第一章矢量分析与场论
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矢量分析和场论讲义
圆锥面 x2 y2 z2及平面z H (H 0) 所围成旳封闭
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
第一章矢量分析与场论-ppt课件
坐标元
1.8 微分元 恣意元 微分元是矢量微、积分的根底。
坐标元
坐标线元
坐标平面元dσ
坐标体元dv
dx 直 dy
dz dρ
dx= dx ex
dy= dz=
ey dy ez
dρ= dz eρ
dφ= dρ ej
dddσσσ=假yx ==设: xd=σc,z =
yd=σc,ρ = zdd=σσc,φz ==
A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C
A·(B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B)
‖
‖
‖ Ax Ay Az
[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz
Cx Cy Cz
假设 B=C 那么 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立 B C 假设 A·B = A ·C及A×B = A ×C 那么 B=C不一定成立
er(90°s,iφn+θ9c0o°sφ)·ez ez sinθ sinφ
cosθ
ex
= sin(θ+90°) cosφ
sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°)
ey
sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90°
ez sinθ cosφ
sinθ sinφ
因此：ex = 1/√2er-1/√2eφ ， ey = 1/√2er+1/√2eφ , ez = － eθ
∴ A = 3√2er －2 eθ +√2 eφ ②对于点(√2,√2,2) ： sinθ = sinφ= cosθ= cosφ=1/√2
第01章 矢量分析和场论基础
位置矢量
r e ze z ，如图1-10所示。
柱坐标与直角坐标之间的关系（见图1-10~11）。
x cos y sin z z
x2 y2 arctg y x zz
取值范围
0 0 2 z
A
(1-15)
显然矢量投影为： Al A el
Ax A e x , Ay A e y , Az A e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3. 矢量的矢积
矢量的矢积也称叉积，其定义为
A B A B sin n
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位 矢量，并遵循右手螺旋法则，见图1-3。 矢量的矢积不满足交换律；由图1-3可以看出，矢量 矢积交换满足如下关系 (1-18) A B B A
(1-47)
利用其逆变换也可得柱坐标分量的直角坐标表达式。
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
三、球坐标系 球坐标系中任一点P在球坐标系下的坐标为( r , , )， 其中 r 为位置矢量 r 的大小，如图1-15所示。
r re r 位置矢量 正交单位矢量为( er , e , e )，并服从右手法则。在 球坐标系下，er , e , e 都是空间坐标点的函数。
Z
Z
Y
Y
X
X
图1-4 温度场分布示意图
图1-5 电场分布示意图
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
1.4 常用正交曲线坐标系 一、直角坐标系 直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直 线称为X、Y和Z轴，三个单位矢量 ex、ey 和 ez相互 垂直，分别表示X、Y和Z轴的方向。 位置矢量 r xe x ye y ze z ，如图1-6所示。
r e ze z ，如图1-10所示。
柱坐标与直角坐标之间的关系（见图1-10~11）。
x cos y sin z z
x2 y2 arctg y x zz
取值范围
0 0 2 z
A
(1-15)
显然矢量投影为： Al A el
Ax A e x , Ay A e y , Az A e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3. 矢量的矢积
矢量的矢积也称叉积，其定义为
A B A B sin n
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位 矢量，并遵循右手螺旋法则，见图1-3。 矢量的矢积不满足交换律；由图1-3可以看出，矢量 矢积交换满足如下关系 (1-18) A B B A
(1-47)
利用其逆变换也可得柱坐标分量的直角坐标表达式。
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
三、球坐标系 球坐标系中任一点P在球坐标系下的坐标为( r , , )， 其中 r 为位置矢量 r 的大小，如图1-15所示。
r re r 位置矢量 正交单位矢量为( er , e , e )，并服从右手法则。在 球坐标系下，er , e , e 都是空间坐标点的函数。
Z
Z
Y
Y
X
X
图1-4 温度场分布示意图
图1-5 电场分布示意图
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
1.4 常用正交曲线坐标系 一、直角坐标系 直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直 线称为X、Y和Z轴，三个单位矢量 ex、ey 和 ez相互 垂直，分别表示X、Y和Z轴的方向。 位置矢量 r xe x ye y ze z ，如图1-6所示。
第1章 矢量分析与场论基础
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积） 两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之
用单位矢量 en 表示。
间夹角 的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
10
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A B
矢量的减法
A
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
6
（2）标量乘矢量
B sA ex sAx e y sAy ez sAz
第1章 矢量分析与场论基础
17
（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换
r柱 r球 sin r球 r柱 z 2
