《高等几何》课程学习指南
大学高等几何授课讲义
• 2、已知仿射变换
x/ 2x y 1
• 求点 P1(1, 0), P2 (1, 0)
y/
x
y
3
• 的像点，及直线 x y 2 0的像直线。
第一章、仿射坐标与仿射变换
复习仿射坐标 及代数表示式
• 正交变换
x'
y
•
所以：
x'
y'
a11x a21x
a12 y a13 a22 y a23
第一章、仿射坐标与仿射变换
例 已知三点 O(0,0), E(1,1), P(1, 1)求仿射变换T使顺次 变为 O1(2,3), E1(2,5), P1(3, 7).
• 练习：1、求使直线x 0, y 0, x 2y 1 0分别变
点集拓扑 代数拓扑 解析拓扑
分形几何
微分拓扑 微分流形 纤维丛
五、课程简介
• 周学时3，一个学期，学习第一章～第六章
• 主要参考书：
•梅向明、门淑惠等编《高等几何》,高等教育出版社出版， 2008年; • 朱德祥、朱维宗等编《高等几何》（第二版）,高等教育出 版社出版，2010年; •罗崇善编《高等几何》,高等教育出版社出版,1999年6月； •朱德祥、李忠映、徐学钰等编《高等几何习题解答》。
x' y'
A
x y
a b
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直线l1
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u1
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u1 u2
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和发展历程。
2. 掌握空间解析几何的基本知识。
3. 理解高等几何在数学和物理学中的应用。
教学内容：1. 高等几何的基本概念点的定义向量的定义线和面的定义2. 发展历程古典几何的发展微积分与解析几何的兴起高等几何的发展和应用3. 空间解析几何坐标系和坐标变换向量空间和线性变换行列式和矩阵运算教学重点与难点：1. 重点：高等几何的基本概念，发展历程，空间解析几何。
2. 难点：空间解析几何中的坐标变换和线性变换。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
2. 通过示例和练习，让学生掌握空间解析几何的基本知识。
3. 利用图形和实物，帮助学生直观地理解高等几何的概念。
教学准备：1. 教案和教材。
2. 多媒体教学设备。
教学过程：1. 引入新课：通过简单的几何图形，引导学生思考高等几何的基本概念。
2. 讲解：按照教材的顺序，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
3. 示例：通过具体的例子，讲解空间解析几何的基本知识。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记。
2. 完成教材中的练习题。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的反馈调整教学方法和内容。
教案章节：第二章向量空间教学目标：1. 掌握向量空间的基本概念。
2. 理解线性变换和矩阵运算。
3. 学会运用向量空间解决实际问题。
教学内容：1. 向量空间向量的定义和运算向量空间的性质向量空间的基底和维度2. 线性变换线性变换的定义和性质线性变换的矩阵表示线性变换的图像3. 矩阵运算矩阵的定义和运算矩阵的逆矩阵矩阵的秩教学重点与难点：1. 重点：向量空间的基本概念，线性变换和矩阵运算。
2. 难点：线性变换的矩阵表示和矩阵的秩。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍向量空间的基本概念。
高等几何——精选推荐
《高等几何》课程教学大纲课程名称：高等几何英文名称：课程代码: 课程类别: 专业必修学分: 3 学时: 48开课单位: 数学系适用专业: 数学与应用制订人：制订日期: 2011.11.18审核人：（教研室主任签字）审核日期：审定人: （分管教学副主任签字）审定日期:一、课程性质与目的（一）课程的性质高等几何是高等师范院校数学与应用数学专业的一门选修课程。
高等几何课程更是大学“数学与应用数学”专业的重要基础课程，在人才培养中有着最基本的重要性，是大学、研究生阶段的数学学习和未来从事数学教学、研究的重要基础。
（二）课程的目的本课程的目的是使学生在已学习初等几何，解析几何和高等代数的基础上，系统地学习射影几何的知识。
并通过学习实射影平面几何的基础知识，使学生认识射影空间、欧氏空间的内在联系。
从而发展空间概念，更深入地掌握初等几何，解析几何和高等代数的知识，在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。
二、与相关课程的联系与分工高等几何、高等数学、数学分析统称为“三高”，它们是高等师范院校数学专业的三门基础课程。
但是，本课程与其他两门课程相比，地位就相形见绌了。
同时本课程是以射影几何学为理论基础，因此学习本课程的学生应具备相应的初等几何、解析几何、高等代数等课程的基础知识。
三、教学内容及要求第一章仿射坐标与仿射变换【教学要求】本章是基于变换群的观点，对几何学的高度抽象概括，给出研究几何学的变换群观点。
要求掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换、仿射坐标系，并能熟练地求出仿射变换的代数表示式，区别什么是射影平面，仿射平面，欧氏平面【教学重点】仿射坐标系；仿射变换的代数表示【教学难点】仿射性质；射影观点的建立；仿射变换的应用【教学内容】第一节透视放射对应第二节仿射对应与仿射变换第三节仿射坐标一、仿射坐标系二、放射变换的代数表示三、几种特殊的仿射变换第四节仿射的性质第二章射线平面【教学要求】本章作为学习全课程的基础和中心内容，重点讲解欧氏平面的拓展过程，在此基础上给出射影直线和影射平面的概念和模型，使得学生明确了解欧氏直线和射影直线、欧氏平面和影射平面的区别和联系。
高等几何
第五章高等几何第一节课程概论1、本课程的起源与发展早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。
法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。
继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。
出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。
到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。
在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。
英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。
射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。
克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。
在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。
如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。
正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。
这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。
更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。
2017年《高等几何》教学课件
§1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2
: '
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线
存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容 形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题 以解析法为主，兼用综合法
解析法 本课程
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想 • 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养 • 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!
