自动控制原理第二章1_数学模型
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自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
《自动控制原理》课件第二章
Cen idRd
Ld
d id dt
ud
(2-4)
当略去电动机的负载力矩和粘性摩擦力矩时，机械运动
微分方程式为
M GD2 d n 375 d t
(2-5)
式中，M为电动机的转矩(N·m)； GD2为电动机的飞轮矩
(N·m2)。当电动机的励磁不变时，电动机的转矩与电枢电
流成正比，即电动机转矩为
M=Cmid
称为相似量。如式(2-1)中的变量ui、uo分别与式(2-3)中的变
量f(t)、y(t)为对应的相似量。
2.1.2 线性定常微分方程求解及系统运动的模态 当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条
件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变 化的特性。
若线性定常连续系统的微分方程模型的一般表示形式为 y(n)(t)+a1y(n－1)(t)+···+any(t)=b0u(m)(t)+b1u(m－1)(t)+…+bmu(t)
x0
( x x0 )2
当增量x－x0很小时，略去其高次幂项，则有
y
y0
f (x)
f (x0)
d f (x) dx
x0
(x x0)
令Δy=y－y0=f(x)－f(x0)，Δx=x－x0，K=(df(x)/dx)|x0，则线性
化方程可简记为Δy=KΔx。这样，便得到函数y=f(x)在工作
点A附近的线性化方程为y=Kx。
图2-4 小偏差线性化示意图
对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f(x1，x2)，同样 可在某工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为
y
f (x1 ，x2 )
f
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
自动控制原理--第六版第二章【可编辑全文】
解： X (s) Lx(t ) testdt 0
t est s
0
1 e st dt 0s
1 s2
X (s) Lt L 1(t)dt
1 s
L1(t )
1 1(1) (0) s
1 s2
第二十三页，共101页。
例2-5 求正弦函数x(t) = sinωt 的拉氏变换。
解： sin t e jt e jt
第十页，共101页。
相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中
，占据相同位置的量，相似量。
上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。
例2-1
m
d2 dt
y
2
f
dy dt
ky
F (t)
模拟技术：当分析一个机械系 统或不易进行试验的系统时， 可以建造一个与它相似的电模 拟系统，来代替对它的研究。
ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD ，从而使电枢旋转，拖动负载运动。 Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场
中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与
第十二页，共101页。
激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。
下面推导其微分方程式。
（1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机角速度为输出量；
1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。 2) 实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法 ，得到数学模型。
建模原则：选择合适的分析方法－确定相应的数学模型－简化
2.2 系统微分方程的建立
2.2.1 列写微分方程式的一般步骤
1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞
自动控制原理课件chapter2_1
d d 2 ( )0 ,( 2 )0 , di f di f
Rn +1
0 if 0
图2-3
小偏差线性化示意图
图2-4
RL网络
例2-3，设铁芯线圈电路如图2-4所示，其磁通与线圈中电 流之间的关系如图2-5所示，试写出以为输入，为输出的 微分方程。 解（1）设铁芯线圈磁通 变化时产生的感应电势为：
图2-5磁通与线圈中电流之间Biblioteka 关系(2.3） (2.4)
或
d u c (t ) d u c (t ) T1 + T2 + u c (t ) = u r (t ) 2 dt dt
2
uc (t ) =
1 i (t )dt C∫
式中T1=LC，T2=RC为电路的时间常数，单位为秒。 式(2.3)和式(2.4)是线性定常二阶线性微分方程。
二、非线性方程的线性化
（一）R-L-C电路 电路 图2-1所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值， ur(t)为输入电压， uc(t)为输出电压，输出端开路。求出uc(t)与ur(t)的微分方程。
图2-1 R-L-C 无源电路
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式：
di (t ) 1 L + ∫ i (t )dt + Ri (t ) = ur (t ) dt C
(2.1)
（2）式中i(t)是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系：
1 u c (t ) = C
∫ i(t )d t
( 2 .2 )
(3) 消去式(2.1)、式(2.2)的中间变量i(t)后，输入输出 微分方程式：
d 2uc (t ) duc (t ) LC + RC + uc (t ) = ur (t ) 2 dt dt
自动控制原理第2版全篇
=
△
- + - 其中:△称为系统特征式 △= 1 ∑La ∑LbLc ∑LdLeLf+…
—∑La 所有单独回路增益之和
∑L∑和dLLebLLf—c—所有所三有个互两不两接互触回不路接增益触乘回积路之增和益乘积之
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数
△k称为第k条前向通路的余子式 去掉第k条前向通路后所求的△
x0
(x x0 )
1 d 2 f (x)
2!
