10电介质-电容器

−Q
+Q
U为两导体(电极或极板)间电势差
VB
VA
2. 电容求解 (1) 定义法 设带电荷±Q→ (2) 串并联法 3. 常见基本电容器
真空(空气) C1 = d (记住)
ε0S
E
Q →U→ C= U
注
平板
2 π ε0 l C2 = RB ln RA
C3 = 4πε 0
R1 R2 R2 − R1
二. 有均匀介质存在时场的求解
1. 条件 高度对称分布(自由电荷与电介质)(本课程)
n = V D 2. 路径 ∫ D ⋅ dS = ∑ Q0i → D →E= → S
i =1
注
↓
ε 0ε r
∫P E ⋅ dl 2 U = 12 ∫ E ⋅ dl
∞ 1
′ ′ P = (ε r − 1)ε 0 E → σ → Q a. 无论介质内外,先求 D再求 E
＋
矢量和）
p σ ' ∆Sl ∑ P= = = σ' ∆V ∆Sl
一般：* σ ′ = Pn = P cos θ
四. 极化电荷与自由电荷的关系
以平板电容器中充满均匀介质为例 + σ 0 ++++++++++++ 极化后 − σ' - - - - - ４个无限大均匀带电平面 (±σ 0 , ±σ ') d ε r E0 E ' E + + + + + + + σ' E0 ---------E = E0 − E ' = （实验） −σ 0
= εr − 1 电极化率 式中 χ
+++++++++++
ε r E0
+ +
- - - - E'
+ +
E
+
-----------
注
εr − 1 a. σ ' = σ 0 只适用于上例情况，不具有一般意义 εr
b. 高频条件下，εr 与外电场频率 f 有关
感应、极化 自由、束缚

感应电荷：导体中自由电荷在外电场作用下作宏 观移动使导体的电荷重新分布——感应电荷、感 应电场
1 2
U
C1 U1 = U C1 + C2
C2 U U2 = C1 + C2
6－２ 静电场中电介质
类似导体
介质表面出现极化电荷 相互 作用
↑
电介质（绝缘体）
静电场重新分布 E = E0 + E ′
↓
静电场（E0）
一.电介质对电场的影响 相对电容率
平板电容器( ± σ )中
真空
+++++++
分析:
b. 先求 D , 等再求 E 等
+
−
a. 轴对称分布,可用高斯定理
讨论:
如设柱壳电势为零,圆柱体电势为何 ?
R2
R1
[例] 求如图所示电容器的电容
分析: a. 设可看成两个电容器并联
b. 左边
ε 0ε r1S1 C1 = d
d
ε r1
右边 C = ε 0ε r 2 S 2 2 则 C = C1 + C2
S
l >> RB
l (定义法) -
RB
RA
讨论:
↓ E →U → C
i =1
+ + + +
+ + + +
-
a. 影响 C 的因素 ? b. 如 d = RB -RA << RA
?
[例2]求球形电容器的电容
RA RB
4πε0 R A RB C= RB − R A
三.电容器的并联和串联
1.并联
(1) 特征 U 相等 Q = Q1 + Q2
注
a. D 辅助矢量 内含极化复合量 *一般 D = P + ε 0 E P (ε r − 1)ε 0 E D= P + ε0E = ε 0ε r E 均匀介质=
n ∫ D ⋅ dS = ∑ Q0i S i =1
b.
D 及 D ⋅ dS 与各种因素均有关
2 ⋅ = π D d S D 4 r ∫
S
εr
-------+
b. 作球型高斯面S
εr
R2
R1
Q0
c. 引入 D 后,可绕开极化电荷问题
r
[例] 图中是由半径为R1的长直圆柱导体和同轴的半 径为R2的薄导体圆筒组成，其间充以相对电容率为εr 的电介质. 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 +λ和 - λ. 求(1)电介质中的电场强度、电位移和极 化强度;(2)电介质内外表面的极化电荷面密度.
＋Q
Q1 Q2
C1
C2
−Q
(2) 基本关系 等效电容 C = C1 + C2 > C1( 或C2 )
U
2.串联
C1 Q1 = Q C1 + C2
C2 Q2 = Q C1 + C2
＋Q
C1
U1
C2
U2
−Q
(1) 特征 Q 相等 U = U1 + U 2 (2) 基本关系 C1C2 等效电容 C = < C1( 或C2 ) C +C

