(完整版)线性规划习题精选精讲(含答案)
数学线性规划试题答案及解析
数学线性规划试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为 .【答案】【解析】不等式组表示的区域如图，当取得点时，直线斜率取得最小，最小值为．故选C．2.若实数满足其中，若使得取得最小值的解有无穷多个，则等于．【答案】2．【解析】表达式可看成是定点与动点连线斜率（点在所给不等式组表示的平面区域内），如图，动直线过定点，为使满足题意的点有无穷多个，此时直线应过，从而【考点】本题考查含参数的二元一次不等式组表示平面区域等知识，意在考查画图、用图及计算能力.3.设实数满足条件，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，直线经过可行域，尽可能地向下平移经过点时取到最大值，即的最大值为.【考点】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．4.已知实数满足：，则的最小值为 .【答案】【解析】画出可行域及直线..，如图所示.平移直线，当经过点时，直线的纵截距最大，所以，．【考点】本题考查简单线性规划的应用等知识，意在考查作图、识图、用图的能力及数形结合思想．5.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝ () A．4 650元B．4 700元C．4 900元D．5 000元【答案】C【解析】设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则，目标函数z＝450x＋350y，画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4 900元6.若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．【答案】－1【解析】本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值－1.7.已知变量满足约束条件，若的最大值为，则实数 .【答案】或（对1个得3分，对2个得5分）【解析】利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:其中点,根据线性规划的知识可得目标函数的最优解在只能是,当目标函数在点A处取得最优解时,有符合题意,当目标函数在点B处取得最优解时, 符合题意,当目标函数在C点取得最优解时, 无解,所以或,故填或.8.已知点满足约束条件，为坐标原点，则的最大值为．【答案】5【解析】作出可行域，得到当位于时，最大，其值为5.9.浙江理）设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数________。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种优化问题的数学建模方法，通过线性函数的约束条件来求解目标函数的最大或最小值。
在实际问题中，线性规划经常被用来解决资源分配、生产计划、运输问题等。
下面我将为您提供一道线性规划题及其答案，以帮助您更好地理解线性规划的应用。
题目：某公司生产两种产品A和B，每个单位的产品A需要2个单位的原材料X和1个单位的原材料Y，每个单位的产品B需要1个单位的原材料X和3个单位的原材料Y。
公司每天可用的原材料X和Y分别为10个单位和15个单位。
产品A的售价为100元/单位，产品B的售价为150元/单位。
假设公司希望最大化每天的总收入，请问应该生产多少单位的产品A和产品B？解答：首先，我们需要定义决策变量。
设产品A的产量为x个单位，产品B的产量为y个单位。
然后，我们需要建立目标函数和约束条件。
目标函数：总收入 = 100x + 150y约束条件：1. 原材料X的使用量：2x + y ≤ 102. 原材料Y的使用量：x + 3y ≤ 153. 产量非负：x ≥ 0, y ≥ 0接下来，我们可以使用线性规划的方法来求解最优解。
首先，将目标函数和约束条件转化为标准的线性规划形式：目标函数：Maximize 100x + 150y约束条件：2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x ≥ 0, y ≥ 0然后，我们可以使用单纯形法或其他线性规划求解方法来求解最优解。
在这里，为了简化计算，我们使用图形法来求解。
首先，将约束条件转化为直线的形式：2x + y = 10x + 3y = 15然后，我们可以画出约束条件所对应的直线。
在坐标系中，标出两个直线的交点，即可确定可行域。
接下来，我们需要计算目标函数在可行域内的各个顶点的值，并比较得出最优解。
通过计算，我们得到以下结果：顶点A(0, 5)：总收入 = 100 * 0 + 150 * 5 = 750顶点B(5, 0)：总收入 = 100 * 5 + 150 * 0 = 500顶点C(3, 2)：总收入 = 100 * 3 + 150 * 2 = 750因此，最优解为在顶点A和顶点C处取得，即生产5个单位的产品A和2个单位的产品B，总收入为750元。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种优化问题求解方法，旨在找到一组决策变量的最优值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一系列线性约束条件。
在实际应用中，线性规划广泛应用于生产调度、资源分配、运输问题等领域。
下面，我将为您提供一道线性规划题及其答案，以帮助您更好地理解和掌握线性规划的求解过程。
题目描述：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件利润为50元，产品B每件利润为40元。
生产一件产品A需要2小时，生产一件产品B需要3小时。
公司希望通过合理的生产安排，最大化每天的利润。
同时，公司还有以下约束条件：1. 产品A的生产数量不得超过100件；2. 产品B的生产数量不得超过80件；3. 每天生产的产品总件数不得超过120件。
求解过程：首先，我们定义决策变量：x1：生产的产品A的件数x2：生产的产品B的件数然后，我们建立目标函数和约束条件：目标函数：最大化利润Maximize Z = 50x1 + 40x2约束条件：2x1 + 3x2 ≤ 8 （生产时间约束）x1 ≤ 100 （产品A数量约束）x2 ≤ 80 （产品B数量约束）x1 + x2 ≤ 120 （总件数约束）x1, x2 ≥ 0 （非负约束）接下来，我们使用线性规划的求解方法，将目标函数和约束条件转化为标准格式：目标函数：最大化利润Maximize Z = 50x1 + 40x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4约束条件：2x1 + 3x2 + s1 = 8 （生产时间约束）x1 + s2 = 100 （产品A数量约束）x2 + s3 = 80 （产品B数量约束）x1 + x2 + s4 = 120 （总件数约束）x1, x2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0 （非负约束）最后，我们使用线性规划的求解方法，求解上述标准格式的线性规划问题，得到最优解。
答案：根据上述线性规划问题的标准格式，我们可以使用线性规划求解器进行求解。
高一数学线性规划试题答案及解析
