实数(1)概念和分类
实数的分类和表示
实数的分类和表示实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两大类。
本文将探讨实数的分类和表示方法。
一、实数的分类实数可以细分为有理数和无理数两个大类。
1. 有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
有理数包括整数、分数和有限小数。
（1）整数：整数包括正整数、负整数和零。
它们可以用于计数和描绘负债等概念。
（2）分数：分数由一个整数（分子）除以另一个非零整数（分母）得到。
分数可以表示一个数的部分或比例。
（3）有限小数：有限小数是有限位数的小数，可以通过有限步骤进行准确表示。
2. 无理数无理数是无法表示为两个整数的比值的数，其表示是无限不循环小数。
无理数包括无限不循环小数和无理代数数。
（1）无限不循环小数：无限不循环小数在十进制表示中有无限位数，且不存在循环模式。
例如，√2、π等。
（2）无理代数数：无理代数数是无理数的一个子类，可以满足一个代数方程，但不能被有理数表示。
例如，√2是方程x²-2=0的一个解。
二、实数的表示方法实数可以用不同的表示方法来准确描述。
1. 十进制表示法十进制表示法是最常用的一种实数表示方法。
在这种表示法中，实数用整数部分、小数部分和小数点来表示。
例如，3.14、-0.25、2等都是十进制表示的实数。
2. 分数表示法分数表示法将实数表示为两个整数的比值。
这种表示方法适用于有理数。
例如，1/2、3/5等都是分数表示的实数。
3. 根式表示法根式表示法是一种表示无理数的方法，常用于表示开方根式。
例如，√2、√3、√5等都是根式表示的无理数。
4. 近似表示法近似表示法使用有限位数的小数来逼近实数的真实值。
这种方法常用于测量和实际计算中。
例如，3.14159可以近似表示π。
总结：实数是数学中的一个重要概念，包括有理数和无理数两大类。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和有限小数。
无理数是无法表示为有理数的比值的数，包括无限不循环小数和无理代数数。
实数可以用十进制、分数、根式和近似等表示方法来准确描述。
初中实数概念及分类
初中实数概念及分类实数是数学中的基本概念之一，在数轴上表示，包括有理数和无理数两个部分。
有理数可以表示为一个整数除以另一个非零整数的商，而无理数则表示为一个无限不循环小数或一个无穷不循环循环小数。
下面将详细介绍实数的概念及分类。
一、实数的概念实数是指可以在数轴上表示的所有数的集合。
数轴上的每一个点都对应一个实数，实数包括有理数和无理数两部分。
有理数：可以表示为两个整数的比值。
有理数集合通常用Q 表示，Q = {a/b | a, b是整数，且b≠0}。
无理数：无理数无法表示为两个整数的比值，通常可以通过无穷不循环小数来表示。
无理数集合通常用R-Q表示。
二、实数的分类1. 有理数的分类有理数可以分为整数、正整数、负整数、分数、正分数和负分数等几个分类。
（1）整数：整数包括正整数、负整数和0。
整数集合通常用Z表示。
（2）正整数：正整数是大于0的整数。
（3）负整数：负整数是小于0的整数。
（4）分数：分数是可以表示为一个整数除以另一个整数的商的数，其中分母不为0。
（5）正分数：正分数是大于0的分数。
（6）负分数：负分数是小于0的分数。
2. 无理数的分类无理数可以分为无限不循环小数和无穷不循环循环小数两类。
（1）无限不循环小数：无限不循环小数是指小数部分无限延伸，且没有循环节的小数。
例如，π、e、根号2等都是无限不循环小数。
（2）无穷不循环循环小数：无穷不循环循环小数是指小数部分有无线循环的小数。
例如，1/3 = 0.333...、1/7 = 0.142857142857...等都是无穷不循环循环小数。
三、实数的性质1. 实数的加法性质（1）交换律：对于任意实数a和b，a + b = b + a。
（2）结合律：对于任意实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
（3）存在零元：存在一个实数0，使得任意实数a + 0 = a。
（4）存在负元：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。
第一章实数笔记
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：
设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则 。
实数的运算（做题的基础，分值很大
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
科学记数法
把一个数写做 的形式，其中 ，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。（特别大的数与特别小的数）
实数大小的比较
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
实数大小比较的几种常用方法
倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
平方根、算数平方根和立方根
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“ ”。