dx2
x0
(x x0 )2
忽略二阶以上各项，可写成
y
f
(x0 )
df (x)
dx x0
(x
x0 )
2、对于具有两个自变量的非线性函数，设输入 量 为x1(t)和x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作 点为y0＝ f(x10, x20) 。
注意：相加点和分支点一般不能变位
25
2.3.3闭环传递函数
1、给定输入单独作用下的系统闭环传递函数
(s) G1G2 G1G2 1 G1G2H 1 Gk
2、扰动输入单独作用下的闭环系统
n
(
s)
1
G2 G1G2
H
G2 1 Gk
3、误差传递函数：误差信号的拉氏变换与输入信 号的拉氏变换之比。
（1）给定输入单独作用下的闭环系统
Er
(
s)
1
1 G1G2
H
1 1 Gk
（2）扰动输入单独作用下的闭环系统
En
(
s)
1
G2 H G1G2
H
G2H 1 Gk
4)给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的总的输
出量和偏差输出量
自动控制原理第二版课后答案第二章精选全文完整版
x kx ，简记为
y kx 。
若非线性函数有两个自变量，如 z f (x, y) ，则在
平衡点处可展成（忽略高次项）
f
f
z xv
|( x0 , y0 )
x y |(x0 , y0 )
y
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性 关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示的 强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于 线性系统，可采用叠加原理来分析系统。
Eb (s) Kbsm (s)
Js2 m(s) Mm fsm(s)
c
(s)
1
i
m
(s)
45
系统各元部件的动态结构图
传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只 是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现 实意义，而且容易实现。
26
三、典型元器件的传递函数
1. 电位器
1 2
max
E
Θs
U s
K
U
K E
max
27
2. 电位器电桥
1
2
E
K1p1
K1 p 2
U
Θ 1
s
Θ
K1 p
Θ 2
s
U s
28
3.齿轮
传动比 i N2 N1
G2(s)
两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并 以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形
式的连接称为并联连接。
41
3. 反馈连接
R(s)
－
C(s) G(s)
H(s)
一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得 到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输 入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。
自动控制原理：第2章-控制系统的数学模型可编辑全文
下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
自动控制原理(王万良)第二章
18
考察单位脉冲输入信号下系统的输出
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
U (s) = L{δ (t)} = 1
U(s) 系统G(s) Y(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为
Y(s) = G(s)
1 系统G(s) Y(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) = L−1{Y(s)} = L−1{G(s)} δ(t)
2
2.1 系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
F(t)
m
f
X(t)
d 2 X (t) m
+
f
dX (t)
+ kX (t)
=
F (t)
dt 2
dt
＋ ur(t) －
相应的传递函数为： G (s) = C (s) = 3s 2 + 5s + 1 R(s) s3 + s2 + 4s
练习2
已知某系统传递函数为：
G(s) = C(s) = 3s2 + 2s +1 R(s) s3 + 4s +1
相应的微分方程为： c (t) + 4c(t) + c(t) = 3r(t) + 2r(t) + r(t)
惯性环节: 从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要经过一段
时间之后才接近所要求的输出值；
延迟环节: 从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r(t) c(t)
0τ
24
自动控制原理第二章
1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。
满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。
自动控制原理-第二章全
其中： fs (t) Kx(t)
弹簧力
fd (t)
阻尼力
B
dx(t dt
)
m
K
B
所以有：
m
d 2 x(t) dt 2
B
dx(t) dt
Kx(t)
f
(t)
特点：f (t) 为作用于各部件的诸力之和，而每一个部件变化