高一数学线性规划试题答案及解析1.设在约束条件下，目标函数的最大值大于2，则的取值范围为（）. A．B．C．D．【答案】B【解析】把目标函数转化为，表示是斜率为，截距为的平行直线系，当截距最大时，最大，当过点时，截距最大，解之得.【考点】线性规划的应用.2.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中.设，将直线进行平移，观察轴上的截距变换，可得当经过点时，达到最小值；当经过点时，达到最大值.∴,，即的取值范围是.【考点】1、简单线性规划；2、二元一次不等式组表示的平面区域.3.已知，满足约束条件，若的最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：=0，平移直线，由图知直线：z=过点A时，z取最小值0，由解得A(1,-2),代入解得=1.【考点】简单线性规划解法4.一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季亩产量为400公斤；若种花生，则每季亩产量为100公斤.但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元；且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元.现该农民手头有400元，两种作物各种多少，才能获得最大收益？【答案】该农民种亩水稻,亩花生时,能获得最大利润,最大利润为1650元.【解析】解题思路：设量，列出限制条件不等式与目标函数，作可行域，平移目标函数直线，寻找最优解；求最优解，回归实际问题.规律总结：解决线性规划应用题的步骤：（1）设有关量；（2）列出线性限制条件与目标函数；（3）作可行域，平移直线找最优解；（4）求最优解：（5）作答.试题解析：设该农民种亩水稻，亩花生时，能获得利润元．则即即作出可行域如图阴影部分所示，作出基准直线，在可行域内平移直线，可知当直线过点时，纵截距有最大值，由解得，故当，时，元，答:该农民种亩水稻,亩花生时,能获得最大利润,最大利润为1650元.【考点】线性规划.5.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是()A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元【答案】D【解析】设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为，且，解得，由图可知，最优解为P故z的最大值为（万元）【考点】简单线性规划的应用6.已知，满足约束条件，若的最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】线性约束条件表示的可行域中三条直线的交点分别为，对应的分别为。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
在线性规划中，我们需要确定一组决策变量的值，以使目标函数达到最大或者最小值，同时满足一系列线性约束条件。
为了更好地理解线性规划问题，我们将通过一个具体的线性规划题目来进行说明。
假设我们有一个工厂，需要生产两种产品A和B。
每一个单位的产品A需要2个单位的原材料X和3个单位的原材料Y，而每一个单位的产品B需要1个单位的原材料X和2个单位的原材料Y。
工厂每天有100个单位的原材料X和150个单位的原材料Y可用。
产品A的销售利润为5美元，产品B的销售利润为4美元。
我们的目标是确定每天生产的产品A和产品B的数量，以使销售利润最大化。
为了解决这个线性规划问题，我们首先需要定义决策变量。
假设我们用变量x表示每天生产的产品A的数量，用变量y表示每天生产的产品B的数量。
因此，我们的目标是最大化目标函数Z=5x+4y。
接下来，我们需要确定线性约束条件。
根据题目描述，每一个单位的产品A需要2个单位的原材料X和3个单位的原材料Y，而每一个单位的产品B需要1个单位的原材料X和2个单位的原材料Y。
因此，我们可以得到以下约束条件：2x+y≤100（原材料X的限制）3x+2y≤150（原材料Y的限制）x≥0，y≥0（生产数量不能为负数）综合以上信息，我们可以得到如下的线性规划模型：目标函数：maximize Z=5x+4y约束条件：2x+y≤1003x+2y≤150x≥0，y≥0接下来，我们可以使用线性规划求解方法来求解这个问题。
一种常用的求解方法是单纯形法。
通过应用单纯形法，我们可以得到最优解。
根据单纯形法的求解过程，我们可以得到以下最优解：最优解：x=25，y=50Z=5x+4y=5*25+4*50=125+200=325（销售利润最大化）因此，根据我们的计算，每天生产25个单位的产品A和50个单位的产品B，可以使销售利润最大化，达到325美元。
以上就是根据给定的任务名称所编写的关于线性规划题目及答案的详细内容。
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）第8课线性规划◇考纲解读①从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组；②了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义，能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组；③从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题，并能加以解决．◇知识梳理1．平⾯区域①⼆元⼀次不等式0Ax By C ++>在平⾯直⾓坐标系中表⽰0Ax By C ++=某⼀侧所有点组成的__________．②在直线的某⼀侧取⼀特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表⽰直线哪⼀侧的平⾯区域.（特殊地，当C ≠0时，常把_______作为此特殊点）王新敞③在坐标系中画不等式0Ax By C ++>所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成虚线，表⽰区域__________边界直线．④在坐标系中画不等式0Ax By C ++≥所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成实线，表⽰区域____________边界直线．2.线性规划：①求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为________问题②满⾜线性约束条件的解（x ，y ）叫做__________，由所有可⾏解组成的集合叫做__________.（类似函数的定义域）；③使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解叫做____________ 线性规划问题⼀般⽤图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性⽬标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可⾏域（即各约束条件所⽰区域的公共区域）；（5）利⽤线性⽬标函数作平⾏直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可⾏域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案◇基础训练1．（2008⼭东青岛）若y x z y y x x y y x +=??-≥≤+≤2,11,则满⾜约束条件的最⼤值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52. (2008佛⼭⼀模)在平⾯直⾓坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥??-+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是（）．A ．3B ．6C ．92D ．9 3．设实数x , y 满⾜的最⼤值是则x y y y x y x ,03204202??≤->-+≤-- _________4．（2008⼭东济宁）已知点(,)P x y 的坐标满⾜条件41x y y x x +≤??≥??≥?，点O 为坐标原点，那么||PO 的最⼤值等于_______,最⼩值等于____________.◇典型例题例1．已知实数x ，y 满⾜不等式组22021x y x y +-≥??≤??≤?，求22z x y =+-⼤值和最⼩值．例2．为迎接2008年奥运会召开，某⼯艺品加⼯⼚准备⽣产具收藏价值奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该⼚所⽤的主要原料为A 、B 两种贵重⾦属，已知⽣产⼀套奥运会标志需⽤原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，⽣产⼀套奥运会吉祥物需⽤原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该⼚⽉初⼀次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该⼚⽣产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该⼚⽉利润最⼤，最⼤利润为多少？