算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“ ”。
实数运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
科学记数法和近似数
初中实数概念及分类
初中实数概念及分类实数是数学中的一个重要的数系，包括有理数和无理数。
实数可以用于描述物理、化学等自然科学问题，也可以用于解决经济、统计等社会科学问题。
实数的概念及其分类是初中数学的基础知识，下面就此展开讨论。
一、实数概念：实数是可以直观地表示在数轴上的数，它包括有所有的有理数和无理数。
实数在数轴上按大小是有序的，两个实数之间有无穷多个实数。
二、实数的分类：1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比的数。
有理数包括整数、正整数、负整数、零以及分数。
有理数之间的运算有加法、减法、乘法和除法等。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比的数，即不能写成分数形式的数。
无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两类。
（1）无限不循环小数：无限不循环小数是指小数部分有无穷无尽的数字，并且没有循环节。
如开不尽的根号2、根号3等。
（2）无限循环小数：无限循环小数是指小数部分有一段数字不断循环出现。
如1/3=0.3333...、22/7=3.142857142857...等。
3. 整数：整数包括正整数、负整数和零。
整数是有理数的一种特殊类型。
4. 正数和负数：正数是大于零的数，负数是小于零的数。
正数和负数都是有理数的一种特殊类型。
5. 零：零是整数中既不是正数也不是负数的数。
零是有理数及整数的一种特殊类型。
6. 小数：小数是没有到达个位的十进制数，它包括有理数中的所有小数和无理数中的无限不循环小数。
三、实数的性质：1. 有理数和无理数共同构成了实数集合，任意两个实数之间存在着无穷多个实数。
2. 实数在数轴上是有序的，可以比较大小。
对于任意的两个实数a和b，必定有且仅有下面三种关系之一：a=b、a>b或a<b。
3. 实数之间满足加法、减法、乘法和除法的运算规则。
实数运算遵循整数和有理数的运算规律。
4. 实数也具有传递性、互补性、逆元性、等式性、分配率等基本性质。
综上所述，实数是数学中的一个重要概念，包括了有理数和无理数，可以用来描述各种自然科学和社会科学问题。
《实数》ppt课件
指数运算法则可以用于简化复杂的数 学表达式。
03
CATALOGUE
实数的分类
有理数和无理数
有理数
可以表示为两个整数之比的数， 包括整数、有限小数和无限循环 小数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数， 常见于无限不循环小数，如π和 √2。
正数、负数和零
01
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03
正数
大于零的实数，包括正整 数、正小数和正无理数。
其结果仍为实数。
详细描述
实数的加法运算与整数、有理 数类似，遵循交换律和结合律 ，即a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
总结词
正数与负数相加，结果的符号 取决于绝对值较大的数。
详细描述
如果a>0，b<0，则a+b=a-(b)；如果a<0，b>0，则 a+b=b-(-a)。
减法运算
总结词
《实数》PPT课件
目 录
• 实数的基本概念 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数在生活实数的基本概念
实数的定义
实数的定义
实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合，即实数集。实数集可以用实数轴来表 示，实数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数都可以在实数轴上找到一个点来
乘法运算
总结词
乘法运算在实数范围内具有封闭性， 即任何两个实数相乘，其结果仍为实 数。
详细描述
实数的乘法运算遵循交换律和结合律 ，即ab=ba，(ab)c=a(bc)。
总结词
正数与负数相乘得负数，负数与负数 相乘得正数。
详细描述
正数乘以正数得正数，如2*3=6；正 数乘以负数得负数，如2*(-3)=-6； 负数乘以负数得正数，如(-2)*(3)=6。
实数的概念与分类
实数的概念与分类在我们的数学世界中，实数是一个极其重要的概念，它贯穿了从基础数学到高等数学的各个领域。
要理解实数，首先得清楚它的定义和分类。
实数，简单来说，就是有理数和无理数的统称。
有理数，大家应该都比较熟悉，像整数，比如－3、0、5 等等；还有分数，比如 1/2、－3/4 等等，这些都属于有理数的范畴。
有理数可以表示为两个整数的比值。
那什么是无理数呢？无理数是指那些不能表示为两个整数之比的数。
最常见的无理数就是圆周率π和自然对数的底数e 了。
还有像根号2 、根号 3 这样开方开不尽的数，也是无理数。
我们先来仔细看看有理数。
整数很好理解，就是像－2、－1、0、1、2 这样的数，它们没有小数部分。