了相同的位移x(t) 。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
A1(0.5 j0.866) A2 (0.5 j0.866)
使等号两端的实部和虚部分别相等有 解之得 A1 1, A2 0
0.5.866
所以
F (s)
1 s
s2
s s 1
1 s
(s
s 0.5 0.5)2 (0.866 )2
（4）对部分分式进行拉式反变换，即得微分方程 的解。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
例：已知
d 2 xc dt 2
5 dxc dt
6xc
6u(t)
u(t) 1(t)
设初始条件为 xc (0) 2, xc (0) 2 求输出量 xc (t)
解： 将微分方程取拉氏变换
(s
0.5 0.5)2 (0.866 )2
所以 f (t) 1 e0.5t cos 0.866 t 0.57e0.5t sin 0.866 t
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
例：已知
F (s)
s2 s2
9s 33 6s 34
求 f (t) L1 F (s)
F (s) M (s) A1 A2 An
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
23
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
孙炳达版 《自动控制原理》第2章 线性连续系统的数学模型-1
自动控制原理
第二章 线性连续系统的数学模型 2.1 动态微分方程的编写
2.1 动态微分方程的编写
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建 立系统的数学模型。 控制系统的数学模型，就是描述系统输入、输 出以及内部变量之间动态关系的数学表达式，也 称为动态数学模型。 常用的动态数学模型有： 微分方程 传递函数 动态结构图 信号流图
2.1 动态微分方程的编写
例 建立直流调速系统的微分方程
2.1 动态微分方程的编写
（1）确定输入量为控制电压Ug； 输出量为电动机转速n。
（2）编写各环节的微分方程。根据系统框图，把 系统划分为4个环节，分别为： 比较和电压放大器环节； 功率放大环节； 直流电动机环节； 反馈环节。
R R
ui
i1
C
i2
C
uo
消除中间变量, 可以解得：
d uo duo ( RC ) 3RC uo ui 2 dt dt
2
2
2.1 动态微分方程的编写
方法二：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo RC uo uo1 dt
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo1 RC uo1 ui dt
其中
K k1k s
为正向通道电压放大系数
k1k s a Kk 为系统开环放大系数 Ce
2.1 动态微分方程的编写
三、负载效应与系统（或环节）的相似性
在建立系统微分方程时，若在部件（环节）划 分时没有考虑负载效应，即部件（环节）间存在 的耦合关系，将不能得到系统正确的微分方程。 例 建立电容、电阻网络的微分方程，其中u i 为 输入电压，欲求以电容两端电压 uo 为输出的微分 方程。
第二章 线性连续系统的数学模型 2.1 动态微分方程的编写
2.1 动态微分方程的编写
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建 立系统的数学模型。 控制系统的数学模型，就是描述系统输入、输 出以及内部变量之间动态关系的数学表达式，也 称为动态数学模型。 常用的动态数学模型有： 微分方程 传递函数 动态结构图 信号流图
2.1 动态微分方程的编写
例 建立直流调速系统的微分方程
2.1 动态微分方程的编写
（1）确定输入量为控制电压Ug； 输出量为电动机转速n。
（2）编写各环节的微分方程。根据系统框图，把 系统划分为4个环节，分别为： 比较和电压放大器环节； 功率放大环节； 直流电动机环节； 反馈环节。
R R
ui
i1
C
i2
C
uo
消除中间变量, 可以解得：
d uo duo ( RC ) 3RC uo ui 2 dt dt
2
2
2.1 动态微分方程的编写
方法二：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo RC uo uo1 dt
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo1 RC uo1 ui dt
其中
K k1k s
为正向通道电压放大系数
k1k s a Kk 为系统开环放大系数 Ce
2.1 动态微分方程的编写
三、负载效应与系统（或环节）的相似性
在建立系统微分方程时，若在部件（环节）划 分时没有考虑负载效应，即部件（环节）间存在 的耦合关系，将不能得到系统正确的微分方程。 例 建立电容、电阻网络的微分方程，其中u i 为 输入电压，欲求以电容两端电压 uo 为输出的微分 方程。
自动控制原理第二第二章数学模型线性化
自动控制原理第二章 数学模型线性化
目录
• 线性化基础 • 线性化方法 • 线性化应用 • 线性化案例分析
01
线性化基础
线性化的定义
线性化是指将非线性系统在平衡点附 近近似表示为线性系统的过程。
在自动控制原理中，线性化主要用于 分析系统的动态特性和稳定性。
线性化的过程
确定系统的平衡点
找到非线性系统的平衡点，这是线性化的起点。
高阶项的影响
在泰勒级数展开中，高阶项被忽略，因此线性化可能 引入误差。
02
线性化方法
泰勒级数展开法
总结词
泰勒级数展开法是一种通过将非线性函数在某一点处展开成幂级数来线性化非线性系统的有效方法。
