线性定常系统的状态空间分析与综合2
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一般情况下，设单输入—单输出线性定常连续系统的 状态变量为 x1, x2, , xn，则一般形式的状态方程为
x&1 a11x1 a12 x2 L a1n xn b1u x&2 a21x1 a22x2 L a2n xn b2u
x&n an1x1 an2 x2 L ann xn bnu
线性系统理论
在现代控制理论中，系统的动态特性是用由状态 变量构成的一阶微分方程组来描述的。它不仅反映系 统的全部独立变量的信息，而且还可以方便地处理初 始条件。
它可以应用于非线性系统、时变系统、多输入、 多输出系统以及随机过程等。
线性系统理论是现代控制理论中最基本的内容， 其他分支均以线性理论为基础。
LC
基本概念
若改选 uc和 u&c为状态变量，即令 x1 uc , x2 u&c ，则得一阶
微分方程组为
x&1 u&c x2
x&2
u&&c
1 LC
x1
R L
x2
1 LC
u
写成矩阵形式
x&
x&1 x&2
0 1 LC
1 R
L
x1 x2
0 1 LC
u
在同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。
基本概念
输出方程 输出变量与状态变量、输入变量间的函数关
系式，称为系统的输出方程。在上图中， uc 为输出， 用 y 表示，则有
y uc x1 用矩阵表示为
y [1
0]
x1 x2
或
y CTx
其中
CT [1 0]
基本概念
状态空间表达式 状态方程与输出方程组合起来，称为 状态空间表达式。它构成对一个系统的完整描述。
u
B
D
x&
A
xC
y(t)
状态空间表达式的结构图
状态空间表达式的建立
状态空间模型一方面可根据系统的运行机理直接 建立，另一方面也可由经典控制理论已建立起来的数 学模型，即结构图、传递函数和微分方程来导出。
从系统的机理出发建立状态空间表达式 从系统方块图出发建立状态空间表达式 由微分方程（或传递函数）求状态空间表达式 多输入、多输出系统状态空间表达式的建立
u
dt
u
C
uc
L RLC电路
基本概念
i 和 uc表征了电路的运动状态，称为该电路的状态变 量，由此系统的状态变量可定义如下： 状态变量 足以完全表征系统运动状态的最小个数的一 组变量称为状态变量。
n阶微分方程有 n 个状态变量。状态变量的数目不能 多，也不能少。选多了，状态变量之间就会线性相关； 选少了，就不能完全描述系统。
从系统的机理出发
例 建立如右图所示机械系统的状
态空间表达式，并画出系统的状态图。
k F
根据牛顿第二定理有
m
或表示成
F ky f dy m d 2 y
dt
dt 2
d 2 y dy m dt2 f dt ky F
y f
机械位移系统
选择位移 y 和速度dy / dt为状态变量，令 x1 y, x2 dy / dt
c1
a2n
,
b
b2
,
x
x2
,
x&
百度文库
x&2
,
C
c2
M M M M M
ann
bn
xn
x&n
cn
基本概念
对于一个 r 维输入、m 维输出的多输入、多输出系统
其状态空间表达式为 x& Ax Bu
y
CTx
Du
式中
b11 b12 B b21 b22
bn1 bn2
则
x&1
x2
,
x&2
k m
x1
f m
x2
1 m
F,
y
x1
从系统的机理出发
用向量—矩阵表示的状态空间表达式为
x&1 x&2
0
k
m
1 f
m
x1 x2
0 1 m
F
,
y
[1
0]
x1 x2
b1r
u1
y1
b2r
,
u
u2
,
y
y2
bnr
ur
ym
c11 c12
C
c21
c22
cm1 cm2
c1n
d11 d12
c2n
,
D
d 21
d 22
cmn
dm1 dm2
d1r
d1r
d
mr
基本概念
系统的状态空间表达式，可以用下图的方框图表示
基本概念
输出方程除了是状态变量的函数外，有时还有输入变
量的直接传递，其一般形式为
y c1x1 c2 x2 cn xn du
用向量—矩阵表示的状态空间表达式为
