多元函数积分学及其应用
2805多元函数微积分在工程中的应用解读
令 V V 0, x y 得
2 2 2 2 y 12 2 xy x x 12 2 xy y 0, 即 2 2 2 x y 2 x y
x 0, y 0 (舍去)
12 2 xy x 2 0, 12 2 xy y 2 0, x y .
即当 x ， y 较小时，有函数值增量的近似公式
z f x x, y y f x, y dz
即
z z z dx dy x y
二、全微分的应用
例2 圆柱体的体积是通过测量 r 和 h 的值由 V r 2h 计算。假定测 量 r 的误差不大于2%，测量 h 的误差不大于0.5%。试估计这种测量计 算的 V 的可能百分数误差 。
解 该城市是半径为 r=5 km的圆形区域(如图所示)，即
则该城市人口数为
0r 5 D 0 2
x2 y 2
P 10e
D
dxdy 2 d 510e r rdr
2
0
0
10π e25 1 31.4159 (万人)
1 5 r2 2 r2 2 10e d r 10π e 2 0
故
x 2,
12 2 2 y 2, z 1 2 2 2
此时，体积最大为
V xyz 4 m3
二、全微分的应用
全微分的基本知识
与一元函数微分的近似公式相类似，当 x ，y 较小时，可以用全
z z 微分 dz dx dy 近似表示全增量 z f x x, y y f x, y ， x应用
多元函数微积分简介
在经济领域和工程技术中，许多实际问题都会涉 及多个变量之间的依赖关系，即多元函数。多元函数 微积分学是一元函数微积分学的推广和发展，学习的 基本思想和方法是把多元函数的问题转化为一元函数 的问题，用一元函数的知识和方法加以解决。
高等数学多元函数微积分
高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。
它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。
这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。
一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。
它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。
2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。
3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。
二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。
2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。
三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。
2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。
3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。
本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。
一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。
它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。
二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。
根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。
•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。
•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。
2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。
它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。
三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。
二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。
它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。
Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。
对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。
2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。
极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。
通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。
在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。
三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
多元函数微积分的应用
多元函数微积分的应用随着科学技术的不断发展，多元函数微积分日益成为一种重要的数学工具。
多元函数微积分主要是研究多变量的函数，它是单变量微积分的推广和拓展。
其中最重要的内容就是求多变量函数的偏导数、全微分、求极值、积分等。
多元函数微积分在工程、物理、化学等学科中都得到了广泛的应用。
以下将主要介绍多元函数微积分在科学技术领域中的应用。
1. 物理学领域的应用在物理学中，多元函数微积分可以被用来描述物体的运动以及物体与其他物体之间的相互作用。
最常见的例子是牛顿运动定律。
牛顿第一定律说，如果物体不受到任何力的作用，则它将保持运动状态，或保持静止状态。
如果我们要确定一个物体的运动状态，我们需要知道该物体所受到的外力，以及它的初始位置和速度。
这个问题可以用多元函数微积分中的运动学方程来解决，它基于加速度与速度、位移之间的关系。
另一个物理学中的例子是电场的计算。
电场是由电荷在空间中所产生的电力作用，因此了解电场是研究电荷和电流行为的先决条件。
在多元函数微积分中，我们可以利用电场的公式来计算电场的介质性质、电势的强度等。
