数学分析刘玉琏10-2

c d
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
例 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交
成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 解 建立如图所示的坐标系，从而底面圆的方程为
x 2 y 2 R2
设x为[–R,R]上之任意一点， 过该点且垂直 x 轴的截面面积为 – R
x 2 y 2 R2
y2 z2 例如 2 1 2 b c x2 y2 2 1 2 a b
椭圆柱面 // x 轴 双曲柱面 // z 轴 抛物柱面 // y 轴
x 2 2 pz
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
(3)二次曲面
二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面.
讨论二次曲面性状的方法：截痕法.
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 （即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌． a.椭球面
z
B(0, y, z )
M ( x,
R(0, 0, z ) z C ( x ,0, z )
x
x
o
P ( x ,0,0)
一一对应
y
y, z )
Q(0, y,0) A( x , y ,0)
y
空间的点M
有序数组 ( x , y, z )
空间点的坐标
特殊点的表示: 坐标原点: O(0,0,0);
y
O
r y x h 于是所求圆锥体的体积为
r V x dx 0 h
h 2
P
r
h
x
r x 2 h 3
2
3 h
0
hr 2 . 3
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
用与上面类似地方法可以推出：由曲线x=φ(y)、直线y=c、
y =d ( c < d )与y轴所围成的曲边梯形，绕y轴旋转一周而成的旋转 体如图所示

Q
P
N
d M1 P PN NM 2 ,
2
2
2
2
o x
所以 d
2 2 2
yBiblioteka Baidu
M1 P PN NM 2
由 M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
2
NM 2 z2 z1 ,
2 2
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
它截得的截面面积是x的函数，记为A( x ),x [a, b]， 并称之为 的截面面积函数.
y A(x)
在[a, b]上任取一个小区间 [x,x+dx]， 得一薄片的体积微元
dV A( x )dx,
O
a
x x+dx
b x
于是有，V A( x )dx .
a
b
类似地，若立体被夹在过 y 轴上的点 y=c与y=d并垂直于 y 轴 的两平面之间，在[c,d]上的任意点y处垂直于y 轴的截面面积S(y) 是y的连续函数，则立体的体积为 V S ( y )dy.
x