而分数呢，比如 1/2 ，它表示把一个整体平均分成 2 份，取其中的 1 份。
有理数在我们的日常生活中应用非常广泛。
比如去买东西算价格，或者计算路程和时间的关系等等，很多时候用到的都是有理数。
接下来谈谈无理数。
以根号 2 为例，它的值约等于 141421356 是一个无限不循环小数。
为什么说它是无限不循环的呢？假设我们去计算根号 2 的小数部分，如果一直计算下去，是找不到任何规律的，不会像 1/3 等于 03333 这样循环。
无理数的发现其实还有一段有趣的历史。
在古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数指的是有理数。
但是后来他们的一个成员发现了根号2 不能表示为有理数，这在当时引起了巨大的震动。
实数的分类除了按照有理数和无理数来分，还可以从正负的角度来看。
正实数，就是大于 0 的实数，比如 2、35、π 等等。
负实数则是小于 0 的实数，像－1、－25 等等。
0 既不是正实数，也不是负实数。
在数轴上，实数与点是一一对应的。
也就是说，每一个实数都能在数轴上找到一个唯一对应的点；反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个唯一的实数。
这种一一对应的关系非常重要，它帮助我们更好地理解实数的连续性和稠密性。
实数的有关概念和性质
实数的有关概念和性质实数是数学中非常重要的概念，是所有数的集合，包括有理数和无理数。
实数的性质也具有丰富的特点，在数学的各个领域都有广泛的应用。
下面我们来详细探讨实数的相关概念和性质。
一、实数的分类实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。
而无理数则是不能表示为有理数的数，比如圆周率π和自然对数的底e等。
实数可以用数轴上的点来表示，有理数在数轴上的分布是稠密的，而无理数在数轴上是孤立的点。
二、实数的性质1. 实数的加法和乘法运算封闭性：实数集合对加法和乘法运算是封闭的，即两个实数相加或相乘的结果仍然是实数。
2. 实数的交换律和结合律：实数的加法和乘法满足交换律和结合律，即a＋b＝b＋a，a×b＝b×a，a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，a×(b×c)＝(a×b)×c。
3. 实数的分配律：实数的加法和乘法满足分配律，即a×(b＋c)＝a×b＋a×c。
4. 实数的对称性：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a＋(-b)=0，称为a的相反数。
5. 实数的序性：实数集合具有良序性，即对于任意两个实数a和b，必有a＝b，a＞b或a＜b中的一种关系成立。
6. 实数的有界性：实数集合中存在上界和下界，对任意实数集合S，存在一个数M，对任意的s∈S，有s≤M，M称为S的上界。
7. 实数的密集性：实数的有理数部分在实数集合中是稠密的，即任意两个实数之间都存在有理数。
通过以上对实数的概念和性质的探讨，我们可以更加深入地理解实数的基本性质和相互之间的关系。
在数学推导和问题求解中，实数的性质起着至关重要的作用，对于学习数学和相关领域的知识有着重要的帮助。
希望以上内容对您有所帮助。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中的一个基本概念。
简单来说，实数就是有理数和无理数的总称。
有理数，大家应该比较熟悉，像整数（正整数、零、负整数）以及分数（正分数、负分数），都属于有理数。
例如3、－5、0、1/2 等等。
而无理数呢，则是无限不循环小数。
比如大家熟知的圆周率π，约等于 31415926，还有像根号 2 ，约等于 141421356 这些数都是无理数。
二、实数的分类实数可以按照不同的标准进行分类。
如果按照符号来分，可以分为正实数、零、负实数。
正实数，就是大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数，是小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
零，既不是正实数，也不是负实数。
从另一个角度，如果按照是否为有理数来分，实数就分为有理数和无理数。
有理数又可以进一步细分为整数和分数。
整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
三、实数的性质1、实数的有序性对于任意两个实数 a 和 b，在三种关系中，有且仅有一种成立：a ＜ b，a ＝ b，a ＞ b。
2、实数的稠密性实数在数轴上的分布是稠密的，也就是说，在任意两个不同的实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。
3、实数的四则运算实数的加法、减法、乘法和除法运算（除数不为 0），其结果仍然是实数。
加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：a × b ＝ b × a乘法结合律：（a × b) × c ＝ a ×（b × c)乘法分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c4、实数的绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，其定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。
绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0 。
四、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
实数的有关概念及实数的分类
例9：[02潍坊]若 与 互为相反数， 则 的值为 。
课堂练习：
《全解》P5
小结：
⑴要注意绝对值概念的正确应用。因为互为相反数的绝对值相等，因此绝对值等于一个正数的数有两个，它们是一对互为相反数，不可漏掉其中任何一个。
⑵解涉及有理数的绝对值、大小比较等问题时，数轴是一个十分有效的工具。可由已知条件确定对应于数轴上的点，按“表示在数轴上的点的数，左边的数总比左边的大”进行比较大小；有时也可采用特殊值法进行判断。
总复习
代数第一课时 实数的有关概念及实数的分类
教学目的：通过概念的复习和典型例题评析，使学生掌握实数的有关概念和实数的分类，并通过适当的练习得到提高。
教学重点：典型例型评析。
教学难点：学生综合能力的提高。
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一、实数的分类：
. 二、数轴: ⑴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 ⑵实数与数轴上的点是一一对应的。
例4：已知：| a |=3，| b |=2，且 ab < 0，求 a－b 的值。 a =3， b =－2时， a－b＝5 a =－3， b =2时， a－b＝－5
平方根： 如果 ( )，那么 x 叫做 a 的平方根(二次方根)，记作 ，其中 叫做 a 的算术平方根。
正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零(一个)。负数没有平方根。
⑶注意平方根与算术平方根的区别与关系。要求一个的平方根或算术平方根，须将这个数先进行化简或计算。
⑷相反数和倒数是两个重要的概念，要注意两者的区别。
⑸已知条件是含有字母的二次根式，要注意隐含的条件，因为 中 ，一般遇到 可转化为 去处理。
绝对值：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。 一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。
实数基础知识点
实数基础知识点实数是数学中一个非常重要的概念。
它是数轴上所有的有理数和无理数的集合，包括正数、负数以及零。
在数学中，实数用R来表示。
接下来，我们将逐步介绍实数的一些基础知识点。
一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
1.有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
它包括正整数、负整数、零，以及所有可以表示为两个整数的比值的分数。
例如，1、-5、0、1/2等都属于有理数。
2.无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数。
它包括无限不循环小数，如根号2、π等。
无理数的小数表示是无限不循环的，例如根号2≈1.4142135…，π≈3.1415926…等。
二、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们来逐一介绍。
1.加法：实数的加法满足交换律和结合律。
例如，对于任意的实数a、b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2.减法：实数的减法是加法的逆运算。
例如，对于任意的实数a和b，有a - b = a + (-b)。
3.乘法：实数的乘法满足交换律和结合律。
例如，对于任意的实数a、b和c，有a * b = b * a和(a * b) * c = a * (b * c)。
4.除法：实数的除法是乘法的逆运算。
例如，对于任意的实数a和b（其中b≠0），有a / b = a * (1 / b)。
三、实数的性质实数具有一些重要的性质，包括有序性、稠密性和连续性。
1.有序性：实数可以进行大小比较。
对于任意的实数a和b，有a < b、a = b或者a > b。
这是实数的一个重要性质，它使得我们可以对实数进行排序。
2.稠密性：实数是稠密的，即在任意两个不相等的实数之间，都存在着其他的实数。
这意味着在数轴上，任意两个实数之间都可以找到一个实数。
3.连续性：实数具有连续性，即在数轴上不存在间隙。
任意两个实数之间都存在着无限个实数。
这个性质对于实数的运算和分析非常重要。
1、实数的概念
A．－4 C．0
图1－1
B．－2
D．4
探究二 实数的有关概念 命题角度： 1．数轴、相反数、倒数等概念； 2．绝对值的概念及计算．
例2 填空题： (1)相反数等于它本身的数是____0____． (2)倒数等于它本身的数是___±__1___． (3)平方等于它本身的数是___0_或__1__． (4)平方根等于它本身的数是____0____． (5)绝对值等于它本身的数是__非__负__数__．
A．＋2
B．－3
C．＋3
D．＋4
[解析] 根据题意，最接近标准的数就是绝对值最小的那个 数，选A.
