知34e a =.故答案为：34e .【对点训练25】（2024·福建南平·统考模拟预测）已知曲线ln y a x =和曲线2y x =有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l ，则l 的方程为________．【答案】2e e 0y --=【解析】设曲线()ln g x a x =和曲线2()f x x =在公共点00(,)x y 处的切线相同，则()()2,af x xg x x''==，由题意知()()()()0000,f x g x f x g x ''==，即002002ln a x x x a x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得0e ,2e a x ==故切点为(e,e)，切线斜率为()02e k f x '==，所以切线方程为e 2e(e)y x -=，即2e e 0x y --=，故答案为：2e e 0y --=方向4、已知切线求参数问题【对点训练26】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线，则a 的范围是______.【答案】(),e -∞【解析】设切线切点为()00,x y ，因()000ln ln 1ln x x x y x x '⎧=+⎪⎨=⎪⎩，则切线方程为：()()()00000011ln ln ln y x x x x x x x x =+-+=+-.因过()e,a ，则()001ln e -a x x =+，由题函数()()1ln e -f x x x =+图象与直线y a =有两个交点.()1e e --x f x x x'==，得()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减.又()()max e e f x f ==，()0,x f x →→-∞，(),x f x ∞∞→+→-.据此可得()f x 大致图象如下.则由图可得，当(),e a ∈-∞时，曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线.故答案为：(),e -∞【对点训练27】（2024·山东聊城·统考三模）若直线y x b =+与曲线e x y ax =-相切，则b 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．e【答案】B【解析】设切点坐标为()00,x y ，因为e x y ax =-，所以e x y a '=-，故切线的斜率为：0e 1x a -=，0e 1x a =+，则()0ln 1x a =+.又由于切点()00,x y 在切线y x b =+与曲线e x y ax =-上，所以000e xx b ax +=-，所以()()()()01111ln 1b a x a a a ⎡⎤=+-+=+-+⎣⎦.令1a t +=，则()1ln b t t =-，设()()1ln f t t t =-，()1()1ln ln f t t t t t ⎛⎫=-+⋅-=- ⎪⎝⎭'，令()0f t '=得：1t =，所以当()0,1t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数；当()1,t ∈+∞时，()0f t '<，()f t 是减函数.所以max ()(1)1f t f ==.所以b 的最大值为：1.故选：B.【对点训练28】（2024·重庆·统考三模）已知直线y ＝ax －a 与曲线ay x x=+相切，则实数a ＝（）A ．0B ．12C ．45D ．32【答案】C 【解析】由a y x x =+且x 不为0，得21a y x'=-设切点为()00,x y ，则00000201y ax a a y x x a ax ⎧⎪=-⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，即0002201a ax a x x x a x ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，所以320022200000111x x x x x x x +-+++=，可得042,5x a =-=.故选：C【对点训练29】（2024·海南·校联考模拟预测）已知偶函数()()2131f x a x bx c d =--+--在点()()1,1f 处的切线方程为10x y ++=，则a bc d-=-（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】因为()f x 是偶函数，所以()()()2131f x a x bx c d f x -=-++--=，即0b =；由题意可得：()()113111f a b c d c d a a b =--+--=-+⇒-=-=-+，所以1a bc d-=--.故选：A【对点训练30】（2024·全国·高三专题练习）已知M 是曲线21ln 2y x x ax =++上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．[)1,-+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞-【答案】B【解析】函数21ln 2y x x ax =++的定义域为()0,∞+，且1y x a x'=++，因为曲线21ln 2y x x ax =++在其上任意一点M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以，1πtan 14y x a x '=++≥=对任意的0x >恒成立，则11a x x-≤+，当0x >时，由基本不等式可得12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以，12a -≤，解得1a ≥-.故选：B.【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知0m >，0n >，直线11ey x m =++与曲线ln 2y x n =-+相切，则11m n+的最小值是（）A ．16B ．12C ．8D ．4【答案】D【解析】对ln 2y x n =-+求导得1y x'=，由11e y x '==得e x =，则1e 1ln e 2em n ⋅++=-+，即1m n +=，所以()11112224n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n ==时取等号．故选：D ．方向5、切线的条数问题【对点训练32】（2024·河北·高三校联考阶段练习）若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（）A ．2log m n >B ．2log n m>C ．2log m n<D ．2log n m<【答案】B【解析】作出函数2log y x =的图象，由图象可知点(,)m n 在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，所以2log n m >，故选：B．【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（）A ．ln a b <B ．ln b a<C ．ln b a<D ．ln a b<【答案】D【解析】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，001ln ab x x +=+，设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x =+有两个不同的交点，221()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >.故选：D.【对点训练34】（2024·湖南·校联考二模）若经过点(),a b 可以且仅可以作曲线ln y x =的一条切线，则下列选项正确的是（）A ．0a ≤B ．ln b a=C ．ln a b=D ．0a ≤或ln b a=【答案】D【解析】设切点()00,ln P x x ．因为ln y x =，所以1y x'=，所以点P 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又因为切线经过点(),a b ，所以()0001ln b x a x x -=-，即001ln a b x x +=+.令()ln (0)a f x x x x =+>，则1y b =+与()ln (0)af x x x x=+>有且仅有1个交点，()221a x a f x x x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 单调递增，显然x →+∞时，()f x →+∞，于是符合题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，()f x 递减，当x a >时，()0f x ¢>，()f x 递增，所以()min ()ln 1f x f a a ==+，则1ln 1b a +=+，即ln b a =．综上，0a ≤或ln b a =．故选：D方向6、切线平行、垂直、重合问题【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x x =+与2()1x mg x x -=-的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线21y x =+平行，则实数m =（）A ．178B ．176C ．174D ．172【答案】A【解析】设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，因为1()1f x x'=+，所以001()12f x x '=+=，得01x =，所以00()(1)1y f x f ===，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，设函数()21x mg x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，因为222(1)(2)2()(1)(1)x x m m g x x x ----'==--，所以1212()2(1)m g x x -'==-，即211244m x x =-+，又11111221()1x m y x g x x -=-==-，即211251m x x =-+-，所以221111244251x x x x -+=-+-，即2114950x x -+=，解得154x =或11x =（舍），所以25517244448m ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭．故选：A【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）已知直线980x y --=与曲线32:3C y x px x =-+相交于,A B ，且曲线C 在,A B 处的切线平行，则实数p 的值为（）A ．4B ．4或-3C ．-3或-1D ．-3【答案】B【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由323y x px x =-+得2323y x px =-+'，由题意221122323323x px x px -+=-+，因为12x x ≠，则有1223x x p +=．把89x y -=代入323y x px x =-+得32992680x px x -++=，由题意112,3x p x -都是此方程的解，即32111992680x px x -++=①，321112229()9()26()80333p x p p x p x ---+-+=，化简为32311145299268033x px x p p -++--=②，把①代入②并化简得313120p p --=，即(1)(3)(4)0p p p ++-=，1,3,4p =--，当1p =-时，①②两式相同，说明12x x =，舍去．所以3,4p =-．故选：B ．【对点训练37】（2024·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知曲线()e 1(1)x f x x =->-在点()()()()()112212,,,A x f x B x f x x x <处的切线12,l l 互相垂直，且切线12,l l 与y 轴分别交于点,D E ，记点E 的纵坐标与点D 的纵坐标之差为t ，则（）A ．220et -<<B ．22e 0t -<<C ．22et <-D ．2e 2t >-【答案】A【解析】由题意知12x x <，当10x -<<时，()()1e ,e x xf x f x '=-=-，当0x >时，()()e 1,e x xf x f x =-'=，因为切线12,l l 互相垂直，所以()()121f x f x ''=-，所以12121210,e e e 1x x x xx x +-<<<-=-=-，所以1220,01x x x +=∴<<，直线1l 的方程为()()1111e e x x y x x --=--，令0x =，得()111e 1xy x =-+，故()()110,1e 1xD x -+，直线2l 的方程为()()222e 1e x x y x x --=-，令0x =，得()221e 1xy x =--，故()()220,1e 1xE x --，所以()()()()212221221e 1e 21e 1e 2x x x xt x x x x -=----=-++-，设()()()1e 1e 2,(01)x xg x x x x -=-++-<<，则()()e e 0x x g x x -'=-+<，()g x 在()0,1上单调递减，所以()()1()0g g x g <<，即220et -<<，故选：A.【对点训练38】（2024·全国·高三专题练习）若函数()sin f x ax x =+的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数a 的值是（）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】C【解析】因为()sin f x ax x =+，所以()cos f x a x '=+，因为函数()sin f x ax x =+的图象上存在两条相互垂直的切线，不妨设函数()sin f x ax x =+在1x x =和2x x =的切线互相垂直，则()()12cos cos 1a x a x ++=-，即()22121cos cos 1cos cos 0a a x x x x ++++=①，因为a 一定存在，即方程①一定有解，所以()()22121cos cos 41cos cos 0x x x x ∆=+-+≥，即()212cos cos 4x x -≥，解得12cos cos 2x x -≥或12cos cos 2x x -≤-，又|cos |1x ≤，所以12cos 1,cos 1x x ==-或12cos 1,cos 1x x =-=，Δ0=，所以方程①变为20a =，所以0a =，故A ，B ，D 错误.故选：C.【对点训练39】（2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数()y f x =的图像上存在两个不同的点,P Q ，使得在这两点处的切线重合，则称()f x 为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（）A ．421y x x =-+B ．sin y x =C ．cos y x x =+D ．2sin y x x=+【答案】D【解析】对于A ，()421f x x x =-+显然是偶函数，()'32242422f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当x <时，()'0f x <，单调递减，当0x <<时，()'0f x >单调递增，当02x <<时，()'0f x <，单调递减，当2x >时，单调递增；在2x =时，()'0f x =，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A 是“切线重合函数”；对于B ，()sin f x x =是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B 是“切线重合函数”；对于C ，考察()(),1,3,31A B ππππ--两点处的切线方程， '1sin y x =-，,A B ∴两点处的切线斜率都等于1，在A 点处的切线方程为()()11y x ππ--=- ，化简得：1y x =+，在B 点处的切线方程为()()3113y x ππ--=- ，化简得1y x =+，显然重合，∴C 是“切线重合函数”；对于D ，'2cos y x x =+，令()2cos g x x x =+，则()'2sin 0g x x =->，()g x 是增函数，不存在12x x ≠时，()()12g x g x =，所以D 不是“切线重合函数”；故选：D.【对点训练40】（2024·全国·高三专题练习）已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩，图象上不同的两点，若函数()y f x =在点A 、B 处的切线重合，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当0x ≤时，()2f x x x a =++的导数为()21f x x '=+；当0x >时，()ln f x x x a =-的导数为()ln 1f x x '=+，设()()11,A x f x ，()()22,B x f x 为函数图象上的两点，且12x x <，当120x x <≤或120x x <<时，12()()f x f x ''≠，故120x x ≤<，当10x ≤时，函数()f x 在()()11,A x f x 处的切线方程为：21111()(21)()y x x a x x x -++=+-；当20x >时，函数()f x 在()()22,B x f x 处的切线方程为2222ln (ln 1)().y x x a x x x -+=+-两直线重合的充要条件是21ln 121x x +=+①，221x a a x --=-②，由①②得：12211(e )2xa x =-，10x ≤，∴令221()(e )(0)2x g x x x =-≤，则2()e x g x x '=-，令2()()e x h x g x x '==-，则2()12e x h x '=-，由()0h x '=，得11ln 22x =，即11ln 22x =时()h x 有最大值11111(ln )ln 022222h =-<，()g x ∴在(],0-∞上单调递减，则1()(0)2g x g ≥=-.∴a 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B.方向7、最值问题【对点训练41】（2024·全国·高三专题练习）设点P 在曲线1e x y +=上，点Q 在曲线1ln y x =-+上，则||PQ 最小值为（）A B ．C 2)ln +D 2)ln -【答案】B【解析】1e x y += 与1ln y x =-+互为反函数，其图像关于直线y x =对称先求出曲线1e x y +=上的点到直线y x =的最小距离．设与直线y x =平行且与曲线1e x y +=相切的切点0(P x ，0)y ．1e x y +'=，01e 1x +=，解得01x =-．110e 1y -+∴==．得到切点(1,1)P -，点P 到直线y x =的距离d =||PQ ∴最小值为故选：B ．【对点训练42】（2024·全国·高三专题练习）设点P 在曲线2e x y =上，点Q 在曲线1ln 2y x =上，则||PQ 的最小值为（）A ln 2)2-B ln 2)-C ln 2)+D ．(1ln 2)2+【答案】D【解析】2e x y =与1ln 2y x =互为反函数，它们图像关于直线y x =对称；故可先求点P 到直线y x =的最近距离d ，又22e x y '=，当曲线上切线的斜率022e 1x k ==时，得01ln 22x =-，0201e 2xy ==，则切点11ln 2,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y x =的距离为ln 2)4d =+，所以||PQ 的最小值为2ln 2)d =+．故选：D ．【对点训练43】（2024·全国·高三专题练习）设点P 在曲线2e x y =上，点Q 在曲线ln ln 2y x =-上，则||PQ 的最小值为（）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．2(1ln 2)+D ln 2)+【答案】D【解析】2e x y = 与ln ln 2y x =-互为反函数，所以2e x y =与ln ln 2y x =-的图像关于直线y x =对称，设()2()x f x e x x R =-∈，则()2e 1x f x '=-，令()0f x '=得1ln 2x =，则当1ln2x <时，()0f x '<，当1ln 2x >时，()0f x '>，所以()f x 在1(,ln )2-∞单调递减，在1(ln ,)2+∞单调递增，所以11()(ln )1ln 022f x f ≥=->，所以2e x y =与y x =无交点，则ln ln 2y x =-与y x =也无交点，下面求出曲线2e x y =上的点到直线y x =的最小距离，设与直线y x =平行且与曲线2e x y =相切的切点0(P x ，0)y ，2e x y '= ，02e 1x ∴=，解得01ln ln 22x ==-，1ln202e1y ∴==，得到切点(ln 2,1)P -，到直线y x =的距离ln 2)2d +==，||PQ的最小值为2ln 2)d +，故选：D ．【对点训练44】（2024·全国·高三专题练习）已知实数a ，b ，c ，d 满足|ln(1)||2|0a b c d --+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（）A ．B ．8C ．4D ．16。

