第一章矢量分析与场论
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乘
B = A· Bcos(A· B ) = AxBx + AyBy + Az Bz 点乘 A·
性质：1、若 A· B = 0 则 A⊥B 2、 A· A = A2
∧
设：A = Axex + Ay ey + Az ez ， B = Bxex + By ey + Bz ez
ex ey ez Bsin(A· B )en = Ax Ay Az A×B 叉乘 A×B = A· Bx By Bz en 性质：1、若 A×B = 0 则 A∥B 2、 A×A = 0
1.2 标量与矢量 物理量通常是时间和空间的函数 描述空间的数学语言是坐标 描述物理量的数学语言是标量和矢量
标量（A）：只有大小没有方向的物理量 算数量：＞0 代数量：≠0 不变量：A· B
矢量（A）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。
标量与矢量
复数
1.3 标量场与矢量场
物质
粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。 场：没有静止质量，两个场能同时占有同一空间位置。 标量场：其物理量为标量的场 矢量场：其物理量为矢量的场
源点：源所占有的空间位置称源点，用符号S′表示。 场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号P表示。
源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示： 源点：r′ = x′ex + y′ey + z′ez = ρ′eρ+z′ez = r′er 场点：r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er S′
∧
B A
1.6 矢量的初等运算
矢量初等运算规则(设：A 、B、C 都是矢量)
A+B = B+A ; A±(B±C) = (A±B ) ±C A· B =B· A ; A· (B+C) = A· B+A· C A×B = - B×A ; A× (B+C) = A×B+A×C (A·B) C ≠ A (B·C) ; A× (B×C) ≠ (A×B) ×C A× (B×C) = (A · C) B - (A· B) C A· (B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B) ‖ ‖ ‖ Ax Ay Az [ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz Cx Cy Cz 若 B=C 则 A· B=A· C及A×B = A ×C 成立 B 若 A· B=A· C及A×B = A ×C 则 B=C不一定成立
场：某一物理量在空间的分布称场
场
场 A（或A）
物理量
静态场: A（M） 均匀场: A（t）
动态场
均匀平面场: A（z,t)
一般时变场: A(M,t)
1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢 单位矢量 eA : 模(大小)为1,以矢量 A 的方向为方向的矢量。 A e 1 A eA = A/A A 坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单位矢量。
（若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量） A er 对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量： ez 直角： ex ey ez eθ 圆柱： eρ e ez ey ex 球面： er eθ e e 有了单位矢量,矢量A就可表现为如下形式： eρ A = A eA = Axex + Ay ey + Az ez = Aρ eρ + Aφeφ + Az ez= Ar er+Aφeφ+Aθeθ
第一章 矢量分析与场论
标量场和矢量场 矢量场的初等运算
矢量场的微、积分
梯度、散度、旋度 亥姆霍兹定理 场的图示法
1.1 常用坐标系（正交系）
形式 直角 坐标 x,y,z 取值范围 几何意义 -∞＜x＜∞ X=C；是一截距为C且与X轴⊥的平面 -∞＜y＜∞ Y=C；是一截距为C且与Y轴⊥的平面 -∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面 0≤ ＜∞ =C；是一Z轴为轴心半径为C的柱面 0≤ ＜2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面） -∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面 r=C；是一O点为中心C为半径的球面 =C；O为顶点Z为中心轴C为半顶角 的圆锥面 0≤ ≤2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面） z （ 0 0 z 0 ） 0≤r ＜∞ 0≤ ≤
距离矢量 R：由源点指向场点的矢量， 用符号 R 表示。 R = r - r′
P
R
r
○
r′
注意：矢径和矢量的区别
例：已知，A = xyex + z2 ey + y ez 求：A及r 在点P(1,2,2)的值，且图示。 解：① 求值 ∵r = x ex + y ey + z ez 由题意可知：x=1, y=2, z=2 将此代入A及r 得： A = 2ex + 4 ey + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez ② 图示 A r
○
P(1,2,2)
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
1.6 矢量的初等运算
矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除 且以各矢量同在某一点为前提
加 减 A±B = (Ax± Bx ) ex + (Ay ±By ) ey + ( Az ± Bz ) ez 标乘 μA = μAxex + μAy ey +μ Azez
圆柱
,,z
球面
r,,
z x
O
（ x 0 y0 z0 ）
·
·
z （ r 0 0 0 ） r
·
y
wenku.baidu.com
x
O
O
y
x
三种正交系的相互关系 z
r
·
y
） （
x
X=cos = rsin cos Y=sin = rsin sin Z=rcosθ r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2 = rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r) cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 = 1
常矢：大小和方向均不变的矢量。 矢量场的不变性 变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。
？
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
矢径(r)：由O点指向空间任一点M的矢量OM 用 r 表示称矢径。 r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er
矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式， 表示的是空间位置，没有物理含义。
B = A· Bcos(A· B ) = AxBx + AyBy + Az Bz 点乘 A·