高等几何课程标准
高等几何课程标准一、课程概况课程目标1：掌握射影几何的基本概念、基础知识与基本理论，从而提升学生的专业知识素质，为后续课程及其它相关学科的学习建立良好的知识储备。
课程目标2:理解基本定理的证明过程，训练学生的抽象思维、逻辑推理和空间想象的能力，培养学生解决问题的基本意识与技能，提高学生的专业能力素质，为后续专业课程、其它相关学科的学习以及自主学习与职后发展奠定坚实的能力基础。
课程目标3:使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、对立与统一等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点，提高学生的直观想象以及数学建模的能力，掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，为后续专业课程、其它相关学科的学习以及自主学习与职后发展奠定坚实的思想方法基础。
课程目标4:使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，培养学生的终身学习和专业发展意识，以便能够高屋建瓶地掌握和处理中学数学教材；同时，通过课前预习、课堂引导和启发、课后作业等方式，激发学生探索与求知的欲望，培养学生自主学习与职后发展的能力。
三、课程目标与毕业要求的关系、课程目标与毕业要求的对应关系1课程目标4:使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，培养学生的终身学习和专业发展意识，以便能够高屋建箱德萨格定理及其逆定理、对偶原理、交比和调合比、一维射影坐标和一维射影对应（变换）的代数表示、二维射影变换和二地掌握和处理中学数学教材；同时，通过课前预习、课堂引导和维射影坐标、克莱因变换群观点、二次曲线的射影定义、二阶曲线与二级曲线、帕斯卡与布利安桑定理、极点与极线、配极启发、课后作业等方式，激发学生探索与求知的欲望，培养学生自主学习与职后发展的能力。
原则、二次曲线的中心和直径、二次曲线的渐近线。
同时包含出勤、课堂表现和平时作业的完成情况以及平时测验成绩。
参考《数学学院课程目标达成度评价方法》进行评价。
九、本课程各个课程目标的权重依据第八部分中的课程目标达成度评价方法，计算得到本课程的各个课程目标的权重如下：十、持续改进根据学生的课堂表现、平时作业、期中测验和期末考试情况及教学督导的反馈，检验学生对本课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况，及时对教学中的不足之处进行改进，调整教学指导策略；根据学生的课堂表现、平时作业、期中测验及期末考试成绩，检验本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况;根据本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况，在学院教学指导委员会指导下，重新修订本课程大纲，实现持续改进。
高等几何自学指导
《高等几何》（第二版）自学指导Ⅱ目录·第七章二次曲线的仿射性质·第八章二次曲线的度量性质第七章二次曲线的仿射性质本章主要内容如下（所讨论的二次曲线非退化）：一、中心1、定义：中心为无穷远直线的极点2、存在性：椭圆、双曲线有唯一中心，抛物线以无穷远点为中心3、性质：平分过中心的弦4、方程：中心是方程组a 11 x+a 12 y+a 13=0的解a 12 x+a22 y+a 23=0二、直径与共轭直径1、定义（1）无穷远点的极线（非无穷远线）称为直径（2）如何两直径之一的极点在另一直径上，则此两直径称为共轭直径。
2、存在性（1）二次曲线有无穷多条直径（2）有心二次曲线有共轭直径，无心二次曲线无共轭直径3、性质（1）有心二次曲线的直径过中心，无心二次曲线的直径彼此平行（2）共轭直径平分与另一条直径平行的弦；平行于过另一端点的切线。
4、求法：按照定义三、渐近线1、定义：以Γ与l∞的交点为切点的Γ的切线2、存在性：双曲线有两条实渐近线，椭圆有两条虚渐近线，抛物线以无穷远线为渐近线。
3、性质：渐近线过中心，且调和分割任一对共轭直径4、求法： （1）见EX72 （2）按照定义求四、仿射分类 虚椭圆A33 ≠0椭圆 A 33 ＞0 有心二次曲线二次曲线 双曲线A 33 ＜0A 33 =0 抛物线；无心二次曲线例1 判断二阶曲线0133221=++x x x x x x 的类型，试求曲线的中心，并求出过点（0，1，1）的直径及其共轭直径。
解 ,0021212102121210≠=ij a ,41210212131==A 4121212132=-=A ，410212133-==A 。
因为|A|≠0,A 33<0，所以方程表示双曲线，中心为（1，1，－1）设过点（0，1，1）的直径为0)(323222121313212111=+++++k x a x a x a x a x a x a ，于是得2212121-=+-=k所求直径为：02321=+-x x x 设所求共轭直径为0)(323222121313212111='+++++k x a x a x a x a x a x a则 221)2(2122121211=-⨯-=++-='ka a ka a k故共轭直径为：032321=++x x x例2 求平分二次曲线02322=-++-y x y x 与直线02=+y x 平行的弦的直径的方程。
大学二年级数学教案学习高等几何的基本理论与证明
大学二年级数学教案学习高等几何的基本理论与证明一、引言在大学数学的学习中，高等几何是一个重要的专题。
掌握高等几何的基本理论与证明对深入理解数学的本质和发展起着至关重要的作用。
本文将围绕大学二年级数学教案学习的主题，探讨高等几何的基本理论与证明。
二、高等几何的基本概念高等几何是几何学的一门重要分支，它研究高维空间中的几何性质与关系。
在学习高等几何之前，我们首先需要了解一些基本概念。
1. 高等几何的维数在传统的几何学中，我们研究的是二维和三维空间的图形和性质。
而在高等几何中，我们将研究的对象扩展到了更高的维度，例如四维、五维等等。
维数是指空间中所需要的坐标数量。
每个维度对应一个坐标轴，例如二维空间对应二个坐标轴（x轴和y轴），三维空间对应三个坐标轴（x轴、y轴和z轴）。
2. 几何空间的拓扑性质拓扑学研究的是空间中的连续性质与变形关系。
在高等几何中，我们将关注几何空间的拓扑性质，例如紧致性、连通性、同胚等。
这些性质的研究对于了解几何空间的结构以及其性质具有重要的意义。
3. 高等几何的基本要素高等几何的基本要素包括点、直线、面以及高维空间中的各种图形。
我们将通过研究这些基本要素的性质和关系，来理解高等几何的构建和推导过程。
三、高等几何的基本理论高等几何的基本理论是研究高维空间几何性质的理论基础。
在学习高等几何时，我们需要掌握以下几个重要的理论：1. 坐标系与变换在高维空间中，我们需要使用坐标系来表示点和向量。
坐标系的选择和变换对于研究几何性质和解决几何问题起着至关重要的作用。