高三数学第一轮复习函数与导数

【高手支招】求曲线的切线方程时要注意过某点的切线问题中此点不一定是切点，此点也可能不在曲线上，所以要先判断再去解决，切忌盲目地认为给出点就是切点．

[关键要点点拨] 1．函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与 “过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f(x) 在点P(x0， y0)处的切线是指 P 为切点，切线斜率为 k ＝ f′(x0) 的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)若 f(x)＝xex，则 f′(1)＝ A．0 C．2e B．e D．e2 ( )
C [∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.]
2．曲线 y＝xln x 在点(e，e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直，则实数 a 的值为 A．2 1 C.2 B．－2 1 D．－2 ( )

1 1 (2)(2014· 乌鲁木齐诊断性测验)直线 y＝2x＋b 与曲线 y＝－2x＋ln x 相切，则 b 的值为 A．－2 1 C．－2 B．－1 D．1 ( )
B
1 设切点的坐标为a，－2a＋ln
a，依题意，对于曲线
1 y＝－2x
1 1 ＋ln x，有 y′＝－2＋x ， 1 1 1 所以－2＋a＝2，得 a＝1.

年高考第一轮复习数学资料导数的概念与运算

※第十四章导数●网络体系总览 ●考点目标位定位要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.（2）熟记基本求导公式〔C ，x m （m 为有理数），sin x ,cos x ,e x ,a x ,ln x ,log a x 的导数〕，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.●复习方略指南深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键.1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础.2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.导数的概念与运算●知识梳理1.导数的概念：（1）如果当Δx →0时，xy∆∆有极限，我们就说函数y =f （x ）在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ′（x 0），即f ′（x 0）=lim →∆xx y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00. （2）如果函数f （x ）在开区间（a ,b ）内每一点都可导，就说f （x ）在开区间（a ,b ）内可导.这时对于开区间（a ,b ）内每一个确定的值x 0,都对应着一个确定的导数f ′（x 0）,这样就在开区间（a ,b ）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f （x ）在开区间（a ,b ）内的导函数，记作f ′（x ）,即f ′（x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数.2.导数的几何意义：函数y =f （x ）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y =f （x ）在点P （x 0,f （x 0））处的切线的斜率.3.几种常见的导数：C ′=0（C 为常数）;（x n ）′=nx n －1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ;（e x ）′=e x ; （a x ）′=a x ln a ;（ln x ）′=x 1;（log a x ）′=x1log a e.4.导数的四则运算法则：设u 、v 是可导函数，则（u ±v ）′=u ′±v ′;（uv ）′=u ′v +uv ′;（vu）′=2vv u v u '-' （v ≠0）. 特别提示f （x ）在x =x 0处的导数f ′（x 0）的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义：f ′（x 0）是函数f （x ）的导函数f ′（x ）当x =x 0时的函数值.●点击双基1.在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx ∆∆为 A.Δx +x ∆1+2 B.Δx －x∆1－2 C.Δx +2 +Δx －x∆1解析: y x ∆∆=xx ∆+-+∆+)11(1)1(2=Δx +2.答案:C2.设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+A.与x 0,h 都有关B.仅与x 0有关而与h 无关C.仅与h 有关而与x 0无关D.与x 0、h 均无关答案:B3.设f （x ）=ax 3+3x 2+2,若f ′（－1）=4,则a 的值等于A.319 B.316C.313 D.310 解析:f ′（x ）=3ax 2+6x ,f ′（－1）=3a －6=4,所以a =310.答案:D4.函数y =x 2的曲线上点A 处的切线与直线3x －y +1=0的夹角为45°,则点A 的坐标为___________.解析:设点A 的坐标为（x 0,y 0）,则y ′|x =x 0=2x |x =x 0=2x 0=k 1,又直线3x －y +1=0的斜率k 2=3. ∴tan45°=1=|1|||1212k k k k ++-=|006123x x +-|.解得x 0=41或x 0=－1.∴y 0=161或y 0=1,即A 点坐标为（41，161）或（－1，1）. 答案:（41，161）或（－1，1）●典例剖析【例1】若f ′（x 0）=2,求0lim →k kx f k x f 2)()(00--.剖析:根据导数的定义.解:f ′（x 0）= 0lim→k kx f k x f ---+)()]([00（这时Δx =－k ）.∴0lim →k kx f k x f 2)()(00--=0lim →k ［－21·kx f k x f ---)()(00］=－21·0lim →k k x f k x f ---)()(00=－21f ′（x 0）=－1.评述:注意f ′（x 0）= 0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00中Δx 的形式的变化,在上述变化中可以看到Δx =－k ,k →0⇒－k →0,∴f ′（x 0）= 0lim→k k x f k x f 3)()3(00---,还可以写成f ′（x 0）= 0lim →k kx f k x f 3)()3(00---或f ′（x 0）=∞→k lim ［f （x 0+k1）－f （x 0）］等.【例2】若f （x ）在R 上可导，（1）求f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数的关系；（2）证明：若f （x ）为偶函数，则f ′（x ）为奇函数.剖析:（1）需求f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数；（2）求f ′（x ），然后判断其奇偶性.（1）解:设f （－x ）=g （x ）,则g ′（a ）= 0lim→∆x x a g x a g ∆-∆+)()(=0lim →∆x xa f x a f ∆--∆--)()( =－0lim →∆-x xa f x a f ∆---∆--)()(=－f ′（－a ）.∴f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数互为相反数. （2）证明:f ′（－x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆--∆+-)()(=0lim→∆x xx f x x f ∆--∆-)()(=－0lim →∆x xx f x x f ∆--∆-)()(=－f ′（x ）. ∴f ′（x ）为奇函数.评述:用导数的定义求导数时，要注意Δy 中自变量的变化量应与Δx 一致.（2）中若f （x ）为奇函数，f ′（x ）的奇偶性如何？【例3】求下列函数的导数：（1）y =x 2sin x ;（2）y =ln （x ＋21x +）;（３）y =1e 1e -+x x ;（４）y =xx xx sin cos ++.解:（1）y ′=（x 2）′sin x ＋x 2（sin x ）′=2x sin x ＋x 2cos x . （2）y ′=211x x ++·（x ＋21x +）′=211x x ++（1＋21xx+）=211x+.（３）y ′=2)1e ()1e )(1e ()1e ()1e (-'-+--'+x x x x x=2)1(e e 2--x x . （4）y ′=2)sin ()sin )(cos ()sin ()cos (x x x x x x x x x x +'++-+'+=2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+- =2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x +--+--.思考讨论函数f （x ）在点x 0处是否可导与是否连续有什么关系？夯实基础1.（2004年全国Ⅱ,文3）曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 =3x －4 =－3x +2 =－4x +3 =4x －5 解析:y ′=3x 2－6x ,∴y ′|x =1=－3.∴在（1,－1）处的切线方程为y +1=－3（x －1）. 答案:B2.（2004年全国Ⅳ,文4）函数y =（x +1）2（x －1）在x =1处的导数等于解析:y ′|x =1=［（x 2+2x +1）（x －1）］′|x =1=［x 3+x 2－x －1］′|x x =1=（3x 2+2x －1）| x =1=4. 答案:D3.（2004年湖北,文3）已知函数f （x ）在x =1处的导数为3,则f （x ）的解析式可能为（x ）=（x －1）2+3（x －1）（x ）=2（x －1）（x ）=2（x －1）2 （x ）=x －1 答案:A4.（2004年重庆,理14）曲线y =2－21x 2与y =41x 3－2在交点处的切线夹角是__________.（以弧度数作答）解析:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=242232x y x y 得x 3+2x 2－16=0,（x －2）（x 2+4x +8）=0,∴x =2.∴两曲线只有一个交点.∵y ′=（2－21x 2）′=－x ,∴y ′|x =2=－2.又y ′=（43x －2）′=43x 2,∴当x =2时,y ′=3.∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3, |3)2(132⨯-+--|=1.∴夹角为4π.答案:4π5.设f （x ）在x =1处连续，且f （1）=0,1lim→x 1)(-x x f =2,求f ′（1）. 解:∵f （1）=0, 1lim→x 1)(-x x f =2,∴f ′（1）= 0lim →∆x xf x f ∆-∆+)1()1(=1lim →x 1)1()(--x f x f =1lim →x 1)(-x x f =2. 6.设函数y =ax ３＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －４=0.若函数在x =2处取得极值0，试确定函数的解析式.解:∵y =ax 3+bx 2+cx +d 的图象与y 轴的交点为P ，∴P 的坐标为P （0,d ）.又曲线在点P 处的切线方程为y =12x －４，P 点坐标适合方程，从而d =－４.又切线斜率k =12，故在x =0处的导数y ′｜x =0=12,而y ′=３ax 2＋2bx ＋c ，y ′｜x =0=ｃ，从而 c =12.又函数在x =2处取得极值0，所以 y ′｜x =2=0, f （2）=0,即 12a ＋４b ＋12=0, ８a ＋４b ＋20=0. 解得a =2，b =－9.∴所求函数解析式为y =2x 3－9x 2＋12x －４. 培养能力7.已知函数f （x ）=e －x （cos x +sin x ）,将满足f ′（x ）=0的所有正数x 从小到大排成数列｛x n ｝.求证：数列｛f （x n ）｝为等比数列.证明:f ′（x ）=－e －x （cos x +sin x ）+e －x （－sin x +cos x ）=－2e －x sin x , 由f ′（x ）=0,即－2e －x sin x =0,解得x =n π,n ∈Z .从而x n =n π（n =1,2,3…）,f （x n ）=（－1）n e －πn . 所以)()(1n n x f x f +=－e －π.所以数列｛f （x n ）｝是公比q =－e －π的等比数列. 8.已知函数f （x ）=ln （e x +a ）（a ＞0）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）及f （x ）的导数f ′（x ）;（2）假设对任意x ∈［ln （3a ）,ln （4a ）］，不等式|m －f －1（x ）|+ln （f ′（x ））＜0成立，求实数m 的取值范围.解:（1）由y =f （x ）=ln （e x +a ），得x =ln （e y －a ），所以y =f －1（x ）=ln （e x －a ）（x ＞ln a ）.f ′（x ）=［ln （e x+a ）］′=ax x +e e .（2）由|m －f －1（x ）|+ln （f ′（x ））＜0,得ln （e x －a ）－ln （e x +a ）+x ＜m ＜ln （e x －a ）+ln （e x +a ）－x .设ϕ（x ）=ln （e x －a ）－ln （e x +a ）+x , ϕ（x ）=ln （e x －a ）+ln （e x +a ）－x ,于是原不等式对于x ∈［ln （3n ）,ln （4a ）］恒成立.等价于ϕ（x ）＜m ＜ϕ（x ）.（*）由ϕ′（x ）=a x x -e e －ax x+e e +1,ϕ′（x ）= a xx -e e +ax x+e e －1,注意到0＜e x －a ＜e x ＜e x +a . 故有ϕ′（x ）＞0, ϕ′（x ）＞0,从而ϕ（x ）、ϕ（x ）均在［ln （3a ）,ln （4a ）］上单调递增,因此不等式（*）成立当且仅当ϕ（ln （4a ））＜m ＜ϕ（ln （3a ））,即ln （512a ）＜m ＜ln （38a ）.探究创新 9.利用导数求和：（1）S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1（x ≠0,n ∈N *）.（2）S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n （n ∈N *）.解:（1）当x =1时，S n =1+2+3+…+n =2n （n +1）,当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n=xx x n --+11,两边对x 求导，得S n =1+2x +3x 2+…+nxn －1=(x x x n --+11)=21)1()1(1x nx x n n n -++-+.（2）∵（1+x ）n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n,两边对x 求导，得n （1+x ）n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n x n －1. 令x =1,得n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n , 即S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n =n ·2n －1. ●思悟小结1.求函数y =f （x ）在点x 0处的导数通常有以下两种方法：（1）导数的定义，即求0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00的值.（2）利用导函数的函数值,即先求函数f （x ）在开区间（a ,b ）内的导函数f ′（x ）,再将x 0（x 0∈（a ,b ））代入导函数f （x ）,得函数值f ′（x 0）.2.求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量.（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数.（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.3.本单元重点体现了极限思想、函数思想及等价转化的思想，在学习过程中应用心体会.●教师下载中心教学点睛1.在该节教学中要重视对导数的概念、导数的几何意义的理解，注重对导数基本公式的熟练运用.2.可补充导数的另一种定义形式：f ′（x 0）=0lim x x →00)()(x x x f x f --.拓展题例【例题】讨论函数f （x ）=⎩⎨⎧>+≤+)0(1),0(12x x x x 在x =0处的可导性. 解:函数f （x ）在x =0处是否可导，即xf x f ∆-∆+)0()0(当Δx →0时的极限是否存在.∵+→∆0lim x xf x f ∆-∆+)0()0(=+→∆0lim x xx ∆-+∆11 =1, =-→∆0lim x xx ∆-+∆11)(2 =0, 又∵+→∆0lim x x f x f ∆-∆+)0()0(≠-→∆0lim x xf x f ∆-∆+)0()0(,∴x f x f ∆-∆+)0()0(当Δx →0时的极限不存在，因此f （x ）在x =0处不可导.。

