函数恒成立存在性问题1
函数恒成立存在性问题
1
()f x >恒成立?()max a f x >
；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立
2()f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立
3
()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>?
??
≤??在
上恒成立在上恒成立
A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈
B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .
4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥
5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤
6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥
7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数
()y g x =图象上方；
9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f
x =和图象在函数
()y g x =图象下方；
例 题 讲 解：
1、已知函数12)(2
+-=ax x x f ，x
a
x g =
)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，数a 的取值围；
2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，数a 的取值围；
2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4
1
[∈x 恒成立，数b 的取值围．
3、已知两函数2
)(x x f =，m x g x
-??
? ??=21)(，对任意[
]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则
的取值围为
(已知某个参数的围，整理成关于这个参数的函数)
2≤的所有实数p,求使不等式2
12x px p x ++>+恒成立的x 的取值围。 2、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ
=+是区间[]1,1-上的减函数，
(Ⅰ)求a 的值；
(Ⅱ)若[]2
()11,1g x t t x λ≤++∈
-在上恒成立，求t 的取值围；
1、当)1,2x ∈时，不等式2
40x mx ++<恒成立，则m 的取值围是 .
） 1、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值围是________
2、已知函数()2
22f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，数k 的取值围。
D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.
1、存在实数x ，使得不等式2
313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值围为______。
2、已知函数()()2
1ln 202
f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值围
课后作业：
1、设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2
[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（ ）
（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}
2、若任意满足05030x y x y y -≤??+-≥??-≤?的实数,x y ，不等式222
()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值是 ___ .
3、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值围是
4、不等式ax ≤
[]0,3x ∈恒成立，数a 的取值围。
5、已知两函数()2
728f x x x c =--，()322440g x x x x =+-。
（1）对任意[]3,3x ∈-，都有)成()()f x g x ≤立，数c 的取值围；
（2）存在[]3,3x ∈-， 使成立()()f x g x ≤，数c 的取值围；
（3）对任意[]12,3,3x x ∈
-，都有()()1
2
f x
g x ≤，数c 的取值围；
（4）存在[
]
12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，数c 的取值围；
6、设函数3
221()23(01,)3
f x x ax a x b a b R =-
+-+<<∈. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤成立，求a 的取值围。
7、已知A 、B 、C 是直线λ上的三点，向量OA →，OB →，OC →
满足：()[]()0OC 1x ln OB 1f 2y OA =?++?'+-. （1）求函数y ＝f(x)的表达式； （2）若x ＞0，证明：f(x)＞2x
x ＋2；
（3）若不等式()
3bm 2m x f x 212
22--+≤时，[]1,1x -∈及[]1,1b -∈都恒成立，数m 的取值围．
8、设()x ln 2x q px x f --=，且()2e
p
qe e f --=（e 为自然对数的底数）
(I)求 p 与 q 的关系； (II)若()x f 在其定义域为单调函数，求 p 的取值围；
(III)设()x
e
2x g =，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得()()00x g x f >成立, 数 p 的取值围.