性质：1、若 A· B = 0 则 A⊥B 2、 A· A = A2
∧
设：A = Axex + Ay ey + Az ez ， B = Bxex + By ey + Bz ez
ex ey ez Bsin(A· B )en = Ax Ay Az A×B 叉乘 A×B = A· Bx By Bz en 性质：1、若 A×B = 0 则 A∥B 2、 A×A = 0
1.2 标量与矢量 物理量通常是时间和空间的函数 描述空间的数学语言是坐标 描述物理量的数学语言是标量和矢量
标量（A）：只有大小没有方向的物理量 算数量：＞0 代数量：≠0 不变量：A· B
矢量（A）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。
标量与矢量
复数
1.3 标量场与矢量场
物质
粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。 场：没有静止质量，两个场能同时占有同一空间位置。 标量场：其物理量为标量的场 矢量场：其物理量为矢量的场
源点：源所占有的空间位置称源点，用符号S′表示。 场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号P表示。
源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示： 源点：r′ = x′ex + y′ey + z′ez = ρ′eρ+z′ez = r′er 场点：r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er S′
∧
B A
1.6 矢量的初等运算
矢量初等运算规则(设：A 、B、C 都是矢量)
A+B = B+A ; A±(B±C) = (A±B ) ±C A· B =B· A ; A· (B+C) = A· B+A· C A×B = - B×A ; A× (B+C) = A×B+A×C (A·B) C ≠ A (B·C) ; A× (B×C) ≠ (A×B) ×C A× (B×C) = (A · C) B - (A· B) C A· (B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B) ‖ ‖ ‖ Ax Ay Az [ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz Cx Cy Cz 若 B=C 则 A· B=A· C及A×B = A ×C 成立 B 若 A· B=A· C及A×B = A ×C 则 B=C不一定成立
场：某一物理量在空间的分布称场
场
场 A（或A）
物理量
静态场: A（M） 均匀场: A（t）
动态场
均匀平面场: A（z,t)
一般时变场: A(M,t)
1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢 单位矢量 eA : 模(大小)为1,以矢量 A 的方向为方向的矢量。 A e 1 A eA = A/A A 坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单位矢量。
（若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量） A er 对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量： ez 直角： ex ey ez eθ 圆柱： eρ e ez ey ex 球面： er eθ e e 有了单位矢量,矢量A就可表现为如下形式： eρ A = A eA = Axex + Ay ey + Az ez = Aρ eρ + Aφeφ + Az ez= Ar er+Aφeφ+Aθeθ
第一章 矢量分析与场论
标量场和矢量场 矢量场的初等运算
矢量场的微、积分
梯度、散度、旋度 亥姆霍兹定理 场的图示法
1.1 常用坐标系（正交系）
形式 直角 坐标 x,y,z 取值范围 几何意义 -∞＜x＜∞ X=C；是一截距为C且与X轴⊥的平面 -∞＜y＜∞ Y=C；是一截距为C且与Y轴⊥的平面 -∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面 0≤ ＜∞ =C；是一Z轴为轴心半径为C的柱面 0≤ ＜2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面） -∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面 r=C；是一O点为中心C为半径的球面 =C；O为顶点Z为中心轴C为半顶角 的圆锥面 0≤ ≤2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面） z （ 0 0 z 0 ） 0≤r ＜∞ 0≤ ≤
距离矢量 R：由源点指向场点的矢量， 用符号 R 表示。 R = r - r′
P
R
r
○
r′
注意：矢径和矢量的区别
例：已知，A = xyex + z2 ey + y ez 求：A及r 在点P(1,2,2)的值，且图示。 解：① 求值 ∵r = x ex + y ey + z ez 由题意可知：x=1, y=2, z=2 将此代入A及r 得： A = 2ex + 4 ey + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez ② 图示 A r
○
P(1,2,2)
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
1.6 矢量的初等运算
矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除 且以各矢量同在某一点为前提
加 减 A±B = (Ax± Bx ) ex + (Ay ±By ) ey + ( Az ± Bz ) ez 标乘 μA = μAxex + μAy ey +μ Azez
圆柱
,,z
球面
r,,
z x
O
（ x 0 y0 z0 ）
·
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z （ r 0 0 0 ） r
·
y
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x
O
O
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x
三种正交系的相互关系 z
r
·
y
） （
x
X=cos = rsin cos Y=sin = rsin sin Z=rcosθ r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2 = rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r) cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 = 1
常矢：大小和方向均不变的矢量。 矢量场的不变性 变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。
？
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
矢径(r)：由O点指向空间任一点M的矢量OM 用 r 表示称矢径。 r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er
矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式， 表示的是空间位置，没有物理含义。