高考数学(导数)第一轮复习

高考数学（导数）第一轮复习资料知识小结一.导数的概念与运算⒈导数的概念：⑴曲线的切线；⑵瞬时速度；⑶导数的概念及其几何意义．○1．设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m )(0000/()()000l i m x x x f x f x x --=→ ○2函数)(x f y =的导数)('x f ，就是当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆的极限，即 xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00． ○3函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率．⒉常用的导数公式：⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；⑶x x cos )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=；⑸*x x x 22sec cos 1)'(tan ==； ⑹*x xx 22csc sin 1)'(cot -==； ⑺x x e e =)'(； ⑻a a a x x ln )'(=； ⑼x x 1)'(ln =； ⑽e xx a a log 1)'(log =．⒊导数的运算法则：⑴两个函数四则运算的导数：①'')'(v u v u ±=±； ②'')'(uv v u uv +=； ③)0(''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv v u v u ． ⑵复合函数的导数：x u x u y y '·''=．二.导数的应用1、函数的单调性（1）如果非常数函数y =)(x f 在某个区间内可导，那么若)('x f ≥0)(x f ⇔为增函数；若)('x f ≤0⇔)(x f 为减函数.（2）若)('x f ≡0则)(x f 为常数函数.2、函数的极值（1）极值定义如果函数)(x f 在点0x 附近有定义，而且对0x 附近的点，都有)(x f <)(0x f 我们就说)(0x f 是函数的一个极大值，记作极大值y =)(0x f ；)(x f 在点0x 附近的点，都有)(x f >)(0x f 我们就说)(0x f 函数的一个极小值，记作极小值y =)(0x f ；极大值与极小值统称为极值。

高考数学-2020一轮-导数

总结：
等级（SR）
【例 2.2】若函数 f ( x) = x − 13 sin 2x + a sin x 在 (−∞, +∞) 单调递增，则 a
发现点：
等级（SR）
【例
5.2.4】已知函数
f
(x)
=
x
−
1 x
−
a
ln
x
，讨论
f
(x)
的单调性
等级（SR）
【例
5.3.1】已知
f
(x)
=a(x
−
ln
x)
+
2x −1 x2
，
a
∈
R
讨论
f
(x)
的单调性；
总结：
2020高考数学一轮
69
2020 高考数学一轮
数学一轮复习讲义（上）
发现点：
等级 (R)
【例 5.4.1】已知函数 f ( x)= ae2x + (a − 2) ex − x ，讨论 f ( x) 的单调性
y = xex
y = x ln x
y=
x ex
y
=
lnx x
y
=
ex x
y
=
x lnx
新浪微博 @ 凉学长高考数学老师 QQ：406454352
发现点：
四、无参证明题
等级（R）
【例 4.1】 x > 0 时， g ( x) =
ex
−
1 2
x2
−
x
−1 恒大于
0
总结：
2020高考数学一轮
(ln
x) '
=
1 x

高三数学一轮复习讲义专题60 导数的概念和公式

专题60 导数的概念和公式考纲导读：考纲要求:了解导数概念的某些实际背景;理解导数的几何意义;掌握函数y c = (c 为常数),()n y x n N +=∈的导数公式,会求多项式函数的导数;理解可导函数的单调性与其导数的关系；考纲解读: 导数是研究函数的重要工具,借助导数,对可导函数的单调性能进行透彻的分析,为求函数的极值、最值提供一种简单、快捷的方法.考点精析：考点1、导数概念此类题一般为容易题，高考中多以选择题、填空题形式出现. 【考例1】物体在地球上作自由落体运动时，下落距离212S gt =其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1)limt S t S V t∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是（）A.0～1s 时间段内的速率为9.8/m sB.在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m sC.在1s 末的速率为9.8/m sD.若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率．解题思路：本题考查导数意义的理解，0lim →∆t tS t S ∆-∆+)1()1(中的△t 可正可负.正确答案：0(1)(1)limt S t S V t∆→+∆-=∆9.8/m s =，则在1s 末的速率为9.8/m s ,故应选C.回顾与反思：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度.知识链接：如果物体的运动规律是s =s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t +Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v =tt s t t s t s t t ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00.【考例2】 (·湖北文)半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1， ○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第三章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第三章§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x＝x 0处的导数记作或 .f ′(x 0)0|x x y ＝(2)函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝___f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝_______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______0αx α－1cos x －sin x a x ln a基本初等函数导函数e xf(x)＝e x f′(x)＝____ f (x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝；[f (x )g (x )]′＝；f ′(x )±g ′(x )[cf (x )]′＝.f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x y′u·u′x＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(e －x )′＝－e －x .( )√×××2.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√4.(选择性必修第二册P82T11改编)设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为 .∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax，∴在点(0,1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝2a e0＝2a，又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直，返回第二部分探究核心题型题型一　导数的运算例1　(1)(多选)下列求导正确的是√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；√思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1　(多选)下列命题正确的是A.若f(x)＝x sin x－cos x，则f′(x)＝sin x－x cos x＋sin x √B.设函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝eC.已知函数f(x)＝3x2e x，则f′(1)＝12e√对于选项A，f′(x)＝sin x＋x cos x＋sin x，故选项A不正确；对于选项B，f′(x)＝ln x＋1，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故选项B正确；对于选项C，f′(x)＝6x e x＋3x2e x，则f′(1)＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确；题型二　导数的几何意义命题点1　求切线方程√(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为， .先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2　求参数的值(范围)例3　(1)(2024·泸州模拟)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是√设直线y ＝kx ＋1在曲线y ＝ln x 上的切点为P (x 0，y 0)，|x x y ＝又y 0＝ln x 0，又切线方程为y＝kx＋1，(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，则a(－∞，－4)∪(0，＋∞)的取值范围是.因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝，化简，得＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，00000()e (1)e |x x x x x a y x a x +'=++=＝000(,()e )x A x x a +所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2　(1)(2023·深圳质检)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是A.2x－y－2＝0B.4x－y－4＝0√C.2x＋y－2＝0D.4x＋y－4＝0当x<0时，f(x)＝x3－x，则f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2，由f(x)为偶函数，得f′(1)＝－f′(－1)＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.(－∞，－2]∴－a≥2，即a≤－2.题型三　两曲线的公切线例4　(1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为√A.2B.5C.1D.0根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率k＝f′(a)＝－4a，又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.(2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是√对于y＝ax2有y′＝2ax，令g(x)＝2x2－x2ln x，x>0，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝，32e 当x ∈ 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32(0,e )当x ∈ 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32(e ,) 32(e )g思维升华公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3　(1)(2023·青岛模拟)若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝－34ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝ .f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，设公共切点的坐标为(x0，y0)，(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有√A.0条B.1条C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)，对于f(x)＝e x－1，有f′(x)＝e x，则直线l的斜率k＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m)，即y＝e m x＋(1－m)e m－1，。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第16讲变化率与导数、导数的计算