1、分析：1
2）思路、对在不同区间的两个函数和分别求最值，即只需满足max min 即可．
简解：（1）由1
20122
32
++-+-x x
x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可 ．对1
2)(2
3++=x x
x x ?求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，
2)1()(min ==??x ，所以a 的取值围是2
0< )( 10x x a b +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 0101 )(≤-++?=b x a x a ?，]2,21[∈a 简解：方法1:对b x x a b x x g x h ++=++=)()(求导，2 2) )((1)(x a x a x x a x h +-=-='， 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)4 1 (h 与)1(h 中的较大者． ?????-≤-≤??????≤++≤++??????≤≤∴a b a b b a b a h h 94439 1011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值围是47≤b ． 3、解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x - ?? ? ??=21)(在[]2,1上的 最小值m -41不大于2 )(x x f =在[]2,0上的最小值0，既04 1≤-m ，∴41≥m 1、解：不等式即1210x p x x -+-+>,设121f p x p x x =-+-+，则f p 在[-2,2]上恒 大于0， 故有：()()2 22043031 1120 10f x x x x x x f x ->??-+>><->->?????或或1x ?<-或3x > 2、 (Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：λ及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作 为常数。显然可将λ视作自变量，则上述问题即可转化为在(],1-∞-关于λ的一次函数大于等于0恒成 立的问题。(Ⅱ)略解：由(Ⅰ)知：()f x x =，()sin g x x x λ∴=+，()g x Q 在[]11 -，上单调 递减，()cos 0g x x λ'∴=+≤cos x λ∴≤-在[]11-， 上恒成立，1λ∴≤-，[]max ()(1)sin1g x g λ=-=--， ∴只需2sin11t t λλ--≤++，2(1)sin110t t λ∴++++≥（其中1λ≤-）恒成立，由上述②结论 ：可令()2 (1)sin110(1f t t λλλ=++++≥≤-）,则2t 101sin110t t +≤?? --+++≥?，2 1sin10t t t ≤-? ∴?-+≥? ，而2sin10t t -+≥恒成立 ， 1t ∴≤-。 题型三、分离参数法（欲求某个参数的围，就把这个参数分离出来） 1、当()1,2x ∈时，不等式2 40x mx ++<恒成立，则m 的取值围是 . 解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m +<-.∴5m ≤-. | x ax =x 1、解析：对?x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立、则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤。 2、分析：为了使()f x k ≥在[)1,x ∈-+∞恒成立，构造一个新函数()()F x f x k =-，则把原题转化成左边二次 函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。 解：令()()2 22F x f x k x kx k =-=-+-，则()0F x ≥对[)1,x ∈-+∞恒成立，而()F x 是开口向上的抛物线。 ①当图象与x 轴无交点满足0?<，即()2 4220k k ?=--<，解得21k -<<。 ②当图象与x 轴有交点，且在[)1,x ∈-+∞时()0F x ≥，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得： ()010212 F k ? ??≥?? -≥??-?-≤-??解得32k -≤≤-，故由①②知31k -≤<。 小结：若二次函数()2 0y ax bx c a =++≠大于0恒成立，则有00 a >?? ? 0y ax bx c a =++≠ 小于0恒成立，则有0 a ? 若在区间D 上存在实数x 使不等式f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 1、解：设()31f x x x =++-，由()23f x a a ≤-有解，()2 min 3a a f x ?-≥， 又()()31314x x x x ++-≥+--=，∴234a a -≥，解得41a a ≥≤-或。 2、解： 因为函数()f x 存在单调递减区间，所以()2 ' 121 20ax x f x ax x x +-=--=-< ()0,+∞有解.即()()212 0,a x x x >-∈+∞能成立, 设()212u x x x =-. 由()2 21 2111u x x x x ?? =-=-- ???得, ()min 1u x =-.于是,1->a , 由题设0≠a ,所以a 的取值围是()()+∞-,00,1Y 课后作业： 1、B 由log log 3a a x y +=得3 a y x =，对任意的[,2]x a a ∈，得2322a a a x ≤≤，故2 22 22a a a a a ?≤??≥??≥? 。 2、 答案：2513。解析：由不等式222 ()()a x y x y +≤+可得 2 1a x y y x ≤++，由线性规划可得312y x ≤≤。 3、解：原不等式有解()()2 2 sin 4sin 1sin 23 1sin 1a x x x x ?>-+=---≤≤有解， 而()2 min sin 232x ??--=-??，所以2a >-。 4、解：画出两个凼数y ax =和y = []0,3x ∈ 上的图象如图知当3 x =时y = a =当 3a ≤ ，[]0,3x ∈时总有 ax ≤3 a ≤ 5、解析：（1）设()()()32 2312h x g x f x x x x c =-=--+，问题转化为[ x ∈- 故()min 0h x ≥。令()()()2 66126120h x x x x x '=--=+-=，得1x =-或2。