2
z r cos r柱 z
arctg
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
18
1.3场的基本概念和可视化 1场的概念 “场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间 的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。 例如，温度场、能量场、电位场是标量场；电场、磁场、流速场与 重力场都是矢量场。 定义了场量的空间点称为场点。
第1章矢量分析与场论01
dS r = rdϕ dzar
dSϕ = drdzaϕ
dS z = rdϕ draz
体元： dV = rdrdϕ dz
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ( R,θ , ϕ ) ，如图，做一微分体 元。 线元：
dl = dRaR + Rdθ aθ + R sinθ dϕaϕ
面元：
dS R = R 2 sin θ dθ dϕ aR
A
一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘 积，其结果是一标（数）量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A⋅ B = B ⋅ A
A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
ˆ ˆ a x ⋅ a y = 0, ˆ ˆ a x ⋅ a x = 1, ˆ ˆ a x ⋅ a z = 0, ˆ ˆ a y ⋅ a y = 1, ˆ ˆ ay ⋅ az = 0 ˆ ˆ az ⋅ az = 1
在直角坐标系下的矢量表示:
ˆ ˆ ˆ 三个方向的单位矢量用 a x , a y , a z
表示。 根据矢量加法运算：
o
Ax
z
Az
A
Ay
A = Ax + Ay + Az
其中：
y
x
ˆ ˆ ˆ Ax = Ax ax , Ay = Ay a y , Az = Az az
ˆ ˆ ˆ 所以： A = Ax ax + Ay a y + Az az
dSθ = R sin θ dRdϕ aθ
dSϕ = RdRdθ aϕ
工程电磁场-第1章-矢量分析和场论基础
04
电磁2
03
静电场
由静止电荷产生的电场， 其电场线不随时间变化。
恒定磁场
由恒定电流产生的磁场， 其磁场线是闭合的，且不 随时间变化。
时变电磁场
由变化的电流或变化的电 荷产生的电场和磁场，其 电场线和磁场线都随时间 变化。
电磁场的分类
按存在形式分类
有源场和无源场。有源场是指其散度非零的场，如静电场和恒定 磁场；无源场是指其散度为零的场，如时变电磁场。
根据场的来源，可以将场分为自然场 和人工场。
场量和场强
场量是描述场中物理量分布的量，如电场强度、磁场强度等 。
场强是描述场作用的强度和方向的物理量，如电场线、磁场 线等。
03
矢量场和标量场
矢量场的性质
02
01
03
矢量场由矢量线组成，具有方向和大小。
矢量场具有旋度或散度，分别表示场中的旋涡或电荷 分布。 矢量场的变化遵循斯托克斯定理和格林定理。
80%
斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量积分的重要 定理之一，它描述了矢量场中某 点处的散度与该点处单位球体体 积内的积分之间的关系。
矢量函数和场
矢量函数
矢量函数是描述空间中矢量场 变化的数学工具，其定义域和 值域都是矢量。
矢量场
矢量场是由空间中一系列点构 成的集合，每个点都有一个与 之相关的矢量。
梯度、散度和旋度
在磁场的边界上，磁场线切线方向的 分量连续，即磁场强度不突变。
05
电磁场的能量和动量
电磁场的能量
电磁场能量的定义
01
电磁场能量是指存在于电磁场中的能量，它与电场和磁场的变
化率有关。
电磁场能量的计算
02
通过计算电场和磁场的能量密度，可以得出整个电磁场的总能
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析与场论第一章矢理分析1.1 矢性函数1．矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t =2．矢性函数的极限和连续性（1）矢性函数极限的定义：()A t在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →=；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有()A t M <。
证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-<，0()1A t A ∴<+ ，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=?000l i m (()())l i m ()l i m()t tt tt tA tB t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?其中()u t ，()A t ，()B t当0t t →时极限均存在。
证明：设00lim ()t t A t A →= ，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-?+?- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-?+?-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ?>>?∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''?>?∈-<; 同理20,s tt U t δδ?>?∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112m i n ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ?∈，00()()u t A t u A -<10122M u M u εε+?=ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。
最新最全的矢量分析与场论讲义(必考)
矢量分析与场论第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：dt dt ''⎰⎰⋅-⋅=⋅A B B A B Adt dt ''⎰⎰⨯+⨯=⨯A B B A B A前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。
第一章矢量分析与场论
0.2 标量场和矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确 定的标量值或矢量. . 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等.