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第16讲变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝错误!未指定书签。

lim Δx →0ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝错误!未指定书签。

limΔx →0ΔyΔx ＝错误!未指定书签。

lim Δx →f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ． (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝错误!未指定书签。

limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin xf ′(x )＝cos__xf (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．➢考点1 导数的运算[名师点睛]对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值． 1．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．（1）sin x y e =；（2）32x y x +=+；（3）()ln 23y x =+；（4）()()2221y x x =+-；（5）cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【解】（1）因为sin x y e =，则()sin sin sin cos x x y e x e x ''=⋅=；（2）因为32x y x +=+，则()()()()()()223223122x x x x y x x ''++-++'==-++；（3）因为()ln 23y x =+，则()22213233y x x x ''=⋅+=++；（4）因为()()2221y x x =+-，则()()()()''22221221y x x x x =+++-'-()()2222122624x x x x x =-++=-+；（5）因为cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故2sin 22sin 2333y x x x πππ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导数为()f x '，且()2(e)ln f x xf x +'=，则()e f =（）A ．1e-B ．1-C ．1D ．e 【答案】B 【解析】由()2(e)ln f x xf x +'=得1()2(e)f x f x ''=+，当e x =时，1(e)2(e)e f f ''=+，解得()1e ef '=-，所以2()ln e x f x x -=+，2e(e)ln e 1ef -=+=-. 故选：B [举一反三]1．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）下列求导运算不正确的是（） A ．()22x x '=B ．()sin cos x x '= C ．()33ln 3x x '=D ．()1e ln 3e 3x x '+=+【答案】D 【解析】对于A ：()22x x '=，故选项A 正确；对于B ：()sin cos x x '=，故选项B 正确；对于C ：()33ln 3x x '=，故选项C 正确；对于D ：()()()e ln 3e l 0n 3e e x x x x '''=++=+=，故选项D 不正确；所以求导运算不正确的是选项D ，故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x ，()g x 满足()()21,f x xg x x +=-且()11f =，则()()11f g ''+=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】取1x =，则有()()110f g +=，即(1)(1)1g f =-=-，又因为()()21,f x xg x x +=-所以()()()2f x g x xg x x ''++=，所以()()1(1)12f g g ''++=，所以()()112(1)213f g g ''+=-=+=.故选：C3．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x 满足()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++，0x >，π52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()πf 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．π 【答案】C【解析】由()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++两边同时乘x 可得： ()()()22222cos 22sin 22xf x x f x x x x x x x f x ''⎡⎤+=++=⎣⎦，又()222sin 22cos 22sin 22x x x x x x x x +++'=，因此()222sin 2x f x x x x c =++．由π52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即222πππ5sin π444c ⨯=++，可得2πc =， ∴()22πsin 21f x x x =++，∴()22sin 21π2πππf =++=．故选：C ﹒4．（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（）A ．(sin )cos x x '=B ．211()x x '=C ．31(log )3ln x x'=D ．1(ln )x x '=【答案】AD【解析】A ：(sin )cos x x '=，故正确； B ：211()x x'=-，故错误；C ：31(log )ln 3x x '=，故错误； D ：1(ln )x x'=，故正确. 故选：AD5．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：（1）y =x （x 2311x x ++）；（2）y =1）1）；（3）y =x tan x ；（4）y =x ﹣sin 2x cos 2x；（5）y =3ln x +ax （a >0，且a ≠1）.【解】解：（1）y =x （x 2311x x++）=x 3+121x +；则函数的导数y ′=3x 232x -.（2）y =1）1）=11=y ′= （3）y =x tan x sin cos x xx =，则y ′()()()222sin 'cos sin cos 'sin cos cos sin cos cos x x x x x x x x x x x x xx-++==2222sin sin cos cos xcosx xcos x xsin x x x xx cos x+++==；（4）y =x ﹣sin 1cos 222x x x =-sinx ；则y ′=112-cosx.（5）y ′3x=+ax ln a .➢考点2 导数的几何意义1．（2022·广东茂名·模拟预测）曲线()sin 2cos 1f x x x =--在点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为______．【答案】2π0x y --=【解析】()cos 2sin f x x x '=+，则曲线()y f x =在π,02⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率ππcos 2sin 222k =+=，∴切线方程为π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2π0x y --=．故答案为：2π0x y --=．2．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为__________【答案】0y =或440x y ++=【解析】点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，20x )，由f (x )＝x 2可得()'2f x x =，∴切线的斜率()'002k f x x ==.切线方程为()021y x x =+.∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝2001x x +＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0. 故答案为：0y =或440x y ++=3．（2022·河南·三模）曲线()30y x m x =+<在点A 处的切线方程为322y x m =+-，则切点A 的坐标为______．【答案】()1,3-【解析】由233y x '==，得1x =±，因为0x <，所以1x =-，则切点A 的横坐标为－1，所以()31322m m -+=-+-，解得4m =，所以A 的坐标为()1,3-．故答案为：()1,3-.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知直线l 是曲线e 1x y =-与ln 1y x =+的公共切线，则l 的方程为___________.【答案】e 1y x =-或y x =【解析】设l 与曲线e 1x y =-相切于点(),e 1aP a -，与曲线ln 1y x =+相切于点(,ln Q b b +1），则1ln e 2e a ab b b a-+==-，整理得()()1e 10aa --=，解得1a =或0a =，当1a =时，l 的方程为e 1y x =-；当0a =时，l 的方程为y x =. 故答案为：e 1y x =-或y x =. [举一反三]1．（2022·山东枣庄·三模）曲线32y x bx c =++在点()1,0M 处的切线与直线20x y --=垂直，则c 的值为（） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】设()32f x x bx c =++，则()232f x x bx '=+，直线20x y --=的斜率为1，由题意可得()()1321110f b f b c ⎧=+=-⎪⎨=++='⎪⎩，解得21b c =-⎧⎨=⎩. 故选：C.2．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（） A ．3-B ．3C ．5-D ．5 【答案】A【解析】当0x >时，()()21f x x f ''=-，()()121f f ''∴=-，解得：()11f '=，∴当0x >时，()22f x x x =-+；当0x <时，0x ->，()22f x x x ∴-=++，又()f x 为偶函数，()()22f x f x x x ∴=-=++，即0x <时，()22f x x x =++，则()21f x x '=+，()2413f '∴-=-+=-. 故选：A.3．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，则（） A ．0b a >>B ．10a b a a-<<< C ．10a b a a <-<<D ．1a b a a>>-且0a > 【答案】D 【解析】作出()10y x x x=->的图象，由图可知，若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，点(),a b 应在曲线外，设切点为()()000,0>x y x ，所以0001y x x =-，21-'=+y x ，所以切线斜率为0002000111---=+==--x b y b x k x x ax a，整理得()20020--+=a b x x a ，即方程在00x >上有两个不同的解，所以()()4402020a a b a b a ⎧-->⎪-⎪->⎨-⎪⎪>⎩，100⎧-<⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩a ba ab a ，所以1a b a a>>-且0a >. 