9．[2011·遵义]某种生物细胞的直径约为 0.00056m，将 0.00056
用科学记数法表示为( B ) A．0.56×10－3
B. 5.6×10－4
C. 5.6×10－5
D. 56×10－5
[解析]将一个比较小的数表示成a×10p的形式，其中1≤|a|<10， p为整数，确定p的方法是第一个有效数字前有多个零，p就等于 多少．
[注意]
(1)任何分数都是有理数，如272，－131等． (2)0 既不是正数，也不是负数，但 0 是自然数． (3)常见的几种无理数：
①根号型： 2，3 4等开方开不尽的； ②三角函数型：sin60°，tan30°等；
π ③与π有关的： 3 ，π－1 等； ④构造型：1.323223222…(每两个 3 之间依次多一个 2)等．
若a、b互为相反数，则有a ＋b＝0，
|a|＝|b|.0的相反数是0
__乘__积____为1的两个数互为 0没有倒数，倒数等于本身
倒数
实数概念例题和知识点总结
实数概念例题和知识点总结一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数和分数，整数又分为正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
无理数是无限不循环小数。
二、实数的分类1、按定义分类实数可以分为有理数和无理数。
有理数：能表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。
无理数：不能表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数，如π、＼（＼sqrt{2}＼）等。
2、按正负分类实数可以分为正实数、零和负实数。
正实数：大于零的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数：小于零的实数，包括负有理数和负无理数。
零：既不是正实数也不是负实数。
三、实数的性质1、实数与数轴上的点一一对应。
数轴上的每一个点都对应一个实数，反之，每一个实数都能在数轴上找到一个对应的点。
2、实数的运算（1）加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零。
（2）减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
（3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。
（4）除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为零）。
（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
四、实数的大小比较1、正数大于零，零大于负数，正数大于负数。
2、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
3、作差法：若\（a b ＞ 0\），则\（a ＞ b\）；若\（a b ＝ 0\），则\（a ＝ b\）；若\（a b ＜ 0\），则\（a ＜ b\）。
4、作商法：对于两个正数\（a\）、＼（b\），若\（＼frac{a}｛b} ＞ 1\），则\（a ＞ b\）；若\（＼frac{a}｛b} ＝ 1\），则\（a ＝ b\）；若\（＼frac{a}｛b} ＜ 1\），则\（a ＜ b\）。
实数的概念
位长度的直线。
水平或竖直
思考：有无最大的正数？
最小的负数？
单位长度
原点
正方向
5
数轴
下列图形哪些是数轴，哪些不是，为什么？
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
-2 -1 0 1 2 -2 -1 1 2
0 -2 -1 0 1 2
-2 -1 0 1 2
-1 -2 0 1 2
不是 不是 不是 不是 是
12
分数
真分数 假分数
13
倒数
猜谜语：54321 观察右图：
倒数：乘积为__1 的两个数互为倒数
1
a(a≠0)的倒数是__
a
0 没有倒数 1 的倒数是它本身
14
绝对值
1.绝对值的概念（几何定义） 在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝
对值（absolute value)，记作︱a︱
数a的绝对值记作|a|. 对任何有理数a,总有 |a| ≥0
0
无限循环
分数 无理数
常见的无理数有大部分的平方根、π等
无限不循环 3
数轴
在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站 东3m 和 7.5m 处分别有一棵柳树和一棵杨树, 汽车站西3m 和 4.8m 处分别有一棵槐树和一 根电线杆,试画图表示这一情境。
4
数轴
定义：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。规定了原点、正方向、单
实数
Contents
P.1 实数的分类
职
P.2 数轴
业
病
P.3 相反数
危
害 因
P.4 分数
素
P.5 倒数
P.6 绝对值
2
实数的相关概念.PPT
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第1讲┃实数的有关概念
距离 ， 4． 绝对值： 数轴上表示数 a 的点与原点的________ 记作|a|， a（a>0）， |a|＝0（a＝0）， －a（a<0）. 5．科学记数法：把一个数写成 a× 10n(其中 1≤|a|＜10，n 为 整数)的形式．设这个数为 m，①当|m|≥10 时，n 等于原数的整数 位数减 1.②当|m|≤1 时，|n|等于原数最左边非零数字前所有零的个 数． 6．近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近 似数精确到哪一位．有计数单位的近似数，由近似数的位数和后面 的单位共同确定．如 3.618 万，数字 8 实际上是十位上的数字，即 精确到十位．