◇能⼒提升1.（2007⼴州⼆模）已知⽅程2x bx 10(b R 0)a a a +-=∈>、且有两个实数根，其中⼀个根在区间(1,2)内，则a -b 的取值范围为（）A ．()+∞-1,B ．()1,-∞-C ．()1,∞-D ．()1,1-2．给出平⾯区域（包括边界）如图所⽰，若使⽬标函数(0)z ax y a =+>取得最⼤值的最优解有⽆穷多个，则a 的值为（） A ．14 B ．35 C ．4 D ．533．（2008佛⼭⼆模）已知A 为xOy 平⾯内的⼀个区域．命题甲：点20(,){(,)|0}360x y a b x y x x y -+≤??∈≥??+-≤?；命题⼄：点A b a ∈),(．如果甲是⼄的充分条件，那么区域A的⾯积的最⼩值是（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．(2008深圳⼆模)当点(,)M x y 在如图所⽰的三⾓形ABC 内（含边界）运动时，⽬标函数z kx y =+取得最⼤值的⼀个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是（）A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,1)-5．实数x ，y 满⾜不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?若ωω则,11+-=x y 的取值范围是 . 6.(2008韶关⼆模)某车间⽣产甲、⼄两种产品，已知制造⼀件甲产品需要A 种元件5个，B 种元件2个，制造⼀件⼄种产品需要A 种元件3个，B 种元件3个，现在只有A 种元件180个，B 种元件135个，每件甲产品可获利润20元，每件⼄产品可获利润15元，试问在这种条件下，应如何安排⽣产计划才能得到最⼤利润？2)第8课线性规划◇知识梳理1. ①平⾯区域，②原点，③不包括，④包括. 2. ①线性规划，②可⾏解，③最优解。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、题目描述：假设某公司生产两种产品：A和B。
产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。
生产一单位产品A需要消耗2个单位的原材料X和3个单位的原材料Y；生产一单位产品B需要消耗4个单位的原材料X和1个单位的原材料Y。
公司的生产能力限制为每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个单位。
原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位。
为了最大化利润，公司应如何安排生产计划？二、解题思路：本题是一个线性规划问题，可以使用线性规划模型来解决。
首先，我们需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 目标函数：公司的利润最大化是我们的目标。
由于产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元，因此目标函数可以表示为：maximize 10x + 8y。
3. 约束条件：a) 生产能力限制：根据题目描述，每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个单位，可以得到以下约束条件：x ≤ 100y ≤ 80b) 原材料供应量限制：根据题目描述，原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 1803x + y ≤ 150c) 非负约束：生产数量不能为负数，可以得到以下约束条件：x ≥ 0y ≥ 0综上所述，我们可以得到线性规划模型如下：maximize 10x + 8ysubject to:x ≤ 100y ≤ 802x + 4y ≤ 1803x + y ≤ 150x ≥ 0y ≥ 0三、求解线性规划问题：通过线性规划求解器，我们可以得到最优解。
假设使用某线性规划求解软件，输入上述模型后，运行求解器，得到最优解如下：x = 50，y = 30利润最大值为：10 * 50 + 8 * 30 = 860元四、答案解析：根据线性规划求解结果，为了最大化利润，公司应按照以下生产计划进行生产：每天生产50个单位的产品A和30个单位的产品B，此时公司的利润最大化为860元。
高一数学线性规划试题答案及解析
高一数学线性规划试题答案及解析1.在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上（1）若，求；（2）设，用表示，并求的最大值.【答案】（1），（2）1.【解析】（1）本小题中因为思路一即化为坐标运算：从而求得x,y，即可求出其模长，思路二先化向量运算，再化坐标运算：即可求得模长；（2）本小题因为所以则，两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,以下把问题转化为目标函数为t的线性规划问题加以解决.试题解析：（1）解法一：又解得x=2,y=2,即所以解法二：则,所以所以（2），两式相减得，m-n=y-x,令y-x=t,由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1.【考点】平面向量的线性运算与坐标运算；线性规划问题.2.已知变量满足约束条件，若的最大值为，则实数．【答案】-1或．【解析】作出约束条件所对应的可行域:,由于的最大值为,所以直线必过点A(-2,3)或点B(4,3),因此有解得或,故应填入:-1或．【考点】线性规划．3.设实数满足约束条件，则的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【答案】B.【解析】作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，则直线与直线的交点.，作直线：，平移直线，则可知，当，时，【考点】线性规划.4.已知，满足约束条件，若的最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：=0，平移直线，由图知直线：z=过点A时，z取最小值0，由解得A(1,-2),代入解得=1.【考点】简单线性规划解法5.点是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式总成立，则的取值范围是________________.【答案】【解析】将不等式化为，只需求出的最大值即可，令，就是满足不等式的最大值，由简单的线性规划问题解法，可知在处取最大值3，则m取值范围是.【考点】简单的线性规划和转化思想.6.某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．求该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润．【答案】该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润为2800元.【解析】设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则由已知，得z=300x+400y．且画可行域如图所示，目标函数z=300x+400y可变形为解方程组得，即A(4，4).所以，Z=1200+1600=2800.所以，该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润为2800元. 9分【考点】简单线性规划的应用点评：中档题，作为应用问题，解简单线性规划问题，要遵循“审清题意，设出变量，布列不等式组，画，移，解，答”等步骤。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种优化问题的数学建模方法，用于求解最大化或者最小化目标函数的线性约束条件下的最优解。
在实际应用中，线性规划常用于资源分配、生产计划、运输问题等领域。