故选：D ．4．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()ln f x x x t =-+，直线1:ln 222l y x =-++，点()()00,P x f x 在函数()y f x =图像上，则以下说法正确的是( )A ．若直线l 是曲线()y f x =的切线，则3t =-B ．若直线l 与曲线()y f x =无公共点，则3t >-C ．若2t =-，则点P 到直线l 5D ．若2t =-，当点P 到直线l 的距离最短时，02x ＝【答案】D【解析】f (x )定义域为(0，＋∞)，()11f x x'=-，若直线l 是曲线()y f x =的切线，则()1111222f x x x =-⇒-=-⇒='，代入1ln222y x =-++得1ln2y =+，()21ln2ln221ln23f t t ∴=+⇒-+=+⇒=，故A 错误；当t ＝－2时，当在点P 处的切线平行于直线l 时，P 到切线直线l 的最短距离，则()0001111222f x x x =-⇒'-=-⇒=，故D 正确；此时()2ln24f =-，故P 为()2,ln24-，P 到l ：22ln240x y +--=的距离为=C 错误；设1ln ln 22ln ln 2222xx x t x t x -+=-++⇒=-++，令()ln ln 222x g x x =-++，则()11222x g x x x-'=-=，当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()min 23g x g ==，又0x →时，()g x ∞→+；x →+∞时，()g x ∞→+， ∴若直线l 与曲线()y f x =无公共点，则t ＜3，故B 错误．故选：D ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20(0)l x ty t --=≠与函数()(0)xe f x x x=>的图象相切，则切点的横坐标为A．2．2+C ．2D ．1【答案】A【解析】由()(0)xe x x x =>可得()()21x e x f'x x -=，设切点坐标为()(),0m n m >，则()22011m m m tn en m e m m t ⎧⎪--=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得2m = A.6．（2022·福建泉州·模拟预测）若直线()111f k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（） A ．12B ．1C ．eD ．2e 【答案】B【解析】设直线()111f k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ，则11e x k =，且111e 11x k x +=+，所以11e 1xx =，221k x =，且222ln 11x k x +=+，所以22ln 1x x =，令()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，且()10f =，()0lim 0x f x →=，所以当()0,1x ∈时，()0f x <，因为()222ln 1f x x x ==，()111e e 1x x f x ==，即()()12e 10xf x f ==>，所以()()121,,e 1,xx ∞∞∈+∈+，所以12=e xx ，故11221e 1x k k x =⋅= 故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（）A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞【答案】B【解析】设公切线与曲线ln 1y x =-和2y ax =的交点分别为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，其中1>0x ，对于ln 1y x =-有1y x'=，则ln 1y x =-上的切线方程为()()1111ln 1y x x x x --=-，即()11ln 2xy x x =+-，对于2y ax =有2y ax '=，则2y ax =上的切线方程为()22222y ax ax x x -=-，即2222y ax x ax =-，所以2121212ln 2ax x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，有1211ln 24x ax -=-，即()22111112ln 04x x x x a =->，令()222ln g x x x x =-，()()32ln 32ln g x x x x x x '=-=-，令0g x，得32e x =，当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0g x，()g x 单调递增，当32,e x ⎛⎫⎪⎝∈+⎭∞时，0g x，()g x 单调递减，所以()332max 1e e 2g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故3110e 42a <≤，即31e 2a -≥.故选：B.8．（多选）（2022·河北保定·二模）若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线()260y x nx x =-+->的公切线，则（） A ．2m =-B ．1m =-C ．6n =D ．7n = 【答案】AD【解析】解：设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，对于函数()30y x x =>，23y x '=，则()2330a a =>，解得1a =，所以313m =+，即2m =-.对于函数()260y x nx x =-+->，2'=-+y x n ，则()230b n b -+=>，又2632b nb b -+-=-，所以()232632b b b b -++-=-，又0b >，所以2b =，7n =. 故选：AD9．（2022·重庆·三模）曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为___________. 【答案】22y x =-+【解析】由()1ln 225y x x =+++，2111y x x '=-++，则切线的斜率为12422x y =-=-+=-'．所以曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为： 1322y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即22y x =-+．因此所求切线的方程为22y x =-+．故答案为：22y x =-+．10．（2022·浙江·高三专题练习）已如函数()e ,()ln x f x g x x ==.若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y f x =在点()()22,x g x 处的切线平行，则()12x g x +=___________；若(2)()2()1f x h x x g x x=--+，则()h x 的最大值为___________. 【答案】 0 2n 2e l 2-+ 【解析】由已知()e x f x '=，1()g x x'=，所以121e x x =，即12e xx -=，所以112111()ln e0x x x x g x x -=-+==+．2()2ln e 1xh x x x x=--+，定义域为()0,∞+，2222222e (21)e (12(21)(()221)e )x x x x x x x h x x x x x x x ----'=--=--=，令2e ()x p x x =-，则2()12e x p x '=-，0x >时，()0p x '<，所以()p x 在(0,)+∞上递减，所以0x >时，()(0)1p x p <=-，所以102x <<时，()0h x '>，()h x 递增，12x >时，()0h x '<，()h x 递减，所以max 11()()1ln 1221222ee ln 2h x h =-=-+=-+．故答案为：0；2n 2e l 2-+．11．（2022·河北廊坊·模拟预测）设直线12y x b =+是曲线sin (0,)y x x π=∈，的一条切线，则实数b 的值是_________．6π- 【解析】设切点坐标为00(,)x y ，因为cos y x '=，所以有00000sin 121cos 2y x y x b x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩因为(0,)x π∈，所以00,3x y π==00126b y x π=-=.6π- 12．（2022·全国·高三专题练习）曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________. 【答案】()0,1【解析】由函数sin 21y x x =++，则cos 2y x '=+，设切点P 的坐标为()00,x y ，则斜率00cos 23x x k y x ==+'==，所以0cos 1x =，解得02()x k k Z π=∈，当0k =时，切点为()0,1，此时切线方程为310x y -+=；当0k ≠，切点为(2,41)()k k k Z ππ+∈，不满足题意，综上可得，切点为()0,1. 故答案为：()0,1.13．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设三次函数()32f x ax bx cx d =+++，若曲线()y f x =在点()0,0处的切线与曲线()()g x xf x =在点1,2处的切线重合，则()2g '=______．【答案】32-【解析】由题知：(0)0f =，∴0d =，2()32f x ax bx c '=++()f x 在(0,0)处的切线为0(0)(0)y f x '-=-，即(0)y f x ='，∵()()()g x f x xf x +''=，(1)(1)(1)g f f =+''， ∴()g x 在1,2处的切线方程为：(1)(1)2y g x g =-'+' 又因为两条切线重合，∴(0)(1){(1)20f g g ='-+'='，∴(0)(1)2f g ''==，又∵(1)(1)2g f ==，(1)(1)(1)g f f =+''∴(1)0f '=，∴(0)2{(1)320(1)2f c f a b c f a b c ===++==++'='解得2{22a b c =-==∴()32222f x x x x =-++，2()642f x x x '=-++，∴(2)(2)2(2)32g f f =+=-''. 故答案为：32-.14．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数为_______．【答案】2【解析】根据题意，设直线l 与()e 1x f x =-相切于点(,e 1)m m -，与()g x 相切于点(,ln 1)n n +，对于()e 1x f x =-，其导数为()e x f x '=，则有()e m k f m ='=，则直线l 的方程为1e e ()m m y x m +-=-，即e e (1)1m m y x m =+--，对于()ln 2g x x =+，其导数为1()g x x'=，则有1()k g n n='=，则直线l 的方程为1(ln 1)()y n x n n-+=-，即1ln y x n n=+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则1e (1)e 1ln m m n m n⎧=⎪⎨⎪--=⎩，可得(1)(e 1)0m m --=，则0m =或1m =，故直线l 的方程为y x =或e 1y x =-；则()f x 与()g x 的公切线条数是2条．故答案为：2。