在高等几何中，我们将学习各种坐标系的选择和变换方法。
2. 向量运算与线性变换向量运算是研究高维空间中向量性质的重要工具。
线性变换是指将向量从一个空间映射到另一个空间的变换。
向量运算和线性变换的研究对于理解高等几何中的向量空间和线性映射具有关键性的意义。
3. 几何性质与关系高等几何研究的核心是研究几何性质与关系。
我们将学习高维空间中的点、直线、面以及其他图形的性质和关系，例如距离、角度、平行、垂直等。
高等几何课件
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节一：绪论1. 教学目标了解高等几何的基本概念和发展历程。
理解几何学在数学和其他领域中的应用。
激发学生对高等几何的学习兴趣。
2. 教学内容高等几何的定义和发展历程。
几何学在数学和其他领域中的应用。
学习高等几何的意义和方法。
3. 教学步骤引入话题：介绍几何学的历史和基本概念。
讲解高等几何的定义和发展历程。
通过实际例子展示几何学在数学和其他领域中的应用。
引导学生思考学习高等几何的意义和方法。
4. 课后作业研究几何学在数学和其他领域的应用实例。
思考学习高等几何的意义和方法。
教案章节二：解析几何基础1. 教学目标掌握解析几何的基本概念和常用工具。
学会使用坐标系进行几何问题的分析和解决。
2. 教学内容解析几何的基本概念和常用工具。
坐标系的定义和应用。
点的坐标和向量的基本运算。
3. 教学步骤引入话题：回顾初中阶段的解析几何知识。
讲解解析几何的基本概念和常用工具。
通过实际例子演示坐标系的应用。
讲解点的坐标和向量的基本运算。
4. 课后作业复习解析几何的基本概念和常用工具。
练习使用坐标系解决几何问题。
教案章节三：平面几何1. 教学目标掌握平面几何的基本概念和定理。
学会解决平面几何问题。
2. 教学内容平面几何的基本概念和定理。
平行线、相交线和圆的性质。
三角形的分类和性质。
3. 教学步骤引入话题：回顾初中阶段的平面几何知识。
讲解平面几何的基本概念和定理。
通过实际例子演示平行线、相交线和圆的性质。
讲解三角形的分类和性质。
4. 课后作业复习平面几何的基本概念和定理。
练习解决平面几何问题。
教案章节四：空间几何1. 教学目标掌握空间几何的基本概念和定理。
学会解决空间几何问题。
2. 教学内容空间几何的基本概念和定理。
空间直线、平面和多面体的性质。
空间角和空间向量的应用。
3. 教学步骤引入话题：回顾初中阶段的空间几何知识。
讲解空间几何的基本概念和定理。
通过实际例子演示空间直线、平面和多面体的性质。
讲解空间角和空间向量的应用。
高等几何自学指导
《高等几何》（第二版）自学指导Ⅱ目录·第七章二次曲线的仿射性质·第八章二次曲线的度量性质第七章二次曲线的仿射性质本章主要内容如下（所讨论的二次曲线非退化）：一、中心1、定义：中心为无穷远直线的极点2、存在性：椭圆、双曲线有唯一中心，抛物线以无穷远点为中心3、性质：平分过中心的弦4、方程：中心是方程组a 11 x+a 12 y+a 13=0的解a 12 x+a22 y+a 23=0二、直径与共轭直径1、定义（1）无穷远点的极线（非无穷远线）称为直径（2）如何两直径之一的极点在另一直径上，则此两直径称为共轭直径。
2、存在性（1）二次曲线有无穷多条直径（2）有心二次曲线有共轭直径，无心二次曲线无共轭直径3、性质（1）有心二次曲线的直径过中心，无心二次曲线的直径彼此平行（2）共轭直径平分与另一条直径平行的弦；平行于过另一端点的切线。
4、求法：按照定义三、渐近线1、定义：以Γ与l∞的交点为切点的Γ的切线2、存在性：双曲线有两条实渐近线，椭圆有两条虚渐近线，抛物线以无穷远线为渐近线。
3、性质：渐近线过中心，且调和分割任一对共轭直径4、求法： （1）见EX72 （2）按照定义求四、仿射分类 虚椭圆A33 ≠0椭圆 A 33 ＞0 有心二次曲线二次曲线 双曲线A 33 ＜0A 33 =0 抛物线；无心二次曲线例1 判断二阶曲线0133221=++x x x x x x 的类型，试求曲线的中心，并求出过点（0，1，1）的直径及其共轭直径。
解 ,0021212102121210≠=ij a ,41210212131==A 4121212132=-=A ，4102121033-==A 。
因为|A|≠0,A 33<0，所以方程表示双曲线，中心为（1，1，－1）设过点（0，1，1）的直径为0)(323222121313212111=+++++k x a x a x a x a x a x a ，于是得2212121-=+-=k所求直径为：02321=+-x x x 设所求共轭直径为0)(323222121313212111='+++++k x a x a x a x a x a x a则 221)2(2122121211=-⨯-=++-='ka a ka a k故共轭直径为：032321=++x x x例2 求平分二次曲线02322=-++-y x y x 与直线02=+y x 平行的弦的直径的方程。
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节一：绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。
2. 掌握几何图形的表示方法和性质。
3. 理解几何公理体系和演绎推理方法。
教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。
2. 几何图形的表示方法和性质。
3. 几何公理体系和演绎推理方法。
课后答案：1. 高等几何是研究几何图形性质和相互关系的学科。
2. 几何图形可以用点和线段来表示，具有大小、形状和位置等性质。
3. 几何公理体系是用来建立几何证明的基础，演绎推理方法是用来推导几何结论的。
教案章节二：直线与平面教学目标：1. 了解直线的性质和表示方法。
2. 掌握平面的性质和表示方法。
3. 理解直线与平面的位置关系。
教学内容：1. 直线的性质和表示方法。
2. 平面的性质和表示方法。
3. 直线与平面的位置关系。
课后答案：1. 直线是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。
2. 平面是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。
3. 直线与平面可以相交、平行或者包含于平面。
教案章节三：圆与圆锥教学目标：1. 了解圆的性质和表示方法。
2. 掌握圆锥的性质和表示方法。
3. 理解圆与圆锥的位置关系。
教学内容：1. 圆的性质和表示方法。
2. 圆锥的性质和表示方法。
3. 圆与圆锥的位置关系。
课后答案：1. 圆是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。
2. 圆锥是由一个圆和一个顶点组成的，具有旋转对称性。
3. 圆与圆锥可以相交、包含或者平行。
教案章节四：三角形与多边形教学目标：1. 了解三角形的性质和表示方法。
2. 掌握多边形的性质和表示方法。
