电动力学期末复习

第一章一、选择题1、位移电流实质上是电场的变化率，它是（D ）首先引入的。

A). 赫兹 B). 牛顿 C). 爱因斯坦 D). 麦克斯韦3、两个闭合恒定电流圈之间的相互作用力，两个电流元之间的相互作用力，上述两个相互作用力，哪个满足牛顿第三定律（ C ）。

A). 都满足 B). 都不满足 C). 前者满足 D). 后者满足二、填空题1. 麦克斯韦 在理论上预言了电磁波的存在，并指出光波就是一种电磁波。

2.电荷守恒定律的微分形式为 J 0tρ∂∇⋅+=∂ 3、均匀线性介质中电磁场的能量密度w 的表达式为 1()2w E D H B =⋅+⋅。

4、电磁波（电矢量和磁矢量分别为E 和H）在真空中传播，空间某点处的能流密度=S =SE H ⨯5、线性介质的电磁能量密度w ＝___________，能流密度S ＝____ _______。

答：w ＝1()2E D H B ⋅+⋅或2211()2E B +εμ; S ＝E H ⨯或1E B μ⨯6、电场、磁场的切向分量的边值关系分别为：______________________________．答：21ˆ()0n e E E ⨯-=或21t t E E =；21ˆ()n e H H ⨯-=α或21t t H H -=α三、判断题1.稳恒电流场中，电流线是闭合的。

（ ）√2.电介质中E Dε=的关系是普遍成立的。

（ ）×3.跨过介质分界面两侧，电场强度E的切向分量一定连续。

（ ）√4.电磁场的能流密度S 在数值上等于单位时间流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。

（ ）√5.电流元1、2分别属于两个闭合稳恒电流圈，则电流元1、2之间的相互作用力服从牛顿第三定律。

（ ）⨯四、简答题1.写出一般形式的电磁场量D 、E 、B 、H 的边值关系。

答： 2102102121212121ˆ() ˆ()0ˆ()0 ˆ() n n n n t t f n D D D D n B B B B n E E E E n H H σσα⎧⋅-=-=⎪⎪⋅-==⎪⎨⨯-==⎪⎪⨯-=⎪⎩或或或2、介质中麦克斯韦方程组的微分形式 答：B D E ; H J ; D ; B 0;t tρ∂∂∇⨯=-∇⨯=+∇⋅=∇⋅=∂∂ 3、写出洛仑兹力密度表达式。

答： Sf E J B E v B T t c ρρρ∂=+⨯=⋅+⨯=-∇⋅-∂2或五、证明题1. 由场和电荷系统的能量守恒定律、麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式证明：（1） 电磁场的能量密为w D B E H t t t∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂ （2） 能流密度为S E H =⨯1证明：场和电荷系统的能量守恒定律为 wS f v t∂∇⋅+=-⋅∂ （1） 由洛仑兹力密度公式 f v (E v B )v v E J E ρρρ⋅=+⨯⋅=⋅=⋅ 将上式代入（1）式得 wS J E t∂∇⋅+=-⋅∂ （2） DJ H t∂=∇⨯-∂ (DJ E E H E t∂∴⋅=⋅∇⨯-⋅∂） （3） E (H =(E H H (E (E H t∂⋅∇⨯-∇⋅⨯⋅∇⨯-∇⋅⨯⋅∂B ））+）=）-H 将上式代入（3）式得 (D BJ E E H E H t t∂∂⋅=-∇⋅⨯⋅-⋅∂∂）- （4））比较（2）、（4）式，可得 电磁场的能量密为w D BE H t t t∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂ 能流密度为 S E H =⨯2、用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。

（提示：考虑D 、E 的边值关系）2证明：介质2与导体1的边值关系(静电情况) 0ˆˆ0nD nE σ⎧⋅=⎪⎨⨯=⎪⎩ （1）式其中n 为界面法线单位矢量，D 、E 为介质2中的场量，导体内静电平衡时场量D 、E 为0。

根据线性介质性质=D E ε，（1）式化为 00ˆ00ˆ0n t E nD E n E εσσ⎧=≠⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=⨯=⎪⎩⎩，导体外的电场只有法线方向分量，即总是垂直于导体表面。

3、用边值关系证明：在线性绝缘介质与导体的分界面上，在恒定电流情况下，导体内表面的电场线总是平行于导体表面。

3证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体稳恒电流时绝缘介质与导体的边值关系为：2121()0()0n ne J J e E E ⎧⋅-=⎪⎨⨯-=⎪⎩绝缘介质中电流为零，因此 22210n n t t J J E E ==⎧⎨=⎩从而有 222100n n tt E E E E ==⎧⎨=≠⎩ 即电场只有平行于界面的分量4、证明当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足：1212εεθθ=tg tg ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电场线与法线的夹角。

