2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件：2-3-1 双曲线及其标准方程

第二章
第 1 课时 双曲线及其标准方程
第二章 圆锥曲线与方程
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课前自主预习 课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业 方法规律总结
第二章
2.3
第1课时
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课程目标解读
第二章
2.3
第1课时
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3．利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应先判断焦 点所在位置，不能确定时应分类讨论． 4．已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往 利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式． 5．当利用双曲线的定义求解轨迹方程问题时，要注意应 用数形结合的思想方法． 6．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
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2.3
第1课时
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解法二：由焦点坐标知 c＝6，∴a2＋b2＝36， y2 x2 ∴双曲线方程为 2－ ＝1. a 36－a2 ∵双曲线过点 A(－5,6)， 36 25 ∴ a2 － ＝1， 36－a2 ∴a2＝16，b2＝20. y2 x2 双曲线方程为16－20＝1.
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第1课时
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[解析]
(1)解法一：由已知得，c＝6，且焦点在 y 轴上，
则另一焦点坐标是(0,6)． 因为点 A(－5,6)在双曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的 差的绝对值是常数 2a，即 2a＝| －52＋6＋62－ －52＋6－62| ＝|13－5|＝8， 得 a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. y2 x2 因此，所求的双曲线标准方程是16－20＝1.
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x2 y2 设点 P 是双曲线 9 －16＝1 上任意一点， 1、 2 分别是左、 F F 右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.
[答案] 4 或 16
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第1课时
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7.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点 A(－5， 6)．________ x2 y2 (2)与椭圆16＋25＝1 共焦点， 且过点(－2， 10)． ________ x2 y2 (3) 与 双 曲 线 － ＝ 1 有 公 共 焦 点 ， 且 过 点 (3 2 ， 16 4 2)．________
绝对值 3．双曲线定义中应注意关键词“________”，若去掉定 绝对值 双曲线一支 义中“________”三个字，动点轨迹只能是____________． x2 y2 4．焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 a2－b2＝1(a>0， y2 x2 b>0) _____，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0， a b b>0) _____． a2＋b2＝c2 5．在双曲线的标准方程中 a、b、c 的关系为_________.
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第1课时
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y2 x2 当 m<0，n>0 时，方程为 － ＝1 表示焦点在 y 轴上的 1 1 n －m 双曲线，此时 a＝ 1 ，b＝ n 1 － . m
在求双曲线的标准方程时，若焦点的位置不确定，则常考 虑上述设法．
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第1课时
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1．了解双曲线的定义，并能根据双曲线定义恰当地选择 坐标系，建立及推导双曲线的标准方程． 2．通过与椭圆的类比、对照，了解双曲线的标准方程， 并培养学生分析、归纳、推理等能力． 3．掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的 a、b、c；能 根据条件确定双曲线的标准方程．
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课堂典例讲练
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第1课时
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命题方向
思路方法技巧 双曲线的定义
[例 1]
已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2
焦距 叫做双曲线的_____，两焦点之间的距离叫做双曲线的_____． 焦点
2．在双曲线的定义中，条件 0<2a<|F1F2|不应忽视，若 2a
两条射线 ＝|F1F2|，则动点的轨迹是___________；若 2a>|F1F2|则动点的 不存在 轨迹_________．
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第1课时
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＝9，动圆 M 同时与圆 C1 与圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的 轨迹方程．
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第1课时
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[解析]
如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于
点 A 和 B，根据两圆外切的充要条件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. ∵|MA|＝|MB|， ∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， ∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.