3. 理解三角形与多边形的位置关系。
教学内容：1. 三角形的性质和表示方法。
2. 多边形的性质和表示方法。
3. 三角形与多边形的位置关系。
课后答案：1. 三角形是由三个顶点和三条边组成的，具有稳定性。
2. 多边形是由多个顶点和多条边组成的，具有闭合性。
3. 三角形与多边形可以相交、包含或者平行。
教案章节五：坐标系与解析几何教学目标：1. 了解坐标系的性质和表示方法。
高等几何学习指导
《高等几何》学习指导第一章仿射坐标与仿射变换一、教学目的要求1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区别和联系；2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法；3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平面图形的其它仿射性质；4、熟练掌握仿射变换的代数表示.二、教学重点、难点重点：透视仿射对应、仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法.难点：透视仿射对应的概念、特征及判断.三、内容小结本章主要介绍下述内容：1、共线三点单比（简比）的概念2、透视仿射对应1）、概念：①、同一平面内，直线l到直线/l的透视仿射对应；②、平面π到平面/π的透视仿射对应.2）、判断：对应点连线互相平行.3）、性质： ①、保持同素性； ②、保持结合性； ③、保持平行性； ④、保持共线三点单比不变. 3、仿射对应与仿射变换 概念：透视仿射链. 4、仿射坐标 1）、仿射坐标系；2）、共线三点单比的坐标表示： 设31311233232(,),(1,2,3),()i i i x x y y P x y i PP P x x y y --===--则； 3）、仿射变换的代数表示：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩， 111221220a a a a ∆=≠；5、仿射性质1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性. 2）、仿射不变量： 共线三点的单比； 两条平行线段之比； 两个三角形面积之比； 两个封闭图形面积之比.3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形. 四、例题例1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-2,-4),B(5,2),C3(,1)2-,求单比（ABC ）. 解：设A 、B 、C 的非齐次坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y由3132322()1352x x ABC x x +-===---.例2、平面上是否存在仿射变换，使点A （1，2），B （-2，-4）， C （3，6）分别变为点A /（-1，-1），B /（2，2），C /（0，0）？解：由于A ，B ，C 三点共线，A /，B /， C /也共线，下面验证它们的单比是否保持不变，由于：//////////312011(),(),()()325022AC A C ABC A B C ABC A B C BC B C -+======-∴≠+-因此这样的仿射变换不存在.例3、求使三点（0，0），（1，1），（1，-1）顺次变到三点（2，3），（2，5），（3，-7）的仿射变换.解：设所求仿射变换为：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩111221220a a a a ∆=≠， 将（0，0）对应（2，3）， （1，1）对应（2，5），（1，-1）对应（3，-7）分别代人上式得：1323111213212223111223212223232537a a a a a a a a a a a a a a ===++=++=-+-=-+ ，解此方程组，得132311122122112,3,,,4,622a a a a a a ====-==故所求仿射变换为：//11222463x x y y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩， 且1102246-∆=≠-. 例4、求一仿射变换，它使直线210x y +-=210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）.解：在直线210x y +-=上任取两点（1，0），（-1，1），由于 （1，0）→（1，0）；（-1，1）→（-1，1），又（1，-1）→（-1，2），由于三对对应点分别不共线，从而可唯一确定一仿射变换，将它们的坐标分别代入仿射变换式/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，解得：//22133222x x y y x y ⎧=+-⎪⎨=--+⎪⎩，220322∆=≠--，即为所求的仿射变换.例5、求椭圆的面积. 解法1（见教材第15页）解法2：设在笛氏直角坐标下圆的方程为222x y r +=即22221x y r r+=，令仿射变换T ：//x x a r y yb r⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即//ax x rb y y r ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 其中2000aabr b rr ∆==≠， 其对应图形为椭圆：/2/2221x y a b+=故T 是圆到椭圆的仿射变换，设圆的面积为S ，椭圆的面积为S / 由定理4.3//22S abS S r ab S rππ=∆⇒=∆== 所以椭圆的面积为ab л.例6、求将点O （0，0），A （1，0），B （0，1）分别变为O /（1，1），A /（3，1），B /（3，2）的仿射变换；并求在这个变换下，半径为2的圆的仿射对应图形的面积.解：①、设所求仿射变换为：/111213/212223x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩111221220a a a a ∆=≠ 将O （0，0）对应O /（1，1）， A （1，0）对应A /（3，1），B （0，1）对应B /（3，2）分别代人上式解得//2211x x y y y ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩且 22001∆=≠ 为所求仿射变换.②、////1,1,42OAB O A B S S S π∆∆===圆，设圆的仿射对应图形面积为/S ，则//////1,42812O A B OABS S S S S ππ∆∆==∴=⨯=圆. 