（提示：考虑D 、E 的边值关系）4证明：考虑分界面上不带自由电荷，由理想介质边值关系() 212122112221112121221121ˆ()0(1)cos cos (1)(2)sin sin (2)ˆ0n n n n t t t t nD D D DE E E E or E E E E E E n E E ⎧⋅-====⎧⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨⎨===⨯-=⎩⎩⎩⎪⎩εεεθεθθθ 21222111(2)/(1)tg tg tg tg ⇒=⇒=θθθεεεθε5、当两种导电媒质内流有稳恒电流时，分界面上电场线曲折满足2211tg tg θσ=θσ，其中σ1和σ2分别为两种媒质的电导率。

（提示：考虑J 、E 的边值关系） 5证明：稳恒电流时导体之间的边值关系(2) 22112122211121211121(1)()0cos cos (1)sin sin (2)()0n n J Et t E E n J J E E or E E E E n E E =⎧=⋅-==⎧⎧⎪−−−→⎨⎨⎨==⨯-=⎪⎩⎩⎩σσσσθσθθθ 21212222112111(2)/(1)t t n n E E tg tg tg E E tg θθθσ⇒=⇒=⇒=σσσσθσ6、证明214()x rπδ∇=-，其中||r x =。

6证明：（1）当r ≠ 0时，2311111()()()()x y z x y z r r r r e e e e e e r x r y r z r r x y z r∂∂∂-∂∂∂∇=++=++=-∂∂∂∂∂∂ 而323343*********()()30r r r r r r r r r r r r r r r r r r--∇⋅=∇⋅=∇⋅+∇⋅=∇⋅+∇⋅=⋅+⨯=， 因此 2110,0r r r∇=∇⋅∇=≠ （2）当r 0=时，取一小球面S 包围着原点，取对小球体积V 积分，即223211114V V S S Sr d d ds ds r d r r r r r ττπ∇=∇⋅∇=∇⋅=-⋅=-Ω=-⎰⎰⎰⎰⎰ （或当r 0=时，在r 0=点，1r奇异，上式不成立。

因此21r ∇是这样一个函数，它在0 r ≠处的值为零，只有在r 0=点上可能不等于零。

为了进一步确定这样的函数，我们采用极限方法。

2222221/2225/20a 0a 0113a r dV lim dV lim d dr r (r a )(r a )Ω∞→→-∇=∇=++⎰⎰⎰⎰ 作积分变换r a ρ=，可见上式的极存在，23225/223/2001dV 12d 44r (1)(1)ρρπρππρρ∞∞∇=-=-=-++⎰⎰）因此我们证明了 214(x )rπδ∇=- 7、已知一个电荷系统的偶极矩定义为()(,)V P t x t x dV ρ'''=⎰，证明 (,)VdP J x t dV dt''=⎰ 7证明：方法1：()()()VVV V dP dx x x dV x dV x dV JdV dt dttρρρ'''''∂'''''''''====∂⎰⎰⎰⎰v方法2：由电荷守恒定律(,)()VV VdP d x t x dV x dV J x dV dt dtt ρρ'''∂'''''''===-∇⋅∂⎰⎰⎰ 由 ()()()()()()f g f g f g f g f g f g ∇⋅=∇⋅+⋅∇⇒∇⋅=∇⋅-⋅∇()()()V V dPJ x dV J x J x dV dt''⎡⎤''''''''=-∇⋅=-∇⋅-⋅∇⎣⎦⎰⎰ 式中 ()J x J x J I J ''''⋅∇=⋅∇=⋅= 则()()V V S V dPJ x dV JdV J x dS JdV dt'''''''''''=-∇⋅+=-⋅+⎰⎰⎰⎰将上式中积分区域取为大于电荷分布区域，则右边第一项的面积分为0，(,)V dPP J x t dV dt'''==⎰五、综合题1、已知电容率为ε的均匀介质内部体自由电荷密度为ρf ，求这种介质的体极化电荷密度ρp 。

1、解： P p⋅-∇=ρE E P p⋅∇--=-⋅-∇=⋅-∇=)()(00εεεερf f p E ρεεερεεεερ)()()(0001--=--=⋅∇--=2、根据算符的性质，推导下列公式 A A A A (21)(2-∇=⨯∇⨯·A )∇2解：由C A B A C ()(=⨯⨯·C B B ()-·)A得=⨯∇⨯)(A A 21A (∇·)A A (-·A )∇=A A (212-∇·A )∇ 3、由麦克斯韦方程组导出电流连续性方程。

解：由麦氏方程 DH J t∂∇⨯=+∂ 上式两边求散度 ()DH J t∂∇⋅∇⨯=∇⋅+∇⋅∂ （1） （1）左边 0H ∇⋅∇⨯≡ 且 D D D t t t tρ∂∂∂∂∇⋅=∇⋅=∇⋅=∂∂∂∂ 所以有 J 0tρ∂∇⋅+=∂第二章一、选择题1、在两个夹角为900的接地导体平板内有一点电荷Q ，用镜像法求解空间电势时其像电荷的数目为［ ］：答：B(A) 两个 (B) 三个 (C) 四个 (D) 五个2、电四极矩可反映电荷分布对球对称的偏离，沿Z 轴方向拉长的旋转椭球体，其内部电荷均匀分布，则电四级矩D 33 [ ]。