由导数知识，可知()h x 在[]3,1-- 单调递增，在[]1,2-单调递减，在[]2,3单调递增，且()345h c -=-，()()17h x h c =-=+极大值， ()()220h x h c ==-极小值，()39h c =-，∴()()min 345h x h c =-=-，由450c -≥，得45c ≥。 （2）据题意：存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，即为：()()()0h x g x f x =-≥在[]3,3x ∈-有解， 故()max 0h x ≥，由（1）知()max 70h x c =+≥，于是得7c ≥-。 （3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意[]12,3,3x x ∈-， 都有()()12f x g x ≤成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，1x ，2x 的取值在[]3,3-上具有任意性， ∴要使不等式恒成立的充要条件是：max min ()(), [3,3]f x g x ??x ?≤∈-。 ∵()()[]2 7228,3,3f x x c x =---∈-∴ ()()max 3147f x f c =-=-， ∵()2 6840g x x x '=+-=()()23102x x +-，∴()0g x '=在区间[]3,3-上只有一个解2x =。 ∴()()min 248g x g ==-，∴14748c -≤-，即195c ≥. （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，等价于()()min 1max 2f x g x ≤，由(3)得 ()()228f x f c ==--，()()max 23102g x g =-=，28102130c c --≤?≥- 6、解：（Ⅰ）2 234)(a ax x x f -+-=' （1分） 令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a,3a ） 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞） （4分） ∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4 33 b a +- 当x=3a 时，)(x f 极小值=b. （6分） （Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得－a ≤－x2+4ax －3a2≤a.①（7分） ∵0 ∴]2,1[34)(2 2++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数. （9分） ∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于 .154. 12,44≤≤?? ?-≥-≤-a a a a a 解得 又,10< <≤a 7、解：(1)∵OA →－[y ＋2f /(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0，∴OA →＝[y ＋2f /(1)]OB →－ln(x ＋1)OC → 由于A 、B 、C 三点共线 即[y ＋2f /(1)]＋[－ln(x ＋1)]＝1…………………2分 ∴y ＝f(x)＝ln(x ＋1)＋1－2f /(1) f /(x)＝1x ＋1，得f /(1)＝1 2，故f(x)＝ln(x ＋1)…………………………………4分 （2）令g(x)＝f(x)－2x x ＋2，由g/(x)＝1x ＋1－2(x ＋2)－2x (x ＋2)2＝x2 (x ＋1)(x ＋2)2 ∵x ＞0，∴g/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数………………6分 故g(x)＞g(0)＝0 即f(x)＞2x x ＋2………………………………………………………………8分 （3）原不等式等价于1 2x2－f(x2)≤m2－2bm －3 令h(x)＝12x2－f(x2)＝12x2－ln(1＋x2)，由h/(x)＝x －2x 1＋x2＝x3－x 1＋x2……………10分 当x ∈[－1，1]时，h(x)max ＝0，∴m2－2bm －3≥0 令Q(b)＝m2－2bm －3，则???Q(1)＝m2－2m －3≥0 Q(－1)＝m2＋2m －3≥0 得m ≥3或m ≤－3……………12分 8、解：(I) 由题意得 ()()12ln 20q p f e pe e qe p q e e e e ? ?=- -=--?-+= ?? ?而10e e +≠，所以p q = (II) 由 (I) 知 ()2ln p f x px x x =--，()222 22p px x p f x p x x x -+'=+-=…… 4分 令()2 2h x px x p =-+，要使()f x 在其定义域 (0,+∞) 为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+∞) 满足： h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ………… 5分 ① 当0p ≤时，()2 0,200px x h x ≤-时，()2 2h x px x p =-+，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为()1 0x p = ∈+∞，， ∴()min 11 h x h p p p ??==- ??? ，只需10p p -≥，即p ≥1时， h(x)≥0，()0f x '≥， ∴ f (x) 在 (0,+∞) 为单调递增，故 p ≥1适合题意. 综上可得，p ≥1或 p ≤0 另解：(II) 由 (I) 知 f (x) = px －p x －2ln x f ’(x) = p + p x 2 －2x = p (1 + 1x 2 )－2 x 要使 f (x) 在其定义域 (0,+∞) 为单调函数，只需 f ’(x) 在 (0,+∞) 满足：f ’(x)≥0 或 f ’(x)≤0 恒成立. 由 f ’(x)≥0 ? p (1 + 1x 2 )－2x ≥0 ? p ≥2x + 1x ? p ≥(2 x + 1x )max ，x > 0 ∵ 2x + 1x ≤ 22x · 1x = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ( 2x + 1x )max = 1 ∴ p ≥1 由 f ’(x)≤0 ? p (1 + 1x 2 )－2x ≤0 ? p ≤ 2x x 2 + 1 ? p ≤(2x x 2 + 1 )min ，x > 0 而 2x x 2 + 1 > 0 且 x → 0 时，2x x 2 + 1 → 0，故 p ≤0 综上可得，p ≥1或 p ≤0 (III) ∵ g(x) = 2e x 在 [1,e] 上是减函数 ∴ x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e 即 g(x) ∈ [2,2e] ………… 10分 ① p ≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 ? f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。 ② 0 < p < 1 时，由x ∈ [1,e] ? x －1 x ≥0 ∴ f (x) = p (x －1x )－2ln x ≤x －1 x －2ln x 右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增 ∴ f (x)≤x －1x －2ln x ≤e －1e －2ln e = e －1 e －2 < 2，不合题意。 ③ p ≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数 ∴ 本命题 ? f (x)max > g(x)min = 2，x ∈ [1,e] ? f (x)max = f (e) = p (e －1 e )－2ln e > 2 ? p > 4e e 2－1 综上，p 的取值围是 (4e e 2－1 ,+∞) 其他特殊型:二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解 现实生活中存在与恒成立问题： 1、在某次考试中，我们班有同学数学分数大于120分?最高分大于120分。 2、在某次考试中，我们班每一位同学数学分数都高于60分?最低分大于60分。 ３、结论：对,()[,]x D f x m n ∈∈有: １、恒成立问题 符号语言： 函数(),f x a x D >∈恒成立?min ()f x a > 函数(),f x a x D ≤∈ 恒成立?max ()f x a ≤ 3）、符号语言：方程(),f x a x D =∈有解（解集非空）?{()|}a f x x D ∈∈ 4）图象语言：(),y f x x D =∈的图象与直线y a =有交点? {()|}a f x x D ∈∈ 5）日常用语：求函数(),a f x x D =∈的值域? {()|}a f x x D ∈∈ 2、存在性问题 符号语言： 3、有解问题 符号语言：不等式(),f x a x D >∈有解（解集非空）? max ()f x a > 思考：若对,()(,)x D f x m n ∈∈又有怎么样的结论呢？ 例1：不等式22x x a ->对于x ∈R 恒成立,求a 的取值围 . 例2：：已知函数2()f x x ax a =-+,若存在[1,2]x ∈-使得()0f x >,试数a 的取值围。 解：法一：(1)10f =>，所以对a R ∈,均存在[1,2]x ∈-使得()0f x >. 法二：原题同解于：当[1,2]x ∈-时，max ()f x a >, 即： (1)0f ->或(2)0f > 代入可得:120a +>或40a -> 解得12 a >-或4a < ∴a R ∈ 例3：方程2220x x a -+-=在区间(0,3)有解，则实数a 的取值围是 。 解：原题同解于：2 22,(0,3)a x x x =-+∈，的值域。2(1)1a x =-+ ∴a ∈[(1),(3))a f f ∈即[1,5)a ∈ 例4：A={x|x 2-mx+1≥ 0},B=R +,A ∩B=B, 求ｍ的取值围。 分析：A ∩B=B 可得B ?A 。即:x>0时, x 2-mx+1 ≥ 0 10 20(0)0m f ?≤?>??≤??≥? 法一（）（） 解略 法二：原题同解于：x 2-mx+1 ≥ 0在(0,+∞)上恒成立, 求ｍ的取值围。 21 x 1 mx x (0,)m x ()m 2 x +≥∈+∞≤+≤分离变量法 例5：不等式210ax x a --+<对满足22a -≤≤的所有a 都成立，求x 的取值围。 分析： 对2()1f x ax x a =--+而言，已知参数围，求定义域。 设2()(1)10g a x a x =--+< 22a -≤≤,则转化为已知定义域求参数围。即：? ??<<0g(2)0 g(-2) 1、对于不等式(1-m)x 2+(m-1)x+3>0 ①当| x | ≤2，上式恒成立，数m 的取值围 ； ②当| m | ≤2，上式恒成立，数x 的取值围 . 2、若不等式ax 2-2x+2>0 对x ∈(1,4)恒成立，数a 的取值围。 3、设不等式22 221463 x kx k x x ++<++对一切实数x 都成立,则k 的围是 。 可以等价转化为一次型的函数（利用单调性直接求解） 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ? ? ?<>?>0)(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的围。 ； 0)12()1(2<---x x m 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)( 所以只需???<<-0)2(0)2(f f 即?????<---<----0 )12()1(20 )12()1(222 x x x x ，解出即可。 三、数形结合（对于()()f x g x ≥型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理） 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象， 则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 例10 (07理科3)若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值围是 (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥ 解析：对?x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立 则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即||1a ≤。 )2 31,271(++-∈x 。 四、赋值型——利用特殊值求解 例1．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8 - 对称，那么a=（ ）. A.1 B.-1 C .2 D. -2 .略解：取x=0及x=4π-，则f(0)=f(4 π -),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想. ()23(1)68f x x a x ax a R =-+++∈例1、设函数其中． 的取值范围 求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 略解：（１）由的极值点为时经检验知解得)(3,3.30)3(' x f x a a f ==== （２）方法１：)1)((66)1(66)(2 '--=++-=x a x a x a x x f 21,()(,1),(,),. 