五、习题1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-3,2),B(6,1),C 33(,)22,求单比（ABC ）.2、经过点A （-3，2）和B （6，1）的直线AB 与直线x+3y-6=0相交于P ，求(ABP).3、求仿射变换{4y 2x 4y 1y x 7x ++='+-='的不变点.4、试求：在仿射变换下，梯形、菱形、等边三角形、正方形、等腰三角形、圆、两全等矩形的对应图形.5、二平行线间的平行性是仿射不变性吗？6、任意两线段之比是仿射不变量吗？7、三角形三高线共点是仿射性质吗？三角形三中线共点是仿射性质吗？8、若（ACB ）＝2，则C 是A ，B 的中点吗？ 9、在仿射变换 {73532-+='+-='y x y y x x 下，点O （0，0），A （3，2），的像点为 、 ；B （1，-4）的原像点为 .10、求将点A （1，0），B （0，-1），C （-1，1）分别变为A /（8，-1），B /（6，-6），C /（1，1）的仿射变换；并求在这个变换下，半径为3的圆的仿射对应图形的面积.第二章射影平面一、教学目的要求1、理解中心射影、无穷远元素及射影平面的概念，掌握无穷远元素的性质，了解射影观点与仿射观点的区别；2、掌握笛沙格定理及其应用，了解笛沙格构图；3、掌握齐次坐标的定义，熟练掌握点和直线的方程、齐次坐标的求法及其应用；4、理解对偶元素、对偶运算及对偶命题的概念，掌握对偶原理及写出一命题的对偶命题的方法；5、明确完全四点形、四线形的概念，掌握它们的调和性质及应用；6、了解复元素的概念.二、教学重点、难点重点：无穷远元素的概念及其性质，齐次坐标的定义及运算，笛沙格定理及其应用，对偶原理.难点：无穷远元素的概念，点方程、线坐标的定义.三、内容小结本章主要介绍下述内容：1、无穷远元素的概念2、射影直线与射影平面的概念3、图形的射影性质经过中心射影（透视对应）后图形的不变性质（量）叫做图形的射影性质（不变量）.射影性质⎧⎧⎨⎨⎩⎩点列同素性，射影图形结合性线束但平行性、共线三点的单比不是射影性质.4、笛沙格定理1）、笛沙格（Desargues ）定理：如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上.2）、笛沙格（Desargues ）定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线交于一点.3）、透视三点形：如果两个三点形对应边的交点共线——所在直线称为透视轴； 如果两个三点形对应顶点的连线共点——该点称为透视中心. 由笛沙格定理知，两个三点形若有透视心，则必有透视轴，反之亦然，这样的两个三点形称为透视三点形.4）、笛沙格构图：构成一个图形的基本元素有两类：点和线，分别称为第一类和第二类元素，用11a 和22a 表示，而12a 表示第一类元素点与第二类元素线结合，21a 表示第二类元素线与第一类元素点结合.Desargues 定理所表示的图形所含的第一类元素点的个数11a ＝10个，所含的第二类元素线22a ＝10条，每一点与12a ＝3个第二类元素线结合，每一线与21a ＝3个第一类元素点结合.可表示为：A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛103310 （A 称为构形矩阵，且A 为对称矩阵）. 即：图形中有10个点，每个点有3条线通过；有10条线，每条线上有3个点.布局十分巧妙！更为巧妙的是：在10个点中，任一个点都可作为透视心，在10条线中，任一条线都可作为透视轴.如图，对于任一点C,考察两个三点形/YXC ABO 和，它们对应顶点连线/,,AY BX OC 交于一点C,则其对应边交点YX AB Z Y C OA A XC BO B ===,,////共线.即如果以C 为透视心，则其对应的透视轴为直线Z A B //. （读者可另行考虑以图中其余的点作为透视心，则必能找到其对应的透视轴！）5、齐次坐标 1）、齐次点坐标：① 一维齐次点坐标设直线上普通点的坐标为x，则该点的齐次坐标是122(,),,(0)x x x x x x =≠12其中， 当210,(,0)(1,0)(0)x x =∝≠1时即其中x 规定为这直线上无穷远点的一维齐次坐标.② 二维齐次点坐标设平面上的点的非齐次坐标为(x,y),则该点的齐次坐标是1212333(,,),,x xx x x x y x x == 斜率为k 的直线上的无穷远点的齐次坐标为(1,k,0)或者2121(,,0),x x x k x = ③ 直线的（齐次坐标）方程：1122330a x a x a x ++= ④ 无穷远直线的方程：30x = 2）、齐次线坐标：① 直线的齐次线坐标 []123,,u u u点123(,,)x x x x 在直线[]123,,u u u u 上1122330u x u x u x ⇒++= ② 点的方程（线有坐标，点有方程）在齐次坐标中，点123(,,)a a a a 的方程为 1122330a u a u a u ++=， 反之，[]123,,u u u 所构成的一次齐次方程表示一点. 3）、点几何与线几何的观点： 点几何——点有坐标；线有方程，平面上，把点看成几何基本元素，点的轨迹构成曲线，直线看成一系列点构成；线几何——线有坐标；点有方程，平面上，把直线看成几何基本元素，直线的集合构成曲线，点看成一束直线构成.6、对偶原理 1）、对偶图形：对偶元素 ——“点”与“直线”；对偶作图——“点在线上”与“线通过点”；对偶图形——由点和直线组成的图形，将其元素换成对偶元素，其作图改为对偶作图，这样的两个图形称为一对对偶图形.如：点列——线束三点形——三线性（自对偶） 简单四点形——简单四线形（自对偶） 完全四点形——完全四线形 2）、对偶命题与对偶原则：对偶命题——由点和直线组成的命题，将其元素换成对偶元素，其作图改为对偶作图，这样的两个命题称为一对对偶命题.对偶原则——在射影平面上，如果一个命题成立，则其对偶命题也成立. 3）、代数对偶：① 两个不同点（线）123123(,,),(,,)a a a a b b b b 的连线（交点）的线坐标（点坐标）为：233112233112(,,)a a a a a a a b b b b b b b =⨯ ② 三个不同点（线）123123123(,,),(,,),(,,)a a a a b b b b c c c c 共线（共点）的充要条件是：1231231230a a a b b b c c c =③ 以两个不同已知点（线）123123(,,),(,,)a a a a b b b b 的连线为底的点列中一点（交点为顶点的线束中任一直线）的齐次坐标能够写为la mb +，其中,l m 为不全为零的常数.7、复元素在复射影平面上有以下重要结论：1）、一元素为实元素的充要条件是该元素与其共轭复元素重合； 2）、如果点x 在直线u 上，则x 的共轭复点x 在直线u 的共轭复直线u 上；3）、两共轭复直线的交点为一实点，两共轭复点的连线为一实直线. 四、例题例1、写出下列点的齐次坐标：(0,0)、(1,0)、(0,1)、以3为斜率的直线上的无穷远点.