x& Ax bu
y
CTx
du
式中 a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M L
an1
an2
L
a1n
b1
x1
x&1
u
基本概念
或
x& Ax bu
式中
x
x1
x2
,
A
0
1
L
1
C R
,
b
0 1
L
L
对上图所示系统，在以 uc作输出时，从式中消去
中间变量 i ，得二阶微分方程为
u&&c
R L
u&c
1 LC
uc
1 LC
u
相应的传递函数为
G(s)
Uc (s) U (s)
s2
1/ LC R / Ls 1/
状态空间
x1(t)
x1
x(t
)
x2
(t
),
简记为
x
x2
xn
(t
)
xn
以状态变量 x1, x2, , xn为坐标轴所张成的n维空间，
称为状态空间。系统在任意时刻的状态，在状态空间中是一个
点，随时间推移，状态在变化，在状态空间中绘出一条轨迹，
称为状态轨线。
基本概念
状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，
称为系统的状态方程。
系统方程式可以改写为
duc dt
1 C
i, di dt
1 L uc
Ri L
1u L
若将状态变量用一般符号 xi 表示，即令 x1 uc , x2 i ，
并写成向量—矩阵的形式，则状态方程变为
x&1 x&2
0
1 L
1 C R L
x1 x2
0 1 L
同一个系统，状态变量的选取不是惟一的。 对于一般的物理系统，状态变量的个数应等于储能元 件的个数。
基本概念
用状态变量来表征系统时，还有如下基本概念：
状态向量 把描述系统的 n个状态变量 x1(t), x2 (t), , xn (t) 看作向
量x(t) 的分量，则x(t) 称为 n 维状态向量，记作
9.1 线性系统的状态空间表达式
基本概念 状态空间表达式的建立 状态向量的线性变换 传递函数矩阵
基本概念
用下图所示的 RLC 电路，说明什么是状态变量，如何用状态
变量描述一个系统。
由电路原理可知，回路中的电流 i 和电容上的电压 uc 的变化规
律满足如下方程
R
L
di dt
Ri
uc
C duc i
x&1 a11x1 a12 x2 L a1n xn b1u x&2 a21x1 a22x2 L a2n xn b2u
x&n an1x1 an2 x2 L ann xn bnu
线性系统理论
在现代控制理论中，系统的动态特性是用由状态 变量构成的一阶微分方程组来描述的。它不仅反映系 统的全部独立变量的信息，而且还可以方便地处理初 始条件。
它可以应用于非线性系统、时变系统、多输入、 多输出系统以及随机过程等。
线性系统理论是现代控制理论中最基本的内容， 其他分支均以线性理论为基础。
LC
基本概念
若改选 uc和 u&c为状态变量，即令 x1 uc , x2 u&c ，则得一阶
微分方程组为
x&1 u&c x2
x&2
u&&c
1 LC
x1
R L
x2
1 LC
u
写成矩阵形式
x&
x&1 x&2
0 1 LC
1 R
L
x1 x2
0 1 LC
u
在同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。
基本概念
输出方程 输出变量与状态变量、输入变量间的函数关
系式，称为系统的输出方程。在上图中， uc 为输出， 用 y 表示，则有
y uc x1 用矩阵表示为
y [1
0]
x1 x2
或
y CTx
其中
CT [1 0]
基本概念
状态空间表达式 状态方程与输出方程组合起来，称为 状态空间表达式。它构成对一个系统的完整描述。
u
B
D
x&
A
xC
y(t)
状态空间表达式的结构图
状态空间表达式的建立
状态空间模型一方面可根据系统的运行机理直接 建立，另一方面也可由经典控制理论已建立起来的数 学模型，即结构图、传递函数和微分方程来导出。
从系统的机理出发建立状态空间表达式 从系统方块图出发建立状态空间表达式 由微分方程（或传递函数）求状态空间表达式 多输入、多输出系统状态空间表达式的建立
u
dt
u
C
uc
L RLC电路