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2.3
第1课时
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注意：方程 mx2＋ny2＝1(mn<0)表示的曲线为双曲线，它 包含焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情形，当 m>0，n<0 时，方 x2 y2 程为 － ＝1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，此时 a＝ 1 1 m －n ＝ 1 －n ； 1 ，b m
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人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
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第二章
2．3 双曲线
第二章 圆锥曲线与方程
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x2 y2 (3)12－ 8 ＝1
第二章
2.3
第1课时
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重点难点展示
第二章
2.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第1课时
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重点：双曲线的定义及其标准方程． 难点：双曲线标准方程的推导．
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第1课时
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学习要点点拨
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第1课时
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1．在理解双曲线的定义时，要注意到对“定值”的限 定．即定值大于零且小于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情 况，即：“当定值等于|F1F2|时，轨迹是两条射线；当定值大于 |F1F2|时，点不存在．” 2．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系，推 导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导中，是 令 b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令 b2＝ c2－a2.
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第1课时
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课前自主预习
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第1课时
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1．在平面内到两个定点 F1、F2 距离之差的绝对值等于定 值 2a(大于 0 且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做______． 双曲线 这两个定点
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第1课时
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(1)判断焦点位置确定方程的形式： 根据条件判定双曲线的 焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两坐标轴都有可能． x2 y2 y2 x2 根据上述判断设方程为a2－b2＝1 或a2－b2＝1(a>0，b>0)． (2)确立参数的关系式：根据已知条件列出关于 a、b、c 的 方程组． (3)解方程组：定形式，解上述方程组，得到参数 a、b、c 的值，代入所设方程即为所求．
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第1课时
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6．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比 的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作 用，也能有效的解决知识的混淆．在学习双曲线知识时，要时 时留意与椭圆进行对比． 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系．
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第1课时
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[点评]
本题是用定义法求动点的轨迹方程，由于动点 M
到两定点 C2、 1 的距离的差为常数， C 而不是差的绝对值为常数， 因此，其轨迹只能是双曲线的一支．这时可直接依据条件求出 a、b 写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复 杂的运算进行化简．
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第1课时
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x2 y2 (2)由 ＋ ＝1 知焦点为 F1(0，－3)，F2(0,3)． 16 25 y2 x2 设双曲线的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，则有 10 4 2 － 2＝1， a b a2＋b2＝9. ∴a2＝5，b2＝4. y2 x2 ∴所求的双曲线的方程为 5 － 4 ＝1.
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第1课时
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[分析]
(1)由焦点坐标可知 c，结合 a、b、c 的关系及经
过点 A(－5,6)可列出关于 a、b 的方程组求解． (2)由椭圆方程可求焦点，可知与(1)解法同． (3)可先求出双曲线焦点，以下与(1)解法同；也可先由共焦 点的双曲线特征设出双曲线方程，代入已知点求出待定系数．
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第1课时
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椭圆 定义|MF1|＋|MF2|＝2a 因为 a>c>0， 所以令 a2－c2＝b2(b>0) x2 y2 y2 x2 a2＋b2＝1 或a2＋b2＝1 (a>b>0)
双曲线 定义|MF1|－|MF2|＝± 2a 因为 0<a<c， 所以令 c2－a2＝b2(b>0) x2 y2 y2 x2 a2－b2＝1 或a2－b2＝1 (a>0，b>0，a 不一定大于 b)
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第1课时
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(3)依题意，设所求的双曲线的方程为 x2 y2 － ＝1 (－4<k<16)， 16－k 4＋k 将(3 2，2)代入得 k＝4. x2 y2 ∴所求的双曲线的方程为12－ 8 ＝1.
[答案] y2 x2 y2 x2 (1)16－20＝1 (2) 5 － 4 ＝1
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第1课时
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这表明动点 M 与两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2.根据 双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的 距离大，与 C1 的距离小)． 这里 a＝1，c＝3，则 b2＝8，设点 M 的坐标为(x，y)， y2 则其轨迹方程为 x2－ 8 ＝1(x<0)．
[解析]
由双曲线方程，得 a＝3，b＝4，c＝5.
当点 P 在双曲线的左支上时， 由双曲线定义， 得|PF2|－|PF1| ＝6，所以|PF2|＝|PF1|＋6＝10＋6＝16； 当点 P 在双曲线的右支上时， 由双曲线定义， 得|PF1|－|PF2| ＝6，所以|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4. 故|PF2|＝4 或|PF2|＝16.