《高等几何》课程学习指南

《高等几何》课程学习指南
一、课程目的
本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。

本课程在大家具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使我们能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。

通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得我们拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得我们加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高我们的数学审美意识。

概括来说，学习本课程后，希望大家有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。

即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。

如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。

（7）学会构造射影图形。

因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，我们要深刻领会这些技巧。

二、课程主要内容结构
以平面射影几何为主体，涵盖射影几何，变换群理论，仿射几何等内容，主要包括5个部分：
1、射影平面。

包括引论，拓广平面，齐次点坐标，线坐标，射影平面，对偶原则，复元素，Desargues定理等。

2、射影变换。

包括交比与调和比，完全四点形与完全四线形的调和性，一维基本形的射影对应，一维射影变换，一维基本形的对合，二维射影变换等。

3、变换群与几何学。

包括二维射影变换的特例，平面上的几个变换群，变换群与几何学等。

4、二次曲线理论。

包括二次曲线的射影定义，Pascal定理和Brianchon定理，极点与极线，配极变换，二次点列上的射影变换，二次曲线的射影分类，二次曲线的仿射理论，二次曲线的仿射分类等。

5、几何学寻踪。

包括Euclid几何学，从Pappus到射影几何学，Descartes与解析几何学，第五公设之争与非欧几何学，Gauss，Riemann与微分几何学，从Cantor和Poincaré到拓扑学，Hilbert 与几何基础等，作为学生课外读物。

三、单元学习目标
1、第一章射影平面
通过这一章的学习，我们要明了和掌握：（1）射影平面的公理化定义以及其几何模型（拓广平面）和算术模型（RP2）。

空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。

即我们要在空间观念上有一个提升；（2）齐次点坐标和线坐标，进一步了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解Desargues定理的美妙并学会用Desargues定理去作图或证明某些共线点和共点线问题。

具体掌握内容如下：
第一节引论本节首先介绍集合的变换的概念，然后介绍了平面的正交变换、相似变换、仿射变换的概念及其性质。

第二节拓广平面本节从几何直观的角度把欧氏直线及平面拓广到了射影直线及射影平面的一个几何模型，我们称其为拓广直线及拓广平面，然后讨论了它们的性质并给出了它们的一些拓扑模型。

第三节拓广平面上的齐次坐标本节给出了拓广平面上点的齐次点坐标和直线的齐次线坐标概念，从而实现了几何代数化，为用解析法研究平面射影几何做好了准备；给出了直线的齐次点坐标方程和点的齐次线坐标方程；关于齐次坐标的一些基本结论；拓广平面上的齐次笛氏坐标系。

第四节射影平面给出了实射影平面及直线的公理化定义，并指出拓广平面和RP2 都是射影平面的模型空间；介绍了射影坐标变换并指出点列和线束是射影基本图形
第五节平面对偶原则本节介绍了平面射影几何的重要定理平面对偶原则。

首先给出对偶元素、对偶运算、对偶变换、射影图形及对偶图形、射影命题及对偶命题等概念，然后给出平面对偶原则及某些代数对偶。

第六节Desargues透视定理本节介绍了一个古老而著名的定理Desargues透视定理及其在作图和证明共线点和共点线问题方面的应用。

2、第二章射影变换
平面射影几何是研究平面射影图形在射影变换下的不变性质和不变量的一门科学。

所以，本章首先研究了最基本的射影不变量交比的性质和计算，然后研究了图中具有非常多调和点列和调和线束的射影图形完全四点形和完全四线形的调和性，最后主要研究了一维射影（对应）变换和二维射影（对应）变换的性质。

具体掌握内容如下：
第一节交比交比是最基本的射影不变量，其他一切射影不变量都可由它表示。

本节主要研究了共线四点的交比和共点四线的交比的性质和计算。

第二节完全四点形与完全四线形的调和性本节主要研究了这两类图形中的调和点列和调和线束以及它们的应用。

第三节一维基本形的射影对应本节分别从几何和代数角度给出了一维基本形的射影对应的三个等价定义以及确定射影对应的代数条件，Pappus定理和Steiner构图法亦被介绍。

第四节一维射影变换一维射影变换是从一个一维基本形到其自身的射影对应。

本节主要讨论了一维射影变换的不变元素、不变元素性质以及一维射影变换的分类。

第五节一维基本形的对合对合是一个特殊的射影变换，它有其特殊的几何意义。

本节主要研究了一个一维射影变换是对合的代数条件和几何条件，对合的不变元素、不变元素
性质以及对合的分类，Desargues对合定理及其应用。

第六节二维射影变换本节分别从几何和代数角度给出了二维基本形的射影对应的三个等价定义以及确定射影对应的代数条件，二维射影变换的不变元素亦被研究。

3、第三章变换群与几何学
1872年德国数学家克莱因(F.Klein,1849～1925)在就任埃尔朗根(Erlangen)大学教授时提出了著名的埃尔朗根纲领，这个纲领用变换群的观点把当时已经知道的几种几何学统一起来。

