2019-2020年高考数学一模试卷(理科)

2019-2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≥2考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据集合A是B的子集，利用数轴帮助理解，可得实数a应为不小于a的实数，得到本题答案．解答：解：∵设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，且A⊆B，∴结合数轴，可得2≤a，即a≥2故选：D点评：本题给出两个数集的包含关系，求参数a的取值范围，着重考查了集合的包含关系判断及应用的知识，属于基础题．2．（5分）已知复数z=，则|z|=（）A．B．C．l D．2考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先利用复数的除法运算把复数z化为a+bi的形式，然后直接代入模的公式求模．解答：解：z==．所以|z|=．故选C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的运算题．3．（5分）一个底面是正三角形的三棱柱的侧视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（）A．B．6C．2D．2考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意判断几何体的形状，集合三视图的数据求出侧面积．解答：解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，侧面积为3×2×1=6，故答案为：B．点评：本题考查三视图求解几何体的侧面积，考查空间想象能力，计算能力．4．（5分）下列说法错误的是（）A．在线性回归模型中，相关指数R2取值越大，模型的拟合效果越好B．对于具有相关关系的两个变量，相关系数r的绝对值越大，表明它们的线性相关性越强C．命题“∃x∈R．使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题若x=y，则sin．r=siny”的逆否命题为真命题考点：特称命题；命题的否定．专题：探究型．分析：A．利用相关指数R2取值意义进行判断．B．利用相关系数r的意义判断．C．利用特称命题的否定是全称命题进行判断．D．利用四种命题之间的关系进行判断．解答：解：A．相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，所以A 正确．B．线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，所以B正确．C．命题“∃x∈R．使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”．D．点评：本题主要考查命题的真假判断，综合性较强，牵扯的知识点较多，要求熟练掌握相应的知识．5．（5分）（2011•宝鸡模拟）若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：函数=2cos（x+）图象向左平移m个单位可得y=2cos（x+m），由函数为偶函数图象关于y轴对称，故可得此函数在y轴处取得函数的最值即2cos（m+=±2，求解即可解答：解：∵函数=2cos（x+）图象向左平移m个单位可得y=2cos（x+m）根据偶函数的性质：图象关于y轴对称，故可得此函数在y轴处取得函数的最值即2cos（m+=±2，解得，m的最小值故选C点评：本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，函数的图象平移，偶函数的性质，三角函数的对称轴的应用，综合的知识比较多，但都是基本运用．6．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且A=60°，c=5，a=7，则△ABC 的面积等于（）A．B．C．10 D．10考点：正弦定理．专题：计算题．分析：利用余弦定理a2=b2+c2﹣2accosA可求得b，即可求得△ABC的面积．解答：解：∵△ABC中，A=60°，c=5，a=7，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即49=b2+25﹣2×5b×，解得b=8或b=﹣3（舍）．∴S△ABC=bcsinA=×8×5×=10．故选C．点评：本题考查余弦定理与正弦定理的应用，求得b是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．7．（5分）在下列图象中，可能是函数y=cosx+lnx2的图象的是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：令f（x）=cosx+lnx2（x≠0），可得f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数，其图象关于y 轴对称．利用导数（x≠0），可知：当2＞x＞0时，y′＞0．及f（π）=﹣1+2lnπ＞0即可判断出．解答：解：令f（x）=cosx+lnx2（x≠0），则f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称．∵（x≠0），∴当2＞x＞0时，y′＞0．由f（π）=﹣1+2lnπ＞0可知：只有A适合．故选A．点评：熟练掌握偶函数的性质、利用导数研究函数的单调性、数形结合的思想方法等是解题的关键．8．（5分）（xx•浙江）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．解答：解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选C．点评：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．9．（5分）某学校星期一每班都排9节课，上午5节、下午4节，若该校李老师在星期一这天要上3个班的课，每班l节，且不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么李老师星期一这天课的排法共有（）A．474种B．77种C．462种D．79种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节排法数目，再求出其中上午连排3节和下午连排3节的排法数目，进而计算可得答案．解答：解：使用间接法，首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A93=504种排法，其中上午连排3节的有3A33=18种，下午连排3节的有2A33=12种，则这位教师一天的课表的所有排法有504﹣18﹣12=474种，故选A．点评：本题考查排列知识的应用，使用间接法求解，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（5分）（xx•宁德模拟）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型；定积分．专题：计算题．分析：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．解答：解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）==．所以P（A）=．故选C．点评：本题综合考查了对数的性质，几何概型，及定积分在求面积中的应用，是一道综合性比较强的题目，考生容易在建立直角坐标系中出错，可多参考本题的做法．11．（5分）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足•=0，则4e12+e22的最小值为（）A．3B．C．