2. 工程学领域的应用在工程学领域中，多元函数微积分通常用于设计机器和设备，使得它们在运行时能够以最佳的方式工作。
例如，可以使用多元函数微积分来得出一个最佳的轮廓参数，以便使得机器人能够在一定范围内移动。
此外，它还可以被用于热力学方程的求解，以此来改进空调、锅炉、汽车发动机、炉子等工业设备的设计。
另外，多元函数微积分还可以在土木建筑工程领域中得到应用。
例如，在桥梁设计中，可以利用多元函数微积分求得桥梁的建筑比例和强度，从而确保它们可以承受使用过程中的载荷。
在建筑设计中，则可以使用多元函数微积分来计算建筑物的稳定性和质量等方面的参数。
3. 医学领域的应用多元函数微积分在医学领域中的应用也越来越多，它可以帮助研究人体的治疗方法和药物的研发。
例如，它可以帮助研究血液循环系统、神经系统、肺功能等方面的生理现象。
多元函数的泰勒展开与应用
多元函数的泰勒展开与应用多元函数的泰勒展开是微积分中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
本文将介绍多元函数的泰勒展开的基本原理，以及其在数学和科学问题中的应用。
一、多元函数的泰勒展开的基本原理多元函数的泰勒展开可以看作是一种用多项式逼近真实函数的方法。
与一元函数的泰勒展开类似，多元函数的泰勒展开也是基于函数在某一点的导数。
设函数f(x₁, x₂, ..., xn)在点(x₀₁, x₀₂, ..., x₀ₙ)处有各阶连续偏导数，则可以使用泰勒展开公式进行逼近：f(x₁, x₂, ..., xn) ≈ f(x₀₁, x₀₂, ..., x₀ₙ) + ∑(∂f/∂xi)(xi - x₀i) +1/2!∑∑(∂²f/∂xi∂xj)(xi - x₀i)(xj - x₀j) + ... + 1/n!∑...∑(∂ⁿf/∂xi∂xj∂xk...)(xi - x₀i)(xj - x₀j)(xk - x₀k)...其中，∂f/∂xi表示关于xi的偏导数，∑表示对所有指标进行求和，n是展开的阶数。
泰勒展开公式中的每一项都是各个偏导数在展开点的值与自变量与展开点之间的差值的乘积。
二、多元函数的泰勒展开的应用多元函数的泰勒展开有许多应用，下面将介绍其中的几个重要应用。
1. 函数近似计算多元函数的泰勒展开可以用于计算函数的近似值。
通过将函数使用泰勒展开进行逼近，可以将原本复杂的函数化简为多项式，从而方便进行数值计算。
在科学计算和工程计算中，这种逼近方法常常被使用。
2. 函数最值求解多元函数的泰勒展开可以用于求解函数的最值。
通过泰勒展开的近似，可以将原始函数转化为一个简单的多项式表达式。
进而，通过对该多项式进行求导和解方程，可以得到函数的极值点。
3. 函数优化问题多元函数的泰勒展开可以用于解决函数的优化问题。
在实际问题中，我们常常需要求解一个多元函数的最小值或最大值，这样的问题可以转化为对应函数泰勒展开的多项式的最小值或最大值问题。
多元函数与多元微积分
多元函数与多元微积分多元函数是数学分析的一个重要分支，它描述了多个自变量与一个因变量之间的关系。
多元微积分则研究多元函数的导数、积分和微分方程等问题。
本文将介绍多元函数的定义、连续性和偏导数，以及多元微积分的应用。
一、多元函数的定义与连续性多元函数可以定义为具有多个自变量和一个因变量的数学函数。
例如，一个具有两个自变量x和y的多元函数可以表示为f(x, y)。
多元函数的定义域即为自变量所在的数学空间。
对于多元函数而言，连续性是一个重要的性质。
多元函数在某一点连续，意味着当自变量在该点附近发生微小改变时，函数值也会发生微小变化。
连续性可用极限来描述，即函数在某一点的极限存在且与函数在该点的取值相等。
二、多元函数的偏导数偏导数是多元函数的导数在某一点上对各个自变量的偏导数。
对于一个具有n个自变量的多元函数f(x₁, x₂, ..., xₙ)，其偏导数可表示为∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xₙ。
偏导数描述了在其他自变量保持不变的情况下，函数在某一自变量上的变化率。
例如，对于二元函数f(x, y)，∂f/∂x表示当y保持不变时，函数f在x方向上的变化率。
三、多元微积分的应用多元微积分在物理学、经济学和工程学等领域中有广泛的应用。
以下是一些应用领域的例子：1. 曲面的切平面与法线：在多元微积分中，通过偏导数可以求得曲面在某一点上的切平面与法线。
这在计算机图形学、机械设计等领域中具有重要意义。
2. 二重积分与三重积分：多元函数的积分可以用于计算平面区域的面积、质心以及立体体积等问题。
例如，在物理学中，可以通过二重积分计算平面物体的质心坐标。
3. 最优化问题：多元微积分可以帮助解决最优化问题，即寻找多元函数在一定约束条件下的最大值或最小值。
这在经济学中的优化模型、工程中的最佳设计等问题中有应用。
4. 微分方程：多元微分方程是描述自然界和工程问题中的多变量关系的数学模型。
通过多元微分方程的求解，可以得到解析解或数值解，并找到问题的解释。
高中数学知识点多元函数微积分应用
高中数学知识点多元函数微积分应用在高中数学学习中，多元函数微积分是一个非常重要的知识点。
多元函数微积分可以用来研究多元函数的导数、极值、曲线、曲面、变化率、微分、积分等等，具有广泛的应用。
本文将探讨多元函数微积分在实际中的应用。
一、多元函数的导数和极值多元函数的导数不仅可以用于研究函数的变化率，还可以指导实际生活中的问题。
例如，在物理学中，速度就是位移对时间的导数，加速度就是速度对时间的导数。
利用这些知识，可以研究行人、汽车、火车、飞机等移动物体的速度和加速度问题。
一般来说，多元函数的极值是在优化问题中经常用到的，例如，求解一个开销最小的问题，或者求解一个最大利润的问题。
例如，存在一个工厂需要购买原材料和粉尘，对于这个问题，我们可以建立一个多元函数模型，以此求出最优方案。
这个方案的最小值或者最大值就是整个问题的解。
二、曲线和曲面多元函数也可以用来研究曲线和曲面等几何问题。
例如，在计算机图形学中，平面和立体的图形都是由曲线和曲面组成的。
利用多元函数微积分，可以研究图形的曲率、曲面的法向量等几何问题。
在物理学中，曲率也有着非常重要的应用。
例如，曲率可以用来研究弯曲物体的形态，如桥梁、大棚、玻璃等的形态。
三、微分和积分微分是多元函数微积分中的另一个重要概念。
它的主要作用是确定一个函数的局部变化率和切线方程，进而可以用来解决各种实际问题。
例如，微分可以用来确定一个物体在某个瞬间的位置、速度和加速度。
积分也是多元函数微积分中的一个重要概念。
它可以用来求解面积、体积、质量、重心等问题。
例如，在建筑工程中，如何确定一个建筑物的体积？在机械制造中，如何确定一个机器的质量和重心？这些问题都可以通过积分来求解。
总之，多元函数微积分的应用范围非常广泛，可以用来研究各种实际问题。
在生活中，我们经常遇到需要用到多元函数微积分来解决的问题。
掌握了多元函数微积分的相关知识，对我们的生活和工作都有显著的帮助。
多元函数积分学在实际生活中的应用实例
多元函数微积分的实际应用有哪些?
