北京四中周长生：用高观点教数学

用高观点教数学作者：周长生（北京四中）选自《为不教而教》一书概述这里所说的高观点，是高层次的观点、理论、思想、方法的总称。

中国有一句古老的教育名言：师傅领进门，修行在个人。

这句话虽然家喻户晓。

但是，怎样领法呢？根据我的经验，教师主要用高观点武装学生头脑，使他们居高临下，自主修行。

任何事情，只有用较高的观点去审视，才能看清它的本质。

严格来说，同数学课本中的知识一样，高观点也属于知识的范围。

因此，从数学教学的角度来看，我们面对的是一座知识的高楼大厦，不同层次的知识居住在不同的楼层。

课本住在哪？主要在底下，D1，D2，D3等。

高观点住在哪？主要在地上，F1，F2，F3等。

可见，这里所说的高观点主要是高于课本的观点，它是获取课本上基本知识的有效手段。

没有高观点，即使有苦读深思的习惯，即使把书读破读烂，也是事倍功半。

可以这样讲：精读深思+高观点=如虎添翼。

就中学数学教学而言，高观点有哪些呢？我不可能说出全部的高观点，根据几十年的经验，我大致谈五个层面。

第一、共性个性原理；第二、简易逻辑知识；第三、学习数学的主要原则；第四、数学的主要特点；第五、一些数学学习方法口诀。

以下，将分别加以叙述。

一、共性个性原理（一）回顾和问题本来，从数学教学的角度看问题应该把方法和知识区分开来，把方法看做获取知识的手段。

方法和知识的关系，应看成渔和鱼的关系。

渔和鱼，无论如何不能混为一谈。

试想，有哪个人，吃鱼时却吃起鱼杆来？但是，严格说来，方法和知识又很难区分。

比如，有个计算题“已知三角形的两个角分别是50°和60°，求第三个角”，若问，解这个题应该用什么方法，人们都会说三角形的内角和定理，可见，三角形内角和定理这个基本知识，此时很自然地被人们看成了方法。

