常见插值法

其中插值基函数是
ln (x)
n i0
(x xj) (xi x j )
,(i,j=0,1
2...n)
。
i j
其插值余项为
Rn(x)
f (x) Ln(x)
f (n1) ( ) (n 1)!
n1(
x),
(b).matlab 实现方法：
Matlab 没有直接求解的相关函数，现编译如下：
function yi = Lagarange_chazhi(x,y,xi)
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常见插值法
【摘 要】插值方法在数值分析中起着非常重要的作用。在此介绍一些常见的插值方法及 其应用范例。
其插值余项为
R2n1( x)
f (2n2) ( ) (2n 2)!
2 n1
(
x)
(a,b) 且与 x 有关。
图(2) 分段线性插值
(b).matlab 实现方法：
Matlab 中没有现成的函数，现编译如下：
精品资料
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导数。
xn yn yn
表(2) Hermite 插值法
由于若 f (x) C1[a, b]且已知 f (x) 函数表及导
数表，则存在唯一不超过 2n 1 次多项式 H 2n1(x) 满
足插值条件
H2n1(xi ) yi
H2n1(xi )
y' i
(i 0,1,....,n)
则，通过求解方程，可得出插值函数
function yi = Hermite(x,y,der_y,xi)
the evaluator PPVAL and the spline utility UNMKPP.X
%对x,y进行Hermite插值，其各节点的导数为der_y %返回值为带入矩阵xi后的函数值
must be a vector.”
end
format long
lag_hanshu = lag_hanshu+la;
%求解出插值函数
end
yi = subs( lag_hanshu,'X',xi);
%返回插值函数输入为xi时的值
End
(c).方法缺陷：当插值点个数 n 7 时，将产生
精品资料
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yn
表(1) 插值点 点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值 作为函数 f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这 特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
2.常见的插值法及其构造
Lagrange 插值法
（a).公式推导：
表（1）的 Lagrange 插值的插值多项式
n
Ln (x) f (xi )li (x) ,(j=0,1,2....n)。 i0
为避 龙格
x1 x2
分段 a x0
免高次产生的
xn1
现象，采用
xn b 插值，相
邻两节点间的函数为一次线性函数, 图形为线段，在[a,b]
间为折线，如图（2）。
（a).插值原理：
针对分段插值法不光滑的问题，Hermite 插值引入插
值点的
x x0 f (x) y0 f (x) y0
x1 y1 y1
if length(x) == length(y) if length(y) == length(der_y)
⑤ 插值法关系图
n = length(x); end else
%求插值个数
lagarange 插值法
龙格 现象
error('!!!y的项数应与x相同!!!');
end
%对参数的判断
lag_hanshu = 0;
syms X;
for (l = 1:m)
%构造插值基函数
la = y(l);
for a = (1:l-1)
la = la*(X-x(a))/(x(l)-x(a));
end
for a = (l+1:m)
la = la*(X-x(a))/(x(l)-x(a));
【关键字】数值分析；插值方法；应用；
1. 插值法定义
插值法又称“内插法”，是利用函数 f (x)在某区间 中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些
其中 （a,b) ，n1(x)
n i0
(x xj) (xi x j )
i j
x0
x1
x2 ....... xn-1
xn
y0
y1
y2 ....... yn-1
end
(c).方法缺陷：在节点处曲线不平滑。
保形插值（Hermite 插值）
图(1) Lagarange 插值法的龙格现象
4,5...11，可以看出，当 n 7 后，它的\插值函数
在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差。所以拉 格朗日插值法一般不适用于高次插值。
分段线性插值法
(a).插值原理：
%求插值个数
m1 = length(y);
if m~=m1
error('!!!y的项数应与x相同!!!');
end
%对参数的判断
hold on;
for ii = 1:m-1
plot([x(ii) x(ii+1)],[y(ii) y(ii+1)]);
%画出线段
end
plot(x,y,'o');
%画出插值点
龙格现象：
经典例子，对
f
(x)
1 (1 25 x2 )
进行拉格朗日插
值图（1）中从左到右，从上到下，n分别为
(b).matlab 实现方法：
Matlab 中没有现成的函数，现编译如下：
function Fenduan_liner(x,y)
%对x,y进行分段线性插值
%用虚线画出插值后的函数
m = length(x);
% 求拉格朗日插值,并返回一个输入为xi时的函数值
% x 为插值点向量，至少有三项
% y 为插值点值的向量，项数与x相同
m = length(x);
%求插值个数
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m1 = length(y);
if m<=2
error('项数不足!');
end
if m~=m1
error('!!!y的项数应与x相同!!!');