基本不等式的变形及推广

a1
a2
an
1
,则
a1
a2
an
( 1 )n n
(2)若a1 a2 an 1 ,则 a1 a2 an n
当且仅当 a1 a2 an 时取等x>0，y
x
4 x2
的最小值是
；
（2）设 a 1,b 2, y a b
1
(a 1)(b 2)
（2）如果x2＋y2 ＝S是定值，则当
最值
；
时，xy 有
（3）如果x2＋y2 ＝S是定值，则当
有最 值
；
时，x＋y
（4）如果x＋y ＝S是定值，则当
有最 值
；
时， x2＋y2
例题讲解
2(1)已知a,b,c,d都是正数, 求证:
a b c d 4 abcd
公
4
式
(2)已知a,b,c都是正数, 求证:
的最小值. 忽视“等”
复习回顾
重要不等式:
(1) a2+b2≥2ab; a,b∈R,当且仅当a=b时,取“=”号
(2) a b ab(a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，取“=”号）
(3)a2 b2 c2 ab bc ca(a R,b R)
（当且仅当a=b=c时，取“=”号）
(1)a3 b3 c3 3abc
推
广
(2) a b c 3 abc 3
公式推广
对称于An个 a正1 数a2a1
,a 2
,
an
, an .
为n个正数的算术
平均数. n
称 G n a1 a2 an为n个正数的几何平均数.
A≥G, 当且仅当 a1 a2 an 时取等号.
推论: (1)若
巩固练习
2、已知a>b>c,则使不等式
a
1
b
b
1
c
a
k
c
成立的最大实数k的值是_______.
错解辨析
1、求 最值。
f
(x)
2
log2
x
5 log2
x
(0
x
1)
的
忽视“正”
2、设a，b为非负数，a2 b2
的最大值。
2
1, 求a
1 b2
忽视“定”
3、 已知a，b>0，且a＋b＝1求 y (a 1 )(b 1) ab
(1)x 1 2; x
(2)a b2 2b, (a 0) a
(3)ax ax 2, (a 0, a 1)
(4)tan x cot x 2,(x是第一象限角)
(5)logab+ logba 2,(a> 1,b> 1)
(6)logab+ logba 2, (0< a< 1< b)
基本不等式的变形及 推广
复习回顾
应用均值不等式求最值的问题
(1)利用均值不等式求函数最值的步骤:
一正,二定,三相等
(2)先变形再利用均值不等式求函数最值: (3)取不到等号时用函数单调性求最值:
一不正,常用a b 2 ab(a 0,b 0) 二不定,需变形 三不等,常用单调性
巩固练习
1、 下列不等式成立的有_________.
典型例题
1.(1)证明不等式
a
2
b
2
a2
2
b2
(2)已知a，b都是正数，且a≠b，证明不等式公
2ab ab
式
(3)已知a，b都是a正数b ，且a≠b，证明不等式变
2 ab a b a2 b2 形
11
2
2
ab
练习
已知x，y都是正数，
（1）如果xy＝P是定值，则当
最值
；
时，x2＋y2 有
的最小值是
；
（3）当正数x，y满足x2y3＝27时，2x＋y的最小
值是
；
（4）当正数x，y满足2x＋y ＝15时， x2y3 的最
大值是
；