当我们要描述一些事物、对象时，不能凭空定性描述啊，要抱着科学的态度，定量的能解释出来它。
当我们用一堆公式将一个对象刻画的细致入微时，随便给定它的参数我们就知道结果是什么。
例如我们对天气进行建模，然后预报天气；对交通建模，预报拥堵情况；对四旋翼无人机进行建模，知道该加多大马力才能飞起来；对市场进行建模，预报价格、股票……建模一般不就是建立一个函数？f(a,b,c,d)把一个问题的4个因素包括进来，然后构造出f这个函数，就是建立了模型。
例如简单的一个例子，我们想知道一个东西的未来销量K，那么我们统计来以前的历史数据，然后找到一些影响因素，例如销售地的人口密度x、年轻人占的比例y以及竞争品的种类z，我们能得到一个模型，最简单的就是，当然也可以变化各种形式，二次函数、插值、拟合等等。
刚才说的多元函数是静态模型，如果我想描述一个模型随时间变化怎么办？很多都是要用微分方程来描述；举个例子，人站在独轮车是如何平衡的呢？
首先我们要对独轮车进行动态模型的建模，独轮车主要有两个变量需要控制，一个是偏的角度（不能倒），一个是位置（不能跑），那么我们可以建立一个这样的模型：这是什么意思呢，等式左面是两个变量的导数，表示的是变化的趋势，它由右面的式子决定，决定因素有当前的位置,偏角和内部的电机的马力决定（当然应该还有其他因素，这里就不细说了）。
对于每一时刻，它的导数都根据当前的状态有关，那么下个时刻，他的值就可以确定，以此类推，就可以推出两个状态变量关于时间的变化情况，我们就有一个模型来描述了它了，这就是微分方程，微分模型。
有了微分方程，那么就引入反馈、PID控制等等来控制它不倒，这个就不详细展开了。
10多元函数积分中的三个公式计算及运用
10多元函数积分中的三个公式计算及运用在高等数学中，多元函数积分是一个重要的概念，它在应用数学、物理学等领域中都有着广泛的应用。
为了更好地理解和应用多元函数积分，李正元考研高数基础讲义中介绍了十个多元函数积分的基本公式，其中有三个是重要且常用的公式，它们分别是重积分的线性性、变量代换公式和极坐标系下的积分公式。
首先是重积分的线性性。
重积分的线性性是指如果f(x,y)和g(x,y)是定义在闭区域D上的可积函数，c1和c2是常数，那么c1f(x,y)+c2g(x,y)也是定义在D上的可积函数，并且有以下成立的公式：∫∫D [c1f(x, y) + c2g(x, y)]dxdy = c1∫∫D f(x, y)dxdy +c2∫∫D g(x, y)dxdy这个公式的运用非常广泛，在对多元函数进行积分时经常会用到。
其次是变量代换公式。
在计算多元函数积分时，有时可以通过进行变量代换来简化计算。
设有从平面区域D到平面区域D'的可导函数变换x=x(u,v),y=y(u,v)，且这个变换是一一对应，那么就有以下变量代换公式：∫∫D' f(x(u, v), y(u, v))，J(u, v)，dudv = ∫∫D f(x,y)dxdy其中J(u,v)是变换的雅可比行列式，即J(u,v)=∂(x,y)/∂(u,v)=∂x/∂u*∂y/∂v-∂x/∂v*∂y/∂u。
这个公式在计算复杂的多元函数积分时非常有用，通过适当的变量代换可以将积分区域转化成更简单的形式，从而简化计算过程。
最后是极坐标系下的积分公式。
当积分区域是一个闭圆盘或圆环时，可以使用极坐标系来进行积分计算。
假设f(r,θ)是定义在圆盘或圆环内的连续函数，那么有以下公式成立：∫∫D f(r, θ)rdrdθ = ∫(θ=a to b) ∫(r=0 to R) f(r,θ)rdrdθ其中D表示积分区域，a和b是角度的取值范围，R是极坐标下的积分区域的半径。
多元函数积分应用
多元函数积分应用在数学领域中，多元函数积分是一个非常重要且广泛应用的概念。
通过对多元函数进行积分，我们可以计算出在多维空间中各种复杂形状下的体积、质心、质量等重要物理量。
本文将介绍多元函数积分的基本概念，并探讨其在实际问题中的应用。
1. 多元函数积分的基本概念多元函数积分是对多维空间中函数在某个区域上的积分操作。
与一元函数积分类似，多元函数积分也可以分为定积分和不定积分两种情况。
在多元函数积分中，我们通常会遇到二重积分和三重积分，分别用于计算平面区域和空间区域下的积分值。
1.1 二重积分二重积分是在二维平面上对函数进行积分的操作。
形式上，二重积分可以表示为：$$ \\iint_{D} f(x,y) dA $$其中，D表示二维平面上的一个区域，f(x,y)为要积分的函数，dA表示微元面积。
通过对D上每个微小面积元的贡献进行累加，就可以得到整个区域D下函数的积分值。
1.2 三重积分三重积分则是在三维空间中对函数进行积分的操作。
