固体物理第三章答案

色散关系为

4 qa sin m 2
(1)
2
2 2 (1 cos qa) = m (1-cosqa) m 2
(2)
其中
m= (
4 12 ) m
Baidu Nhomakorabea
由于对应于q, 取相同的值， （色散关系的对称性〕 ，则 d区间的格波数为
g( )d＝2
Na Nad dq 2 d dq
2 0
q a

20 m
2.设三维晶格的光学格波在 q=0 的长波极限附近有 i (q)= 0－Aq2（A0） ，求证光学波频率
3( s 1)
分布函数(格波密度函数)为：g( )=

i 1
V 4 2
( 0 i ) A
3 2
1
2
i 0 i > 0
g( )=0 证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在 d i 区间格波数为
=
2
m 1
m
[cos( qma ) 1]
= －4

m 1

m
sin 2 ( qma / 2)
所以
2 =
4 M

m 1

m
sin 2 ( qma / 2)
A＝

0

g ( )d
＝
V 2
2 3
(
k BT 3 )
由上已知，此时格波平均能量为 KBT 则晶格热容可表示为
CV ＝
T
V k BT )k B T 2 3( 2
＝
4 2Vk B T3 3 3 2
把（3－75）式
D＝(6 2
2d =
2 m a
(3)
由色散关系（2）可得：
2
sinqa dq
2 2 a m a a d m 2 sin qa 1 cos 2 qa = m 2 dq 4 4 2
代入(3)可得：
g( )=
2N
2 m 2
(4)
(2)在德拜模型下，色散关系为线性
＝p q
对 NaCl：T=5K 时
8. 在一维无限长单原子链中，若设原子的质量均为 M，若在简谐近似下考虑原子间的长程 作用力， 第 n 个原子与第 n+m 和第 n－m 个原子间的恢复力系数为m, 试求格波的色散关系。 解：设原子的质量为 M，第 n 个原子对平衡位置的位移为 un , 第 n+m 和第 n－m 个原子对 平衡位置的位移为 un＋m 和 un－m (m=1,2,3……), 则第 n+m 和第 n－m 个原子对第 n 个原子的 作用力为 fn,m = m（un＋m－un）＋m（un－m－un）＝m（un＋m＋un－m－2un） 第 n 个原子受的总力为 Fn =
L k BT
A＝

0
g ( )d＝


由第 4 题已证，一维单式格子只有是声学格波激发，对ω 足构低，且满足 波能量为 KBT。则晶格热容为
1 的格 kT
CV ＝
T
2 LK BT 2 LK B K T ＝ T B
1 1
1 2
d i (q)
i V ( 0 i ) V 1 所以 g( i )= =－ 4 0 1 1 3 3 A (2 ) 2 A 2 ( 0 i ) 2 4 2 A 2
由模式密度的物理意义，取其绝对值 而当 i 0 时 又因为 所以 A0 因为 i ＝ 0 －Aq2 q20 所以 Aq2= 0 － i
2 A 2 A
q 0


时 a
m
(11 11) 0 (11 9) 2 m
1 2

q a
m
把 2=101=10代入（2）式 得
2 0 2 0 ＝
11 (101 20 cos qa) m

22 m q 时 a
当 q=0 时
q 0



m 1

f n ,m =

m 1

m（un＋m＋un－m－2un）
因此，第 n 个原子的运动方程为 M
d 2 un = dt 2

m 1

m（un＋m＋un－m－2un） un ＝ A ei ( qnat )
2
将格波的试解
代入运动方程，得 －M ＝


m 1

m
(e iqma e iqma 2)

3
N 13 ) V
及
D＝K B D 代入整理为：
T Cv＝12NKB D
所以晶格比热正比于（
T 3 ) D
得证
5. 对于金刚石、Zns、单晶硅、金属 Cu、一维三原子晶格，分别写出 (1) 初基元胞内原子数； (2). 初基元胞内自由度数 (3).格波支数; (4). 声学波支数 (5).光学波支数 解： 初基元胞内原子数 初基元胞内自由度数 格波支数 声学波支数 光学波支数 金刚石 2 6 6 3 3 Zns 2 6 6 3 3 Si 2 6 6 3 3 Cu 1 3 3 3 0 一维三原子晶格 3 3 3 1 2
T 3 CV=qNk( ) QD
QD 1. T

