10第十章 NP完全问题

（1）对于判定问题A，若ANP且NP中的 任何一个问题可在多项式时间内归约为A， 则称A为NP完全问题(NP-Complete或NPC). 可以表示为ANPC.
（2）对于判定问题A，若NP中的任何一个 问题可在多项式时间归约为判定问题A，则 称A为NP困难问题(NP-hard 或NPH) .可以 表示为ANPH.
可满足性问题被证明是NP完全的第一个 问题。作为第一个NP完全问题，还不存在 可归约到其他的NP完全问题。因此要证明 NP类中的所有问题都可以在多项式时间内 归约到它。 定理 10.2 SATISFIABILITY问题是NP完全 的。
(Cook定理，1971）SATNPC.
计算复杂性理论的奠基性工作之一：第一 个被证明的NPC问题！是证明许多其他NPC 问题的出发点 前面已经证明SATNP，所以尚需证明： 任何一个NP问题可以多项式归约为SAT 基本思想： 若ANP，则A存在非多项式时间算法 （猜测解、验证解）。 对猜测解、验证解的过程进行分析，构造 一个SAT问题！
定义 10.3 判定问题类NP由这样的判定问题组 成：对于它们存在着多项式时间内运行的不确定 性算法。
例10.4 着色问题 容易用两种方法（不确定算法， 确定性算法）证明这个问题属于NP类。
两个重要的类P和NP之间，有下面的不同点： •P是一个判定问题类，这些问题可以用一个确 定性算法在多项式时间内判定或解出； •NP是一个判定问题类，这些问题可以用一个确 定性算法在多项式时间内检查或验证它们的解。
Biblioteka Baidu非常有趣的是，它们中的许多是普通的自 然问题，就是说它们来自于现实世界的实 际应用问题。此外，现存的求解这些问题 的算法的运行时间，对于中等大小的输入 也要用几百或几千年来测度。
在研究NP完全性理论时，我们很容易重述一 个问题使它的解只有两个结论：yes或no。在 这种情况下，称问题为判定问题。与此相对 照，最优化问题是关心某个量的最大化或最 小化的问题。 下面通过几个例子，来说明如何把一个问题 阐述为判定问题和最优化问题。
设A是问题Π的一个不确定性算法，我们 说A接受问题Π的实例I，当且仅当对于输入 I存在一个导致yes的回答的猜测。换句话说， A接受I当且仅当可能在算法的某次执行上它 的验证阶段将回答yes。要强调的是，如果 算法回答no，那么这并不意味着A不接受它 的输入，因为算法可能猜测了一个不正确解。
至于一个(不确定性)算法的运行时间，它仅 仅是两个运行时间的和：一个是猜测阶段 的时间；另一个是验证阶段的时间。因此 它是O(ni)+ O(nj)= O(nk)，k是某个非负整数。
2可满足问题：给出一个合取范式（CNF）形 式的布尔表达式f，这里每个字句恰好由两 个文字组成，问f是可满足的吗？
如果对于任意问题c，Π的补也在c中，我 们说问题类Π∈c在补运算下是封闭的。例如， 2着色问题的补可以陈述如下：给出一个图G， 它是2不可着色的吗？我们称这个问题为NOT2-COLOR问题。
还有很多计算模型，此处略。
量子计算模型是什么样子呢？ 本章的讲解是初步入门，不讨论建立在相应计算模型上的 算法讨论。
10.1 引 言 前面所有的算法的运行时间可以用低次 多项式表示。现在有这样一类问题，这些问 题至今还没有找到有效的算法，而且在将来 也不大可能发现它们的有效算法。
设Π是任意问题，如果对问题Π存在 一个算法，它的时间复杂性是O(nk)，其中n 是输入大小，k是非负整数，我们说存在求 解问题Π的多项式时间算法。
如果我们有一个求解判定问题的有效算 法，那么很容易把它变成求解与它相对应的 最优化问题的算法。 因此，在NP完全问题的研究中，甚至在 一般意义上的计算复杂性或可计算性的研究 中，把注意力限制在判定问题上会比较容易 一些。
例如: 有一个求解图着色判定问题的算法A，则 可以用二分搜索并且把算法A作为子程序来 找出图G的色数。很清楚，1≤χ(G)≤n，这 里n是G中顶点数，因此仅用O(logn)次调用 算法A就可以找到G的色数。 因为我们处理的是多项式时间的算法， 因此logn因子是不重要的。