形象描绘场分布的工具---场线 -标量场---等值线(面). -. 其方程为
矢量场---矢量线 -其方程为
• 矢量函数的面积分与体积分的互换。 • 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
0.5 矢量场的环量与旋度
一、矢量场环量 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分
Γ=
∫ A ⋅ dl
L
环量
该环量表示绕线旋转趋势的大小。
图0.4.1 环量的计算
例：流速场
图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动 Γ=0，无涡旋运动
≠0 ∇ × F = ? =0
∇⋅F = ?
∇⋅F = ?
=0 ∇ × F = ? ≠0
0.7 三种特殊形式的场
1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都 相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。 2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同， 即 F=f(r,Φ)，则称这个场为轴对称场。 3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即
流体做涡旋运动 Γ≠0，有产生涡旋的源
二、矢量场的旋度 在直角坐标系中，设
A = Axe x + A ye y + Aze z ,
则环量可写成： 由斯托克斯公式：
Γ =
∫
L
A⋅L =
∫ (A
L
矢量分析
二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。
取等位面 u 1、定义：
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
（2）球面坐标系下矢量运算
v ˆ ˆ ˆ A = er Ar + eθ Aθ + eϕ Aϕ v ˆ ˆ ˆ B = er Br + eθ Bθ + eϕ Bϕ
v v ˆ ˆ ˆ A ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eϕ ( Aϕ ± Bϕ )
v v A• B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
e 单位矢量：ˆ ρ
ρ
,φ
ˆ , eφ
,z
ˆ , ez
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞
ˆ ˆ ˆ e z = e ρ × eφ ˆ ˆ ˆ e ρ = eφ × e z ˆ ˆ ˆ eφ = e z × e ρ
ˆ ˆ ˆ ↑ e ρ 、eφ 、e z
分别代表ρ、φ、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
ˆ 由于 θ、ϕ 不是常矢量，与 er
ˆ ∂er ˆ =eθ ∂θ ˆ ∂ eθ ˆ = −er ∂θ ˆ ∂ eϕ = 0 ∂θ
矢量分析与场论(包括旋度等在不同坐标上的公式)
第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。
无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。
物理量数值的无穷集合称为场。
如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。
场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。
如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。
一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。
实际上，所有实数都是标量。
一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。
例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。
在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。
空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。
从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。
第1章矢量分析与场论02
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
ψ = ∫ dS = ∫ A ⋅ ndS
S S
如果曲面是一个封闭曲面，则
ψ = ∫ A ⋅ dS
S
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
