有理数的乘方及计算

课题有理数的乘方运算及其混合运算
教学目的1.理解有理数乘方的意义并能准确进行有理数乘方的计算
2.熟练运用加减乘除法则进行有理数的混合运算
(一)、乘方的意义
1.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在a n中，a叫做底数，n叫做指数，当a n看作a 的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂.
2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
3.正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
(二)、有理数混合运算的运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同极运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
(三)、有理数混合运算需注意的问题
1.有理数的运算，加减法叫做第一级运算；乘除法叫做第二级运算；乘方和开方（以后学）叫做第三级运算.一个式子中如果含有多级运算式，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一季运算.同一级运算按照从左到右的顺序进行运算；有括号时，按照小括号、中括号、大括号（或大括号、中括号、小括号）的顺序进行运算.
2.灵活的运用运算律，改变运算顺序，可以简化计算.
【例1】
() 1135
24 26812
-+-+⨯-⎛⎫
⎪
⎝⎭
知识点梳理
例题讲解
【例2】
()2215130.34130.343737
-⨯-⨯+⨯--⨯
【例3】()1
13333-⨯÷-⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭
【例4】
()()241110.5123---⨯⨯--⎡⎤⎣
⎦
【例5】已知31
=3，32
=9，33
=27，34
=81，35
=243，36
=729，37
=2187，38
=6561，…，试确定32007
的末位数字是几．
【例6】一根木棍原长为m 米，如果从第一天起每天折断它的一半． （1）请写出木棍第一天，第二天，第三天的长度分别是多少？ （2）试推断第n 天木棍的长度是多少？
【例7】若52x+1
=125，求（x-2）
2005+x
的值是
．
【例8】用简便方法计算．
（1）（- 14）4005×162003= （2）318×（- 19）8=
（3）（0.5×3 23）199•（-2× 311）200= （4）0.259×220×259×643=
【例9】比较下面算式结果的大小（在横线上填“＞”、“＜”或“=”）：42+32 2×4×3；
（-3）2+12 ×（-3）×1；（-2）2+（-2）2；×（-2）×（-2）．通过观察归纳，写出能反映这一规律的一般结论．
【例10】有一张厚度是0.2毫米的纸，如果将它连续对折10次，那么它会有多厚？
巩固练习
一、选择题
1、118表示（）
A 、11个8连乘
B 、11乘以8
C 、8个11连乘
D 、8个别1相加 2、－32
的值是（ ）
A 、－9
B 、9
C 、－6
D 、6 3、下列各对数中，数值相等的是（ ） A 、 －32
与 －23
B 、－23
与 (－2)3
C 、－32
与
(－3)2
D 、(－3×2)2
与－3×22
4、下列说法中正确的是（ ）
A 、23
表示2×3的积 B 、任何一个有理数的偶次幂是正数 C 、－32
与 (－3)2
互为相反数 D 、一个数的平方是94，这个数一定是3
2 5、下列各式运算结果为正数的是（ ）
A 、－24
×5 B、(1－2)×5 C、(1－24
)×5
D 、1－(3×5)6
6、如果一个有理数的平方等于(－2)2
，那么这个有理数等于（ ） A 、－2 B 、2 C 、4
D 、2或－2 7、一个数的立方是它本身,那么这个数是（ ） A 、 0 B 、0或1 C 、－1或1
D 、0或1或－1 8、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、 非负数 D 、任何有理数 9、－24
×(－22
)×(－2) 3
=（ ）
A 、 29
B 、－29
C 、－224
D 、224
