通信原理课程设计--汉明码的编码和译码
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兰州理工大学
课程设计报告
课程名称：通信系统课程设计
设计名称：汉明码的编码和译码
姓名：
学号:
班级：
指导教师：
起止日期：2014.4.7-2014.4.9
课程设计任务书
学生班级：学生姓名：学号：
设计名称：汉明码的编译和译码
起止日期：2012.6.11-2012.6.25 指导教师：
课程设计学生日志
课程设计评语表
汉明码的编码和译码
一、 设计目的和意义
1. 学习汉明码的编码和译码；
2. 学习Matlab 的相关使用，学会用Malab 解决实际问题；
3. 培养自己全面、独立思考的能力。
二、 设计原理
2.1汉明码编码原理
一般来说，若汉明码长为n ，信息位数为k ，则监督位数r=n-k 。若希望用r 个监督位构造出r 个监督关系式来指示一位错码的n 种可能位置，则要求
21r n -≥或211r
k r -≥++ (1)
下面以（7，4）汉明码为例说明原理：
设汉明码（n,k ）中k=4，为了纠正一位错码，由式（1）可知，要求监督位数r ≥3。若取r=3,则n=k+r=7。我们用6543210
a a a a a a a 来表示这7个码元，用
123
s s s 的值表示3个
监督关系式中的校正子，则
123
s s s 的值与错误码元位置的对应关系可以规定如表1所列。
表1 校正子和错码位置的关系
则由表1可得监督关系式： 16542
s a a a a =⊕⊕⊕
()2
26531s a a a a =⊕⊕⊕ ()3 36430s a a a a =⊕⊕⊕
()4 在发送端编码时，信息位6543
a a a a 的值决定于输入信号，因此它们是随机的。监督
位
2
a 、1a
、
a 应根据信息位的取值按监督关系来确定，即监督位应使式（2）~式（4）中1s
、
2
s 、3
s 的值为0（表示编成的码组中应无错码）
654265316
430000
a a a a a a a a a a a a ⊕⊕⊕=⎧⎪
⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩ (5)
式（5）经过移项运算，接触监督位
2654
16530
643a a a a a a a a a a a a
=⊕⊕⎧⎪
=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩ (6)
式（5）其等价形式为：
6543210111010001101010010110010a a a a a a a ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(7)
式（6）还可以简记为
0T T H A •=或0T
A H •= (8)
其中
111010011010101011001H ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
[]
6543210A a a a a a a a =
[]
0000=
111011011011P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
100010001r I ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以有
[]
r H PI = (9)
式（6）等价于
[][][]2
1
06
54
3654
3111110101011a a a a a a a a a a a Q
⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(10)
其中Q 为P 的转置，即
T Q P = (11)
式（10）表示,信息位给定后，用信息位的行矩阵乘矩阵Q 就产生出监督位。 我们将Q 的左边加上一个k ×k 阶单位方阵，就构成一个矩阵G
1000111010011000101
0100010
11k G I Q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦
(12)
G 称为生成矩阵，因为由它可以产生整个码组，即有
[][]65432106543a a a a a a a a a a a G =• (13)
或者
[]6
54
3A a a a a G
=• (14)
式(13)即汉明码的编码原理
2．2汉明码纠错原理
当数字信号编码成汉明码形式（本文中即A ）后在信道中传输，由于信道中噪声的干扰，可能由于干扰引入差错，使得接收端收到错码，因此在接收端进行汉明码纠错，以提高通信系统的抗干扰能力及可靠性。
一般来说接收码组与A 不一定相同。若设接收码组为一n 列的行矩阵B ，即 []
6543210B b b b b b bb =
(15)
则发送码组和接收码组之差为
B A E -= (16) E 就是传输中产生的错码行矩阵 []
6543210E e e e e e e e = (17)
若e i =0，表示接收码元无错误，若e i =1，则表示该接收码元有错。式（16）可改写成
B A E =+ (18)
若E=0，即接收码组无错,则B A E A =+=，将它代人式（8），该是仍成立，即有
0T B H •= (19)
当接收码组有错时，E ≠0，将B 带入式（8）后，该式不一定成立。在未超过检错能力时，式（19）不成立。假设此时式（19）的右端为S,即