∂ϕ ∂l
M0
ϕ (M ) − ϕ (M 0 ) = lim M →M ρ
0
第一章 矢量分析
若函数 φ=φ(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cosα 、 cosβ 、cosγ 为l方向的方向余弦，则函数φ在点M0 处沿l方向 的方向导数必定存在，且为
∂ϕ ∂l
M0
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ cos α + cos β + cos γ = ∂z ∂x ∂x
第一章 矢量分析
例 1-10
球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求
∫∫ r ⋅ dS
S
解： 根据散度定理知
r ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ rdV ∫∫
S V
而r的散度为
所以
∂x ∂y ∂z ∇⋅r = + + =3 ∂x ∂y ∂z
4 3 3 ∫∫Sr ⋅ dS = ∫∫∫V∇ ⋅ rdV = ∫∫∫V3dV = 3 ⋅ 3 πR = 4πR
第一章 矢量分析
例 1-9 量
D=
原 点 处 点 电 荷 q 产 生 的 电 位 移 矢 ，试求电位移矢量D的散度。
解： D = q ⎛ x e + y e + z e ⎞ ⎜ 3 x 3 y 3 z⎟
电磁场第1章
第1章矢量分析及场论 【例1-2】用矢量证明三角形正弦定理。 证明 如图1-8所示，三角形三边分别用矢量A、B、C 表示，根据矢量运算有 因为B×B=0，则有
B=C-A B×C=B×A
B×(C-A)=0,
所以
BC sinα=BA sin(π-γ)
A C = sin α sin γ
第1章矢量分析及场论 同理，可以证明
第1章矢量分析及场论 2）矢量减法 借助于矢量加法运算，矢量减法可以写成
A-B=A+（-B）
（1-6）
-B为矢量B的负值，即-B的模与B相等，但方向相反。 令D=A-B，采用如图1-4所示的作图法，表示从矢量 A中减去矢量B。
第1章矢量分析及场论
图1-4矢量减法
第1章矢量分析及场论 3）矢量加法的代数表示 矢量加法可以用代数表示为
A B = sin α sin β
最后可得
A B C = = sin α sin β sin γ
第1章矢量分析及场论
图1-8矢量三角形
第1章矢量分析及场论 3．三个矢量的乘积 三个矢量的乘积 三个矢量的乘积分为两类：三重标量积和三重矢量积。 1）三重标量积 三重标量积可表示为
A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)
图1-2空间位置矢量和距离矢量
第1章矢量分析及场论 1.1.2矢量运算 矢量运算 1．矢量的加法和减法 矢量的加法和减法 矢量的加、减运算遵循四边形法则，即两个不在同一 直线上的矢量决定一个平面，它们的和是同一平面上的另 一矢量。 1）矢量加法 【例1-1】已知矢量A、B，求C=A+B。 解 可以使用作图法得到C=A+B。
dV=dx dy dz
第1章矢量分析及场论 1.2.2圆柱坐标系 圆柱坐标系 圆柱坐标系 如图1-12（a）所示，圆柱坐标系的三个变量是ρ、φ、z。 与直角坐标系相同，圆柱坐标系也有一个z变量。各变量的 变化范围：0≤ρ＜∞,0≤φ＜2π,-∞≤z＜∞。
[理学]第一章矢量分析与场论
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影之间的夹角。
z
P( R, , )
aR
(0 2 )
位置矢量
o x
R
a
a
y
R RaR
单位矢量 aR , a , a
z
aR的方向指向矢径延伸的 方向； a 的方向垂直于矢径，并
在矢径和z轴组成的平面内， 指向θ 增大的方向；
注意：先后轮换次序。
在矢量运算中,先算叉积,后算点积。 矢量三重积： A ( B C ) B( A C ) C ( A B) 教材的1.8节给出了一些常用的矢量恒等 式，以供参考。
3.两个算子
(1）哈米尔顿（Hamilton）算子 为了方便，我们引入一个矢性微分算子， 在曲线坐标系中有：
指向
P( R, , )
aR
a的方向垂直于上述平面， x
o
R
a
a
y
增大的方向。
三者都不是常矢量，但两两正交，遵循右 手螺旋法则。
坐标面
R x y z 常数
2 2 2
z
表示一个半径为R的球面。 θ =常数 表示一个以原点为顶点、 以z轴为轴线的圆锥面。
A (B C) A B A C
当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正 交。
③两个矢量的矢量积
ˆc a
A B | A | | B | sin ac
B
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个 矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线 方向，且三者符合右手螺旋法则。 两矢量叉积满足分配律，但不满足交换律和结合 律。
y
z
P( R, , )
aR