下面将为您提供一道线性规划题及其详细解答。
题目描述：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为200元，产品B每单位利润为300元。
生产产品A需要1小时，生产产品B需要2小时。
公司希翼通过合理的生产安排最大化每天的利润。
解答步骤：1. 定义变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 建立目标函数：目标函数为最大化每天的利润，即maximize Z = 200x + 300y。
3. 建立约束条件：a) 生产时间的约束：x + 2y ≤ 8。
b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。
4. 绘制可行域：将约束条件绘制在坐标系中，得到一个可行域。
5. 求解最优解：a) 在可行域内找到目标函数的最大值点。
b) 根据最大值点的坐标值得到最优解。
解答过程：1. 建立目标函数：目标函数为最大化每天的利润，即maximize Z = 200x + 300y。
2. 建立约束条件：a) 生产时间的约束：x + 2y ≤ 8。
b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。
3. 绘制可行域：将约束条件绘制在坐标系中，得到一个可行域。
可行域为一个三角形，顶点分别为(0,0)，(0,4)，(8,0)。
4. 求解最优解：a) 在可行域内找到目标函数的最大值点。
计算可行域内的所有顶点的目标函数值，得到以下结果：- (0,0)：Z = 200(0) + 300(0) = 0。
- (0,4)：Z = 200(0) + 300(4) = 1200。
- (8,0)：Z = 200(8) + 300(0) = 1600。
b) 根据最大值点的坐标值得到最优解。
最大值点为(8,0)，即在生产时间充分的情况下，只生产产品A能够获得最大利润1600元。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将为您提供一道线性规划题目及其详细的解答过程。
题目描述：某公司生产两种产品A和B，产品A每单位利润为300元，产品B每单位利润为500元。
生产一个单位产品A需要消耗2个单位的原料X和3个单位的原料Y；生产一个单位产品B需要消耗1个单位的原料X和4个单位的原料Y。
公司每天有100个单位的原料X和150个单位的原料Y可供使用。
公司希望在满足原料供应的情况下，最大化每天的利润。
解答过程：1. 定义变量：设产品A的产量为x，产品B的产量为y。
2. 建立目标函数：目标函数即每天的利润，由题目可知，每单位产品A的利润为300元，每单位产品B的利润为500元。
因此，目标函数为：最大化 Z = 300x + 500y3. 建立约束条件：a) 原料X的供应限制：每单位产品A需要消耗2个单位的原料X，每单位产品B需要消耗1个单位的原料X。
因此，原料X的供应限制可以表示为：2x + y ≤ 100b) 原料Y的供应限制：每单位产品A需要消耗3个单位的原料Y，每单位产品B需要消耗4个单位的原料Y。
因此，原料Y的供应限制可以表示为：3x + 4y ≤ 150c) 产量非负限制：产品的产量必须为非负数，即：x ≥ 0y ≥ 04. 求解线性规划问题：将目标函数和约束条件进行整理，得到线性规划模型为：最大化 Z = 300x + 500y约束条件：2x + y ≤ 1003x + 4y ≤ 150x ≥ 0y ≥ 0使用线性规划求解器或图形法等方法，可以得到最优解。
5. 最优解及结论：经过计算，得到最优解为：x = 25，y = 25此时，最大利润为：Z = 300 * 25 + 500 * 25 = 20000元因此，当公司每天生产25个单位的产品A和25个单位的产品B时，可以实现每天最大利润为20000元。
总结：本文提供了一道线性规划题目及详细的解答过程。
第二章 线性规划习题(附答案)
习题2-1 判断下列说法是否正确：（1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；（3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；（4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；（5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。
（7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；（8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。
2-2将下述线性规划问题化成标准形式。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束43214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z ()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束321321321321,0,0624.322min 2x x x x x x x x x st x x x z 解：(1)令'''444x x x =-，增加松弛变量5x ，剩余变量6x ，则该问题的标准形式如下所示：'''12344'''12344'''123445'''123446'''1234456max 342554222214..232,,,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-+-+-⎧-+-+-=⎪+-+-+=⎪⎨-++-+-=⎪⎪≥⎩ (2)令'z z =-，'11x x =-，'''333x x x =-，增加松弛变量4x ，则该问题的标准形式如下所示：'''''1233''''1233''''12334''''12334max 22334..26,,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =+-+⎧++-=⎪+-++=⎨⎪≥⎩ 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下寻找最优解。
它通常用于解决资源分配、生产计划、运输问题等实际应用中的决策问题。
下面我将为您提供一道线性规划题及其答案，详细解析每一步的计算过程。
题目：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要3小时的加工时间和2小时的装配时间；每单位产品B需要2小时的加工时间和4小时的装配时间。
每天工厂的加工时间为40小时，装配时间为30小时。
产品A的利润为1000元/单位，产品B的利润为1500元/单位。
工厂希望在满足时间约束的前提下，最大化利润。
请问应该生产多少单位的产品A和B才能达到最优解？解答：首先，我们需要定义决策变量。
设x为生产的产品A的单位数，y为生产的产品B的单位数。
其次，我们需要建立目标函数和约束条件。
目标函数：最大化利润利润 = 1000x + 1500y约束条件：加工时间约束：3x + 2y ≤ 40装配时间约束：2x + 4y ≤ 30非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0接下来，我们使用线性规划的方法求解最优解。
1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：max Z = 1000x + 1500y约束条件：3x + 2y ≤ 402x + 4y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 绘制约束条件的图形：根据约束条件，我们可以绘制出两个不等式的图形。
在图纸上绘制出两个不等式的直线，并标出可行域。
3. 找出可行域的顶点：可行域是由两个不等式的交集所形成的区域。
我们需要找出可行域的顶点，以便确定最优解。
顶点是可行域上的极值点。
4. 计算各个顶点的目标函数值：计算每个顶点的目标函数值，找出使目标函数取得最大值的顶点。