y
y
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
例1( P 244) 求由两个圆柱面x 2 y 2 a 2与x 2 z 2 a 2所围立体 的体积.
解 如图所示为该立体在第一卦限部分的图像.
z
a
x
对任一x∈[0,a], 过该点且垂直 x 轴的 截面是一个边长为 a 2 x 2 的正方形.
aA D 0, 将三点坐标代入，有 bB D 0, 解得 cC D 0,
D A , a D B , b D C . c
代入所设方程，得
x y z 1, a b c
称为平面的截距式方程.
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
(2)柱面
Vx [ f ( x )]2 dx .
a b
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
例3(P245) 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围
成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的
圆锥体，计算圆锥体的体积． 解 过原点O 及点P(h,r)的直线方程为
2 2 2
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
(2)绕 y 轴旋转所得旋转体的体积. 解法1 由 y 2 x x 2 , 解出 x 1 1 y .
y
(1,1)
x 1 1 y
x 1 1 y
O
1
(2,0) x
故绕 y 轴旋转所得旋转体的体积
Vy [(1 1 y ) ]dy [(1 1 y )2 ]dy
a
b
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
习题：P246§2习题 1－6题
x2 y2 z2 2 2 1. 2 a b c
特别地，当 a = b = c 时，得球面方程
x2 y2 z2 a2 .
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
椭球面与三个坐标面的交线：
x2 y2 2 1, 2 a b z 0, x2 z2 2 1, 2 a c y 0, y2 z2 2 1, 2 b c x 0,
坐标轴上的点:P , Q , R ; 坐标面上的点: A , B , C.
3. 空间两点间的距离
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
设M1 ( x1 , y1 , z1 )和M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点, d M1 M 2 ?
z
R
M1
M 2 使用勾股定理知
在直角 M1 NM 2及直角 M1 PN中,
双曲抛物面（马鞍面） 设 p 0, q 0, 图形如右示：
z
o
x
y
二(P243) 平行截面面积为已知的立体的体积 设 为三维空间中的一立体，它夹于垂直于x轴的两平面x a与x b(a b)之间. 若任意一点x [a, b]处作垂直于x轴的平面，
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
圆柱
圆锥
圆台
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
设f 是[a , b]上的连续函数， 是由平面图形 0 | y || f ( x ) | ，a x b 绕x轴旋转一周所得的旋转体，
y
y f ( x)
O
a
x
b
x
A( x ) y 2
于是, 绕x轴旋转的旋转体的体积为 :
类似地可讨论 A= C = 0 , B = C = 0 情形.
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
例 设平面与x,y,z三轴分别交于 P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c) (其中a≠0,b≠0,c≠0)，求此平面方程.
解
设平面方程为 Ax By Cz D 0,
1 8 2 V y 2 x( 2 x x 2 )dx 2 x 3 x 4 . 0 4 0 3 3
2
2
注(P246习题5) 由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b(a<b)与x轴 所围成的曲边梯形，绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为
V y 2 x f ( x )dx.
d
y
y
x ( y)
c
O
x
于是，绕y轴旋转的旋转体的体积为 :
Vy [ ( y )]2 dy.
c d
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
例 求曲线 y = 2x−x2 和 y = 0所围成的图形分别绕 x 轴及 y
轴旋转所得旋转体的体积.
解 (1)绕 x 轴旋转所得旋转体的体积. 为了确定积分区间，应先求两曲线之交点，解方程组
2 0 0 1 1
8 4 (1 y ) d (1 y ) . 0 3
1
1 2
例4(P245)
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
解法2
y
取x为积分变量，即x的变化区间[0, 2].
(1,1)
y 2 x x2
O x x+dx
(2,0)
x
薄壁圆桶
体积微元 dV 2 x y dx
o
z
故 A(x) = a2－x2，x∈[0,a]，由公式得
a
a
y y
a
y a2 x2
x
a
x
V 8 (a 2 x 2 )dx
0
a
o
16 3 a . 3
a
a
x
y o
D
x
a
x
例2( P 244)
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
三(P245) 旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而 成的立体．这直线叫做旋转轴．
y 2 x x2 , y 0,
y
(1,1)
y 2 x x2
x
得交点(0,0)， (2,0)；顶点(1,1).
O
x
(2,0)
从而 0 x 2, 0 y 1.
故绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
16 V x (2 x x ) dx . 0 15
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第十章
定积分的应用
§2 由平行截面面积求体积
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
一 空间解析几何简介(补充) 1. 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. 即以右手握住 z 轴，当右手的四个手指从正向 x 轴以
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线 L 所形成的曲
面称为柱面. 这条定曲线 C 称为柱面的准线,动直线 L 称为柱面的母线.
柱面举例
z
z
y 2 x2
o
y
x
o
y
x
抛物柱面
x 2 y 2 R2
圆柱面
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
从柱面方程看柱面的特征：
只含x,y而缺z的方程 F(x,y) = 0，在空间直角坐标系中表示母 线平行于z轴的柱面，其准线为xOy面上曲线C.(其它类推)
平面一般方程的几种特殊情况：
a . D 0, 例如：x + y + z = 0 ，该平面通过坐标原点；
D 0, 例如：y + z = 0 ， 平面通过x轴； b. A 0, D 0, 例如：y + z = 1 ，平面平行于x轴.
类似地可讨论 B = 0 , C = 0 情形. 平面平行于xoy坐标面. c. A B 0, 例如：z = 1 ，

2
角度
转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向.
z 竖轴
原点
o
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y Ⅰ
Ⅵ Ⅴ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
2. 空间中的点与坐标
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
A(x)
A(x)，则由三角形的面积公式，有
O
A( x )
则
1 1 2 R y y tan y tan x 2 2 1 2 ( R x 2 )tan 2 R 1 R 2 2 3 2 V A( x )dx R ( R x )tan dx R tan . R 2 3
z
o x
y
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
b.抛物面
x2 y2 z ( p 与 q 同号) 2 p 2q 椭圆抛物面的图形如下：
z O x z y
x
O
y
p 0, q 0
p 0, q 0
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
x2 y2 z ( p 与 q 同号) 2 p 2q
.
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O(0, 0, 0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积
4. 空间曲面
方程 F(x,y,z) = 0 决定了空间直角坐标系上的一张曲面.
(1)平面的一般方程
Ax By Cz D 0, 其中A, B, C不全为零.