解：这些点的齐次坐标依次为：(0,0,1)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,3,0) 例2、写出下列直线的齐次坐标：x 轴、y 轴、无穷远直线、过原点且斜率为2的直线.解：这些直线的齐次坐标依次为：[0,1,0]、[1,0，0]、[0，0，1]、[2，-1，0].例3、求直线340x y -+=上的无穷远点的坐标和线坐标方程. 解：直线的齐次坐标方程为123340x x x -+=，这条直线与无穷远直线30x =的交点1233340x x x x -+=⎧⎨=⎩即为无穷远点，从而无穷远点的坐标（3，1，0）.这个点的齐次线坐标方程是1230u u +=.例4、求直线[1,-1,2]与两点A （3，4，-1）、B （5，-3，1）之连线的交点的坐标.解：两点A （3，4，-1）、B （5，-3，1）连线上的点（3+5λ，4-3λ，-1+λ）在直线[1,-1,2]上，所以（3+5λ）-（4-3λ）+2（-1+λ）=0，解得310λ= 所以交点坐标为（45，31，-7）.例5、试证、[2,-1,1]、[3,1,-2]和[7,-1,0]三线共点，并把[2,-1,1]表示成[3,1,-2]和[7,-1,0]的线性组合.解：由2113120710--=-得三线共点，所以存在二实数λ，μ，使得 [2,-1,1]=λ[3,1,-2]+μ[7,-1,0]，于是有372121λμλμλ+=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，解得11,22λμ=-=，故[][][]112,1,13,1,27,1,022-=--+-，即 [2,-1,1]表示成[3,1,-2]和[7,-1,0]的线性组合.例6、利用对偶命题解题：(1)、求通过两直线[2,1,3]与[1,-1,0]的交点与点P ：12320u u u +-=的直线坐标；(2)、求两点123340u u u +-=，123530u u u -+=的连线与直线12320x x x -+=的交点坐标.解：(1)、这两直线的交点Q 方程为123213011u u u =-， 即1230u u u +-=，即Q 点的坐标为（1，1，-1），而P 点的坐标为（1，2，-1），所以过这两点的直线方程为1231210111x x x -=-，即130x x +=，其坐标为[1，0，1] .(2)、过这两点的直线l 的方程为1233410531x x x -=-，即1238290x x x --=，其坐标为[1,-8,-29]，而直线/l 坐标为[1,-1,2]，所以这两直线交点的方程为12311201829u u u -=--，即123453170u u u +-=，其坐标为(45,31,-7).例7、（1）求过点(1,,0)i -的实直线；（2）求直线[,2,1]i i -上的实点.解：（1）因为过点(1,,0)i -的实直线必过其共轭复点(1,,0)i ，所以所求直线为1231001x x x i i-=，即30x =为所求.（2）直线[,2,1]i i -上的实点为此直线与其共轭复直线[,2,1]i i -+的交点，由方程1231232(1)02(1)0ix x i x ix x i x ++-=⎧⎨-+++=⎩，解得实点为（2，-1，2）.例8、设三点形ABC 的三边BC, CA, AB 的方程分别为052,0153,0237=-+=--=+-y x y x y x ,求证三点形 ABC 与坐标三点形A 1A 2A 3透视，并求出透视轴方程.解：在三点形ABC 和 A 1A 2A 3中，123123123:7320,:350,:250,BC x x x CA x x x AB x x x -+=--=+-= 231312123:0,:0,:0,A A x A A x A A x ===其对应边之交点：233112(0,2,3),(1,0,3),(1,2,0)BC A A L CA A A M AB A A N ⨯=⨯=⨯=-因为0231030120=-，所以L 、M 、N 共线， 即三点形ABC 和 A 1A 2A 3透视，且透视轴方程为1236320x x x +-=例9、如图，设直线AB 与CD 交于M ，AC 与BD 交于N ，直线MN 分别交AD 、BC 于K 、H ，直线BK 交AC 于L ，求证：HL 、CK 、MA 交于一点.解：在三点形HCM 与LKA 中，对应边的交点HC хLK=B ，CM хKA=D ，MH хAL=N ，而B 、D 、N 在一条直线上，由笛沙格定理的逆定理，这两个三点形对应顶点的连线HL 、CK 、MA 交于一点.五、习题1、回答下列问题：①、坐标原点的方程是U 3＝0吗？②、X 轴上的无穷远点坐标是（0，1，0）吗？③、三直线［1，1，1］，［1，－1，1］，［3，－1，3］共点吗？ ④、共线三点的单比是射影不变量吗？⑤、直线03)2()1(321=+++-ix x i x i 上的实点有无数多个吗？ ⑥、方程22120x x -=表示什么图形？方程22120u u -=表示什么图形？ ⑦、当正负号任意选取是，齐次坐标（1,1,1±±±）表示多少个相异的点？2、写出下列点的坐标：①、P 1(3,7,-2),P 2(0,0,1),P 3(3,-1,0)的非齐次坐标. ②、直线5x+3y-1=0上的无穷远点的齐次坐标. ③、直线l [1,1,2]与m[0,1,1]的交点坐标. ④、直线ix 1+4x 2+(1+i)x 3 = 0上的实点坐标.3、直线03)2()1(321=+++-ix x i x i 上的实点有无数多个，对吗？4、写出下列直线的方程：①、点A(0,1,2)与B(1,0,1)D 连线方程. ②、通过点（1,i,0）的实直线方程.5、已知点123(1,1,1),(1,1,1),(3,1,3)P P P --，求证123,,P P P 共线，并求λ，μ的值，使得312P P P λμ=+.6、下列诸方程表示什么？123123120;0;0;20u u u u u u u u =-=++=+=；221122540;u u u u -+=7、已知Pappus 定理：设直线l 上有互异三点A ，B ，C ，直线l '有互异三点C ,B ,A '''，那么三点B A B A N ,A C A C M ,C B C B L '⨯'='⨯'='⨯'=共线.写出其对偶命题.8、“一线束中三直线a,b,c 与不过中心的二直线21,l l 相交得两个互成透视的点列”.写出其对偶命题.9、“如果两个三角形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线共点”.写出此命题的对偶命题.10、证明三角形三中线共点.11、指出下图中以B 为透视心的两个三点形和其对应的透视轴.12、ABCD 是个四面体，点M 在BC 上，一直线通过M 分别交AB ，AC 于P 、Q ，另一直线过M 分别交DB 、DC 于R 、S ，求证PR 、QS 、AD 交于一点.13、画出下面图形的平面对偶图形。
高等几何课程标准.