形式上，三重积分可以表示为：$$ \\iiint_{V} f(x,y,z) dV $$其中，V表示三维空间中的一个区域，f(x,y,z)为要积分的函数，dV表示微元体积。
通过对V上每个微小体积元的贡献进行累加，就可以得到整个区域V下函数的积分值。
2. 多元函数积分的应用2.1 几何体的体积计算多元函数积分在计算几何体的体积时发挥着重要作用。
通过将几何体分割成微小的体积元，并对每个体积元进行积分，可以准确计算出几何体的体积。
这在工程领域中常常用于计算复杂形状的体积，如圆锥、圆柱、球体等。
2.2 质心的计算质心是一个物体的质量分布在空间中的中心位置，对于复杂形状的物体，质心的计算需要借助多元函数积分。
通过利用多元函数积分的方法，可以准确计算出物体的质心位置，这对于工程设计和物理学等领域具有很高的实用价值。
2.3 物体的质量计算利用多元函数积分可以方便地计算物体的质量。
通过将物体分割成微小的体积元，并对每个体积元进行积分，可以得到整个物体的总质量。
多元积分的应用常见公式
多元积分的应用常见公式多元积分是微积分中的重要内容，它在物理学、工程学、经济学等领域中具有广泛的应用。
在多元积分的计算中，我们经常会使用一些常见的公式，这些公式是解决实际问题时的强大工具。
下面我们将介绍一些常见的多元积分应用公式。
1. Fubini定理Fubini定理是多元积分中的重要定理，它用于计算二重积分和三重积分。
Fubini定理的关键思想是将多元积分转化为一元积分的连续积分问题。
对于二重积分，Fubini定理可表示为：∬Rf(x,y)dA=∫a∫b f(x,y)dydx其中R为积分区域，f(x,y)为被积函数，dA表示面积元素。
在积分区域R内，先对y进行积分，再对x进行积分。
对于三重积分，Fubini定理可表示为：∭Gf(x,y,z)dV=∬R∫h(x,y)fdx dy其中G为积分区域，f(x,y,z)为被积函数，dV表示体积元素。
在积分区域G内，先对x进行积分，再对y进行积分，最后对z进行积分。
2.曲线坐标系下的积分公式曲线坐标系下的积分公式是在常见的曲线坐标系（如极坐标系、柱坐标系、球坐标系等）下进行积分的重要工具。
在积分过程中，可以通过合适的坐标变换将被积函数转化为简化形式。
以极坐标系为例，假设R为极坐标系下的积分区域，f(r,θ)为被积函数，则二重积分可表示为：∬Rf(r,θ)dA=∫α∫βf(r,θ)rdr dθ其中α和β分别为极角的起始值和终止值。
3.罗必达法则罗必达法则是计算二重积分和三重积分时常用的方法，它解决了一些复杂的函数积分问题。
罗必达法则的核心思想是通过变量替换将原函数转化为简化形式。
以二重积分为例，假设R为积分区域，f(x,y)为被积函数，需要将其转化为极坐标系下的简化形式。
首先进行变量替换，令x=g(u,v),y=h(u,v)，则利用链式法则，可以将f(x,y)转化为f(g(u,v),h(u,v))。
然后计算雅可比行列式，J，通过代入g(u,v)和h(u,v)的偏导数，可得，J，=gh/uv。
多元函数积分的计算方法与技巧
多元函数积分的计算方法与技巧1.多元函数的积分表示：多元函数的积分可以表示为定积分或不定积分。
定积分表示函数在一些区域内的积分值，而不定积分表示函数的原函数。
定积分可以通过区域划分进行求解，而不定积分则可以通过变量替换或部分积分等方法进行求解。
2.变量替换法：变量替换法是求解多元函数积分的常用方法之一、通过适当地选取新的变量，可以将原积分转化为一个更容易求解的形式。
常用的变量替换方法包括极坐标变换、柱面坐标变换、球面坐标变换等。
3.分部积分法：分部积分法是求解多元函数积分的常用方法之一、对于乘积形式的积分，可以将其转化为求解导函数的积分。
通过选择合适的函数进行分解，并利用分部积分公式，可以逐步简化积分的形式。
4.对称性与奇偶性：对称性与奇偶性是求解多元函数积分时常用的技巧。
如果被积函数具有其中一种对称性，可以利用对称性简化积分的计算。
另外，如果被积函数是奇函数或偶函数，则可以利用奇偶性质来简化积分计算。
5.积分次序的变换：对于多元函数的积分，积分次序可以任意交换。
通过变换积分次序，可以选择更合适的积分顺序，从而简化积分的计算。
6.积分区域的选择：对于定积分，选择合适的积分区域也可以简化积分计算。
可以通过变换坐标、利用对称性等方法选择一个更简单的区域进行积分。
除了上述方法与技巧之外，求解多元函数积分还需要熟练运用基本的积分公式和求导公式，灵活运用数学分析的知识。
另外，需要注意积分上下限的选择，确保积分区域与被积函数的定义域一致。
对于难题，可以尝试利用数值积分方法进行近似计算。
综合运用上述方法与技巧，可以更高效地求解多元函数积分，并应用于实际问题的求解。
第5章 多元函数积分学的应用
1 A
xd，
D
y
1 A
D
yd
其中 A d
D