(0 2 )
位置矢量
o x
R
a
a
y
R RaR
单位矢量 aR , a , a
z
aR的方向指向矢径延伸的 方向； a 的方向垂直于矢径，并
在矢径和z轴组成的平面内， 指向θ 增大的方向；
注意：先后轮换次序。
在矢量运算中,先算叉积,后算点积。 矢量三重积： A ( B C ) B( A C ) C ( A B) 教材的1.8节给出了一些常用的矢量恒等 式，以供参考。
3.两个算子
(1）哈米尔顿（Hamilton）算子 为了方便，我们引入一个矢性微分算子， 在曲线坐标系中有：
指向
P( R, , )
aR
a的方向垂直于上述平面， x
o
R
a
a
y
增大的方向。
三者都不是常矢量，但两两正交，遵循右 手螺旋法则。
坐标面
R x y z 常数
2 2 2
z
表示一个半径为R的球面。 θ =常数 表示一个以原点为顶点、 以z轴为轴线的圆锥面。
A (B C) A B A C
当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正 交。
③两个矢量的矢量积
ˆc a
A B | A | | B | sin ac
B
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个 矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线 方向，且三者符合右手螺旋法则。 两矢量叉积满足分配律，但不满足交换律和结合 律。
y
电磁场与电磁波理论-矢量分析与场论
1-23
《电磁场与电磁波理论》
2.矢量加法和减法
♥ 直角坐标系中矢量加法和减法
第1章 矢量分析与场论
◘ 只有矢量和矢量之间才能进行相加减。
（1.1.24） （1.1.25）
1-24
《电磁场与电磁波理论》
3.矢量的标量积和矢量积
第1章 矢量分析与场论
矢量的标量积 矢量的矢量积 “右手法则”和“右手螺旋法则” 标量积和矢量积的特点 标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
1. 标量场的方向导数
第1章 矢量分析与场论
♥ 方向导数——空间某一点的标量场沿某一方向的变化率定 义为该标量场在该点沿该方向的方向导数，即
（1.2.1）
其中
1-38
《电磁场与电磁波理论》
1. 标量场的方向导数
♥ 根据求导法则，方向导数可以表示成
第1章 矢量分析与场论
◘ 方向余弦 ◘ 该方向上的单位矢量
矢量的大小 矢量的方向的单位矢量
（1.1.4）
1-13
《电磁场与电磁波理论》
♥ 矢量的方向余弦
2.矢量表示法
第1章 矢量分析与场论
——矢量与三个坐标轴之间的夹角。
♥ 矢量的方向的单位矢量
（1.1.5）
◘ 一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来 表示矢量的方向，只有需要时，才需要用到矢量与坐标轴 的夹角。
♥ 若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于 零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。
♥ 若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂 直；
♥ 若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。
1-31
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
第一章矢量分析与场论剖析
➢微分元
①线元
dl dRaR Rda Rsinda
②面元
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRda ③体积元
dv R2 sindRdd
2.矢量在不同坐标系之间的变换 圆柱坐标系 直角坐标系
➢微分元
①线元
dl drar rda dzaz
②面元
dSr rddzar dS drdza dSz rddraz
③体积元
dv rdrddz
（3）球坐标系
➢基本变量 R, ,
R是位置矢量
R
的大小；(0
R
)
z
θ是 R与z轴的夹角； (0 )
P(R,,) aR
φ是从+x轴到 R在xoy面上的投
①标量与矢量的乘积 B kA
②两个矢量的标量积
➢两矢量的点积定义为一个矢量在另一个矢量 方向上的投影与另一个矢量模的乘积，结果
是个标量。
A• B ABcos
➢两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
A B AxBx Ay By Az Bz
➢两矢量点积满足交换律和分配律。
A B B A
A(B C) A B AC
点的位置不同而变化，但三者始 终保持正交关系，并遵循右手螺 旋法则.
➢坐标面
r x2 y2 常数
表示一个以z轴作轴线的半径 为r的圆柱面。
arctan y 常数
x
表示一个以z轴为界的半平面. z=常数
表示一个平行于xoy平面的平面。
如同直角坐标系一样,圆柱坐标系也具有三 个相互垂直的坐标面.但是它们不再都是平 面.