根据这个纲领，研究某空间中图形的在某变换群的变换下不变的性质和数量的科学称为一门几何学，其中运动变换下的几何就是欧氏几何。

埃尔朗根纲领对后世几何的发展具有重要的指导意义。

本章我们主要了解克莱因的变换群观点。

具体掌握内容如下：
第一节射影仿射平面本节主要介绍了射影仿射平面的射影仿射变换、射影相似变换、射影正交变换及通常平面的仿射变换、相似变换、正交变换。

第二节平面上的几个变换群本节主要介绍了射影变换群、射影仿射变换群、射影相似变换群、射影正交变换群及仿射变换群、相似变换群、正交变换群。

第三节变换群与几何学本节主要介绍了克莱因的变换群观点，并讨论了射影几何、射影仿射几何、射影相似几何、射影欧氏几何、仿射几何、相似几何、欧氏几何的关系。

4、第四章二次曲线理论
二次曲线是重要的射影不变图形、仿射不变图形，所以它们是射影几何和仿射几何的重要研究对象。

本章主要研究二次曲线的射影理论和仿射理论。

具体掌握内容如下：
第一节二次曲线的射影定义本节给出了二阶曲线及二级曲线的代数定义和射影定义及确定非退化二阶曲线及二级曲线的条件、讨论了非退化二阶曲线的切线及非退化二级曲线的切点、二阶曲线与二级曲线的统一（即任一条非退化二阶（级）曲线的全体切线（点）构成一条非退化二级（阶）曲线，而且从几何上看，这两条线是重合的）、最后介绍了二阶曲线束及用四点形束求无三点共线的五点确定的二阶曲线的方法。

第二节Pascal定理和Brianchon定理这是两个古老而著名的定理，它们是一对对偶命题。

本节介绍了这两个定理及其逆定理、它们的几种极限形式和应用。

第三节配极变换给点射影平面上的一条非退化二阶曲线，关于它的极点和极线之间的对应是同底点场到线场的一个保交比的双射，我们称其为同底点场到线场关于这条非退化二阶曲线的配极变换。

本节介绍了配极变换、配极原则、自极三点形以及它们的应用。

第四节二次点列上的射影变换本节研究了二次点列上的射影对应、射影变换、对合的性质及其应用。

第五节二次曲线的射影分类射影平面上的两条二阶曲线等价的充要条件是存在一个射影变换把其中一条二阶曲线映为另一条。

本节给出了射影平面上的所有二阶曲线的等价类，即对所有二阶曲线进行了分类；对偶地，我们可以得到所有二级曲线的等价类。

第六节二次曲线的仿射理论二次曲线亦是重要的仿射不变图形。

本节讨论了射影仿射平面上的二次曲线的仿射性质。

主要讨论了二阶曲线的中心、直径与共轭直径、有心二阶曲线的渐近线等性质。

第七节二次曲线的仿射分类射影仿射平面上的两条二阶曲线等价的充要条件是存在一个射影仿射变换把其中一条二阶曲线映为另一条。

本节给出了射影仿射平面上的所有二阶曲线的射影仿射等价类，即对所有二阶曲线进行了分类；对偶地，我们可以得到所有二级曲线的等价类。

四、课程的重点、难点及解决办法
重点：要求我们通过齐次坐标、射影变换的学习，获得利用代数、分析的方法研究几何问题的基本能力，拓展几何空间概念，通过以拓广平面为模型的射影平面几何的学习，学会在亏格为零、不可定向的闭曲面上用综合的方法研究几何问题，接受变换群思想。

难点：齐次坐标和不可定向的闭曲面等都超出了学生久已习惯的欧氏空间，抽象且不直观，初学者会感到非常别扭，难以入门，难以认清问题的本质。

解决办法：运用“立体式”教学理念辅以多媒体手段，化抽象为具体，化难以想象为直观，化深奥为简单。

教材和教师教学中均采用射影平面的某局部与欧氏平面同胚的原理，使得问题直观化、可视化，通过多媒体生动地刺激视觉，效果更佳。

经常建立与欧氏几何、线性代数、微积分的联系，充分利用学生已有的代数、分析知识以及对偶原则，对许多概念、定理给出统一的处理方法，使得学生逐步适应高等几何的思想方法，逐步认识高等几何中的问题之本质，从而使得其思维能力在潜移默化的过程中得到提高。