高等几何》课程标准一、课程概述高等几何》 是数学与应用数学专业的选修课， 主要包括射影几何与几何基础两部分内容。
通过本课程的学习， 使学生初步了解运用近代公理法建立几何逻辑体系的基本思想， 解中学几何教材的逻辑结构； 掌握射影几何的基本内容和研究方法， 并了解一些几何基础内 容。
通过本课程的教学， 应加深学生对中学初等几何和解析几何的理论与方法的理解， 较高的观点处理初等几何教材； 扩大学生的知识领域， 为进一步学习其它后续课程打好基础， 从而提高学生的逻辑推理能力与空间想象能力。
二、课程目标1. 了解本课程的性质，地位与独立价值及其研究的主要范围，研究方法与该学科的进 展与未来方向。
充分理解本学科与其它学科处理与解决问题方法的不同之处。
牢固掌握本课程主要内容，为实际解决问题打下坚实的基础。
三、课程内容和教学要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、 掌握、 学会四个层次。
这四个层次的一般 涵义表述如下：些原理与技巧的阐述、证明与方法所应接受的内容。
是指能运用已理解的概念、原理与技巧灵活地应用于解决一些具体的问题，提出新的看法等所应接受的内容。
是指能通过教师指导， 有独立完成并解决一些具体实际问题的能力， 有在相 应学科初步进行科学研究的能力。
教学内容和要求表中的“2”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“ *”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
能用 2. 理解本课程的基本理论，掌握解题的常用方法与技巧。
3. 知道与初等几何学科的关系、联系与相互的渗透。
4. 5. 知道 是指对这门学科中要了解的一些内容。
理解是指对这门学科中涉及到的有一定深度的概念、原理与技巧的内涵， 以及这学会（四）Desargues 定理四、课程实施（一）课时安排与教学建议高等几何是数学专业的基础课。
一般情况下，每周安排4课时，共60课时。
函授生1.教学班是主要教学组织，班级授课之是教学的主要组织形式。
《高等几何》课程学习指南
《高等几何》课程学习指南一、课程目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。
本课程在大家具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使我们能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。
通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得我们拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得我们加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高我们的数学审美意识。
概括来说，学习本课程后，希望大家有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。
即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。
如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。
（7）学会构造射影图形。
因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，我们要深刻领会这些技巧。
二、课程主要内容结构以平面射影几何为主体，涵盖射影几何，变换群理论，仿射几何等内容，主要包括5个部分：1、射影平面。
包括引论，拓广平面，齐次点坐标，线坐标，射影平面，对偶原则，复元素，Desargues定理等。
2、射影变换。
包括交比与调和比，完全四点形与完全四线形的调和性，一维基本形的射影对应，一维射影变换，一维基本形的对合，二维射影变换等。
成人自学《高等几何》指导
求 法 会 利 用 配 极 原 则 证 明有
;
、,Βιβλιοθήκη ; 关 问题 理 解 二 阶 曲 线 的 射 影 分 类 ( 利 用 坐 标变 换 和
写 出 一 个 命题 的 对 偶命题 元 素 所 具 有 的性 质
。
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复元 素 的 概 念 和 共 扼 复
利 用 不 变 全 ) 掌握其 标 准 方 程 弄 清 奇异 点 的 概念
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.
第五 章
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二 次 曲 线的 射 影 理 论
。
因
这 一 章 包括 的 内 容 比 较 丰 富 涉 及 的 概 念 也 较 多 它 在全书 中 占有 很重 要 的地 位 二 阶 曲 线 的 定 义 ( 代数 定 义 几何定 义 ) 及 方 程 将二级 曲线化 为二 阶 曲线
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第一章
正 交 变换 与 仿 射变 换
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领 会 对 合 的 定 义 抓 住 其特 点 弄 清 它 与 一 般 针 影 变换 不 同 之 处 如 何 判 断 一 个 封 影 变 换 是 对 合 解 射 影 变换 与射 影 坐 标
。
本章 内 容 是从 欧 氏 几 何 过 渡 到针 影 几 何 的 桥梁 重点
, ,
.
田 井 宋
针 变换 的 概 念 性 质和 代数 表
示式
。
、
:
第一
、
,
把 变 换 群 与 几 何 学联 来起 来 给 几 何
,
注 意 正 交 变换 ( 资 变换 )
,
.
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《高等几何》课程学习指南一、课程目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。
本课程在大家具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使我们能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。
通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得我们拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得我们加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高我们的数学审美意识。
概括来说，学习本课程后，希望大家有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。
即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。
如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。
（7）学会构造射影图形。
因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，我们要深刻领会这些技巧。
二、课程主要内容结构以平面射影几何为主体，涵盖射影几何，变换群理论，仿射几何等内容，主要包括5个部分：1、射影平面。
包括引论，拓广平面，齐次点坐标，线坐标，射影平面，对偶原则，复元素，Desargues定理等。
2、射影变换。