h1
直角坐标系
1
圆柱坐标系
矢量分析与场论基础课件
A yˆ = Ay
A zˆ = Az
直角坐标分量的求法
A的 方 向 与xˆ、yˆ、zˆ的 夹 角 分 别 为、、
Az
A
Ax
A cos
Ay
A cos
o Ay
Ax
Az A cos
y
、、
称
为A的
方向角
cos、cos 、cos
称
为A的
方向余弦
x
直角坐标系中 A矢量的模值计算公式：
A =A=
• 矢量（vector） （又称向量）：
既有大小又有方向的量，如力、速度、动量。 电磁理论中的矢量：电场强度、磁场强度等。
二、矢量的表示方法： • 图示法：一定长短的有向箭头
矢量的方向
矢量的大小（称为模值、模）
• 写法上：手写带箭头上标的字母，如 A、 a
印刷黑体（仅印刷品中采用）
• 矢量的模值表示为：A 或 A
第一章 矢量分析与场论基础
主要内容：
1.1 矢量的基本运算 1.2 矢量函数 1.3 场论基础 1.4 常用正交曲线坐标系
1.1 矢量的基本运算
1.1.1 矢量的概念
一、标量和矢量：
• 标量（scalar）：
只有大小没有方向的量， 用数值表示，如温度、 质量、体积。电磁理论中的标量：电量、电位、 电阻等等
B
A
二、矢量与标量的乘法和除法
• 模值： pA = p A
• 方向：
p>0 p <0
A pA pA
例子： F=ma
• 规则：
设 p , q均为实数
pqA pqA
p
qA
pA
qA
p A B pA pB
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源点：源所占有的空间位置称源点，用符号S′表示。 场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号P表示。
源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示： 源点：r′ = x′ex + y′ey + z′ez = ρ′eρ+z′ez = r′er 场点：r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er S′
乘
B = A· Bcos(A· B ) = AxBx + AyBy + Az Bz 点乘 A·
性质：1、若 A· B = 0 则 A⊥B 2、 A· A = A2
∧
设：A = Axex + Ay ey + Az ez ， B = Bxex + By ey + Bz ez
ex ey ez Bsin(A· B )en = Ax Ay Az A×B 叉乘 A×B = A· Bx By Bz en 性质：1、若 A×B = 0 则 A∥B 2、 A×A = 0
∧
B A
1.6 矢量的初等运算
矢量初等运算规则(设：A 、B、C 都是矢量)
A+B = B+A ; A±(B±C) = (A±B ) ±C A· B =B· A ; A· (B+C) = A· B+A· C A×B = - B×A ; A× (B+C) = A×B+A×C (A·B) C ≠ A (B·C) ; A× (B×C) ≠ (A×B) ×C A× (B×C) = (A · C) B - (A· B) C A· (B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B) ‖ ‖ ‖ Ax Ay Az [ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz Cx Cy Cz 若 B=C 则 A· B=A· C及A×B = A ×C 成立 B 若 A· B=A· C及A×B = A ×C 则 B=C不一定成立
○
P(1,2,2)
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
1.6 矢量的初等运算
矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除 且以各矢量同在某一点为前提
加 减 A±B = (Ax± Bx ) ex + (Ay ±By ) ey + ( Az ± Bz ) ez 标乘 μA = μAxex + μAy ey +μ Azez
（若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量） A er 对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量： ez 直角： ex ey ez eθ 圆柱： eρ e ez ey ex 球面： er eθ e e 有了单位矢量,矢量A就可表现为如下形式： eρ A = A eA = Axex + Ay ey + Az ez = Aρ eρ + Aφeφ + Az ez= Ar er+Aφeφ+Aθeθ
1.2 标量与矢量 物理量通常是时间和空间的函数 描述空间的数学语言是坐标 描述物理量的数学语言是标量和矢量
标量（A）：只有大小没有方向的物理量 算数量：＞0 代数量：≠0 不变量：A· B
矢量（A）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。
标量与矢量
复数
1.3 标量场与矢量场
物质
粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。 场：没有静止质量，两个场能同时占有同一空间位置。 标量场：其物理量为标量的场 矢量场：其物理量为矢量的场
常矢：大小和方向均不变的矢量。 矢量场的不变性 变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。
？
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
矢径(r)：由O点指向空间任一点M的矢量OM 用 r 表示称矢径。 r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er
矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式， 表示的是空间位置，没有物理含义。
距离矢量 R：由源点指向场点的矢量， 用符号 R 表示。 R = r - r′
P
R
r
○
r′
注意：矢径和矢量的区别
例：已知，A = xyex + z2 ey + y ez 求：A及r 在点P(1,2,2)的值，且图示。 解：① 求值 ∵r = x ex + y ey + z ez 由题意可知：x=1, y=2, z=2 将此代入A及r 得： A = 2ex + 4 ey + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez ② 图示 A r
场：某一物理量在空间的分布称场
场
场 A（或A）
物理量
静态场: A（M） 均匀场: A（t）