又比如，解一元二次方程的公式法，是一个方法，但根的公式却又是很重要的基本知识。

在中学数学里，想以上那样，方法和知识难以区分的事实还可以举出很多很多。

事实上，教科书里，每一个定理，法则，公式等基本知识都可以看成方法，而每一个带“法”字的所谓方法又都是基本知识。

就数学教科书本身来说，方法和知识难以区分，或者不加以区分，有什么坏处呢？好像看不出来。

但是，从教学上来看，有时候却发生了问题。

例如，在20世纪50年代，有个老教师提出点金术来，不仅要给学生金子，而且更重要的是给学生点金术。

学校领导也号召其他老师向这位老教师学习。

但是号召归号召，变化不大，为什么？因为，大家不了解点金术究竟是什么样，甚至误认为带有“法”字的基本知识就是点金术。

又如，常有学者倡导，教数学要重视渔，但渔和鱼怎样区分，也没有细说。

近二三十年，有些学者相继又提出数学思想，数学方法等，其用意虽然想提高教学水平，但是，由于提法本身模糊笼统，使得老师没个抓挠，收效也不明显。

由此可见，不把方法和知识区分开来，对改进教学是不利的。

既然如此，何不分开？不过，分开也有分开的困难。

若把教科书中的基本知识看作“金”，看做“鱼”，那么点金术和渔是什么样呢？倡导者自己也说不清楚。

老师们也就自然知难而止步了。

长时期以来，点金术，渔，数学思想方法等之所以不断被提出来，总是希望找出获取基本知识的有效途径，但之所以成效不显著，我想还是由于对这个问题没有深刻认识。

事实上，这些提法还是缺乏实践性和科学性，多是感觉而已。

一般性的号召号召，不可能取得很大成效。

根据我的经验，我认为解决这个问题（即找出获取新知识的方法），需要具备以下三点有关哲学的基本常识。

第一点，方法是一般性的东西。

从而寻求方法要从特殊到一般。

第二点，一般正确，特殊也正确，而特殊正确，一般未必正确。

或者说，一般有的特殊都有，而特殊有的一般未必有。

第三点，一般和特殊，有绝对性，也有相对性。

在以上三点中，前两点学生比较容易了解，第三点不太熟悉。

下面将加以详述。

（二）一般和特殊的相对性一提起相对，人们自然会想到绝对。

绝对和相对，这本是一个相当难懂的哲学术语，我发现在日常生活中，处处都有关于它的事例。

我就从这些事例谈起吧！大哥、二哥、三弟，三个人的岁数是什么情形呢？就大哥和二哥两人来说，二哥的年岁是比大哥小，这是固定不变的，所以，这是绝对的。

就二哥和三弟两人来说，二哥的年岁比三弟大，这也是固定不变的，这又是绝对的。

但就三人来说，二哥的年岁比大哥小而又比三弟大，这又是事实，这个事实说明二哥的年岁，也可以说小，也可以说大，这就是相对性。

因此，只就这三个人来说，二哥的年岁具有相对性。

不与其他人相比，但就某一人而言，说张三岁数是大是小呢？这是一个没有意义的问题。

长江，黄河，黑龙江。

就黄河和长江相比，黄河短，长江长，这是绝对。

就黄河和黑龙江来比，黄河长黑龙江短，这也是绝对。

但是，黄河虽比长江短可又比黑龙江长，这说明对这三条河而言，黄河的长短有相对性。

单独说，黄河很长吗？就没有意义。

飞机比火车快，这是绝对。

火车比马车快，这也是绝对。

但火车比飞机慢比马车快，这就是相对。

由以上事实可以知道，大小，长短，高低，厚薄，软硬，轻重，快慢，等等，都具有相对性。

一般和特殊，也有相对性。

比如，四边形和平行四边形，四边形是一般，平行四边形是特殊，这是一般和特殊的绝对性。

相对于四边形而言，平行四边形是特殊，相对于长方形而言，平行四边形又是一般，这是一般和特殊的相对性。

又比如，对整式方程来说，代数方程是一般，一元一次方程是特殊，这是整式方程所具有的相对性。

又比如，对定理来说，命题是一般，勾股定理是特殊，这是定理的相对性。

毛泽东在《矛盾论》中曾指出：“由于事物范围的极其广大，发展的无限性，所以，在一定场合为普遍性的东西，而在另一一定场合则变为普遍性。

”毛泽东在这里所说的就是一般特殊的绝对性和相对性。

但是，必须注意，谈论绝对或相对时，一定先要弄清场合，离开场合是不行的。

在我的数学教学中，《矛盾论》的上述论断，对我的帮助是最大的。

几何中的定理是一般性的理论知识，自古以来人们都是这样认为的，天经地义，好像是个绝不变的东西。

其实，从一般特殊的相对性来考虑，几何的定理对四个命题的关系而言，它又是特殊的东西。

这个事实，对解放我的思想，对发展我的思维，对提高我的认识，起了不可估量的作用。

仍以几何来讲，那个神圣不可侵犯的欧几里得著作，对于逻辑学知识而言，都可以看成特例，都可以看成零星的东西。