10、两个有理数互为相反数，那么它们的n 次幂的值（ ） A 、相等 B 、不相等 C 、绝对值相等
D 、没有任何关系 11、一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、正数或负数 D 、奇数 12、(－1)
2001
＋(－1)
2002
÷1-＋(－1)
2003
的值等于（ ）
A 、0
B 、 1
C 、－1
D 、2 二、填空题
1、(－2)6
中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；5
23⎪⎭
⎫
⎝⎛-的底数是 ，指数
是 ，结果是 ；
2、根据幂的意义，(－3)4
表示 ，－43
表示 ； 3、平方等于
641的数是 ，立方等于64
1的数是 ； 4、一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 ； 5、平方等于它本身的数是 ，立方等于它本身的数是 ；
6、=⎪⎭⎫ ⎝⎛-343 ，=⎪⎭
⎫
⎝⎛-3
43 ，=-433 ； 7、()3
72⋅-，()472⋅-，()5
72⋅-的大小关系用“＜”号连接可表示为 ；
8、如果44a a -=，那么a 是 ；
9、()()()()=----20022001433221 ；
10、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 ；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是 ；
11、若032＞b a -，则b 0
三、计算题
1、()4
2-- 2、3
211⎪⎭
⎫
⎝⎛
3、()2003
1- 4、()3
3
131-⨯--
5、()2
332-+- 6、()2
2
33-÷-
7、()()33
2
2222+-+-- 8、()3
42
55414-÷-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
÷
9、()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷----7213222
4
6 10、()()()3
3
2
20132-⨯+-÷---
四、解答题：
某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过多长时间？
1、78
表示（ ） A 、7个8连乘 B 、7乘以8
C 、8个7连乘
D 、8个7相加
2、计算﹣32
的结果是（ ） A 、﹣9 B 、9
C 、﹣6
D 、6
3、下列各组数中，数值相等的是（ ） A 、32
和23
B 、﹣23和（﹣2）3
C 、﹣32和（﹣3）2
D 、﹣（3×2）2
和﹣3×22
4、下列说法中正确的是（ ） A 、23
表示2×3的积
B 、任何一个有理数的偶次幂是正数
C 、﹣32
与（﹣3）2
互为相反数
D 、一个数的平方是，这个数一定是
5、下列各式运算结果为正数的是（ ） A 、﹣24
×5
B 、（1﹣2）4
×5
C 、（1﹣24）×5
D 、1﹣（3×5）6
6、下列计算结果为正数的是（ ） A 、7×（﹣24
） B 、（1﹣5）2
×3
C 、（1﹣52
）×3
D 、1﹣（3×5）2
7、﹣|﹣3|﹣23
的值是（ ） A 、﹣3 B 、﹣11
C 、5
D 、11 8、计算器上的或
键的功能是（ ） A 、开启计算器
B 、关闭计算器
C 、清除全部内容或刚刚输入内容
D 、计算乘方
9、﹣5的绝对值的倒数与绝对值等于5的数的和为（ ） A 、1或-1 B 、0或1 C 、5
14
-515或 D 、5
10、下列计算结果正确的是（ ） A 、﹣7﹣2×5=（﹣7﹣2）×5 B 、
C 、
D 、﹣（﹣32
）=9
11、（﹣2）6
中指数为 _________ ，底数为 _________ ；4的底数是 _________ ，指数是 _________ ；的底数是 _________ ，指数是 _________ ，结果是 _________ ．
作业布置
12、根据幂的意义，（﹣3）4表示_________ ，﹣43表示_________ ．
13、平方等于的数是_________ ，立方等于的数是_________ ．
14、一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是_________ ．