详细描述
泰勒级数展开法基于数学中的泰勒级数，通过将非线性函数在某一参考点处展开成无穷级数的形式， 可以近似地表示该非线性函数。在自动控制系统中，选取适当的参考点，将非线性函数进行泰勒级数 展开，然后保留前几项，可以得到近似的线性化模型。
案例二：复杂控制系统线性化
总结词
对复杂控制系统进行线性化处理，以简化分析过程。
详细描述
复杂控制系统通常由多个相互耦合的动态元件组成，其数学模型通常为高阶非线性微分 方程。通过适当的线性化处理，可以将非线性模型简化为线性模型，从而简化分析过程。
案例三：多变量控制系统线性化
总结词
对多变量控制系统进行线性化处理，以实现 多变量控制。
幂级数展开法
总结词
幂级数展开法是一种将非线性函数表示为幂次函数的级数展开式的线性化方法。
详细描述
幂级数展开法的基本思想是将非线性函数表示为一系列幂次函数的和，通过选取适当的幂次函数，可以近似地表 示非线性函数。在自动控制系统中，利用幂级数展开法可以将非线性函数进行近似线性化，从而方便建立系统的 数学模型。
目录
• 线性化基础 • 线性化方法 • 线性化应用 • 线性化案例分析
01
线性化基础
线性化的定义
线性化是指将非线性系统在平衡点附 近近似表示为线性系统的过程。
在自动控制原理中，线性化主要用于 分析系统的动态特性和稳定性。
线性化的过程
确定系统的平衡点
找到非线性系统的平衡点，这是线性化的起点。
高阶项的影响
在泰勒级数展开中，高阶项被忽略，因此线性化可能 引入误差。
02
线性化方法
泰勒级数展开法
总结词
泰勒级数展开法是一种通过将非线性函数在某一点处展开成幂级数来线性化非线性系统的有效方法。
详细描述
泰勒级数展开法基于数学中的泰勒级数，通过将非线性函数在某一参考点处展开成无穷级数的形式， 可以近似地表示该非线性函数。在自动控制系统中，选取适当的参考点，将非线性函数进行泰勒级数 展开，然后保留前几项，可以得到近似的线性化模型。
案例二：复杂控制系统线性化
总结词
对复杂控制系统进行线性化处理，以简化分析过程。
详细描述
复杂控制系统通常由多个相互耦合的动态元件组成，其数学模型通常为高阶非线性微分 方程。通过适当的线性化处理，可以将非线性模型简化为线性模型，从而简化分析过程。
案例三：多变量控制系统线性化
总结词
对多变量控制系统进行线性化处理，以实现 多变量控制。
幂级数展开法
总结词
幂级数展开法是一种将非线性函数表示为幂次函数的级数展开式的线性化方法。
详细描述
幂级数展开法的基本思想是将非线性函数表示为一系列幂次函数的和，通过选取适当的幂次函数，可以近似地表 示非线性函数。在自动控制系统中，利用幂级数展开法可以将非线性函数进行近似线性化，从而方便建立系统的 数学模型。
自动控制原理(数学模型)精选全文完整版
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
二、非线性系统微分方程的线性化
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[x(t )]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y(x0)
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y(x) y(x) y(x0) E 0 sin x0 ( x x0 )
1
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
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1 1 2 4
如图所示
2( s 2) C2 s )] L1 L s 1 s 4 ( s 1)( s 4)
(2) (3) (4)
et 4t e
C1 lim
2( s 2) 2 s 1 s 4 3
C 2 lim
2( s 2) 4 s 4 s1 3
(5)
4 1 2 t 4 4t 2 1 k ( t ) L1 3e 3e 3 s 1 3 s 4 2( s 2) 2s 4 C ( s) G( s) 2 ( s 1)( s 4) s 5 s 4 R( s )
§2.3.1 传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。
G( S )
C ( s) R( s )
§2.3.2 传递函数的标准形式
微分方程一般形式：
anc( n) an1c( n1) ... a1c a0c bm r ( m ) bm1r ( m1) ... b1r b0r (t )
E0 RC s E0 C 0 lim s 0 1 s( s ) RC C lim ( s 1 ) E0 RC E 0 1 1 s 1 RC s( s ) RC RC
1 t RC
U c ( s)
E0 s
E0 u ( 0) c 1 1 s s RC RC
uc (t ) E0 E0e
uc (0) e
1 t RC
uc (t ) E0 [ E0 uc (0)] e
1 t RC
非线性微分方程的线性化
严格来说，实际物理系统或元件都具有不同程度 的非线性，所以输出变量与输入变量之间的函数关系 应当用非线性动态方程描述。 但非线性方程的性质一般比线性方程复杂得多， 因此工程上常常在一定条件下将非线性方程近似转化 为线性方程。这称为非线性方程的线性化。 常用方案：用泰勒级数的展开式取出非线性方程的主 要部分（展开注意应当选在工作点附近）。
线性定常微分方程求解
经典法 拉氏变化法 计算机求解
线性定常微分方程求解
例5
R-C 电路计算
c uc ur RCu
ur ( t ) E 0 1( t ) U r ( s) E0 s
ur Ri uc c i Cu c uc ur RCu
RC[ sU c ( s) uc (0)] Uc ( s) Ur ( s)