(2)立体 ： 质量体密度 (x, y, z)
x
1 M
xdv，y
1 M
ydv，
z
1 M
zdv
其中 M dv
思考问题 曲线和曲面型物体的重心坐标？
第5章 多元函数积分学应用
例3. 求r=2sin和r=4sin 所围均匀薄片 D 的形心.
例4. 在底圆半径为 R , 高为 H 的圆柱体上拼加一
第5章 多元函数积分学应用
例2. 求球面x2+y2+z2=a2 含在圆柱面x2+y2=ax (a>0) 内部的那部分面积.
z
z
y
y
x
Dxy
x
第5章 多元函数积分学应用
4. 柱面面积
以 xOy 平面上曲线 L为准线，母线平行于 z 轴的
柱面被曲面 ：z=z(x, y)所截，位于 与 xOy 坐标
第5章 多元函数积分学应用
(3) 曲线型物体 L( ) ：质量线密度 (x, y) ( (x, y, z))
M L (x, y)ds (M (x, y, z)ds)
(4) 曲面型物体 ：质量面密度 (x, y, z)
M (x, y, z)dS
z
例1. 设球面 x2+y2+z2=2 及锥面
与负通量的代数和.
考虑封闭曲面，则 Φ F dS 表示从内向外穿
过 的总通量.
于是，当 >0时，表示 的内部有“源”，当 <0
时，表示 的内部有“汇”，当 =0时， 的内部可
能无 “源”无 “汇”，或者 “源”“汇”平衡.
多元函数微积分(课件)
zx f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) ，
如果极限
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数，记为
z
x (x0 , y0 ) 或 f x (x0 , y0 ) 。
求函数的二阶偏导数，并验证
2z x2
2z y2
0。
解 MATLAB求解代码如下：
程序运行结果为：
>>syms x y >>z = log(sqrt(x^2+y^2)) >>dz_dx2 = diff(diff(z,x),x) >>dz_dy2 = diff(diff(z,y),y) >>dz_dxdy = diff(diff(z,x),y) >>dz_dydx = diff(diff(z,y),x) >>a = simplify(dz_dx2+dz_dy2)
MATLAB求解代码如下：
z xy ln x 。 y
>>syms x y >>f = x^y; >>dfx = diff(f,x) >>dfy = diff(f,y)
17
第、 二节 偏导数与全微分
、
3．高阶偏导数
对于二元函数 z f (x, y) 来说，如果它的一阶偏导数 fx (x, y) 、 f y (x, y) 仍是关于每个自变 量的函数，并且一阶偏导数对每个自变量的偏导数存在，则称这个二元函数具有二阶偏导数。
12
目录
1
多元函数的概念、极限与连续性
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的重要分支，研究具有多个变量的函数的积分。
它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
本文旨在总结多元函数积分学的基本概念、技巧和应用。
一、多重积分1.二重积分二重积分即对二元函数在一个有界区域上的积分。
它可以通过将区域分割成小的矩形，并在每个矩形中求函数值乘以该矩形的面积，再将所有矩形的面积相加而得到。
二重积分的计算可以使用极坐标、换元法等方法来简化计算过程。
2.三重积分三重积分即对三元函数在一个有界区域上的积分。
类似于二重积分，三重积分可以通过对区域进行分割，并在每个小的立体元中求函数值乘以立体元的体积，再将所有立体元的体积相加而得到。
三重积分的计算可以使用柱坐标、球坐标等方法来简化计算过程。
3.多重积分的性质–可加性：多重积分具有可加性，即对于函数的积分，可以将区域分割成多个子区域，分别在每个子区域上计算积分，再将这些积分相加。
–定积分的值与路径无关：对于连续函数，在一个闭合曲线上的积分与路径无关，只与路径所围成的区域有关。
二、重要定理1.Fubini定理Fubini定理是二重积分和三重积分的重要定理，它可以将多重积分转换为一重积分的形式，简化积分计算的过程。
2.Green公式和Stokes定理Green公式和Stokes定理是两个重要的向量积分定理。
它们描述了曲线积分和曲面积分与散度、旋度之间的关系。
3.Gauss公式Gauss公式是一个重要的体积积分定理，它表明了三维空间中的散度与体积分之间的关系。
这个定理在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
三、应用实例1.质量和质心多重积分在质量和质心的计算中有广泛的应用。