第一节导数的概念及其意义、导数的运算课件-2025届高三数学一轮复习

读 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能
求简单的复合函数（限于形如f ax + b ）的导数.会使用导数公式表.
01
强基础知识回归
知识梳理
一、导数的概念
1.平均变化率
函数f x
f x2 −f x1
x2 −x1
在区间[x1 , x2 ]上的平均变化率为__________.

− − = ，得切线的斜率 = ，所以 − = ，得 = ，所以 = + .

当 = 时， = ，所以切点为 , ，将 , 代入切线方程，得 × − − = ，

解得 = ，所以 = × = .故答案为 .
（2）对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f x = f′ x0 g x + h x
（x0 为常数）的函数，解决这类问题的关键是明确f′ x0 是常数，其导数值为0,因此
先求导数f′ x .令x = x0 ，即可得到f′ x0 的值，进而得到函数解析式，求得所求导数
值.
题型二求切线方程
角度1 曲线在某点处的切线问题
A.y = −2x − 1
B.y = −2x + 1
C.y = 2x − 3
B)
D.y = 2x + 1
[解析] ∵ = − ，∴ ′ = − ，∴ = −，′ = −，∴ 所
求切线的方程为 + = − − ，即 = − + .故选B.

专题06 导数 6.4导数与函数的零点题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)

专题六《导数》讲义6.4导数与函数的零点知识梳理.函数的零点1.判断、证明或讨论函数零点个数的方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.2.已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.题型一.讨论零点个数1．函数f（x）=13x3+2x2+3x+43的零点个数为．2．设函数f（x）=13x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（）A．在区间（1，1），（1，e）内均有零点B．在区间（1，1），（1，e）内均无零点C．在区间（1，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点D．在区间（1，1），内无零点，在区间（1，e）内有零点3．已知定义在R上的奇函数f（x），满足当x＞0时f（x）=12x2﹣xlnx，则关于x的方程f（x）＝a满足（）A．对任意a∈R，恰有一解B．对任意a∈R，恰有两个不同解C．存在a∈R，有三个不同解D．存在a∈R，无解题型二.已知零点求参考点1.参变分离1．已知函数f（x）＝（x2﹣4x+1）e x﹣a恰有三个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2e3，0）B．（−6，0）C．（−6，2e3）D．（0，6）2．已知函数op=3+4l−−在区间（0，2）上至少有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．[2，4ln3﹣2）C．(2，4l2−12)D．[2，+∞）考点2.转化成两个函数的交点问题3．已知函数f（x）=12ax2+cos x﹣1（a∈R），若函数f（x）有唯一零点，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）4．已知函数f（x）＝e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）＝0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A．（e2﹣3，e2+1）B．（e2﹣3，+∞）C．（﹣∞，2e2+2）D．（2e2﹣6，2e2+2）考点3.讨论参数——单调性+极值、最值5．若函数f（x）＝e x（x3﹣3ax﹣a）有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，+∞）C．（0，14）D．（14，+∞）6．已知函数f（x）＝2e2x﹣2ax+a﹣2e﹣1，其中a∈R，e为自然对数的底数．若函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A．（2，2e﹣1）B．（2，2e2）C．（2e2﹣2e﹣1，2e2）D．（2e﹣1，2e2﹣2e﹣1）7．（2020·全国1）已知函数f（x）＝e x﹣a（x+2）．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．题型三.隐零点问题——设而不求，虚设零点1．已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是．2．若函数f（x）＝x2+2−alnx（a＞0）有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1B．3C．5D．73．已知函数f（x）＝lnx+1B（a∈R且a≠0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝2时，若关于x的方程f（x）＝m有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．课后作业.零点1．已知函数f（x）＝（x2+a）e x有最小值，则函数y＝f'（x）的零点个数为（）A．0．B．1C．2D．不确定2．若函数f（x）=33−x2﹣3x﹣m在区间[﹣2，6]有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣9，18）B．[−23，53）C．（﹣9，53）D．[−23，18）3．设函数f（x）＝（x﹣1）e x，若关于x的不等式f（x）＜ax﹣1有且仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，e2]B．(1，22] C．(1，2+12]D．(2+12，23+13]4．函数f（x）＝ae x+2x在R上有两个零点x1，x2，且21≥2，则实数a的最小值为（）A．−l22B．﹣ln2C．−2D．ln25．已知函数f（x）＝e x﹣ax2．（1）若=12，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a的值．6．（2019·全国1）已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，2）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．。

