《平方差公式》 教学案例

数学教学案例（人教版八年级数学上册14.2.1）

案例名称：《平方差公式》

所属课程：数学

所属专业：初中数学

授课课时：一课时

《平方差公式》教学案例

一、教学内容与分析

1．内容

平方差公式——两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

2.内容分析

本节内容主要研究的是平方差公式的推导和应用。平方差公式是学生学习了整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在已经掌握了单项式乘法、多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为完全平方公式的学习提供了方法，同时也为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础。因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有承上启下的作用。

3．教学重点与难点

本节课的重点：理解平方差公式，掌握其结构特点，并能运用公式进行运算。

本节课的难点：①理解公式中字母的含义，即公式：22))((b a b a b a -=-+中的字母a ，b 可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。正确找准哪个数或式相当于公式中的a ，b.②平方差公式的变式应用。

二、教学目标与解析

1.目标

（1）知识目标：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行计算。

（2）能力目标：在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象研究问题的方法；在验证平方差公式的过程中，感知数形结合的思想，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生的思维能力和数

学应用意识。

（3）情感目标：让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦，培养学生勇于探索、善于观察、大胆猜想的创新思维品质。

2.目标解析

（1）理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，加深学生对公式的理解。

（2）让学生经历具体——抽象的过程。从中发现、体会、理解公式，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、观察、归纳、猜想、推理能力，利用几何图形的面积验证公式的过程中，感知数形结合的思想。在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生的思维能力和数学应用意识。

（3）通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，在解决问题过程中与他人合作交流的重要性，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。

三、学生情况分析

学生已经较熟练地掌握了多项式乘法，为学习本节知识做了知识准备；学生已经具备了小组合作能力、探究能力、归纳分析能力，能通过合作交流完成学习任务；通过创造问题情境，让学生探索相应问题，建立并运用公式，从而拓展学生知识技能成为可能。

四、教学问题诊断分析

学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义的解。因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解。

五、教学过程设计

（一）创设情境，引出新知

问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（屏幕显示）

（1）=-+)1)(1(x x .

（2） =-+)2)(2(m m .

（3） =-+)12)(12(x x .

师生活动：学生计算，三位同学在黑板上板书，师生共同分析结果。

【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式——平方差公式。

（二）探索新知，尝试发现

问题2：依照以上三道题的计算回答下列问题：（屏幕显示）

①式子的左边具有什么共同特征？

②它们右边的结果有什么特征？

③能不能用字母表示你的发现？

④你能对发现的规律进行推导吗？

师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：22))((b a b a b a -=-+ ，由学生运用多项式乘法计算，验证了其公式的正确性。

【设计意图】在学生已掌握的多项乘法法则的基础上，探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然合理。让学生经历具体——抽象的过程。即经历观察、比较、抽象、概括、推理的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法：“具体——抽

象”。

（三）数形结合，几何说理

问题3：活动探究：将长为(a+b)，宽为(a-b)的长方形，剪下宽为b 的长方形条①，放在图中②处拼成有空缺的正方形，你能用等式表示剪拼前后的图形的面积关系吗？（屏幕显示）

))((b a b a -+ = 22b a -

师生活动：小组合作，教师巡视指导，代表发言。 【设计意图】通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,让学生认识平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想。引导学生学会从多角度、多方面来思考问题，再次验证了平方差公式的正确性。

（四）归纳总结，发现新知

问题4：前面探究所得的式子22))((b a b a b a -=-+ ，称为平方差公式，你能用文字语言表述它吗？（屏幕显示）

师生活动：学生回答，相互补充。

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，发展学生的数学语言表达能力加深对公式结构特征的理解。

（五）剖析公式，发现本质

问题5：在平方差公式22))((b a b a b a -=-+中，认真观察其结构特征，你能用自己的语言表述吗？（屏幕显示）

师生活动：同桌讨论后回答，相互补充并总结如下：

左边是两个二项式相乘，其中“a 与a ”是相同项，“b 与-b ”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即22b a -。

师追问：以上三个算式中，哪些数或式子相当于公式中的a ，b 。

师生活动：独自思考，代表发言。

【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性,并通过分析公式的本质特征掌握公式。在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a 、b 的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。

（六）巩固运用，内化新知

问题6：判断下列算式能否运用平方差公式计算：（屏幕显示）

（1） )32)(32(z x y x -+ （2） ))((b a b a -+-

（3） )32)(32(b a b a --- （4） ))((z y x z y x +--+

师生活动：分组讨论，代表发言，大家评判。

【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件。巩固平方差公式，进一步体会字母a ，b 可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解。

例题1：运用平方差公式计算：（屏幕显示）