经过计算，我们得到以下可行域的顶点及其目标函数值：顶点1：(0, 0)，目标函数值为0顶点2：(0, 7.5)，目标函数值为11250顶点3：(10, 5)，目标函数值为17500顶点4：(20, 0)，目标函数值为200005. 比较各个顶点的目标函数值：比较各个顶点的目标函数值，找出使目标函数取得最大值的顶点。
线性规划习题答案
习题一P.361.一个毛纺厂用羊毛和兔毛生产A,B,C 三种混纺毛料,生产1单位产品需要的原料如下表所示.三种产品的单位利润分别是4,1,5.每月可购进的原料限额为羊毛8000单位,兔毛3000单位,问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润?A B C 羊毛314兔毛214解：设生产A,B,C 三种产品的量分别是，则模型为123,,x x x 123123123123max 4538000..243000,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩2.某饲料厂生产的一种饲料由6种配料混合配成.每种配料中所含营养成分A,B 以及单位配料购入价由下表所示.每单位饲料中至少含9单位的A,19单位的B.问饲料厂如何配方,使得饲料成本最低且满足要求?123456A12212B 013132配料原价353060502712解：设每单位饲料中每种配料所需的量为，则有()1,2,3,4,5,6i x i =1234561345623456123456min 3530605027122229..33219,,,,,0z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x =+++++++++≥⎧⎪++++≥⎨⎪≥⎩4.某产品的一个完整单位包括四个A 零件和三个B 零件.这两种零件(A 和B)由两种不同的原料制成,而这两种原料可利用的数量分别是100单位和200单位.三个车间进行生产,而每个车间制造零件的方法各不相同.下表中给出每个生产班组的原料耗用量和每一种零件的产量.目标是要确定每一个车间的生产班组数使得产品的配套数达到最大.车间每班进料每班产量/个数原料1原料2零件A 零件B 186752596933884解：设每个车间的生产组数分别为，则可生产123,,x x x 个单位产品，则线性规划如()()123123768594min ,43x x x x x x y ++++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭下：123123123123123max 853100698200..76845943,,0yx x x x x x s t x x x y x x x yx x x ++≤⎧⎪++≤⎪⎪++≥⎨⎪++≥⎪⎪≥⎩6．设三地各有某种纺织原料90,30,70吨,需要调运给123,,,A A A 五地,后者各需要80,10,30,50,20吨.从到12345,,,,B B B B B ()1,2,3i A i =的路程(千米)如下表所示.现要求设计一个调拨方案,(1,2,3,4,5)j B j =使得总运输吨公里数最少.B1B2B3B4B5A1130286240523153A26422074457309A3718518146443解: 设从运往的运量为，则线性规划()1,2,3i A i =()1,2,3,4,5j B j =ij x 模型为如下形式，其中表示从到的运价。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的一组约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值。
它常被应用于经济学、工程学、运筹学等领域，用于解决资源分配、生产计划、物流优化等实际问题。
下面我将为你提供一道线性规划题目及其答案，以帮助你更好地理解和应用线性规划方法。
题目：某工厂生产两种产品，分别为A和B。
产品A每单位利润为5元，产品B每单位利润为4元。
工厂有两个车间，分别为车间1和车间2。
车间1每天最多可以生产100个A产品或80个B产品；车间2每天最多可以生产80个A产品或60个B产品。
每天工厂的总生产时间为8小时。
生产一个A产品需要1小时，生产一个B产品需要1.5小时。
工厂希望通过合理的生产安排，最大化每天的总利润。
请问，应该如何安排每个车间的生产数量，才能使得每天的总利润最大化？答案：为了解决这个问题，我们可以使用线性规划方法。
首先，我们定义决策变量：x1：车间1生产的A产品数量x2：车间1生产的B产品数量x3：车间2生产的A产品数量x4：车间2生产的B产品数量其次，我们需要建立目标函数和约束条件。
目标函数：总利润 = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 4x4约束条件：车间1生产时间约束：x1 + 1.5x2 ≤ 8车间2生产时间约束：x3 + 1.5x4 ≤ 8车间1产量约束：x1 ≤ 100, x2 ≤ 80车间2产量约束：x3 ≤ 80, x4 ≤ 60非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0现在，我们可以使用线性规划求解器来求解这个问题。
求解结果如下：车间1生产的A产品数量（x1）= 80车间1生产的B产品数量（x2）= 0车间2生产的A产品数量（x3）= 20车间2生产的B产品数量（x4）= 60总利润 = 5(80) + 4(0) + 5(20) + 4(60) = 400 + 0 + 100 + 240 = 740 元因此，为了使每天的总利润最大化，工厂应该安排车间1生产80个A产品，车间2生产20个A产品和60个B产品。
线性规划习题精选精讲含答案
O
x=3 x
习题精选精讲
方 平 移 后 与 直 线 x+y＝ 5 重 合 ， 故 a=1， 选 D 五、求非线性目标函数的最值
2 x y 2 0 例 5、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 x 2 y 4 0 3 x y 3 0
是 （ A、 13， 1 C、 13， ） B、 13， 2 D、
3
0.18 x 0.09 y 72 0.08 x 0.28 y 56 解：设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 x 0 y 0
2
而 z=6x+10y.
习题精选精讲
如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上点 M,且与原点 距离最大,此时 z=6x+10y 取最大值解方程组
x 2 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 y 2 x y 2
， 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是
（
）
A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6] D、 （ 3,5] 解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+2y＝ 0， 将 l 向 右 上 方 平 移 ， 过 点 A（ 2,0） 时 ， 有 最 小 值 2， 过 点 B（ 2,2） 时 ， 有 最 大 值 6， 故 选 A 二、求可行域的面积
所以,谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合,此时成本最低. 指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它 ,这是线性规划中最常 见的问题之一.
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找使目标函数最大或最小的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划经常被应用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 约束条件：某公司有两种产品A和B，生产一单位产品A需要耗费2个单位的资源X和1个单位的资源Y，生产一单位产品B需要耗费1个单位的资源X和3个单位的资源Y。
公司每天可用资源X和资源Y分别为10个单位和12个单位。