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第1讲┃实数的有关概念
解
析
无理数就是无限不循环小数。理解无理数的概念，
一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，
即有限小数和无限循环小数都是有理数，而无限不循环小数
是无理数．无理数有：－π，0.1010010001…(相邻两个1之 间依次多一个0),共有2个。
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第1讲┃实数的有关概念
探究三 科学记数法
命题角度： 用科学记数法表示数． 例3 [2013²邵阳] 据邵阳市住房公积金管理会 议透露，今年我市新增住房公积金11.2亿元，其中 11.2亿元可用科学记数法表示为( B ) A．11.2³108元 B．1.12³109元 C．0.112³1010元 D．112³107元
实数讲义
第十二章实数【知识点说明】1、掌握实数的概念、数的开方。
2、掌握实数的运算、分数指数幂、熟练运用有理数指数幂的公式。
【知识梳理】一、实数的概念1、定义：有理数和无理数统称为实数。
2、实数的分类：正有理数有理数零----有限小数或无无限循环小数负无理数实数正无理数无理数----无限不循环小数负无理数二、数的开方1、平方根和开平方：①定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。
，其中______表示a的正平方根（又叫______________），读作“根号a”。
②表示：正数a的两个平方根记作a③性质：正数的平方根有两个，且互为_________；0的平方根为________；负数没有平方根。
④2a=_______=⑤一个数a的算术平方根具有_________，即：____________________。
2、立方根和开立方：① 定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用3a 表示，读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，“3”叫做___________；求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。
② 任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。
3、n 次方根：定义：如果一个数的n 次方（n 是大于1的正数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根。
求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数。
【热身练习】1、与数轴上的点一一对应的是（ ） A.全体有理数B.全体无理数C.全体实数D.全体整数2、如果一个实数的平方根与它的立方根相等，那么这个数是 （ ）.A.0B.正实数C.0和1D.13、如果y =0.25，那么y 的值是（ ） A 0.0625 B ．-0.5C ．0.5D ． 0.6254、如果x 是a 的立方根，那么下列说法中正确的是（ ）A -x 也是a 的立方根B ．-x 是-a 的立方根C ．x 是-a 的立方根D ． x 等于a 的立方3 5、若式子x-31的平方根只有一个，则x 的值是__________ 6、若一个正数的平方根是2a-1和 -a+2，则这个正数是__________ 7、已知1-2a + （b + 3）2 = 0，则=332ab__________ 8、已知y =191x -91+-+x ，则xy=_________ 9、有理数x 经过四舍五入得到的近似数是3.142，则x 的范围是__________ 10、若22x =+，则（x + 2）2的平方根为___________ 11、设x ，y 为实数，且y = 5x -54-++x ，则 | x – y | =__________【课堂练习】一、选择题1. 实数38、2π、34、310、25其中无理数有（） A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 2. 如果162=x ，则x 的值是（）A 、 4B 、 -4C 、4±D 、2± 3．下列说法正确的是（）A 、25的平方根是5B 、22-的算术平方根是2 C 、8.0的立方根是 D 、65 是3625 的一个平方根 5．下列说法⑴无限小数都是无理数 ⑵无理数都是无限小数 ⑶带根号的数都是无理数 ⑷两个无理数的和还是无理数 其中错误的有（ ）个A 、 3B 、 1C 、 4D 、 2 6．如果x x -=2 成立的条件是（）A 、x ≥0B 、 x ≤0C 、 x>0D 、x <07.设面积为3的正方形的边长为x ，那么关于 x 的说法正确的是（） A 、x 是有理数 B 、3±=x C 、 不存在 D 、 取1和2之间的实数 8．下列说法错误的是（）A 、2a 与2)(a -相等 B 、a 与a - 互为相反数 C 、3a 与3a -是互为相反数 D 、a 与a -互为相反数 三、实数的运算1、掌握用数轴上的点表示实数，在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点的距离为____2、有理数的额运算法则、运算性质以及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用，开方和乘方是同级运算。
第1课时实数的概念和分类PPT课件(沪科版)
按大
小分
应用
正实数
零
负实数
有限小数
或无限循
环小数
无限不循
环小数
第1课时
实数的概念和分类
按定义分
分
类
实数
的概
念和
分类
正有理数
按大
小分
正实数
零
负实数
正无理数
负有理数
负无理数
应
用
实数的有关概念
逼近法求无理数的近似值
第1课时
实数的概念和分类
小结
知识点一 无理数的概念
无限不循环小数叫做 无理数 .