通过将物体划分为无穷小的微元，可以通过多重积分计算物体的总质量和质心的位置。
2.引力和电场的计算在物理学中，多重积分可以用于计算引力和电场的作用。
通过计算物体上的质量或电荷在空间中的分布，可以使用多重积分来求解引力或电场的强度。
3.概率密度函数和统计分析在概率论和统计学中，概率密度函数描述了随机变量的概率分布。
多元函数微积分在高等数学中的应用
高等数学是大多数理工科专业学生必修的一门课程，它是数学的重要分支之一，主要包括微积分和数学分析两部分。
而其中的多元函数微积分作为其重要的组成部分，广泛应用于各个领域，具有重要的实际意义。
多元函数微积分主要研究含有多个变量的函数，它是高等数学的一项重要内容。
在高等数学的学习过程中，多元函数微积分的应用是不可或缺的。
首先，在几何中，多元函数微积分可以用于描述和研究曲线、曲面以及多元函数的图像。
通过对多元函数的导数和微分的研究，可以求得曲线的切线和曲面的切平面，进一步帮助我们理解几何中的诸多概念和性质。
其次，多元函数微积分在物理学中也具有重要的应用价值。
物理学中很多问题都可以归结为求解关于时间、空间和速度等参数的多元函数微积分问题。
比如，物体的运动问题可以用多元函数表达，并通过对其求导和积分，得到物体在不同时间点的速度和位移等信息。
同时，多元函数微积分还能用于解决涉及到多个变量的问题，如流体力学中的动量守恒、质量守恒等问题。
此外，多元函数微积分在经济学中也有着广泛的应用。
经济学中常常涉及到多个变量之间的相互作用关系，而多元函数微积分可以提供工具来研究这些关系。
例如，通过对多元函数求偏导和最值，可以帮助经济学家优化生产成本、最大化利润等问题。
此外，多元函数微积分还可以帮助理解和解决市场经济中的供需关系、定价策略等重要问题。
最后，多元函数微积分还在工程学和计算机科学中有广泛的应用。
在工程学中，多元函数微积分可以帮助进行结构分析、材料力学、电路设计等问题的求解。
而在计算机科学中，多元函数微积分常常用于图像处理、机器学习、模式识别等方面，这些都涉及到对多元函数的处理和分析。
总的来说，多元函数微积分是高等数学中的重要内容，它在几何学、物理学、经济学、工程学和计算机科学等领域都有着广泛的应用。
通过学习和理解多元函数微积分的概念和原理，我们可以用数学的方法分析和解决实际问题，进一步提高我们的分析能力和解决问题的能力。
高等数学中的多元函数的积分
高等数学中的多元函数的积分高等数学中的多元函数积分高等数学是一门抽象的学科，它以符号理论和逻辑推理为基础，利用数学结构和算法解决复杂的问题。
在高等数学中，多元函数积分是一个非常重要的概念。
多元函数积分是现代数学的基石之一，它与实际问题密切相关，具有广泛的应用范围。
1. 多元函数积分的概念多元函数积分是一种数学工具，它用于计算多元函数在闭合区域上的积分值。
多元函数是指有多个自变量的函数，积分是对多元函数在一个闭合区域上的求和操作。
多元函数积分的概念最早是由黎曼在19世纪中期提出的，现在已经成为现代数学的一部分。
2. 多元函数积分的性质多元函数积分具有以下性质：（1）线性性：若f和g是定义在闭合区域U上的两个多元函数，a和b是常数，则有∫[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy＝a∫f(x,y)dxdy+b∫g(x,y)dxdy。
（2）可加性：若f是定义在闭合区域U上的多元函数，在它的范围内用一个曲面D把闭合区域分成两个部分U1和U2，则有∫f(x,y)dxdy＝∫f(x,y)dxdy＋∫f(x,y)dxdy。
3. 多元函数积分的计算方法多元函数积分的计算方法有以下几种：（1）直接计算：即按照定义式进行积分。
这种方法适合于计算简单的多元函数积分。
（2）使用改变变量法：改变变量法是通过变量代换的方式，将多元函数转化为标准形式，并重新计算积分。
这种方法适合于计算复杂的多元函数积分。
（3）使用重积分法：重积分法是把多元函数积分表示为两个一元函数积分的积分形式，再进行计算。
这种方法适合于计算连续多元函数积分。
4. 多元函数积分的应用多元函数积分是解决实际问题的有力工具，它在物理、工程、金融等领域都有广泛的应用。
（1）物理领域：例如，通过多元函数积分可以计算物体的体积、质心、转动惯量等参数。
（2）工程领域：例如，通过多元函数积分可以计算电场、磁场、热量传递等参数。
（3）金融领域：例如，通过多元函数积分可以计算期权和利率等金融指标。
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G1
f ( P ) dg + ∫ h ( P )dg
G2
定积分