假设产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元，问如何分配资源才能使公司利润最大化？1.2 目标函数：设生产产品A的单位数为x，生产产品B的单位数为y，则目标函数为Maximize 3x + 4y。
1.3 答案：通过线性规划计算，最优解为生产产品A 4个单位，生产产品B 2个单位，公司利润最大化为20万元。
二、生产计划问题2.1 约束条件：某工厂生产两种产品C和D，生产一单位产品C需耗费2个单位的资源M和3个单位的资源N，生产一单位产品D需耗费4个单位的资源M和2个单位的资源N。
工厂每天可用资源M和资源N分别为8个单位和10个单位。
产品C的利润为5万元，产品D的利润为6万元，问如何安排生产计划以最大化利润？2.2 目标函数：设生产产品C的单位数为x，生产产品D的单位数为y，则目标函数为Maximize 5x + 6y。
2.3 答案：经过线性规划计算，最佳生产计划为生产产品C 2个单位，生产产品D 2个单位，工厂利润最大化为22万元。
三、运输问题3.1 约束条件：某公司有三个仓库分别存储产品E、F和G，每个仓库的存储容量分别为100、150和200个单位。
产品E、F和G的单位运输成本分别为2元、3元和4元，需求量分别为80、120和150个单位。
问如何安排运输计划以最小化总成本？3.2 目标函数：设从仓库i运输产品j的单位数为xij，则目标函数为Minimize2x11 + 3x12 + 4x13 + 2x21 + 3x22 + 4x23 + 2x31 + 3x32 + 4x33。
高中线性规划练习含详细解答
线性规划练习1. “截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)z ax by a b R =+∈的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y 轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1.【2019年高考·广东卷 理5】已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )2. (2019年高考·辽宁卷 理8)设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．553.(2019年高考·全国大纲卷 理13) 若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为 。
4.【2019年高考·陕西卷 理14】 设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 ．5.【2019年高考·江西卷 理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，506. (2019年高考·四川卷 理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元7. (2019年高考·安徽卷 理11) 若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为_____.8．(2019年高考·山东卷 理5)的约束条件2441x y x y +≤⎧⎨-≥-⎩，则目标函数z=3x－y 的取值范围是A ． [32-，6]B ．[32-，－1]C ．[－1，6]D ．[－6，32] 9．(2019年高考·新课标卷 理14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的取值范围为 .2 . “距离”型考题10.【2019年高考·福建卷 理8】 设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( )A.285 B.4 C. 125D.2 11.( 2019年高考·北京卷 理2) 设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A 4πB22π- C 6π D44π- 3. “斜率”型考题12.【2019年高考·福建卷 理8】 若实数x 、y 满足10,0x y x -+≤⎧⎨>⎩则y x 的取值范围是 （ ）A.(0,1)B.(]0,1C.(1,+∞)D.[)1,+∞13.（2019年高考·江苏卷 14）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b a的取值范围是 ．4. “平面区域的面积”型考题14.【2019年高考·重庆卷 理10】设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x yB x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则AB 所表示的平面图形的面积为A 34π B 35π C 47π D2π 15.（2019年高考·江苏卷 理10）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2B ．1C ．12D ．1416.（2019年高考·安徽卷 理15） 若A 为不等式组02x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 . 17.（2009年高考·安徽卷 理7） 若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（A ）73（B ） 37（C ）43（D ） 34高18.（2019年高考·浙江卷 理17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于__________.5. “求约束条件中的参数”型考题规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.19.（2009年高考·福建卷 文9）在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为A. － 5B. 1C. 2D. 320.【2019年高考·福建卷 理9】若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ．21 B ．1 C ．23 D ．221.（2019年高考·山东卷 理12）设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3]B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9]22.（2019年高考·北京卷 理7）设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是A (1，3]B [2，3]C (1，2]D [ 3，+∞]23.（2019年高考·浙江卷 理17）设m 为实数，若{250(,)300x y x y x mx y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩}22{(,)|25}x y x y ⊆+≤，则m 的取值范围是___________.24.（2019年高考·浙江卷 理7） 若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）A 2-B 1-C 1D 26. “求目标函数中的参数”型考题规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究. 25.（2009年高考·陕西卷 理11）若x ，y满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是 （ ）A ．（1-，2）B ．（4-，2）C ．(4,0]-D ． (2,4)- 26.（2019年高考·湖南卷 理7）设m >1，在约束条件下，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y xy 目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为 A ．)