};
(2)有理数:{
, ,-., ,-., };
(3)负实数:{ -π,-0.1010010001,-3.14
}.
第1课时
实数的概念和分类
【归纳总结】实数分类的“两点注意”:
(1)弄清“标准”,清楚按什么分.
(2)“不重不漏”,即分类时不能漏掉一个数,也不能使某个数在两
是两个整数的比,而 是无理数,故 是无理数,不是分数.
谢 谢 观 看！
第6章
6.2 实数
实数
第6章 实数
第1课时
实数的概念和分类
目标突破
总结反思
第1课时
实数的概念和分类
目标突破
目标一 会辨认无理数
例 1 [教材补充例题] 在 3.14159,-2,
中,无理数有 ( A )
A.2 个
B.3 个
C.4 个
··
,0, ,0.20 , 这 7 个数
D.5 个
2023~2024学年 6.3 课时1 实数的概念与分类(15页)
类似0.101 001 000 1…(每相邻 两个1之间依次多1个0） 这样的 无限不循环小数
知识点二：实数与数轴的关系
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示. 无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢? 探究：如图,直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周， 圆上的一点由原点到达点 O'，点 O' 对应的数是多少?
●
●
● ●
●
●
●
●π
●●
●●
-1
O1
2
3O 4
点O' 对应的数应该是圆的周长π
正无理数
负无理数
2
5
32
3 3
2
（两个1之间依次多一个0）（两个2之间依次多一个0） 概念：无限不循环小数叫做无理数．
无理数的三种常见形式： (1)开方开不尽的数，如 3 ， 3 5，…；
(2)含有π的一类数： π， 1 π，π＋1，…；
3
(3)类似0.101 001 000 1…(每相邻两个1之间依次多1个0) 这样的无限不循环小数．
有理数和无理数统称实数 仿照有理数的分类你能给实数分类吗？
有理数： 有限小数或无限循环小数
整数 分数
实
数
无理数： 无限不循环小数
含开方开不尽的数
π 含有 的数
有规律但不循环的小数
1．下列说法正确的是( D ) A．无限小数是无理数 B．有根号的数是无理数 C．无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数 D．无理数包括正无理数和负无理数
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
★实数和数轴上的点是一一对应的.
数轴上A，B两点表示的数分别为 2 和5.1，则A，B两点 之间表示整数的点共有( C )
实数概念及习题
专题一 实数（一） 实数的有关概念1. 概念：(1)有理数: 和 统称为有理数。
（2）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数，则 。
（3）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。
（4）倒数：乘积 的两个数互为倒数。
若a （a≠0）的倒数为1a.则 。
（5）绝对值：代数定义：a （a ＞0 ）∣a ∣＝ 0 （a ＝0 ）-a （a ＜0）几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。
（6）无理数： 小数叫做无理数。
（7）实数： 和 统称为实数。
（8）实数和 的点一一对应。
2.实数的分类:说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准实数无理数(无限不循环小数)正分数 负分数 正整数 0 负整数 (有限或无限循环性整数分数 正无理数 负无理数实数负数整数 分数 无理数有理数 正数整数分数无理数有理数3.科学记数法、近似数和有效数字（1）科学记数法：把一个数记成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n 是整数）（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
取近似数的原则是“四舍五入”。
（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。
（二） 实数的运算：1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则 (1)有理数加法法则：①同号两数相加，取__ __的符号，并把__ __②绝对值不相等的异号两数相加，取___ __的符号，并用 ___ ___。
互为相反数的两个数相加得_ _。
③一个数同0相加，__ __。
(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上__ _。
(3)有理数乘法法则：①两数相乘，同号_ _，异号__ __，并把__ 。
任何数同0相乘，都得__ __。