1,()6(1)0,()(,). 1,()(,),(1,),()(,0),01.0,()(,0). a f x a a f x x f x a f x a f x a a f x >-∞+∞==-≥-∞+∞<-∞+∞-∞≤<≥-∞当时在上递增符合条件当时恒成立在上递增当时在上递增要保证在上递增则综上所述时在上递增 方法２： '()(,0)()0(,0)(1)(1)(,0)0,100 f x f x x x x a x x x x x a a -∞≥∈-∞-≥-∈-∞<∴-<∴≤≥Q 因为在上递增所以在上恒成立即在上恒成立从而 方法３． '2'()66(1)6(,0]1100220(0)0 f x x a x a a a f =-++-∞++??≥ ?????≤≥??保证在上最小值大于或等于零 故有或 ax y x 单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题. 类型2．参数放在区间边界上 例２．已知函数)(,0)(x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点ｐ(-1,2), 若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线ο452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角. （1）求)(x f 的表达式 （2）若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值围. 略解 (1)2 33)(x x x f += ] 2,2 1 []3,(1 2101212121),0()2,(]1,12[)0,2(,),0(),2,()()2(363)()2(2'Y --∞∈?? ?->+≥-???->+-≤++∞--∞+--+∞--∞+=+=m m m m m m m m m x f x x x x x f 解得或所以的一个子区间 或是从而只要保证上递减在上递增在可知 总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可. .,]1,[)(,73)(. 2的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值围 类型１．参数放在不等式上 例3.已知时都取得极值与在13 )(2 3=-=+++=x x c bx ax x x f （1）求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间． （2）若对2 )(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值围． 略解：(1)2,2 1 -=- =b a 2 122)2(]2,1[)(,2)2(,2 1 )1(2 3 )1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f c f c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由 总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值. 类型2．参数放在区间上 例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=2 35)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值. （1）求)(x f 的解析式.（2）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,数m 的取值围. 分析: (1)935)(2 3++-=x x x x f '2‘'12'(2).()3103(31)(3) 11 ()0,3(0,)()0,()()(0)9 33 1 (,3)()0,(),()(3)03 3()0(0,)(0,3]()0(0,)(0,3] f x x x x x f x x x x f x f x f x f x f x f x f x f m f x m m f x m m =-+=--===∈>>=∈<>=>>∈>n n 由得当时单调递增所以当时单调递减所以所以当时在内不恒成立当且仅当时在内恒成立所以的取值范围为 三．知函数图象的交点情况，求参数的取值围． 例5.已知函数处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式. (2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,数m 的取值围. 略解(1)求得x x x f 3)(3 -= (2)设切点为33)(),3,(2 '0300-=-x x f x x x M 因为 232 000003200032'2000000 (33)(1),3(33)(1) 2330,()233()66y m x x M x x m x x x x m A x g x x x m g x x x -=----=---++=**=-++=-所以切线方程为又切线过点所以即因为过点可作曲线的三条切线所以关于的方程有三个不同的实数根设则'00000000()001()(,0),(1,),(0,1),()0,1 (0)032 (1)0(3,2) g x x x g x g x x x g x m g m ===-∞+∞==>?*-<<-? --由得或所以在上单调递增在上单调递减故函数的极值点为所以关于的方程有三个不同实根的充要条件是解得所求的实数的取值范围是 总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数. 四. 开放型的问题，求参数的取值围。 例６．已知,)(2 c x x f +=且)1()]([2 +=x f x f f 。 （1）设)]([)(x f f x g =，求)(x g 的解析式。 （2）设)()()(x f x g x λ?-=，试问：是否存在R ∈λ，使)(x ?在（1,-∞-）上是单调递 减函数，且在（0,1-）上是单调递增函数；若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。 分析： （1）易求c=1,22)(24++=x x x g （2）)()()(x f x g x λ?-=＝)2()2(24λλ-+-+x x ，∴)]2(2[2)(2λ?-+='x x x 由题意)(x ?在（1,-∞-）上是单调递减函数，且在（0,1-）上是单调递增函数知，0)1(=-? 是极小值，∴由0)1(=-'?得4=λ 当4=λ，)0,1(-∈x 时，,0)(>'x ?∴)(x ?是单调递增函数； )1,(--∞∈x 时，,0)(<'x ?