( s 2 5 s 4)C ( s ) ( 2 s 4) R( s ) 5c 4c 2r 4r L1 : c
消去中间变量可得：
K1 K 2 K 3 K 4 K m 1 K1 K 2 K 3 K 4 K m L L L ur Tm Tm Tm
线性系统的基本特性
用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性系统或 线性元件 线性系统满足叠加定理，具有叠加性和均匀性。
即：当两个外作用同时加于线性系统所产生的总输出， 等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和；当 外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大通用 的倍数。
o x
K1 K 2 K1 i xo x K1 K 2 K1 K 2
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例3 X-Y 记录仪
反馈口： u ur u p 放大器： u K 1 u K u 电动机： Tm m m m 减速器： 2 K 3 m 绳 轮： L K 3 2 电 桥： u p K 4 L
运动的模态
线性微分方程的解是一个特解与对应的齐次微分 方程的解之和。其中齐次微分方程的解代表对象的自 由运动，由微分方程的特征根决定。
1 2 n
如果n阶微分方程的特征根是 , , ，且无重根， 则把函数e t , e t ,e t称为该微分方程所描述运动的模态， 也叫振型。模态只取决于齐次微分方程，与系统的输入 变量无关。每一种模态代表一种类型的运动形态，齐次 微分方程的解则是它们的线性组合，即
o 2 0
m x o ) K 2 xo K 1 ( xi xm ) f ( x
m K1 x i K2 x o K1 x m x i x K2 K o 2 xo x o x K1 f
K1 K 2 K K1 o 2 xo i x x K1 f K1 K 2
§2 控制系统的数学模型 2.1 引言
数学模型: 描述系统输入、输出变量以及内部各变
量之间关系的数学表达式
建模方法： 解析法，实验法
2.2 时域数学模型 —— 微分方程
线性元部件、线性系统微分方程的建立 非线性系统微分方程的线性化
• §2 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur ( t ) L di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i(t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
( RCs 1) Uc ( s) U r ( s) RCuc (0)
RCuc (0) E0 RCuc (0) U ( s) U c ( s) r RCs 1 RCs 1 s( RCs 1) RCs 1
E 0 RC u ( 0) C u ( 0) C1 c 0 c 1 1 1 1 s s( s ) s s s RC RC RC RC
例7 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
试求：（1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5）
2 1 c( t ) 1 e t e 4 t 3 3 系统的传递函数； 系统的特征根及相应的模态； 画出对应的零极点图； 求系统的单位脉冲响应； 求系统微分方程；
解 .（ 1）
C ( s)
解. 在 h0处泰勒展开，取一次近似
代入原方程可得 在平衡点处系统满足
h h0
d ( h0 h) 1 1 ( h0 h) (Qr 0 Qr ) dt S S 2 h0 dh0 Qr 0 h0 dt S S
dh 1 h Qr 上两式相减可得线性化方程 dt S 2 S h0
§2 控制系统的数学模型
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系
的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
1 2 n
式中系数是由初始条件决定的一组常数。
运动的模态
如果特征根中有重根，则模态会具有形如 tet , t 2et ,的函 数；如果特征根中有共轭复数，则共轭复模态可写成 实函数模态 e at sinbt 与 e at cosbt 的形式，它们是一对共轭 复模态的线性组合。
传递函数的基本概念
§2.3
传 递 函 数
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型 之一。利用传递函数，可以：
不必求解微分方程就可以研究零初始条件系 统在输入作用下的动态过程。 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的 影响 --分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的 要求---综合
§2.3 控制系统的复域模型—传递函数
§2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例）
例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Qr 满足方程
dh 1 h Qr dt S S
式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Qr 在其工作点附近做微量
变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。
d h 1 |h0 h h0 h dt 2 h0