基本概念
i 和 uc表征了电路的运动状态，称为该电路的状态变 量，由此系统的状态变量可定义如下： 状态变量 足以完全表征系统运动状态的最小个数的一 组变量称为状态变量。
n阶微分方程有 n 个状态变量。状态变量的数目不能 多，也不能少。选多了，状态变量之间就会线性相关； 选少了，就不能完全描述系统。
从系统的机理出发
例 建立如右图所示机械系统的状
态空间表达式，并画出系统的状态图。
k F
根据牛顿第二定理有
m
或表示成
F ky f dy m d 2 y
dt
dt 2
d 2 y dy m dt2 f dt ky F
y f
机械位移系统
选择位移 y 和速度dy / dt为状态变量，令 x1 y, x2 dy / dt
c1
a2n
,
b
b2
,
x
x2
,
x&
百度文库
x&2
,
C
c2
M M M M M
ann
bn
xn
x&n
cn
基本概念
对于一个 r 维输入、m 维输出的多输入、多输出系统
其状态空间表达式为 x& Ax Bu
y
CTx
Du
式中
b11 b12 B b21 b22
bn1 bn2
则
x&1
x2
,
x&2
k m
x1
f m
x2
1 m
F,
y
x1
从系统的机理出发
用向量—矩阵表示的状态空间表达式为
x&1 x&2
0
k
m
1 f
m
x1 x2
0 1 m
F
,
y
[1
0]
x1 x2
b1r
u1
y1
b2r
,
u
u2
,
y
y2
bnr
ur
ym
c11 c12
C
c21
c22
cm1 cm2
c1n
d11 d12
c2n
,
D
d 21
d 22
cmn
dm1 dm2
d1r
d1r
d
mr
基本概念
系统的状态空间表达式，可以用下图的方框图表示
基本概念
输出方程除了是状态变量的函数外，有时还有输入变
量的直接传递，其一般形式为
y c1x1 c2 x2 cn xn du
用向量—矩阵表示的状态空间表达式为
x& Ax bu
y
CTx
du
式中 a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M L
an1
an2
L
a1n
b1
x1
x&1
u
基本概念
或
x& Ax bu
式中
x
x1
x2
,
A
0
1
L
1
C R
,
b
0 1
L
L
对上图所示系统，在以 uc作输出时，从式中消去
中间变量 i ，得二阶微分方程为
u&&c
R L
u&c
1 LC
uc
1 LC
u
相应的传递函数为
G(s)
Uc (s) U (s)
s2
1/ LC R / Ls 1/
状态空间
x1(t)
x1
x(t
)
x2
(t
),
简记为
x
x2
xn
(t
)
xn
以状态变量 x1, x2, , xn为坐标轴所张成的n维空间，
称为状态空间。系统在任意时刻的状态，在状态空间中是一个
点，随时间推移，状态在变化，在状态空间中绘出一条轨迹，
称为状态轨线。
基本概念
状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，
称为系统的状态方程。
系统方程式可以改写为
duc dt
1 C
i, di dt
1 L uc
Ri L
1u L
若将状态变量用一般符号 xi 表示，即令 x1 uc , x2 i ，
并写成向量—矩阵的形式，则状态方程变为
x&1 x&2
0
1 L
1 C R L
x1 x2
0 1 L
同一个系统，状态变量的选取不是惟一的。 对于一般的物理系统，状态变量的个数应等于储能元 件的个数。
基本概念
用状态变量来表征系统时，还有如下基本概念：
状态向量 把描述系统的 n个状态变量 x1(t), x2 (t), , xn (t) 看作向
量x(t) 的分量，则x(t) 称为 n 维状态向量，记作
9.1 线性系统的状态空间表达式
基本概念 状态空间表达式的建立 状态向量的线性变换 传递函数矩阵
基本概念
用下图所示的 RLC 电路，说明什么是状态变量，如何用状态
变量描述一个系统。
由电路原理可知，回路中的电流 i 和电容上的电压 uc 的变化规
律满足如下方程
R
L
di dt
Ri
uc
C duc i