作业调度问题

流水作业调度问题（不能直接使用动态规划法的例子）

流水作业调度的定义：

设有n个作业，每一个作业i均被分解为m项任务:

T i1, T i2, ┅ , T im(1≤i≤n，故共有n×m个任务)，

要把这些任务安排到m台机器上进行加工。

如果任务的安排满足下列3个条件，

则称该安排为流水作业调度：

1. 每个作业i的第j项任务T ij (1≤i≤n, 1≤j≤m)

只能安排在机器P j上进行加工；

2. 作业i的第j项任务T ij(1≤i≤n, 2≤j≤m)的开始加工时间

均安排在第j-1项任务T i,j-1加工完毕之后；

(任何一个作业的任务必须依次完成，前一项任务完成之后才能开始着手下一项任务)

3. 任何一台机器在任何一个时刻最多只能承担一项任务。

最优流水作业调度：

设任务T ij在机器P j上进行加工需要的时间为t ij。

如果所有的t ij (1≤i≤n, 1≤j≤m)均已给出，

要找出一种安排任务的方法，

使得完成这n个作业的加工时间为最少。

这个安排称之为最优流水作业调度。

完成n个作业的加工时间：

从安排的第一个任务开始加工, 到最后一个任务加工完毕，

其间所需要的时间。

优先调度：

允许优先级较低的任务在执行过程中被中断，

转而去执行优先级较高的任务。

非优先调度：

任何任务一旦开始加工，就不允许被中断，

直到该任务被完成。

流水作业调度一般均指的是非优先调度。

非优先调度可看成是特殊的优先调度：

所有任务的优先级均相同。

7 5 8

e.g. （t ij）= 2 2 6

0 7 4

注意：t ij为0表示作业i无须在机器P j上进行加工、

即该道工序可以省略。

已经证明，当机器数(或称工序数)m≥3时，

流水作业调度问题是一个NP-hard问题（e.g分布式任务调度）。（粗糙地说，即该问题至少在目前

基本上没有可能找到多项式时间的算法。）

∴只有当m=2时，该问题可有多项式时间的算法。

为方便起见，记t i1为a i（作业i在P1上加工所需时间），

t i2为b i（作业i在P2上加工所需时间）。

当机器P1为空闲即未安排任何加工任务时，

则任何一个作业的第一个任务（第一道工序）

都可以立即在P1上执行，无须任何先决条件。

因此容易知道，

必有一个最优调度使得在P1上的加工是无间断的。

实际上，如某个最优调度π在P1上安排的加工是有间断的，则我们可以把所有在P1上出现间断处的任务的

开始加工时间提前，使得在P1上的加工是无间断的；

而在P2上仍按π原先的安排。

把这样调整之后的调度记作为π’。

由于在调度π’下，任何一个任务在P1上加工的结束时间不晚于在调度π下的结束时间，故调度π’

不会影响在P2上进行加工的任何一个任务的开始时间。

由于调度π’在P1上的结束时间早于调度π，

在P2上的结束时间与调度π相同，而π又是最优调度，

所以π’也是最优调度。由此我们得到：

一定有一个最优调度使得在P1上的加工是无间断的。

另外，也一定有一个最优调度使得在P2上的加工空闲时间（从0时刻起算）为最小，

同时还满足在P1上的加工是无间断的。（证明留作作业）

因此，如果我们的目标是只需找出一个最优调度，

我们可以考虑找：在P1上的加工是无间断的、

同时使P2的空闲时间为最小的最优调度。

（根据上述理由，这样的最优调度一定存在。）

可以证明，若在P2上的加工次序与在P1上的加工次序不同，则只可能增加加工时间（在最好情况下，增加的时间为0）。（证明留作作业）

也就是说，在P1上的加工次序已确定的情况下，

至少有一个最优调度，

其在P1上的加工次序与在P2上的加工次序是完全相同的

（这一点对m≥3不成立）。

因此，当只需找到一个最优调度时，

我们仅需要考虑在P1和P2上加工次序完全相同的调度。

以下的讨论均以此为前提。

为简化起见，我们假定所有a i≠0。因为如果有a i=0的作业，

我们可以先对所有a i≠0的作业进行调度，

然后把所有a i=0的作业放到最前面执行（可按任意次序）。

最优调度具有如下性质：

在所确定的最优调度的排列中去掉第一个执行作业后，

剩下的作业排列仍然还是一个最优调度，

即该问题具有最优子结构的性质。

而且，在计算规模为n的作业集合的最优调度时，

该作业集合的子集合的最优调度会被多次用到，

即该问题亦具有高度重复性。

这就引导我们考虑用动态规划法求解。

然而，正如我们下面将会看到的，

虽然使用动态规划法可以得到一些有用的结果，

但如果不加以某种改进，

完全照搬动态规划法会使得算法的时间复杂度成为指数量级。

问题求解的思路如下。

设N={1，2，┅，n}是全部作业的集合，

作业集S是N的子集合即有S ⊆N。

在我们对S中的第一个作业开始进行加工时，

机器P2上加工的其它作业可能还尚未完成，

不能立即用来对S中的作业进行加工。

假设对机器P2需等待t个时间单位以后

才可以用于S中的作业加工（t也可以为0即无须等待），

并记g(S,t)为在此情况下完成S中全部作业的最短时间，

则可用下述递归表达式来表出g(S,t)：

g(S,t)=min i∈S{a i+ g(S-{i},b i+max{t-a i,0})} （*）

即：当选定作业i为S中第一个加工作业之后，

在机器P2上开始对S-{i}中的作业进行加工之前，

所需要的等待时间为b i+max{t-a i,0}。

这是因为，

若P2在开始加工S中的作业之前需等待t个时间单位且t > a i，则作业i在P1上加工完毕（需时a i）之后，

还要再等t-a i个时间单位才能开始在P2上加工；

若t≤a i，则作业i在P1上加工完毕之后，立即可以在P2上加工，等待时间为0。故P2在开始对S-{i}中的作业进行加工之前，

所需要的等待时间为b i+max{t-a i,0}。

（b i是作业i在P2上加工所需的时间）。