示范课 等差数列 教案

等差数列 教学设计

一．教学目标

1．知识目标：理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与

一次函数的关系。

2．能力目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方

程的思想。

3．情感目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高数学猜想、归纳

的能力。

二．重点、难点

教学重点：等差数列的概念及通项公式的推导。

教学难点：对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。 三．课前准备

学生预习，教师做好课件并安装好。 四．教学过程

（一） 创设情景，引入概念

设计意图：希望学生能通过日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程。

师生活动： 情景1：

师—把班上学生学号从小到大排成一列 ： 学生：52,51,,4,3,2,1

师—这是数列吗？你能归纳出它的通项公式吗？ 学生—是， N n n n a n ,521,

师—把上面的数列各项依次记为5221,,,,a a a a ，填空：

51522312,,,a a a a a a

学生—填空并归纳出一般规律：11 n n a a ，（2 n ） 师—上面这个规律还有其他形式吗？

学生—或者写成 11 n n a a ，（2 n ） 注：要对强调2 n ，原因在于1 n 有意义。 师—你能用普通语言概括上面的规律吗？ 学生—自由发言，选择最恰当的语言。

上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。 情景2：看幻灯片上的实例

（1）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg ）：

48，53，58，63

（2）水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m ，自然放水每天水位下降2.5m ，最低降至5m 。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m ）

18，15.5，13，10．5，8，5．5 （3）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：

本利和=本金 （1+利率 存期）

例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%

那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如

下表（假设5年既不加存款也不取款，且不扣

利息税）

各年末本利和（单位：元）

10072，10144，10216，10288，10360 师：上面的三个数列又分别有什么规律呢？ 学生—（1）51 n n a a ，2 n ， N n （2）5.21 n n a a ，2 n ， N n （3）721 n n a a ，2 n ， N n

师—归纳上面数列的共同特征：

1n n a a d （d 是常数），2 n ， N n ，

师—满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？ 学生（共同）—等差数列。 提出课题《等差数列》

师—给出文字叙述的定义（学生叙述，板书定义）：

一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d 为公差，a 1为数列的首项。

*2132431,,,......(2,)

n n a a d a a d a a d a a d n n N 对定义进行分析，强调：①同一个常数；②从第二项起。

师—这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？ 学生—某剧场前8排的座位数分别是 52，50，48，46，44，42，40，38. 学生—全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是 21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25 抢答：观察下列数列是否为等差数列 1，2，4，6，8，10，12，…… 0，1，2，3，4，5，6，…… 3，3，3，3，3，3，3…… 2，4，7，11，16，…… -8，-6，-4，0，2，4，…… 3，0，-3，-6，-9，……

注：常数列也是等差数列，公差是0。 （二） 推进概念，发现性质

设计意图：概括等差中项的概念。总结等差中项公式，用于发现等差数列的性质。

师生活动：

师—想一想，一个等差数列最少有几项？它们之间有什么关系？ 学生思考后回答，至少三项，然后老师引导学生概括等差中项的概念。 设三个数b A a ,,

成等差数列，

则A 叫a 与b 的等差中项。同时有A-a=b-A,2

2b

a A

b a A

说明：（1）上面式子反过来也成立。

（2）等差数列中的任意连续三项都构成等差数列

N n n a a a n n n ,2,211，反之亦成立。

（三）探究通项公式

设计意图：通过具体数列的通项公式，总结一般等差数列的通项公式，体会特殊到一般的数学思想方法。

师生活动：

师—对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差数列的通项公式。

先写出上面引例中等差数列的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。 师—若一个数列123,,,......,,......n a a a a 是等差数列，它的公差是d ，那么数列 n a 的通项公式是什么？

启发学生：（归纳、猜想）可用首项与公差表示数列中任意一项。 学生—d a a 12即：d a a 12

d a a 23即：d a d a a 2123

d a a 34即：d a d a a 3134

……

由此可得：d n a a n )1(1 师—从第几项开始归纳的？ 学生—第二项，所以n ≥2。 师—n=1时呢？