②几个不等于0的数相乘，积的符号由__ __决定。
当__ ___，积为负，当___ __，积为正。
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第六章 实数 6.2 实数
第1课时：实数概念与分类
教学目标：1．掌握无理数和实数的概念，掌握实数的两种分类方法．
2．理解实数与数轴之间的对应关系．
3．了解估算与逐步逼近的数学思想方法，培养学生的探究能力．
教学重点：无理数和实数的概念．
教学难点：无理数的概念的引入，实数的分类．
教学方法：探究、讨论．
教学过程：
一．复习：⒈平方根、算术平方根、立方根的概念．
⒉如果一个数平方是3，那么这个数是多少？如果一个数的立方是3，那么这个数是多少？
⒋有理数的概念：整数和分数统称为有理数．有理数的分类．
⒌分数：有限小数和无限循环小数．无限循环小数化为分数的方法要复习．
设 1.3x =，则14133
x =+=，0.3x =，10 3.3x =，1030.3x =+，略． 二．新课：
⒈设置问题情景：①在正方形网格中找面积为1、4、9的正方形；②在正方形网格中找面积为2、5、10的正方形．
说明：通过这项交流和探究活动，培养学生的观察能力，探索能力．
：2112=<，2242=>，所以12<<不是整数；
21.4 1.962=<，21.5 2.252=>，所以1.4 1.5<<；1.41 1.42<<，
如此，逐步逼近，可知1.414 1.415<< 1.4142135=
说明：①研究方法：是逐步逼近的方法；②比较两个数大小的方法：平方法．
⒊例1
②2245=<，2395=>，所以23<<
③23910=<，241610=>，所以34<<
例2：比较11
解：方法1：因为11= 11=>11⒋无理数的概念：
引入：比较如下的数的区别：0、1、1.414、.09123、0.1001000100001…….、π ⑴有理数、分数与有限小数、无限循环小数之间的关系．
⑵无理数：无限不循环小数叫无理数．
⑶无理数的分类：正无理数的负的无理数．注意：0是有理数．
⑷例举无理数：π
⒌实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
⒍实数的分类：
①按有理数与无理数分②按数的性质分
⒎实数与数轴上的点的对应关系：
，π，－3π．三．练习：
四．归纳小结：
⒈①研究方法：是逐步逼近的方法；②比较两个数大小的方法：平方法．
⒉无理数的概念．准确找出一组数中的无理数．
⒊实数的概念与分类．
实数（1）练习题
一、选择题
1．下列实数中，是无理数的是（ ）．
A ．3.14
B ．12
- C ．0 D 2．下列各组数中，都是无理数的一组是（ ）．
A ．带根号的数都是无理数
B ．无限小数是无理数
C ．数轴上的点都表示实数
D ．无理数只含有正无理数和负无理数
3．下列命题中，正确的是（ ）．
A ．在实数中没有绝对值最小的实数
B ．最小的实数是0
C ．64的立方根是±4
D ．当||0a a -=时，a 为非负数
4．下列各数中222.3, 3.1415,72π---
无理数的个数有( ) A ． 3个 B ．4个 C ．5 个 D ．6个
5．在13，4，6
π中，分数的个数是（ ）个．A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
6 ）．
A ．12<<
B ．23<<
C ．34<<
D ．45<<
7．数轴上所有的点所表示的数是（ ）．
A ．全体有理数
B ．全体无理数
C ．全体实数
D ．全体整数
8．下列判断正确的有（ ）个．
A ．a 是一个实数，则2a 的算术平方根为a
B ．a 是一个实数，则2
a 的算术平方根为a ±
C ．a -没有平方根
D ．实数a 是2a 的一个平方根
9．下列各数中最小的数是（ ）．
A ．－2
B ．
C
D ．10．数轴上的原点和原点左边的所有点表示的数是（ ）．
A ．负有理数
B ．负实数
C ．零和负有理数
D ．零和负实数
二、填空题
11． 叫做无理数．
12．数轴上的点和 建立了 关系，从而将数和形结合起来．
13的自然数有 个．
14．用“＜”或“＞”号填空
15．用“＜”或“＞”号填空43 34．
16．点M 在数轴上与原点相距5个单位，则点M 所表示的实数为 ．
17．数轴上到3-的点的距离为3的点所表示的数是 ．
18．在实数3-、2、0、0.35、2
π、37、0.1010010001、327中，有理数有 个． 19． 1.4（误差小于0.1）≈ ．
20．3250（误差小于1）≈ ．
三、解答题
21．把下列各数填入相应的集合内．
32、16、8、π-、12π、5-、36、0、0.5757757775、（相邻两个5之间的7的个数逐次增加）、0.3、0.01-
有理数{
}、无理数{ } 整数{ }、 分数{
} 实数{
} 22．在数轴上画出表示5-的点．
23．已知实数x 、y 满足223(235)0x y x y --+--=，求8x y -的平方根和立方根．
24．若2 1.414=，14.14a =，请你求出a 的值．。