特点：导体中的感应电荷是自由电荷，可以从导体的 一处转移到另一处，也可以通过导线从一个物体传递 到另一个物体 特点：极化电荷起源于原子或分子的极化，因而总是 牢固地束缚在介质上，既不能从介质的一处转移到另 一处，也不能从一个物体传递到另一个物体。若使电 介质与导体接触，极化电荷也不会与导体上的自由电 荷相中和。因此往往称极化电荷为束缚电荷。
E0
*b. 不均匀介质内
ρ′ ≠ 0
介质
三.电极化强度
描述电介质极化程度 极化电介质内
− σ'
∆S
+++++++++++
讨论： P 与 σ ′ 关系
∑ p = σ ′∆S l
∆V （单位体积 电偶极矩
P=
∑p
εr
- - - - - P
+ σ' + + + + +
l
-----------
d
ε r2
S2
S1
柱形
球形
a. 电容描述储电本领,取决系统属性,与是否带电无关 b.电容器充满同一种均匀介质 C = ε r C0 (C0 :其间为真空) c.击穿场强Eb与击穿电压Ub(耐压) Ub 对平板电容器 Eb =
d
[例1] 求圆柱形电容器的电容 分析: a. l >> RB 高度轴对称 n b. 高斯定理 ∑ Qi / ε 0 ∫ E ⋅ dS =
S
ε0
− σ'
+++++++++++
εr
- - - - -
+ σ' + + + + + ---------- 令 D = ε 0ε r E = εE 电位移矢量
nห้องสมุดไป่ตู้ ∫SD ⋅ dS = ∑ Q0i (面内自由电荷代数和) i =1
通过任意闭合曲面的电位移通量只与面内自 由电荷有关，与其它因素无关.
+σ
σ E0 = ε0
ε r — 相对电容率 与电介质有关；ε = ε 0ε r — 电容率
充满电介质(各向同性) E0 E= < E0 (≠ 0) (ε r > 1) εr
------−σ
εr
二.电介质的极化
(束缚电荷) 在外电场中电介质表面出现极化电荷( ± Q′,±σ ′ )
1. 无极分子与位移极化
外电场作用— 正负电荷分离—介质表面 ± Q′
( 电偶极子 )
2. 有极分子与取向极化
外电场作用— 有极分子按外场取向—介质表面 ± Q′
注
± Q′ a. 共同结果 ——表面 E′ - Q’ E = E0 + E ′ E′ 介质内 E ≠ 0 （导体内 E = 0 ）
+Q’
例. A、B为两块平行且靠近放置的导体平板（面积
均为S），分别均匀带电 Qa 和Qb 。求当静电平衡时， 两导体板四个表面上的电荷分布。 A B
讨论：
（1）若（2）中平板B右侧接地
σ1 σ 2
σ3 σ4
电荷密度如何变化？
Qa + Qb σ σ = = 1 4 2S Qa − Qb σ2 = −σ 3 = 2S
ε0 σ′ E′ = ε0 E0 =
σ0
εr
εr − 1 εr − 1 Q0 = σ' σ 0 → Q' = εr εr
由 σ ' = P 推广到一般情况（均匀介质）
= P （εr − 1)ε0 E 矢量式 P = （εr − 1)ε0 E = χε 0 E d P 与 E 呈线性关系
6－4 电容 一. 孤立导体的电容
2. 孤立导体
Q 定义: C = V
电容器
1. 电容 描述导体(或导体系统)储存电荷的本领 单位: 1 F = 106 μF = 1012 pF
Q = = 4πε 0 R ∝R 真空中孤立导体球 C V 两带等值异号电荷的导体系统 二. 电容器
1. 电容
Q C= U
b. 一般不宜用叠加法求场
讨论: (1) 平板电容器(±Q)中充有均匀介质(εr )，
求 D与 σ的关系；(2) 把带电导体球(Q0, R1)外包一 层外半径为 R2的均匀介质球壳(εr )时,求电场强度 +++++++++ 的分布.
分析:
a. 自由电荷Q0和介质均呈球对称分
布, 故 D , E 也为球对称分布

极化电荷：电介质极化产生的电荷

6－3 电位移 有介质时的高斯定理 Q0 ' 一.电位移 有介质时的高斯定理 Q
以平板电容器中充满均匀介质为例
1 ∫ E ⋅ dS = (Q0 − Q′)
S
S
Q0 ′ Q0 − Q = ∴ E ⋅ dS = Q0 ∫S εr ε ε 0 r 即 ∫ ε 0ε r E ⋅ dS = Q0