4D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆、双曲线的定义，确定a2+m2=2c2，利用离心率的定义，结合基本不等式，即可得出结论．解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m ①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②又•=0，∴∠F1PF2=90°，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④将④代入③得a2+m2=2c2，∴4e12+e22==+≥+=故选B．点评：本题考查椭圆、双曲线的定义，考查基本不等式的运用，属于中档题．12．（5分）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．γ＞α＞βB．β＞α＞γC．α＞β＞γD．β＞γ＞α考点：导数的运算．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．解答：解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由题意得：α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，当β≥1时，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，这与β≥1矛盾，∴0＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故答案为A．点评：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．）13．（4分）某种品牌的摄像头的使用寿命ξ（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的溉率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2．某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：根据题意ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜2）=P（ξ≥6），结合正态分布密度函数的对称性可知，μ=4，从而得出每支这种摄像头的平均使用寿命，即可得到在4年内一个摄像头都能正常工作的概率，最后利用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式即得这两个摄像头都能正常工作的概率．解答：解：∵ξ～N（μ，σ2），P（ξ≥2）=0.8，P（ξ≥6）=0.2，∴P（ξ＜2）=0.2，显然P（ξ＜2）=P（ξ≥6）…（3分）由正态分布密度函数的对称性可知，μ=4，即每支这种灯管的平均使用寿命是4年；…（5分）∴在4年内一个摄像头都能正常工作的概率，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为=．故答案为：点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线的变化特点，本题是一个基础题．14．（4分）（2﹣）8展开式中不含x2的所有项的系数和为﹣1119．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：在展开式的通项公式中，令x的幂指数=2，解得r的值，可得含x2的系数．再根据所有项的系数和为（2﹣1）8=1，求得不含x2的所有项的系数和．解答：解：（2﹣）8展开式的通项公式为T r+1=•28﹣r•（﹣1）r•，令=2，解得r=4，故含x2的系数为24•=1120．而所有项的系数和为（2﹣1）8=1，故不含x2的所有项的系数和为1﹣1120=﹣1119，故答案为﹣1119．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．15．（4分）（xx•湖北模拟）已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x，y）的值依次记为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），若程序运行中输出的一个数组是（t，﹣8），则t 为81．考点：循环结构．专题：图表型．分析：由已知中程序框图，我们可以模拟程序的运行结果，并据此分析出程序运行中输出的一个数组是（t，﹣8）时，t的取值．解答：解：由已知中的程序框图，我们可得：当n=1时，输出（1，0），然后n=3，x=3，y=﹣2；当n=3时，输出（3，﹣2），然后n=5，x=32=9，y=﹣2×2=﹣4；当n=5时，输出（9，﹣4），然后n=7，x=33=27，y=﹣2×3=﹣6；当n=7时，输出（27，﹣6），然后n=9，x=34=81，y=﹣2×4=﹣8；当n=9时，输出（81，﹣8），故t=81．故答案为：81．点评：本题考查循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用利用框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．16．（4分）定义min{a，b}=，实数x、y满足约束条件，设z=min{4x+y，3x﹣y}，则z的取值范围是[﹣10，7]．考点：简单线性规划．专题：新定义；数形结合；不等式的解法及应用．分析：由新定义可得目标函数的解析式，分别由线性规划求最值的方法求各段的取值范围，综合可得．解答：解：由题意可得z=min{4x+y，3x﹣y}=，z=4x+y的几何意义是直线y=﹣4x+z的纵截距，约束条件为，可知当直线y=﹣4x+z经过点（﹣2，﹣2）时，z取最小值﹣10，经过点（2，﹣1）时，z取最大值7，同理可得z=3x﹣y的几何意义是直线y=3x﹣z的纵截距的相反数，约束条件为，可知当直线y=3x﹣z经过点（﹣2，2）时，z取最小值﹣8，经过点（2，﹣1）时，z取最大值7，综上可知z=min{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣10，7]，故答案为：[﹣10，7]点评：本题考查简单的线性规划，涉及对新定义的理解，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共74分．）17．（12分）已知函数f（x）=4sin2（x+）+4sin（x+）sin（x﹣）﹣2．（I）求函数f（x）在[0，]上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x0）恒成立，求sin（2x0）．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；复合三角函数的单调性．专题：综合题．分析：（I）利用利用降幂公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式可将y=f（x）转化为f （x）=4sin（2x﹣）﹣1，再利用复合三角函数的单调性即可求得函数f（x）在[0，]上的值域；（Ⅱ）依题意知，f（x0）是f（x）的最大值，从而可求得2x0=2kπ+（k∈Z），继而可得sin（2x0）．解答：解：（I）∵f（x）=4sin2（x+）+4sin（x+）sin（x﹣）﹣2．=2[1﹣cos（2x+）]+4（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）﹣2=2+2sin2x+sin2x﹣3cos2x﹣2=2sin2x﹣2cos2x﹣1=4sin（2x﹣）﹣1…4分∴x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴﹣3≤f（x）≤3，∴函数f（x）在[0，]上的值域为[﹣3，3]…8分（Ⅱ）∵对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x0）恒成立，∴f（x0）是f（x）的最大值，因此2x0﹣=2kπ+（k∈Z），∴2x0=2kπ+（k∈Z），∴sin（2x0）=sin（2kπ+﹣）=sin=…12分点评：本题考查降幂公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式，考查复合三角函数的单调性及正弦函数的性质，考查三角函数的综合应用，属于中档题．