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程 例2 弹簧—阻尼器系统
A : Fi K 1 ( xi xm ) m x o ) Fm f ( x B : F K x
1 2 1 1 1 2( s 2) s 3 s 1 3 s 4 s( s 1)( s 4) C ( s) C ( S ) 2( s 2) G( s) s G( s) R( s ) 1s ( s 1)( s 4)
§2.3.3 传递函数的性质(2)
•
•
• •
§2.3 控制系统的复域模型—传递函数 §2.3.3 传递函数的性质
(1) G(s)是复函数； (2) G(s)只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s)与系统微分方程直接关联；
(4) G(s) = L[ k(t) ]；
(5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。
§2.3.3 传递函数的性质(1)
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤
1、根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出量；
2 、从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理 （或化学）定律，列写出各部件的动态方程，一般为微分方程组；
3、消去中间变量，写出关于输入、输出变量的微分方程； 4、将微分方程标准化。即：将与输入有关的各项放在等号的右侧，与 输出有关的各项放在等号的左侧，并按降幂排列。最好将系数归化为 具有一定物理意义的形式。
如图所示
2( s 2) C2 s )] L1 L s 1 s 4 ( s 1)( s 4)
(2) (3) (4)
et 4t e
C1 lim
2( s 2) 2 s 1 s 4 3
C 2 lim
2( s 2) 4 s 4 s1 3
(5)
4 1 2 t 4 4t 2 1 k ( t ) L1 3e 3e 3 s 1 3 s 4 2( s 2) 2s 4 C ( s) G( s) 2 ( s 1)( s 4) s 5 s 4 R( s )
§2.3.1 传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。
G( S )
C ( s) R( s )
§2.3.2 传递函数的标准形式
微分方程一般形式：
anc( n) an1c( n1) ... a1c a0c bm r ( m ) bm1r ( m1) ... b1r b0r (t )
E0 RC s E0 C 0 lim s 0 1 s( s ) RC C lim ( s 1 ) E0 RC E 0 1 1 s 1 RC s( s ) RC RC
1 t RC
U c ( s)
E0 s
E0 u ( 0) c 1 1 s s RC RC
uc (t ) E0 E0e
uc (0) e
1 t RC
uc (t ) E0 [ E0 uc (0)] e
1 t RC
非线性微分方程的线性化
严格来说，实际物理系统或元件都具有不同程度 的非线性，所以输出变量与输入变量之间的函数关系 应当用非线性动态方程描述。 但非线性方程的性质一般比线性方程复杂得多， 因此工程上常常在一定条件下将非线性方程近似转化 为线性方程。这称为非线性方程的线性化。 常用方案：用泰勒级数的展开式取出非线性方程的主 要部分（展开注意应当选在工作点附近）。
线性定常微分方程求解
经典法 拉氏变化法 计算机求解
线性定常微分方程求解
例5
R-C 电路计算
c uc ur RCu
ur ( t ) E 0 1( t ) U r ( s) E0 s
ur Ri uc c i Cu c uc ur RCu
RC[ sU c ( s) uc (0)] Uc ( s) Ur ( s)
( s 2 5 s 4)C ( s ) ( 2 s 4) R( s ) 5c 4c 2r 4r L1 : c
消去中间变量可得：
K1 K 2 K 3 K 4 K m 1 K1 K 2 K 3 K 4 K m L L L ur Tm Tm Tm
线性系统的基本特性
用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性系统或 线性元件 线性系统满足叠加定理，具有叠加性和均匀性。
即：当两个外作用同时加于线性系统所产生的总输出， 等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和；当 外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大通用 的倍数。
o x
K1 K 2 K1 i xo x K1 K 2 K1 K 2
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例3 X-Y 记录仪
反馈口： u ur u p 放大器： u K 1 u K u 电动机： Tm m m m 减速器： 2 K 3 m 绳 轮： L K 3 2 电 桥： u p K 4 L
运动的模态
线性微分方程的解是一个特解与对应的齐次微分 方程的解之和。其中齐次微分方程的解代表对象的自 由运动，由微分方程的特征根决定。
1 2 n
如果n阶微分方程的特征根是 , , ，且无重根， 则把函数e t , e t ,e t称为该微分方程所描述运动的模态， 也叫振型。模态只取决于齐次微分方程，与系统的输入 变量无关。每一种模态代表一种类型的运动形态，齐次 微分方程的解则是它们的线性组合，即
o 2 0
m x o ) K 2 xo K 1 ( xi xm ) f ( x