∴)(x ?是单调递减函数。所以存在4=λ，使原命题成立。 在数学中,涉及到高次函数问题一般可用导数知识解决,只要把导数的几何 意义,用导数求函数的极值及最值,用导数求函数单调性等这些基础知识搞清弄 懂,那么,利用导数求参数的取值围这个问题即可迎刃而解. “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导 专题 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为 高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 XXX 核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化: 若在D 上恰成立在D 上的最小值; 若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则; 5.若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数（或）在R 上恒成立，则有（或）; ②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. ()a f x >?()max a f x >()()min a f x a f x ≤?≤恒成立()a f x >?()min a f x >()()max a f x a f x ≤?≤能成立A x f D x ≥∈)(,?)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(?)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >???0< 4.导数应用（恒成立与存在性） 恒成立： min max x M ，f ()恒成立(),x M ，f ()恒成立()x a f x a x a f x a ?∈≥?≥?∈≤?≤ 存在性：max min x M ，f ()恒成立(),x M ，f ()恒成立()x a f x a x a f x a ?∈≥?≥?∈≤?≤ 【题型1】恒成立问题求参数范围：min )()(x f a x f a ?> 1.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；a 1≥- 练习：1.f(x)=xcosx-sinx,x [0,]2π ∈,求证：f(x)≤0. 'f(x)=-xsinx 2. 设c x x x x f 8129-2)(23++=，对任意的∈x ［0,3］，都有2)(c x f <成立,求c 的取值范围. c<-1或c>9 【题型2】恒成立问题求参数范围（分离参数法） 1. 已知函数x a x x f ln )(2+= ，若函数x x f x g 2)()(+=在［1，4］是减函数，求实数a 的取值范围。 222)(x x a x x g -+='， 2 63-≤a 练习：已知)10(cos )(<<-+=-x x x ae x f x （1）若对任意的0)(),1,0(<∈x f x 恒成立，求a 的取值范围。 1-≤a （2）求证：)10(2 1sin 2 <<+<+-x x x e x 。 h(x) 恒成立问题与存在性问题 思路一： （1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则 不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >?min )(； 不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥?min )(； 不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f )(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥?； 不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤?。 例题1： 已知函数.ln )(x x x f = （1）求函数.ln )(x x x f =的最小值； （2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。 答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞ 变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+= （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取 值范围。 答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(- （2）22 ->e m （3）)3ln 23,2ln 22(-- 恒成立与存在性问题 基本方法： 恒成立问题： 1. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≥恒成立等价于min ()f x k ≥. 2. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≤恒成立等价于max ()f x k ≤. 3. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥等价于min max ()()f x g x ≥. 4. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≤等价于max min ()()f x g x ≤. 5. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≥. 6. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≤. 7. ()f x 在区间[],a b 上单调递增，等价于[]min ()0,,f x x a b '≥∈. 8. ()f x 在区间[],a b 上单调递减，等价于[]max ()0,,f x x a b '≤∈. 存在性问题： 1. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≥成立，等价于max ()f x k ≥. 2. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≤成立，等价于min ()f x k ≤. 3. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≥成立，等价于max min ()()f x g x ≥. 4. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≤，等价于min max ()()f x g x ≤. 5. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≥. 6. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≤. 参变分离： 解决有关参数的恒成立问题或存在性问题时经常会用到参变分离的方法：就是在 专题训练 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若, D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤。 6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在 []b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ?N 。 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 【分析：】 1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可． 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(2 3++=x x x x ?求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，3 2)1()(min = =??x ，所以a 的取值范围是32 0< 存在性与恒成立问题 1.已知函数f(x)=? ??ln(1-x) x<0(x-1)3+1 x≥0 ,若存在x 0,使得f(x 0) 专题一：恒成立与存在性（精简型） 一、 恒成立之常用模型及方法一：分离参数法-----在指定的区间下对不等式作等价变形，将参数“a ”与变量“x ”左右分离开------ 模型------ αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈ 三、存在性之常用模型及方法：常见方法两种，一直接法同上恒成立，二 间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可 例5已知322)(2 +-=ax x x f ，若存在(],2,1∈x 使得()0f 存在性与恒成立 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 专题训练 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值 A x f =)(min ，若,D x ∈ B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤。 6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在[]b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ?N 。 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在 函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 【分析：】 1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可． 简解：（1）由1 2012232 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大 于a 即可．对12)(23 ++=x x x x ?求导，0)12(12)(2 224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==??x ，所以a 的取值范围是320< 恒成立和存在性问题 函数中经常出现恒成立和存在性问题，它能够很好地考察函数、不等式等知识以及转化与化归等数学思想，因此备受命题者青睐，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点问题． 例1已知函数f (x )＝ax 2－ln x (a 为常数)． (1) 当a ＝12 时，求f (x )的单调减区间； (2) 若a <0，且对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a －2)x 恒成立，求实数a 的取值范围． 例2已知函数f (x )＝mx －a ln x －m ，g (x )＝e x e x ，其中m ，a 均为实数． (1) 求g (x )的极值； (2) 设m ＝1，a <0，若对任意的x 1，x 2∈[3,4](x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)| 思维变式题组训练 1. 已知函数(x ＋1)ln x －ax ＋a ≥0在x ∈[1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． 2. 已知e 为自然对数的底数，函数f (x )＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32 ax 上方，求实数a 的取值范围． 3. 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2 ＋1. (1) 试讨论函数f (x )的单调性； (2) 设a <－1，如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求实数a 的取值范围． 强化训练 一、 填空题 1. 若当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 恒成立与存在性问题方法总结 导读：一、构建函数 构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题。 1、构建一次函数 众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。 例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求实数k 的取值范围。 解：构建函数f（x）= kx+3k+1，则原问题转化为f（x）在x∈（-2，2）内恒为正。若k=0，则f（x）=1＞0恒成立；若k≠0，则f（x）为一次函数，问题等价于f（-2）＞0，f（2）＞0，解之得k∈（- ，+∞）。 例2：对m≤2的一切实数m，求使不等式2x-1＞m（x -1）都成立的x的取值范围。 解：原问题等价于不等式：（x -1）m-（2x-1）＜0，设f（m）=（x -1）m-（2x-1），则原问题转化为求一次函数f（m）或常数函数在［-2，2］内恒为负值时x的取值范围。 （1）当x -1=0时，x=±1。 当x=1时，f（m）＜0恒成立；当x=-1时，f（m）＜0不成立。 （2）当x -1≠0时，由一次函数的单调性知：f（m）＜0等价于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜；综上，所求的x∈（）。 2、构建二次函数 二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题，使原本复杂的问题变得容易解决。 例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求实数a的取值范围。 解：构造函数g（x）= ax +2x+1，则原问题等价于：当x≥0时，g（x）恒大于0。 若a=0且x≥0，则g（x）= 2x+1＞0恒成立； 若a≠0，则g（x）为二次函数，当a＜0时，显然当x≥0时不能使g（x）恒大于0，仅当a＞0时，要使当x≥0时，g（x）恒大于0，只需Δ＜0或△≥0- ≤0g（0）＞0，解之得：a＞0 ∴a的'取值范围为［0，+∞）。 3、构建形如f（x）=ax+ 的函数 通过换元、变形，将原问题转化为形如f（x）=ax+ 的函数的最值问题，再合理利用该函数的单调性等性质来解题，常要用到如下结论： （1）f（x）=ax+ 为奇函数，（2）当a＞0，b＞0时，f（x）在0，上递减，在，+∞上递增。 函数恒成立存在性问题 1 ()f x >恒成立?()max a f x > ；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2()f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3 ()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>? ?? ≤??在 上恒成立在上恒成立 A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈ B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方； 例 题 讲 解： 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[ ]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则 的取值范围为 (已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数) 2≤的所有实数p,求使不等式2 12x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。 2、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ =+是区间[]1,1-上的减函数， (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)若[]2 ()11,1g x t t x λ≤++∈ -在上恒成立，求t 的取值范围； 1、当)1,2x ∈时，不等式2 40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . ） 1、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________ “恒成立问题”的解法 常用方法：①函数性质法； ②主参换位法； ③分离参数法； ④数形结合法。 一、函数性质法 1.一次函数型：给定一次函数()(0)f x ax b a =+≠,若()y f x =在[m,n]内恒有 ()0f x >，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 ? ?>>0)(0 )(n m f ；同理，若在???<<0 )(0 )(n f m f . 例1.p ,求使不等式x 的取值范围。 略解：不等式即为2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在 [2,2] -上恒大于0，故有： ?? ?> >-)2(0 )2(f f ，即 ?????>->+-0 10 3422x x x 3111x x x x ><-?或或13x x ?<->或. 2.二次函数： ①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有0 a >?? ?（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。 例2.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与() g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ) A ．(0，2) B ．(0，8) C ．(2，8) D ．(－∞，0) 选B 。 例3.设2()22f x x ax =-+,当[1,)x ∈-+∞时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设2()()22F x f x a x ax a =-=-+-， （1)当4(1)(2)0a a ?=-+≤时，即21a -≤≤时，对一切[1,)x ∈-+∞，()0F x ≥恒成立； （2）当4(1)(2)0a a ?=-+>时，由图可得以下充要条件： 0(1)021, 2 f a ? ??>?-≥? ?-?-≤-? 即(1)(2)0301,a a a a -+>?? +≥??≤-? 32a ?-≤<-; 综合得a 的取值范围为[-3，1]。 例4.关于x 的方程9(4)340x x a +++=恒有解，求a 的范围。 解法：设3x t =,则0t >.则原方程有解即方程2(4)40t a t +++=有正根。 1212 (4)040 x x a x x ?≥?? ∴+=-+>??=>?2(4)1604a a ?+-≥??<-?8a ?≤-. 3.其它函数： ()0f x >恒成立?min ()0f x >（若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立?()f x 的下界≥0）； ()0f x <恒成立?max ()0f x <（若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立?()f x 的上界≤0）. 例5．设函数321 ()(1)4243 f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >， （1）讨论()f x 的单调性； （2）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围。 -1 o x y恒成立与存在性问题的基本解题策略
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