由此使我认识到，所有中学数学课本，尽管其理论体系多么严密，多么系统，多么完整，但是，从教和学的观点看问题，它们都可以被视为支离破碎的东西。

这样一来，根据一般和特殊的相对性，我就有足够的胆量，在这个支离破碎的基础上去寻求比定理、法则、公式等更为一般的方法。

我把这个高于数学基本知识的方法叫做高层次的方法。

事实上，把一般和特殊看成“高”和“低”两个层次是合情合理的。

例如，四边形，平行四边形，矩形，正方形，是按照从一般到特殊的顺序排列的，这四个几何概念，就可以从高到低依次分成四个层次。

又如，方程，整式方程，一元二次方程，从高到低是三个不同层次的方程。

理论的层次性或知识的层次性，应是按照一般和特殊的关系区分的。

知识的层次性具有重要的意义。

（三）一般和特殊的关系就是共性和个性的关系毛泽东在《矛盾论》中指出：“矛盾的普遍性和矛盾的特殊性的关系，就是矛盾的共性和个性的关系”。

这就是说，一般和特殊的关系就是共性和个性的关系。

普遍性，一般性或一般，就是共同性或共性。

特殊性或特殊，就是差异性或个性。

表面看来，这种改变，只是用词的不同而已，并没有实质含义的改变。

但是依我来看，这种改变虽然意义没有什么区别，却给一般人理解和应用这个哲学术语带来极大的好处。

因为，共同性和共性较之一般性和一般更为通俗，更易把握，比如，有两个图形（四边形和梯形），要让学生找出这两个图形的一般性，他们也许感到困惑，但是，要让学生找出这两个图形有哪些共同性或相同性，他们就会轻而易举地说出，它们都有四个顶点，它们都有四条边，它们都有四个角等。

同样，要让学生回答这两个图形的特殊性，就不如让他们回答差异性更为通俗易懂。

（四）共性个性原理《矛盾论》在说完普遍性和特殊性就是共性和个性之后，紧接着又指出：“这一共性个性、绝对相对的道理，是关于事物矛盾的问题的精髓，不懂得它，就等于抛弃了辩证法”。

共性个性、绝对相对，既然是矛盾的精髓，可知也是《矛盾论》的核心。

既然不懂得它，就等于抛弃了辩证法，那么，懂得它不就是懂得了辩证法吗？第（二）节，我们谈了一般和特殊的相对性，第（三）节又谈了一般特殊就是共性个性，可见，第（二）节和第（三）节，实际说出了矛盾的精髓，或者说，实际说出了辩证法的精髓。

这个矛盾的精髓，这个辩证法的精髓，是很难懂的。

从50年代到60年代，前后十多年，我读它有多少遍呢？说300遍也不多，说500遍也不过分。

一开始接触这段话，我感到好像天书，好几个月，好几十遍，竟没有什么体会。

以后，我下苦功夫，断断续续，精读，深思，应用，经过好多年，我逐渐理解了它。

当我深刻理解之后，在80年代，我用数学的思维方式，对这个辩证法的核心观点，按照我自己的体会，依我的学习心得，可以看做“关于世界事物属性的一些基本原理”，（简称共性个性原理）共有三条：第1条事物之间，有差异，也有共性。

特别是，任意一组事物必有共同属性。

第2条共性寓于个性。

第3条共性个性具有相对性。

现在略做说明。

何以称做“关于世界事物属性的一些基本原理”呢？众所周知，人的任务，或人的使命，归根结底无非这样两个方面，或认识世界，或改造世界。

所谓认识世界，无非是认识世界事物的属性，否则，认识世界不就成为一句空话吗？每个人都有两只眼睛，一个鼻子，这就是人的属性。

中国的首都在北京，这是中国的属性。

地球绕着太阳转动，这是地球的属性。

光速每秒30万公里，这是光的属性。

有理数可以写成循环小数，这是有理数的属性。

对顶角相等，这是对顶角的属性，等等。

既然认识世界就是认识世界事物的属性，那么，关于事物的属性具有哪些共同特征呢？我提出了三条。

为什么把这三条叫做基本原理呢？我是把基本原理当做数学中的公理看待的，既然类似公理，其存在性，其正确性，就不言而喻了，就毋庸置疑了。

第1条原理告诉人们，寻求事物的共同属性，绝不会落空。

比如，在一章书中不管有多少节，各节之间一定有共性。

在一本书中，不管有多少章，各章之间一定有共性。

在数学中，不管有多少科，各科之间一定有共性。

共性的存在是绝对的。

事实上，事事有共性，处处有共性，时时有共性。

第2条原理告诉人们，共性乃个性的一部分，凡是共性一定也是个性，因此，寻求共性，只有从个性之中去找，而不能脱离开个性去寻求共性，这就是从特殊到一般的依据，或者说，是归纳法的依据。

第3条原理告诉人们，可以把有些共性当做个性再进一步寻求更高一层的共性。

这就是一般和特殊的相对性的依据。

也是理论的层次性的依据。

经过以上整理，尽量避免了哲学的专用术语，这样是否可以认为，能使人们通俗易懂地抓住认识事物的根本方法？事实上，这三条原理是一个最高的观点，它住在知识大厦的最高层。