m K1 x i K2 x o K1 x m x i x K2 K o 2 xo x o x K1 f
K1 K 2 K K1 o 2 xo i x x K1 f K1 K 2
§2 控制系统的数学模型 2.1 引言
数学模型: 描述系统输入、输出变量以及内部各变
量之间关系的数学表达式
建模方法： 解析法，实验法
2.2 时域数学模型 —— 微分方程
线性元部件、线性系统微分方程的建立 非线性系统微分方程的线性化
• §2 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur ( t ) L di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i(t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
( RCs 1) Uc ( s) U r ( s) RCuc (0)
RCuc (0) E0 RCuc (0) U ( s) U c ( s) r RCs 1 RCs 1 s( RCs 1) RCs 1
E 0 RC u ( 0) C u ( 0) C1 c 0 c 1 1 1 1 s s( s ) s s s RC RC RC RC
例7 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
试求：（1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5）
2 1 c( t ) 1 e t e 4 t 3 3 系统的传递函数； 系统的特征根及相应的模态； 画出对应的零极点图； 求系统的单位脉冲响应； 求系统微分方程；
解 .（ 1）
C ( s)
解. 在 h0处泰勒展开，取一次近似
代入原方程可得 在平衡点处系统满足
h h0
d ( h0 h) 1 1 ( h0 h) (Qr 0 Qr ) dt S S 2 h0 dh0 Qr 0 h0 dt S S
dh 1 h Qr 上两式相减可得线性化方程 dt S 2 S h0
§2 控制系统的数学模型
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系
的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
1 2 n
式中系数是由初始条件决定的一组常数。
运动的模态
如果特征根中有重根，则模态会具有形如 tet , t 2et ,的函 数；如果特征根中有共轭复数，则共轭复模态可写成 实函数模态 e at sinbt 与 e at cosbt 的形式，它们是一对共轭 复模态的线性组合。
传递函数的基本概念
§2.3
传 递 函 数
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型 之一。利用传递函数，可以：
不必求解微分方程就可以研究零初始条件系 统在输入作用下的动态过程。 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的 影响 --分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的 要求---综合
§2.3 控制系统的复域模型—传递函数
§2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例）
例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Qr 满足方程
dh 1 h Qr dt S S
式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Qr 在其工作点附近做微量
变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。
d h 1 |h0 h h0 h dt 2 h0
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程 例2 弹簧—阻尼器系统
A : Fi K 1 ( xi xm ) m x o ) Fm f ( x B : F K x
1 2 1 1 1 2( s 2) s 3 s 1 3 s 4 s( s 1)( s 4) C ( s) C ( S ) 2( s 2) G( s) s G( s) R( s ) 1s ( s 1)( s 4)
§2.3.3 传递函数的性质(2)
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§2.3 控制系统的复域模型—传递函数 §2.3.3 传递函数的性质
(1) G(s)是复函数； (2) G(s)只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s)与系统微分方程直接关联；
(4) G(s) = L[ k(t) ]；
(5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。
§2.3.3 传递函数的性质(1)
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤
1、根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出量；
2 、从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理 （或化学）定律，列写出各部件的动态方程，一般为微分方程组；
3、消去中间变量，写出关于输入、输出变量的微分方程； 4、将微分方程标准化。即：将与输入有关的各项放在等号的右侧，与 输出有关的各项放在等号的左侧，并按降幂排列。最好将系数归化为 具有一定物理意义的形式。