2020高中数学训练专题、 函数的基本性质 (解析版)

2020高中数学训练专题二、函数

函数的基本性质

1．下列判断正确的是

A ．函数2

2)(2--=x x

x x f 是奇函数

B ．函数2()1f x x x =+

-是非奇非偶函数

C ．函数2

211,02

()11,02

x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩是偶函数

D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 【答案】B

【解析】对于A ，2

2)(2--=x x

x x f 的定义域为2x ≠，不关于原点对称，不是奇函数．

对于B ，2()1f x x x =+

-，2()1f x x x -=-+-，不满足奇偶性的定义，是非奇非偶函数．

对于C ，函数的定义域为(,0)

(0,)-∞+∞，关于原点对称．当0x >时，21

()()12

f x x -=---=

21

(1)()2x f x -+=-；当0x <时，2211()()11()22

f x x x f x -=-+=+=-．综上可知，函数()f x 是奇函数．

对于D ，1)(=x f 的图象为平行于x 轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数． 故选B.

【名师点睛】对于C ，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．若D 项中的函数是()0f x =，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数．

2．函数3e e x x

y x x

--=-的图象大致是

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】令()3e e x x f x x x --=-，则()()f x f x -=，故函数()3e e x x

f x x x

--=-为偶函数，其图象关于y 轴

对称，排除C 选项；

由30x x -≠，解得0x ≠且1x ≠±，()0.50.51

e e 0.500.1250.5

f -

=

<-，排除D 选项； ()1010

1e e 101100010

f -=

>-，故可排除B 选项. 所以本小题选A.

【名师点睛】本小题主要考查函数图象的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图象上的特殊点进行排除，属于基础题.求解时，根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 3．函数y =

21

x

x -+，x ∈（m ，n ]最小值为0，则m 的取值范围是 A ．（1，2） B ．（–1，2）

.

C ．[1，2）

D ．[–1，2）

【答案】D 【解析】函数y =

2313

111

x x x x x ---==+++–1，且在x ∈（–1，+∞）时，函数y 是单调递减函数，在x =2时，y 取得最小值0；根据题意x ∈（m ，n ]时y 的最小值为0，∴m 的取值范围是–1≤m <2． 故选D ．

4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则()()()243f f f --，，的大小顺

序是

A ．()()()234f f f -<<-

B ．()()()423f f f -<-<

C ．()()()432f f f -<<-

D ．()()()324f f f <-<-

【答案】A

【解析】本题主要考查函数的性质．因为()f x 为定义在(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，所以()()()()4422f f f f -=-=，，

又0234<<<，所以()()()234f f f <<，所以()()()234f f f -<<-． 故选A ．

5．若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若()f x 和()g x 都是偶函数，则()()()() f x f x g x g x -=-=，

，()()()() f x g x f x g x -⋅-=⋅，即()()f x g x ⋅是偶函数，充分性成立；

当()f x x =，()

2g x x =时，()()f x g x ⋅是偶函数，但是()f x 和()g x 都不是偶函数，必要性不成立，

∴“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的充分而不必要条件，故选A.

【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，利用奇偶性的定义证明充分性成立，利用特殊函数证明必要性不成立，从而可得结果.属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质判断,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

6．若函数()222,0

,0

x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为

A ．2

B ．2-

C ．1

D ．1-