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
c b a a c
D1
二重积分
D D 1 D2
D2
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, y)dσ
性质3 性质
（ ∫ dg = G的度量 比如面积，体积，弧长等）
i =1
L(或 Γ ) 称为积分路径，ds称为弧长元素 称为积分路径 积分路径， 称为弧长元素. 称为弧长元素
为空间有限曲面片（ （5）当G为空间有限曲面片（常记为 ）时， ） 为空间有限曲面片 常记为∑）
f ( P ) = f ( x , y , z )，x , y , z ) ∈ Σ， (
称为对面积的曲面积分 称为对面积的曲面积分
b b b a a a
∫∫[ f ( x, y) ± g( x, y)]dσ = ∫∫ f ( x, y)dσ ±∫∫ g( x, y)dσ
D D D
性质2（区域可加性） 性质 （区域可加性） 若G分为两部分G = G1 + G2 , G1 ∩ G2 = φ ,
则
b
∫ f ( P ) dg = ∫
第一节 多元函数积分的概念与性质 1. 物体质量的计算
设有一质量非均匀分布的物体， 设有一质量非均匀分布的物体，其密度 是点M的函数 是点 的函数 = f (M ). 已知，怎样求物体的质量呢？ 如果函数 f 已知，怎样求物体的质量呢？
在定积分中， 在定积分中，一根线密度为
= f ( M ) = f ( x)
i i
σ i
二重积分的几何意义
当被积函数 f ( x , y ) ≥ 0时， 二重积分是曲面 z = f ( x, y)为顶，
z z = f ( x, y)
V D y
其投影D为底曲顶柱体的体积. 其投影 为底曲顶柱体的体积. 为底曲顶柱体的体积 o f ( x, y)dσ = V ∫∫
D
Байду номын сангаас
当被积函数 f ( x , y ) ≤ 0时， 二重积分是曲顶柱体的体积的负值. 二重积分是曲顶柱体的体积的负值.
多元函数积分学 及其应用
第九章 重积分 第十章 曲线积分与曲面积分
引
言
在一元函数积分学中, 在一元函数积分学中, 我们知道定积 分是某种确定形式的和的极限. 分是某种确定形式的和的极限. 这种和的 极限的概念推广到定义在区域、 极限的概念推广到定义在区域、曲线及 曲面上多元函数的情形，便得到重积分、 曲面上多元函数的情形，便得到重积分、 曲线积分及曲面积分的概念. 曲线积分及曲面积分的概念. 将函数在这些区域 区域、 将函数在这些区域、曲线及曲面上 的积分统称为函数在几何形体上的积分. 的积分统称为函数在几何形体上的积分. 函数在几何形体上的积分
dg ∫∫ ff((Px))dx ＝lim ∑ f ( ξ i )xi λ →0 i =1
b
Ga
n
为平面有界闭区域（ （2）当G为平面有界闭区域（常记为 ）时， ） 为平面有界闭区域 常记为D f ( P ) = f ( x , y )，x , y ) ∈ D， 二重积分 ( 称为二重积分 称为 n
D
任意划分为n个子域 i 【分割】把D任意划分为 个子域 σ（也表 分割】 任意划分为 示面积） 示面积）i = 1, 2,L n, x Mi σi 近似】 【近似】M i ∈ σ i , 【求和】 求和】
n i =1
m i ≈ f ( M i )σ i
n i =1
D
y
m = ∑ m i ≈ ∑ f ( M i ) σ i
∑ f ( P )g
i =1 i
n
i
都趋于同一常数，
那 么 ， 称 函 数 f 在 G上 可 积 ， 且 此 常 数
为多元函数 f 在G上的积分.记作
∫ f ( P )dg = lim ∑ f ( P )g λ
G →0 i =1 i
n
i
函数f ( p ) 在几何形体G上的积分
∫ f ( P )dg = lim ∑ f ( P )g λ
特别地，由于 f ( P) ≤ f ( P) ≤ f ( P) ，
故有
定积分
∫ f ( P ) dg ≤ ∫
G
b a
G
f ( P ) dg
∫ f ( x)dx ≤ ∫ h( x)dx
b a
D D
二重积分： 二重积分：∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ h( x, y)dσ
若M , m分别是f ( P ) 在G上的最大值 和最小值，则
∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,ηi )σ i = V λ →0 i =1
D
n
z
f ( ξ i ,η i )
z = f ( x, y )
小柱体体积无限累加 得到以曲面为顶， 得到以曲面为顶，