高三数学一轮复习《导数的概念及运算》教案人教大纲版

高三一轮复习课堂讲义导数的概念及运算★ 知识梳理 ★1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率x y ∆∆.（3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim →∆x xy ∆∆.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线的物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的3. 几种常见函数的导数'c =0（c 为常数）；()n x '=1n nx -（R n ∈）；'(sin )x = ；'(cos )x = ；(ln )x '=1x ； (log )a x '=1log a e x； '()x e =xe ；'()x a =ln xa a .4.运算法则①求导数的四则运算法则：'()u v ±=''u v ±；'()uv = ；'u v ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)v ≠.考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 考点2.求曲线的切线方程[例2] 如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s 内其运动方程是s =s (t )=t 2(位移单位：m ，时间单位：s )，求小球在t =5时的速度.1. 曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 题型1:求导运算[例4] 求下列函数的导数：（1） cos xy e x = （2）2tan y x x =+导数在研究函数中的应用★ 知识梳理 ★1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 . 判别f (x 0)是极大、极小值的方法若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) . (2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.4．求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b . （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 题型1.讨论函数的单调性例5．求下列函数单调区间（1）5221)(23+--==x x x x f y （2）x x y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k （4）αln 22-=x y题型2.由单调性求参数的值或取值范围例6: 若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.题型3.借助单调性处理不等关系例7．求证下列不等式（1）当0x >，求证1xe x >+（2）πxx 2sin > )2,0(π∈x题型4导数与函数的极值和最大(小)值.例8．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是例9．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间强化训练一、选择题：1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ．02．已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为_______________________．3．下列求导运算正确的是( )A ．(x +211)1x x +=' B ．(log 2x )'=2ln 1x C ．(3x)'=3xlog 3e D ．(x 2cos x )'=－2x sin x 4．函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞5．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0 7．函数323922yx x x x 有（）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值8．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 9．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)-- 10．函数x x y ln =的最大值为（）A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 11．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④12．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）二、填空题：13．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 14．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．15．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。

高三第一轮复习导数(导数的概念)

导数导数的概念【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳1. 导数的定义(1) 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2) 函数f (x )的导函数（导数）函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.2. 基本初等函数的导数公式：（1）若()f x c =(c 为常数),则()_____f x '=0；（2）若)()(Q x x f ∈=αα，则1)(-='ααx x f ；（3）若()sin f x x =，则()_____f x '=x cos ；（4）若()cos f x x =，则()_____f x '=x sin -；（5）若()x f x e =，则()_____f x '=x e ；（6）若()()01x f x a a a =>≠且，则()_____f x '=a a xln ⋅；（7）若()ln f x x =，则()_____f x '=x1；（8）若()()log 01a f x x a a =>≠且，则()_____f x '=ax ln 1⋅.方法规律总结1.应认真区分两个“导数”的定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数与函数f (x )的导函数（导数）.2.应注意公式的幂函数结构，不要与指数函数x a y =结构混淆.3.本节公式是下面几节课的基础，公式必须牢记.记准公式是学好本章内容的关键.4.对公式的记忆，要注意观察公式之间的联系.（1）上述基本初等函数的求导公式可分为四类，以便于记忆.① 幂函数类（注：指数α可推广到全体实数）；② 三角函数类；③ 指数函数类；④ 对数函数类.（2）对于()cos f x x =的求导公式，容易遗漏“-”. （3）对于()()01x f x a a a =>≠且和()()log 01a f x x a a =>≠且的导函数，容易弄错a ln 的位置.可用换底公式xa a x x a 1ln 1)ln ln ()(log ⋅='='加强记忆，找出差异并区分a a a x x ln )(⋅='.【指点迷津】【类型一】定义法求函数的导数【例1】：用定义法求下列函数的导数：(1) xy 2=； (2) 12+=x y . 【解析】：(1) x x x y 22-∆+=∆=x x x x )(2∆+∆-，∴=∆∆x y xx x )(2∆+-， ∴202limxx y y x -=∆∆='→∆.(2) 121)(2+-+∆+=∆x x x y ，∴x x x x x y ∆+-+∆+=∆∆121)(2121)(22+++∆+=x x x ，∴121lim0+=∆∆='→∆x xy y x .答案：(1) 22xy -='，(2) 121+='x y .【例2】：设)(x f 在0x x =处可导，且1)()3(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ,则)(0x f '＝ ( )A ．1B ．0C ．3D ．31【解析】：)(0x f '==∆-∆+→∆x x f x x f x 3)()3(lim 00031131)()3(lim 31000=⨯=∆-∆+→∆x x f x x f x .答案： D【例3】：已知函数x x x f 8ln 2)(+=，则xf x f x ∆-∆+→∆)1()21(lim的值为（）A ．﹣20B ．﹣10C ．10D ．20【解析】：由82)(+='xx f ，有10)1(='f , 所以=∆-∆+→∆x f x f x )1()21(lim 0=∆-∆+→∆xf x f x 2)1()21(lim 20=)1(2f '=20102=⨯.答案： D【类型二】基本初等函数的求导【例1】：求下列函数的导数：(1) 3π=y ，（π为圆周率）； (2) 21xy =； (3) 53x y =.【解析】：(1) 0='y .(2) 由221-==x x y ，有33222)(x x x y -=-='='--.(3) 由5353x x y ==，有52525315353)(x x x y =='='-. 答案：(1) 0='y . (2) 32x y -='. (3) 52153x y ='.【例2】：求下列函数的导数：(1) x x y =； (2) x y 5=； (3) x y 5log =. (4) 3sin π=y ；【解析】：(1) )(23'='x y 2123x =. (2) 5ln 5⋅='x y . (3) 5ln 1⋅='x y . (4) 0='y . 答案：(1) y '2123x =. (2) 5ln 5⋅='x y .(3) 5ln 1⋅='x y . (4) 0='y . 【类型三】导数的简单应用【例1】：在高台跳水运动中，t s 时运动员相对水面的高度（单位：m ）是105.69.4)(2++-=t t t h ，高台跳水运动员在t =1 s 时的瞬时速度为_______________.【解析】：5.68.9)(+-='t t h ,有3.35.68.9)1(-=+-='h m/s. 答案：3.3- m/s.【例2】：为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T 完成预期的运输任务0Q ，各种方案的运煤总量Q 与时间t 的函数关系如图所示．在这五种方案中，运煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是________．(填写所有正确的图象的编号)【解析】：②中切线的斜率逐渐增大，故②正确．答案：②【例3】：设x x f sin )(0=，=)(1x f )(0x f '， =)(2x f )(1x f '，……，=+)(1x f n )(x f n '，N n ∈，则=)(2016x f ________．【解析】：由x x f sin )(0=有=)(1x f x cos ， =)(2x f x sin -， =)(3x f x cos -，=)(4x f x sin ，……，有=)(x f n )(4x f n +，则=)(2016x f x x f sin )(0=.答案：x sin .【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题 1．若'0()3f x =-，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000（）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 【解析】：6)(22)()(lim 2)()(lim0000000-='=--+⨯=--+→→x f hh x f h x f h h x f h x f h h ,故选B.答案：B.2．已知函数f (x )＝f ′(2π)sin x ＋cos x ，则f (4π)＝ ( ) A ．0 B ．22 C ．22- D ．2 【解析】：由已知：f ′(x )＝f ′(2π)cos x －sin x . 则f ′(2π)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f (4π)＝0.答案：A .3．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.)21,41(B ．(1,2) C. )1,21(D ．(2,3)【解析】：由图象可得01=++b a ，210<<b ，所以2110<--<a ，有231<-<a ，即123-<<-a ，由g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，有g (21)＝ln 21＋1＋a 0<，g (1)＝2＋a 0>，所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点在)1,21(内．答案：C ．4．曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴及直线=x 1所围成的三角形的面积为 ( )A ．121B ．61C ．31 D ．21【解析】：求导得23x y =',所以3=切k ,所以曲线在点)1,1(处的切线方程为)131-=-x y （. 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形,三个交点的坐标分别为)0,32(,)0,1(,)1,1(, 于是三角形的面积为=⨯-⨯132121）（61 答案：B ．5．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)＝ ( )A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】：因为点(1，f (1))在直线x －2y ＋1＝0上，所以1－2f (1)＋1＝0，得f (1)＝1.又f ′(1)＝12，所以f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2.答案：D ．二、填空题6．设函数)(x f 在(0，＋∞)内可导，且x x e x e f +=)(，则f′(1)＝________．【解析】：x x e x e f +=)(，利用换元法可得)(x f ＝x x +ln ，=')(x f x1＋1，所以=')1(f 2. 答案：2.7．若曲线x kx y ln +=在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________．【解析】：∵y′＝k ＋x1，∴y ′|1=x ＝k ＋1＝0，故k ＝－1. 答案：－1. 8．曲线xy 1=上点P 处的切线平行于直线074=-+x y ,则点P 的坐标为________. 【解析】：设曲线上的点为（001,x x ），则201|0x y x x -='=，由切k 4120-=-=x ，有210±=x ，故所求点P 为：（2,21）或（2,21--）. 答案：（2,21）或（2,21--）.三、解答题9．求下列函数的导数：(1) y ＝sin2x cos 2x ； (2) y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3) y ＝x (1＋|x |)．【解析】：(1) ∵ y ＝sin2x cos 2x ＝12sin x ， ∴ y ′＝12cos x .(2) ∵ y ＝1－x x ＝1x－x ＝21-x －21x ， ∴ y ′＝－1223-x －1221-x .(3) ∵ y ＝x ＋x |x |＝⎩⎨⎧ x ＋x 2，x ≥0，x －x 2，x ＜0. ∴ y ′＝⎩⎨⎧1＋2x ，x ≥0，1－2x ，x ＜0.答案：(1) y ′＝12cos x . (2) y ′＝－1223-x －1221-x . (3) y ′＝⎩⎨⎧1＋2x ，x ≥0，1－2x ，x ＜0.10. 已知曲线1)(+=n x x f （*N n ∈）与直线1=x 交于点P ，设曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，求201421201520152015log log log x x x +⋅⋅⋅++的值.【解析】：n x n x f )1()(+='，=k 1)1(+='n f ，点P(1，1)处的切线方程为)1)(1(1-+=-x n y ，令0=y ，得1111+=+-=n n n x ，即1+=n n x n ，所以20151201421=⋅⋅⋅⋅⋅⋅x x x ，所以201421201520152015log log log x x x +⋅⋅⋅++=)(log 2014212015x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1-.答案：1-.【二级目标】能力提升题组一、选择题1．已知函数x a x f ππsin )(-=，且2)1()1(lim 0=-+→h f h f h ，则a 的值为（）A.2-B.2C.π2D.π2-【解析】：x a x f πcos )(⋅-=',有a f =')1(, 所以='=)1(f a 2)1()1(lim 0=-+→hf h f h ,故选B.答案：B.2．如图所示，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 ( )A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x【解析】：设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图象经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2又图象过点(－5，2)，(5，－2)，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ，将点(－5，2)代入得－125a －5c ＝2.又由该函数的图象在点(－5，2)处的切线平行于x 轴，y ′＝3ax 2＋c ，得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎨⎧=+=--07525125c a c a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==531251c a , 故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35x .答案：A ．二、填空题 3．已知函数x x f =)(，x a x g ln )(=，R a ∈.若曲线=y )(x f 与=y )(x g 相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________________．【解析】：x x f 21)(='，x a x g =')(（0>x ）,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧==x a x xa x 21ln ，解得2e a =，2e x =. ∴ 两条曲线交点的坐标为),(2e e ，切线的斜率为ee f k 21)(2='=， ∴ 切线方程为)(212e x e e y -=-，即221ex e y +=.答案：221e x e y +=. 三、解答题4. 设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，求PQ 最小值.【解析】：函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称，函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =，设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=，由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-.min 2ln 2)d -【高考链接】1.（2015年全国I 卷文科第12题）设函数)(x f '是奇函数)(x f )(R x ∈的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，-')(x f x 0)(<x f ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（）A.)1,0()1,( --∞B. ),1()0,1(+∞-C. )0,1()1,(---∞D. ),1()1,0(+∞ 【解析】：构造函数x x f x g )()(=，则由已知可得当0>x 时，0)()()(2<-'='x x f x f x x g ，所以)(x g 在),0(+∞上单调递减，又)(x f 是奇函数，有)(x g 是偶函数，所以)(x g 在)0(，-∞上单调递增，且0)1()1(==-g g ，所以当∈x )1,0()1,( --∞时，0)(>x f .故选A.A.5太贝克B.2ln 75太贝克C.2ln 150太贝克D.150太贝克 3.（2013年全国新课标卷Ⅰ理科第11题）已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-0),1ln(0,22x x x x x ，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]【解析】：方法一：若x ≤0，|f (x )|＝|x x 22+-|＝x x 22-，x ＝0时，不等式恒成立，x <0时，不等式可变为a ≥x －2，而x －2<－2，可得a ≥－2；若x >0，|f (x )|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥a x ，可得a ≤xx )1ln(+恒成立，令h (x )＝x x )1ln(+，则h ′(x )＝2)1ln(1x x x x+-+，再令g(x )＝1+x x －ln(x ＋1)，则 g ′(x )＝2)1(+-x x<0，故g(x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x )<g(0)＝0，可得h′(x )＝2)1ln(1x x x x+-+<0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，x →＋∞时，h (x )→0，所以h (x )>0，a ≤0.综上可知，－2≤a ≤0，故选D.方法二：数形结合：画出函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-0),1ln(0,22x x x x x 与直线y ＝ax 的图象，如下图，要使|f (x )|≥ax 恒成立，只要使直线y ＝ax 的斜率最小时与函数y ＝x x 22-，x ≤0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x 轴的斜率相等即可，因为y ′＝2x －2，所以y ′|0=x ＝－2，所以－2≤a ≤0.答案：D.。