15、平方等于它本身的有理数是_________ ，立方等于它本身的有理数是_________ ．
16、= _________ ，= _________ ，= _________ ．
17、用计算器输入﹣7的办法是先输入_________ ，然后按_________ ．
18、计算：= _________ ．
19、若|a+1|+|b﹣5|+（c﹣2）2=0，则﹣abc= _________ ．
20、当x=，y=﹣2时，（x+y）2= _________ ．
21、有理数依次是2，5，9，14，x，27，…依次你能求出x的值吗？x的值为_________ ．
22、（1）﹣（﹣2）4（2）
（3）（﹣1）2003 （4）﹣13﹣3×（﹣1）3
5）﹣23+（﹣3）2
23.你吃过“手拉面”吗？如果把一个面团拉开，然后对折，再拉开，再对折，…如此往复下去，对折10次，会拉出多少根面条？
附答案
典型例题
例1：7 例2：-13.34 例3：9 例4：例5：解：32007的指数为2007且2007÷4=501…3，所以32007的末位数字是7．答：32007的末位数字是7．例6：一根木棍原长为m米，如果从第一天起每天折断它的一半．（1）请写出木棍第一天，第二天，第三天的长度分别是多少？（2）试推断第n天木棍的长度是多少？例7：解：∵52x+1=53，∴2x+1=3，解得x=1．所以（x-1）2005+x=（-1）2006=1．故填1．例8：解：（1）（- 14）4005×162003
=（
- 14
）
4005
×（
42）
2003
=（- 14）4005×44006
=（- 14）4005
×44005×4
=[（
-
14
）×4]4005×4
=（
-1
）
×4 =-4；
（2）318×
（
- 19
）
8
=318×[-（ 13）2]8 =318×（ 13）16 =316+2×（ 13）16 =（
3×
13
）
16×32
=9；
（3
）
（
0.5×3 23）
199•
（
-2×
311）200 =（0.5× 113）199•
（-2× 311
）200
=[0.5× 113×
（-2
）
× 311]199×
（
-2× 311
） = 611
；
（
4）0.259×220×259×643
=0.259×643×220×259 =0.259×（
43
）
3×410×259
=（0.25×4）9×
（4×25
）
9×4
=4×1018．
例
9
：
解：
∵42+32=25，
2×4×3=24， ∴42+32＞
2×4×3
；
∵（-3）2+12=10，2×（-3）×1=-6， ∴（-3
）2+12
＞
2×（-3）×1； ∵（-2）2+
（
-2）2=8
，
2×
（-2）×（-2
）=8， ∴（-2）2+
（-2）2=2×
（-2）
×（-2）． ∴
规律为
：
两数的
平
方
和
大
于或等
于
这两
数
的
积的
2倍
．
故答案为：＞，＞，=，两数的平方和大于或等于这两数的积的2倍． 例10： 课堂练习 一、选择题
1、C
2、A
3、B
4、C
5、B
6、D
7、D
8、D
9、B 10、C 11、C 12、C 二、填空题
1、6，－2，4，1，2
3
-，5，32243- ； 2、4个－3相乘，3个4的积的相反数；
3、81±
，41； 4、负数； 5、0和1， 0，1和－1； 6、4
27
,6427,6427---； 7、()5
72⋅-＜()3
72⋅-＜()4
72⋅-； 8、9，0； 9、－1； 10、－1和0，1；
11、＜ 三、计算题
1、－16
2、
8
27
3、－1
4、2
5、1
6、－1
7、2
8、－59
9、－73 10、－1 四、解答题：2小时
11.6，﹣2，4，1，﹣，5，﹣． 12.4个﹣3相乘和3个4的积的相反数．
13.±，． 14.负数 15.解：02=0，12=1，（﹣1）2=1，所以平方等于它本身的有理数是0,1； 又03=0，13=1，（﹣1）3=﹣1，所以立方等于它本身的有理数是0，±1． 16.解：==； ==； ==． 17.7；+/﹣． 18.解：原式= = = 19.﹣10．
20.解：当x=，y=﹣2时， （x+y ）2=（﹣2）2=（﹣）2=． 故答案为：．
21.20．22. 解：（1）﹣（﹣2）4=﹣16；（2）=（）3=；（3）（﹣1）2003=﹣1； （4）﹣13﹣3×（﹣1）3=﹣1﹣3×（﹣1）=﹣1+3=2；（5）﹣23+（﹣3）2=﹣8+9=1； 23. 1024210 根。