(b) 验证阶段 在这个阶段，一个确定性算法 验证两件事。首先，它检查产生的解串y是 否有合适的形式，如果不是，则算法停下并 回答no；另一方面，如果y是合适形式，那 么算法继续检查它是否是问题实例x的解， 如果它确实是实例x的解，那么它停下并且 回答yes，否则它停下并回答no。我们也要 求这个阶段在多项式步数内完成，即在O(nj) 时间内，这里j是一个非负整数。
例10.2 给出一个无向图G=(V,E)，用k种颜 色对G着色是这样的问题;对于V中的每一个 顶点用k种颜色中的一种对它着色，使图中 没有两个相邻顶点有相同的颜色。 判定问题:COLORING 输入：一个无向图G=(V,E)和一个正整数k≥1 输出：G可以k着色吗？即G最多可以用k种颜 色着色吗？

但是现实世界中许多有趣的问题并不 属于这个范畴，求解这些问题所需要的时 间量要用指数和超指数函数来测度。在计 算机科学界已达成这样的共识，认为存在 多项式时间算法的问题是易求解的，而不 大可能存在多项式时间算法的问题是难解 的。
本章将研究难解问题的一个子类，通常 称为NP完全问题类。这类问题含有许许多 多问题，其中还包含了数百个著名的问题， 它们有一个共同的特性，即如果它们中的 一个是多项式可解的，那么所有其他的问 题也是多项式可解的。
定义10.4 设Π和 是两个判定问题。如果 存在一个确定性算法A，它的行为如下，当 给A展示问题Π的一个实例I，算法A可以把 它变换为问题 的实例 ，使得当且仅当 对 回答yes时，对I回答yes，而且，这个 变换必须在多项式时间内完成。那么我们说 Π多项式时间归约到 ，用符号 play 表示。
10.3 NP类(Nondeterministic Polynomial) NP类由这样的问题Π组成，对于这些问题 存在一个确定性算法A，该算法在对Π的一个 实例展示一个断言解时，它能在多项式时间 内验证解的正确性。即如果断言解导致答案 是yes，就存在一种方法可以在多项式时间内 验证这个解。
为了较形式地定义这个类，必须首先定义不 确定性算法的概念。对于输入x，一个不确 定性算法由下列两个阶段组成。 (a) 猜测阶段 在这个阶段产生一个任意字 符串y，它可能对应于输入实例的一个解， 也可以不对应解。事实上，它甚至可能不 是所求解的合适形式，它可能在不确定性 算法的不同次运行中不同。它仅仅要求在 多项式步数内产生这个串，即在O(ni)时间 内，这里n=|x|, i是非负整数。对于许多问 题，这一阶段可以在线性时间内完成。
例10.1 设S是一个实数序列，ELEMENT UNIQUENESS问题为，是否S中的所有的 数都是不同的。
判定问题:ELEMENT UNIQUENESS 输入：一个整数序列S。 输出：在S中存在两个相等的元素吗？ 最优问题:ELEMENT COUNT 输入：一个整数序列S。 输出：一个在S中频度最高的元素。 这个问题可以用显而易见的方法在最优的 时间O(nlogn)解决，这意味着它是易解的。
下面列出一些P类的判定问题。 • 排序问题：给出一个n个整数的表，它们是 否按非降序排列？ • 不相交集问题：给出两个整数集合，它们 的交集是否为空？
2着色问题：给出一个无向图G，它是否是 2可着色的？即它的顶点是否可仅用两种颜 色着色，使两个邻接顶点不会分配相同的 颜色？注意，当且仅当G是二分图，即当且 仅当它不包含奇数长的回路时，它是2可着 色的。
这样的问题在解决时，对于下一步的 动作，它们也不知道确切的应该怎么办， 只能“尝试”很多种方案才能够得出一个 答案，这显然是很费时的，这种问题为 NP问题。
这种可以在多项式时间内验证一个解 是否正确的问题称为NP问题。 显然，所有的P类问题都是属于NP问题 的，但是现在的问题是，P是否等于NP? 这个问题至今还未解决。
10.2 P类(Polynomial多项式)