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高三数学第一轮复习讲义（小结）
一．课前预习：导数
1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)
()2(lim 000
=∆-∆+→∆
x
x f x x f x ，则0()f x '=
（ C ）
()A 1
()B 0 ()C 2 ()D 2
1
2．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，
()A ()B ()C ()D
3．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足（ A ）
()A 22()()032p q += ()B 23()()023
p q
+= ()C 2230p q -= ()D 2230q p -=
4．已知函数23
()2
f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,]42x ∈时，1()8f x ≥，
则a = 1 ．
5．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =42x -．
四．例题分析：
例1．若函数3211()(1)132
f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，令()0f x '=得1x =或1x a =-，
∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥， ∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．
例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，
（1）求()f x 的单调区间和极大值；
（1）
（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．解：（1）由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈，
即d cx ax d cx ax ---=+--33，∴ 0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故
⎩⎨
⎧=+-=+0
32
c a c a ，解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ， ∴0)1()1(='=-'f f ，
当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间)1,(--∞上是增函数；当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在单调区间)1,1(-上是减函数；当),1(∞+∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间),1(∞+上是增函数，所以，)(x f 在1-=x 处取得极大值，极大值为2)1(=-f ．（2）由（1）知，x x x f 3)(3-=)]1,1[(-∈x 是减函数，
且)(x f 在]1,1[-上的最大值2)1(=-=f M ，最小值2)1(-==f m ，
所以，对任意的1x ，)1,1(2-∈x ，恒有4)2(2)()(21=--=-<-m M x f x f ．
例3．设函数32
1()53
2
a b f x x x x -=+
++(,,0)a b R a ∈>的定义域为R ，当1x x =时，取得极大值；当2x x =时取得极小值，1||2x <且12||4x x -=．
（1）求证：120x x >；（2）求证：22(1)164b a a -=+；（3）求实数b 的取值范围．
（1）证明：2()(1)1f x ax b x '=+-+，
由题意，2()(1)10f x ax b x '=+-+=的两根为12,x x ，∴121
0x x a
=>．
（2）12||4x x -==，∴22(1)164b a a -=+．
（3）①若102x <<，则10
(2)4210b f a b ->⎧⎨'=+-<⎩
，
∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+，
解得112a >
或1
4a <-（舍） ∴42(1)3b ->，得1
3
b <．
②若120x -<<，则10
(2)4230b f a b -<⎧⎨'-=-+<⎩
，
∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+，解得112a >
或1
4
a <-（舍）
∴42(1)3b ->，∴53
b >，
综上可得，b 的取值范围是15(,)(,)3
3
-∞+∞．
小结：本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识，综合分析问题和解决问题的能力．
五．课后作业：班级学号姓名
1．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值与最小值分别是（）
()A 5、15- ()B 5、4 ()C 4-、15- ()D 5、16-
2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（）
()A 在区间(,0)-∞内，)(x f 为增函数 ()B 在区间(0,2)内，)(x f 为减函数
()C 在区间(2,)+∞内，)(x f 为增函数 ()D 在区间(,0)(2,)-∞+∞内，)(x f 为增函数
3．设)(x f 在0x x =处可导，且000(3)()
lim
1x f x x f x x
∆→-∆-=∆，则)(0x f '等于
（）
()A 1 ()B 1
3
- ()C 3- ()
D 3
1 4．设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，则0()f x '= （）
()A k ()B k - ()C k
1
()D k
1-
5．一物体运动方程是)/8.9(3
120022s m g gt s =+=，则3=t 时物体的瞬时速度为．
6．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值．（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．
7．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x （吨）与每吨的价格P （元/吨）之间的关系为21242005
P x =-，且生产x 吨的成本为
50000200R x =+元，问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）
8．已知1,0b c >->，函数()f x x b =+的图象与函数2()g x x bx c =++的图象相切，
（1）求,b c 的关系式（用c 表示b ）；
（2）设函数()()()F x f x g x =在(,)-∞+∞内有极值点，求c 的取值范围．。