21,1(+B ．),21(+∞+C ．（1，3）D ．),3(+∞7. 其它型考题27. （2009年高考·山东卷 理12） 设x ，y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>> 的值是最大值为12，则23a b+的最小值为（ ）A.625 B. 38 C. 311D. 4 28. （2019年高考·安徽卷 理13）设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>> 的最大值为8，则a b +的最小值为________.线性规划问题 答案解析1. “截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)z ax by a b R =+∈的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y 轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1、选B 【解析】约束条件对应ABC ∆内的区域(含边界)，其中53(2,2),(3,2),(,)22A B C 画出可行域，结合图形和z的几何意义易得3[8,11]z x y =+∈2、选D ； 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点()5,15A 时，2+3x y 的最大值为55，故选D.3、答案：1-【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为1-.] 4、答案2； 【解析】当x > 0时，()xx f 1'=，()11'=f ，∴曲线在点(1,0)处的切线为1-=x y ，则根据题意可画出可行域D 如右图：目标函数z x y 2121-=， ∴当0=x ，1-=y 时，z 取得最大值25、选B ；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 、y 亩，总利润为z 万元， 则目标函数为(0.554 1.2)(0.360.9)0.9z x x y y x y =⨯-+⨯-=+. 线性约束条件为50,1.20.954,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即50,43180,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出不等式组表示的可行域,易求得点()()()0,50,30,20, 0,45A B C . 平移直线0.9z x y =+，可知当直线0.9z x y =+，经过点()30,20B ，即30,20x y ==时 z 取得最大值，且max 48z =（万元）. 故选B. 点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？ (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．6、答案C 【解析]】 设公司每天生产甲种产品X 桶，乙种产品Y 桶，公司共可获得利润为Z 元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y ，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X，画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y 可变形为Y=400z x 43+- 这是随Z 变化的一族平行直线，解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2 ，⎩⎨⎧==∴4y 4x ，即A （4,4）280016001200max =+=∴Z7、答案[3,0]-； 【解析】约束条件对应ABC ∆内的区域(含边界)，其中3(0,3),(0,),(1,1)2A B C ，画出可行域，结合图形和t 的几何意义易得[3,0]t x y =-∈-8、选A ； 【解析】 作出可行域和直线l ：03=-y x ，将直线l 平移至点)0,2(处有最大值，点)3,21(处有最小值，即623≤≤-z . ∴应选A.9、答案[－3，3]；【解析】约束条件对应区域为四边形OABC 内及边界，其中(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C ，则2[3,3]z x y =-∈-2 . “距离”型考题10、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。
数学线性规划试题答案及解析
数学线性规划试题答案及解析1.已知实数满足则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】表示可行域内的点和定点连线的斜率，可行域如下图所示，点，点，故，故斜率范围是.【考点】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．2.若变量满足则点表示区域面积为．【答案】1.【解析】令，则代入原不等式组可得点满足的不等式组画出图形可得点表示的区域为图中的，由得，在中分别令得．【考点】本题考查二元一次不等式组表示平面区域知识，意在考查画图、用图及计算能力.3.已知实数满足则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，表示可行域内的点和定点连线的斜率，可行域如下图所示，点，点，故，故斜率范围是，故的取值范围是．【命题意图】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．4.设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是A．14B．16C．17D．19【答案】 B【解析】作出可行域，，为整数，所以，故选.5.设变量满足则的最大值和最小值分别为A．１，－１B．２，－２C．１，－２D．２，－１【答案】B【解析】不等式对应的区域如图所示，当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以的最大值和最小值分别为2，－2.故选B.6.已知实数满足，则的取值范围是______.【答案】【解析】不等式组所表示的区域如下图：，其中即为的斜率，由图像计算得，观察可知，令，则，故是的增函数，因此，没有最大值，所以的取值范围是.7.已知变量、满足条件，则的最大值是______.【答案】6【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图的阴影部分所表示，设，联立，解得，即点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.【考点】线性规划8.已知点满足约束条件，为坐标原点，则的最大值为．【答案】5【解析】作出可行域，得到当位于时，最大，其值为5.9.在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为＿＿＿＿．【答案】1【解析】因为在平面直角坐标系中，不等式组，x,y所表示的可行域如图.因为.所以.A点到直线BC的距离为.所以.解得或（舍去）.所以.故填1.10.天津理）设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（）A．－7B．－4C．1D．2【答案】A【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数表示的直线经过点A(5，3)时，取得最小值，所以的最小值为，故选A.【考点】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.11.山东理）在平面直角坐标系中，为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为A．B．C．D．【答案】C【解析】画出可行域得该区域为点形成的三角形，因此的最小值为【考点】本题考查线性规划下的斜率运算，确定可行域是关键，通过绕旋转来确定最小值点.12.北京理）设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y)满足x－2y=2，求得m的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x0，y)满足x－2y=2，即该平面区域和直线有交点，而直线的交点在直线上移动，由得交点坐标为，当即时，才会交点.【考点】本小题考查了线性约束条件、线性规划问题、两条直线的位置关系和数形结合的思想. 13.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）∴△ABC=，设与的交点为D，则由知，∴∴选A。