18．（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是为为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．专题：计算题；应用题．分析：（Ⅰ）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．解答：解：（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8P（ξ=0）==P（ξ=2）==P（ξ=4）==P（ξ=6）==P（ξ=8）==数学期望Eξ==点评：本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=，E、F分别为线段PD和BC的中点（I）求证：CE∥平面PAF；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：证明题；综合题；数形结合；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）由题意，可设出PA的中点为H，连接HE，HF，在四边形HECF中证明CE与HF平行，从而利用线平行的判定定理得出结论；（II）由题中条件知，可建立空间坐标系求出两个半平面的法向量，再利用向量夹角公式求二面角的余弦值，从而得出二面角的大小．解答：解：（I）由图知，取PA的中点为H，连接EH，HF，由已知，E、F分别为线段PD和BC的中点及底面ABCD是平行四边形可得出HEAD，CFAD故可得HECF，所以四边形FCEH是平行四边形，可得FHCE又CE⊈面PAF，HF⊆面PAF所以CE∥平面PAF（II）底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，可得CA⊥AD，又由平面PAD⊥平面ABCD，可得CA⊥平面PAD，所以CA⊥PA又PA=AD=1，PD=，可知，PA⊥AD建立如图所示的空间坐标系A﹣XYZ因为PA=BC=1，PD=AB=，所以AC=1所以B（1，﹣1，0），C（1，0，0），P（，0，0，1），=（1，﹣1，0），=（0，0，1）设平面PAB的法向量为=（x，y，z）则可得，令x=1，则y=1，z=0，所以=（1，1，0）又=（0，﹣1，0），又=（﹣1，0，1）设平面PCB的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=0，z=1，所以=（1，0，1），所以|cos＜，＞|=所以二面角A﹣PB﹣C的大小为60°点评：本题考查二面角的求法与线面平行的判定，利用空间向量求二面角是一个重要的方法，恰当的建立空间坐标系是解答此题的关键，本题考查了综合法证明及空间想像能力，是一道有一定难度的综合题20．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n=（n≥2）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前项n和为T n，求证：T n＜n+1．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用数列递推式证明数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，再求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）确定数列{b n}的通项，利用裂项法求前项n和为T n，即可得出结论．解答：（I）解：∵a n=，∴S n﹣S n﹣1=∴﹣=1（n≥2）∵a1=1，∴=1，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列∴∴S n=n2∴n≥2时，a n=2n﹣1n=1时也满足上式∴a n=2n﹣1；（II）证明：b n==1+=1+，∴T n=n+（1﹣++…+）=∵∴T n＜n+1．点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（xx•济宁一模）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为，可得，利用椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可得b=，从而可求椭圆的方程；（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x﹣4）代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出直线AE的方程，令y=0，化简即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴∴∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．∴b=∴a2=4，b2=3∴椭圆的方程为；（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x﹣4）代入椭圆方程可得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0设B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1），∴x1+x2=，x1x2=又直线AE的方程为y﹣y2=令y=0，则x=x2﹣===1∴直线AE过x轴上一定点Q（1，0）．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解22．（14分）已知函数f（x）=ax﹣2lnx﹣（I）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=，若存在x∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）确定函数的定义域，求导函数，由导数的正负，分离参数求最值，即可求实数a 的取值范围；（Ⅱ）g（x）=在[1，e]上是减函数，且g（x）∈[2，2e]．分类讨论求最值，即可求实数a的取值范围．解答：解：（I）函数的定义域为（0，+∞），①若f′（x）≥0，则ax2﹣2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，∵，∴a≥1，此时函数在（0，+∞）上单调递增；②若f′（x）≤0，则ax2﹣2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，∵，∴a≤0，此时函数在（0，+∞）上单调递减；综上，a≥1或a≤0；（II）g（x）=在[1，e]上是减函数，且g（x）∈[2，2e]．①a≤0时，函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时f（x）max=f（1）=0，不合题意；②a≥1时，函数f（x）在[1，e]上是增函数，由题意，f（e）＞g（e）∴∴；②当0＜a＜1时，∵∴f（x）=ax﹣2lnx﹣≤≤﹣2＜2，不合题意综上，．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题的研究，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。