y
区域D为底的曲顶 区域 为底的曲顶 为底的
o
x
D
的体积V. 柱体的体积 柱体的体积 (ξ ,η )
i =1 i =1
【取极限】 λ = max {gi的直径} 取极限】 n
m = lim ∑ f ( M i )gi
λ →0
i =1
2. 多元函数积分的概念
定义 表示一个有界的可度量几何形体， 设G表示一个有界的可度量几何形体， 表示一个有界的可度量几何形体
函数f ( P ) 在G上有界. 将 G 任 意 划 分 为 n个
y dS ∫∫ f∫( xf, ( ,pz))dg = lim ∑ f (ξ i ,ηi ,ζ i )Si G λ →0
∑
n
i =1
称为积分曲面 积分曲面， 称为曲面面积元素. 称为曲面面积元素 Σ 称为积分曲面，dS称为曲面面积元素
例1 设 z = f ( x , y ) 在 有 界 闭 区 域 D 连 续 ， 的几何意义. 讨论二重积分 ∫∫ f ( x , y )dσ 的几何意义
的值, 例2 估计积分 I = ∫∫ ( x + y)xydxdy 的值 其中D 其中 是矩形域 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2. (确定被积函数在 上的最大值和最小值 确定被积函数在D上的最大值和最小值 确定被积函数在 上的最大值和最小值) 解 在区域 D上, 由于 上
( 或f ( P ) = f ( x , y , z )，x , y , z ) ∈ Γ，
称为对弧长的曲线积分 称为对弧长的曲线积分
n
G
( dg λ →0 ∫ f f( x ,Py))ds = lim ∑ f (ξ i ,ηi )si i =1 n
L
∫
Γ
f ( x , y , z )ds = lim ∑ f (ξ i ,η i , ζ i )si λ →0
D就 是 积 分 域 ， dσ 称 为 面 积 元 素 . 为空间有界闭区域（ （3）当G为空间有界闭区域（常记为 ）时， ） 为空间有界闭区域 f ( P ) = f ( x, y, z )， , y, z ) ∈, 称为三重积分 (x 称为三重积分
y )dv ∫∫∫∫ f (fx(, P,)zdg = lim ∑ f (ξ i ,ηi ,ζ i )vi λ →0 i =1
x
∫∫ f ( x, y)dσ = V
D
3.多元函数积分的性质 多元函数积分的性质
多元积分的存在性与定积分类似： 多元积分的存在性与定积分类似：
若函数 f 在有界闭集G上连续，
则 f 在G上可积.
当函数f ( P ), h( P )可积时，多元函数
积分有与定积分类似的性质.
性质1 线性性质） 性质1 （线性性质）
o
【取极限】 m = lim ∑ f ( M i )σ i 取极限】
λ →0
i =1
n
λ = max {σ i的直径}
细棒的质量 m = lim
λ →0
λ →0
∑ f (ξ )x
i =1 n i
i =1
n
i
薄板的质量 m = lim ∑ f ( M i )σ i 均可由相同形式的和式极限来确定. 均可由相同形式的和式极限来确定. 一般地，设有一质量非均匀分布在某一 一般地， 几何形体G上的物体 可以是直线段 可以是直线段、 几何形体 上的物体 (G可以是直线段、 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线), 其质量可以按照以上四个步骤来计算： 其质量可以按照以上四个步骤来计算：
D
解
z
∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,ηi )σ i λ →0 i =1
D
n
z = f ( x, y)
曲顶柱体
o
x
D任意划分为 个子域σi 任意划分为n个子域 任意划分为 (ξi ,ηi ) σ i y 点 ( ξ i , η i ) ∈ σ i
D
小平顶柱体体积 =f ( ξ i ,η i ) σ i 高×底面积
性质5 估值性 估值性） 性质 (估值性）
mG ≤ ∫ f ( P ) dg ≤ MG
G
这个性质可以由m ≤ f ( P ) ≤ M 利用性质3 和性质4 推出.
b a
定积分 m(b a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M(b a) 二重积分： 二重积分： mσ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ M σ
n
( P )d ∫∫ ff ( x , )ydgσ = lim ∑ f (ξ i ,ηi )σ i ∫G λ →0 i =1
D
就 是 积 分 域 ， dv 称 为 体 积 元 素 .