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线性规划常见题型及解法线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩ppp p作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是 （ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D、解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C线性规划的实际应用在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。
利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。
例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10,才使获得利润最多?解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一例2、某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的51.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg ,问饲料怎样混合,才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料x kg ,动物饲料y kg ,每周总的饲料费用为z 元,那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥≥+05000005135000y x xy y x ,而z =0.28x +0.9y 如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x +0.9y =t ,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x +y =35000和直线x y 51=的交点)317500,387500(A ,即387500=x ,317500=y 时,饲料费用最低. 所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.(例3图) (例4图)例3甲 乙 丙 维生素A(单位/千克)维生素B(单位/千克)成本(元/千克)400 800 7600 200 6400 400 5营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A 不少于4400单位,维生素B 不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?解:设所购甲、乙两种食物分别为x 千克、y 千克,则丙种食物为(10-x -y )千克.x 、y 应满足线性条件为⎩⎨⎧≥--++≥--++4800)10(4002008004400)10(400600400y x y x y x y x ,化简得⎩⎨⎧≥-≥422y x y 作出可行域如上图中阴影部分目标函数为z =7x +6y +5(10-x -y )=2x +y +50,令m =2x +y ,作直线l :2x +y =0,则直线2x +y =m 经过可行域中A(3,2)时,m 最小,即m min =2⨯3+2=8，∴z min =m min +50=58答: 甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元.指出:本题可以不用图解法来解,比如,由⎩⎨⎧≥-≥422y x y 得z =2x +y +50=(2x -y )+2y +50≥4+2⨯2+50=58,当且仅当y =2,x =3时取等号总结：(1)设出决策变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数;(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).2.线性规划问题的一般数学模型是:已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++nm nm n n m m m m b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212*********(这n 个式子中的“≤”也可以是“≥”或“=”号)其中a ij (i =1,2,…,n , j =1,2,…,m ),b i (i =1,2,…,n )都是常量,x j (j =1,2,…,m ) 是非负变量,求z =c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m 的最大值或最小值,这里c j (j =1,2,…,m )是常量.(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.线性规划中整点最优解的求解策略在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。
然而在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足x,y ∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .1．平移找解法作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l ，直线l 最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最产 品 木料(单位m 3) 第 一 种第 二 种 圆 桌 0.18 0.08 衣 柜0.090.28解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值。
解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答：应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.点评：本题的最优点恰为直线0.18x +0.09y =72和0.08x +0.28y =56的交点M 。
例 2 有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于31配套，怎样截最合理？ 解：设截500mm 的钢管x 根，600mm 的y 根，总数为z 根。
根据题意，得 ，目标函数为，作出如图所示的可行域内的整点，作一组平行直线x+y=t ，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B （8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y 为正整数，知（8，0）不是最优解。
显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．点评：本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t 经过可行域内且和原点距离最远的点B （8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解。
从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。