定义10.1 设A是求解问题Π的一个算法，如 果在展示问题Π的一个实例时，在整个执行 过程中每一步都只有一种选择，则称A是确 定性算法。因此如果对于同样的输入，实例 一遍又一遍地执行，它的输出从不改变。 定义10.2 判定问题的P类由这样的判定问题 组成，它们的yes/no解可以用确定性算法在 运行多项式步数内，例如在O(nk)步内得到， 其中k是某个非负整数，n是输入大小。
10.4.1 可满足性问题(SAT问题) 给出布尔公式f，如果它是子句的合取， 我们说它是合取范式(CNF)。一个子句是文字 的析取，这里文字是一个布尔变元或它的否 定。一个这种公式的例子是，参考教材178 一个公式称为是可满足的，如果对它的 变元存在一个真值的指派使它为真。例如， 上面的公式是可满足的，因为在x1和x3都臵为 真的任意指派下它为真。 判定问题：SATISFIABILITY 输入：一个合取范式的布尔公式f。 问题：f是可满足的吗？

这个问题是难解的，如果k被限于3， 问题就是非常著名的3着色问题，甚至在图 是平面的情况下也是难解的。
这个问题的一个最优化形式是，对一个图 着色，使图中没有两个邻接的顶点有相同的 颜色，所需要的最少颜色数是多少？这个数 记为χ(G)，称为G的色数。
最优化问题:CHROMATIC NUMBER 输入：一个无向图G=(V,E)。 输出：G的着色数。
下面证明它是属于P类的。 由于2着色问题在P中，存在一个确定性 算法A，当展示一个2可着色图时，它停机 并回答yes，在展示一个图不是2可着色图 时，它停机并回答no。通过在算法A中简单 的交换yes和no，能够得出问题NOT-2COLOR的一个确定性算法。这样有如下定 理。
定理 10.1 P类问题在补运算下是封闭的
• P类问题就是所有复杂度为多项式时间的 问题的集合。 • 有些问题很难找到多项式时间的算法 （或许根本不存在），比如找出无向图中的 哈密顿回路问题，但是我们发现如果给了我 们该问题的一个答案，我们可以在多项式时 间内判断这个答案是否正确。比如说对于哈 密顿回路问题，给一个任意的回路，我们很 容易判断他是否是哈米尔顿回路（只要看是 不是所有的顶点都在回路中就可以了）。
10.4 NP完全问题(NP Complete) NPC(NP Complete)问题，可以这么认为， 这种问题只有把解域里面的所有可能都穷举 了之后才能得出答案，这样的问题是NP里面 最难 的问题，这种问题就是NPC问题。
术语“NP完全”表示NP中判定问题的一个 子类，它们在下述意义上是最难的，即如 果它们中的一个被证明用多项式时间确定 性算法可解，那么NP中的所有问题用多项 式时间确定性算法可解，即NP=P。为了证 明一个问题是NP完全的，我们需要以下定 义。
第十章 NP完全问题
10. 1 10. 2 10. 3 10. 4 10. 5 10. 6 10. 7 引言 P类 NP类 NP完全问题 co-NP类 NPI类 四种类之间的关系
计算模型：
任何一种算法都应该建立在一种计算模型的基础上的； 图灵机：存储器和计算是分离的；（状态的变化处理） 图灵机计算模型：一条纸带模型，被分成多个单元，工作 带头进行读写头或者左移一个单元、或者右移一个单元、 或者停留在当前的单元上，其动作由它的有限状态控制器 决定。
NPC和NP-hard两者的区别是: 验证一个问 题A是否为NP-hard无须判断A是否属于NP. 根据定义可知NPCNPH. 当已知一个问题属于NPC或NPH时，如果再 遇到一个新问题： （1）若已知问题多项式归约为新问题，则 新问题属于NPH; （2）若还可以验证新问题属于NP，则新问 题属于NPC.
定义10.5 一个判定问题Π称为是NP困难的， play 如果对于NP中的每一个问题 ， 。
定义10.6 一个判定问题Π称为是NP完全的， 如果下列两个条件同时成立：
(1)Π在NP问题中； (2)对于NP中的每一个问题 ， play 。
NP完全问题类(NPC) – 定义 定义