包括交比与调和比，完全四点形与完全四线形的调和性，一维基本形的射影对应，一维射影变换，一维基本形的对合，二维射影变换等。
3、变换群与几何学。
包括二维射影变换的特例，平面上的几个变换群，变换群与几何学等。
4、二次曲线理论。
包括二次曲线的射影定义，Pascal定理和Brianchon定理，极点与极线，配极变换，二次点列上的射影变换，二次曲线的射影分类，二次曲线的仿射理论，二次曲线的仿射分类等。
5、几何学寻踪。
包括Euclid几何学，从Pappus到射影几何学，Descartes与解析几何学，第五公设之争与非欧几何学，Gauss，Riemann与微分几何学，从Cantor和Poincaré到拓扑学，Hilbert 与几何基础等，作为学生课外读物。
三、单元学习目标1、第一章射影平面通过这一章的学习，我们要明了和掌握：（1）射影平面的公理化定义以及其几何模型（拓广平面）和算术模型（RP2）。
空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。
即我们要在空间观念上有一个提升；（2）齐次点坐标和线坐标，进一步了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解Desargues定理的美妙并学会用Desargues定理去作图或证明某些共线点和共点线问题。
具体掌握内容如下：第一节引论本节首先介绍集合的变换的概念，然后介绍了平面的正交变换、相似变换、仿射变换的概念及其性质。
第二节拓广平面本节从几何直观的角度把欧氏直线及平面拓广到了射影直线及射影平面的一个几何模型，我们称其为拓广直线及拓广平面，然后讨论了它们的性质并给出了它们的一些拓扑模型。
第三节拓广平面上的齐次坐标本节给出了拓广平面上点的齐次点坐标和直线的齐次线坐标概念，从而实现了几何代数化，为用解析法研究平面射影几何做好了准备；给出了直线的齐次点坐标方程和点的齐次线坐标方程；关于齐次坐标的一些基本结论；拓广平面上的齐次笛氏坐标系。
第四节射影平面给出了实射影平面及直线的公理化定义，并指出拓广平面和RP2 都是射影平面的模型空间；介绍了射影坐标变换并指出点列和线束是射影基本图形第五节平面对偶原则本节介绍了平面射影几何的重要定理平面对偶原则。
首先给出对偶元素、对偶运算、对偶变换、射影图形及对偶图形、射影命题及对偶命题等概念，然后给出平面对偶原则及某些代数对偶。
第六节Desargues透视定理本节介绍了一个古老而著名的定理Desargues透视定理及其在作图和证明共线点和共点线问题方面的应用。
2、第二章射影变换平面射影几何是研究平面射影图形在射影变换下的不变性质和不变量的一门科学。
所以，本章首先研究了最基本的射影不变量交比的性质和计算，然后研究了图中具有非常多调和点列和调和线束的射影图形完全四点形和完全四线形的调和性，最后主要研究了一维射影（对应）变换和二维射影（对应）变换的性质。
具体掌握内容如下：第一节交比交比是最基本的射影不变量，其他一切射影不变量都可由它表示。
本节主要研究了共线四点的交比和共点四线的交比的性质和计算。
第二节完全四点形与完全四线形的调和性本节主要研究了这两类图形中的调和点列和调和线束以及它们的应用。
第三节一维基本形的射影对应本节分别从几何和代数角度给出了一维基本形的射影对应的三个等价定义以及确定射影对应的代数条件，Pappus定理和Steiner构图法亦被介绍。
第四节一维射影变换一维射影变换是从一个一维基本形到其自身的射影对应。
本节主要讨论了一维射影变换的不变元素、不变元素性质以及一维射影变换的分类。
第五节一维基本形的对合对合是一个特殊的射影变换，它有其特殊的几何意义。
本节主要研究了一个一维射影变换是对合的代数条件和几何条件，对合的不变元素、不变元素性质以及对合的分类，Desargues对合定理及其应用。
第六节二维射影变换本节分别从几何和代数角度给出了二维基本形的射影对应的三个等价定义以及确定射影对应的代数条件，二维射影变换的不变元素亦被研究。
3、第三章变换群与几何学1872年德国数学家克莱因(F.Klein,1849～1925)在就任埃尔朗根(Erlangen)大学教授时提出了著名的埃尔朗根纲领，这个纲领用变换群的观点把当时已经知道的几种几何学统一起来。
根据这个纲领，研究某空间中图形的在某变换群的变换下不变的性质和数量的科学称为一门几何学，其中运动变换下的几何就是欧氏几何。
埃尔朗根纲领对后世几何的发展具有重要的指导意义。
本章我们主要了解克莱因的变换群观点。
具体掌握内容如下：第一节射影仿射平面本节主要介绍了射影仿射平面的射影仿射变换、射影相似变换、射影正交变换及通常平面的仿射变换、相似变换、正交变换。
第二节平面上的几个变换群本节主要介绍了射影变换群、射影仿射变换群、射影相似变换群、射影正交变换群及仿射变换群、相似变换群、正交变换群。
第三节变换群与几何学本节主要介绍了克莱因的变换群观点，并讨论了射影几何、射影仿射几何、射影相似几何、射影欧氏几何、仿射几何、相似几何、欧氏几何的关系。
4、第四章二次曲线理论二次曲线是重要的射影不变图形、仿射不变图形，所以它们是射影几何和仿射几何的重要研究对象。
本章主要研究二次曲线的射影理论和仿射理论。
具体掌握内容如下：第一节二次曲线的射影定义本节给出了二阶曲线及二级曲线的代数定义和射影定义及确定非退化二阶曲线及二级曲线的条件、讨论了非退化二阶曲线的切线及非退化二级曲线的切点、二阶曲线与二级曲线的统一（即任一条非退化二阶（级）曲线的全体切线（点）构成一条非退化二级（阶）曲线，而且从几何上看，这两条线是重合的）、最后介绍了二阶曲线束及用四点形束求无三点共线的五点确定的二阶曲线的方法。
第二节Pascal定理和Brianchon定理这是两个古老而著名的定理，它们是一对对偶命题。
本节介绍了这两个定理及其逆定理、它们的几种极限形式和应用。
第三节配极变换给点射影平面上的一条非退化二阶曲线，关于它的极点和极线之间的对应是同底点场到线场的一个保交比的双射，我们称其为同底点场到线场关于这条非退化二阶曲线的配极变换。
本节介绍了配极变换、配极原则、自极三点形以及它们的应用。
第四节二次点列上的射影变换本节研究了二次点列上的射影对应、射影变换、对合的性质及其应用。
第五节二次曲线的射影分类射影平面上的两条二阶曲线等价的充要条件是存在一个射影变换把其中一条二阶曲线映为另一条。
本节给出了射影平面上的所有二阶曲线的等价类，即对所有二阶曲线进行了分类；对偶地，我们可以得到所有二级曲线的等价类。
第六节二次曲线的仿射理论二次曲线亦是重要的仿射不变图形。
本节讨论了射影仿射平面上的二次曲线的仿射性质。
主要讨论了二阶曲线的中心、直径与共轭直径、有心二阶曲线的渐近线等性质。
第七节二次曲线的仿射分类射影仿射平面上的两条二阶曲线等价的充要条件是存在一个射影仿射变换把其中一条二阶曲线映为另一条。
本节给出了射影仿射平面上的所有二阶曲线的射影仿射等价类，即对所有二阶曲线进行了分类；对偶地，我们可以得到所有二级曲线的等价类。
四、课程的重点、难点及解决办法重点：要求我们通过齐次坐标、射影变换的学习，获得利用代数、分析的方法研究几何问题的基本能力，拓展几何空间概念，通过以拓广平面为模型的射影平面几何的学习，学会在亏格为零、不可定向的闭曲面上用综合的方法研究几何问题，接受变换群思想。
难点：齐次坐标和不可定向的闭曲面等都超出了学生久已习惯的欧氏空间，抽象且不直观，初学者会感到非常别扭，难以入门，难以认清问题的本质。
解决办法：运用“立体式”教学理念辅以多媒体手段，化抽象为具体，化难以想象为直观，化深奥为简单。
教材和教师教学中均采用射影平面的某局部与欧氏平面同胚的原理，使得问题直观化、可视化，通过多媒体生动地刺激视觉，效果更佳。
经常建立与欧氏几何、线性代数、微积分的联系，充分利用学生已有的代数、分析知识以及对偶原则，对许多概念、定理给出统一的处理方法，使得学生逐步适应高等几何的思想方法，逐步认识高等几何中的问题之本质，从而使得其思维能力在潜移默化的过程中得到提高。