QD

0
T
x 4 e x dx (e x 1) 2
积分上限近似可取为∞、则有

0
x 4 e x dx 4 2 15 (e x 1) 2
12 4 T Cv＝ NK B ( ) 3 5 QD
对 KCl： 当 T＝2K 时 T＝5K 时
' v
3 2
1
2
i 0
0
3. 求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。 解： (1)设一维单原子链长 L＝Na，a 为原子间距，N 为原子数，在－ 能取 N 个值，dq 间距内的格波数为 f(q)dq=
q 区域内 q 只 a a
N 2 a
dq
Na L dq dq 2 2
Cv＝3.8X10-2
Cv 3 3.8 8 102 C＝ 3 2 ＝ ＝0.24 10 2 (J.mol-1.K-1) 5 125
Cv''
3 (Cv QD ) 3.8 10 2 (230) 3 ＝1.41X10-2(J.mol-1.K-1) 11 3 (QD ) (320) 3
即热容正比于 T。
7. NaCl 和 KCl 具有相同的晶体结构。其德拜温度分别为 320K 和 230K。KCl 在 5K 时的 定容热容量为 3.8×10-2J.mol-1.K-1，试计算 NaCl 在 5K 和 KCl 在 2K 时的定容热容量。 解： 设 NaCl 和 KCl 晶体所包含的初基元胞数相等，均为 N，T D ，可用德拜模型（德 拜温度分别为 NaCl＝320K，KCl＝230K）利用
解：已知
a a | | 2 2
2 A
1 2
m

1 2 1 ( 1 22 2 1 2 cos qa) 2 m 1 2 1 ( 1 22 2 1 2 cos a) 2 m
代入（1）式
(1)
2 0
1 2
m
d p 代入(3)式 dq
(5)
得；
g( )=
Na
p

D
L
p
1 g ( ) d 2
D
D
则零点能为： E 零＝

0

0
L 2 p L D
d =
2 L D 4 p
(6)
D
又因为

0
g ( )d

0
L
p
d
p
N
解：单式格子仅有声学格波，而对声学波波长λ 足够长，则很低对满足
1 的格波 k BT
把e
w
K BT
泰勒展开，只取到一次项 e
w
K BT
－1 （1＋
w w ）－1＝ ， k BT k BT
平均声子数 n＝（ e

KT
1) 1 ，所以 n k B T 而属于该格波的声子能量为 ， w
1 1 E n w K B T w K B T 2 2

所以，格波平均能量为
当 TD 时，可使用德拜模型，格波密度函数为教材（3－72）
g(w)=
3V
3 2 2
2
只有≤
k BT 的格波才能激发，已激发的格波数可表示为：
K BT

(2)
由题意
2＝101＝10
2 A
得
11 1 2 1 ( 100 20 2 cos qa) 2 m m 11 1 = (101 20 cos qa) 2 m m
=
11 (101 20 cos qa) m

1 2
当 q=0 时 当 q=
V g ( i )d i = (2 ) 3
i d i i

d q
在长波极限下等频率面为球面
则
g( i )d i =
V 4q 2 dq (2 ) 3
当 i 0 时 因为
q2＝
0－ i (q)
A
q
0 i (q)
A
dq=－
2 A 2 0 i (q) 2
6. 证明在极低温度下，一维单式晶格的热容正比于 T .
证：在极低温度下，可用德拜模型，q 点密度为 d 区间格波数为 g( )d＝2
L 2
＝ g
L L d L dq ＝ d dw 2 dq
所以格波密度函数 g( )＝
L

只有
K BT
k BT 的格波才能被激发，已激发的格波数为；
(因为 q 本身为实数) 即不存在 i 0 的格波, 则 g( i )=0
上式右边必满足 0 i
又因为 三维晶体中共要有 3（S－1）支光学格波 所以 光学波频率分布函数为： g ( ) g( )=0
3 S 3

i 1
V ( 0 i ) 4 2 A
1.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和 10， 两种原子质量相等， 且最近邻距离为 a/2， 求在 q=0,q=
处的 (q).并定性画出色散曲线。 a
m m 10 m m ____________________________________________________
|
得：
p
DL N
(7)
代入（6）式 得： E 零=
N N N d K B QD 4 4 4a
KT
4. 试用平均声子数 n＝（ e
1) 1 证明：温度为 T 时，对单式格子，波长足够长的格波
T 3 ) 。 D
平均能量为 KT； 当 T Θ D 时， 大约有多少模式被激发？并证明此时晶体比热正比于(