动态场
均匀平面场: A（z,t)
一般时变场: A(M,t)
1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢 单位矢量 eA : 模(大小)为1,以矢量 A 的方向为方向的矢量。 A e 1 A eA = A/A A 坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单位矢量。
第一章 矢量分析与场论
标量场和矢量场 矢量场的初等运算
矢量场的微、积分
梯度、散度、旋度 亥姆霍兹定理 场的图示法
1.1 常用坐标系（正交系）
形式 直角 坐标 x,y,z 取值范围 几何意义 -∞＜x＜∞ X=C；是一截距为C且与X轴⊥的平面 -∞＜y＜∞ Y=C；是一截距为C且与Y轴⊥的平面 -∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面 0≤ ＜∞ =C；是一Z轴为轴心半径为C的柱面 0≤ ＜2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面） -∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面 r=C；是一O点为中心C为半径的球面 =C；O为顶点Z为中心轴C为半顶角 的圆锥面 0≤ ≤2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面） z （ 0 0 z 0 ） 0≤r ＜∞ 0≤ ≤
圆柱
,,z
球面
r,,
z x
O
（ x 0 y0 z0 ）
·
·
z （ r 0 0 0 ） r
·
y
x
O
O
y
x
三种正交系的相互关系 z
r
·
y
） （
x
X=cos = rsin cos Y=sin = rsin sin Z=rcosθ r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2 = rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r) cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 = 1
源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示： 源点：r′ = x′ex + y′ey + z′ez = ρ′eρ+z′ez = r′er 场点：r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er S′
乘
B = A· Bcos(A· B ) = AxBx + AyBy + Az Bz 点乘 A·
性质：1、若 A· B = 0 则 A⊥B 2、 A· A = A2
∧
设：A = Axex + Ay ey + Az ez ， B = Bxex + By ey + Bz ez
ex ey ez Bsin(A· B )en = Ax Ay Az A×B 叉乘 A×B = A· Bx By Bz en 性质：1、若 A×B = 0 则 A∥B 2、 A×A = 0
∧
B A
1.6 矢量的初等运算
矢量初等运算规则(设：A 、B、C 都是矢量)
A+B = B+A ; A±(B±C) = (A±B ) ±C A· B =B· A ; A· (B+C) = A· B+A· C A×B = - B×A ; A× (B+C) = A×B+A×C (A·B) C ≠ A (B·C) ; A× (B×C) ≠ (A×B) ×C A× (B×C) = (A · C) B - (A· B) C A· (B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B) ‖ ‖ ‖ Ax Ay Az [ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz Cx Cy Cz 若 B=C 则 A· B=A· C及A×B = A ×C 成立 B 若 A· B=A· C及A×B = A ×C 则 B=C不一定成立
○
P(1,2,2)
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
1.6 矢量的初等运算
矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除 且以各矢量同在某一点为前提
加 减 A±B = (Ax± Bx ) ex + (Ay ±By ) ey + ( Az ± Bz ) ez 标乘 μA = μAxex + μAy ey +μ Azez
（若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量） A er 对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量： ez 直角： ex ey ez eθ 圆柱： eρ e ez ey ex 球面： er eθ e e 有了单位矢量,矢量A就可表现为如下形式： eρ A = A eA = Axex + Ay ey + Az ez = Aρ eρ + Aφeφ + Az ez= Ar er+Aφeφ+Aθeθ
1.2 标量与矢量 物理量通常是时间和空间的函数 描述空间的数学语言是坐标 描述物理量的数学语言是标量和矢量
标量（A）：只有大小没有方向的物理量 算数量：＞0 代数量：≠0 不变量：A· B
矢量（A）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。
标量与矢量
复数
1.3 标量场与矢量场
物质
粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。 场：没有静止质量，两个场能同时占有同一空间位置。 标量场：其物理量为标量的场 矢量场：其物理量为矢量的场
常矢：大小和方向均不变的矢量。 矢量场的不变性 变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。
？
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
矢径(r)：由O点指向空间任一点M的矢量OM 用 r 表示称矢径。 r = x ex + y ey + z ez = ρ eρ + z ez = r er
矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式， 表示的是空间位置，没有物理含义。
距离矢量 R：由源点指向场点的矢量， 用符号 R 表示。 R = r - r′
P
R
r
○
r′
注意：矢径和矢量的区别
例：已知，A = xyex + z2 ey + y ez 求：A及r 在点P(1,2,2)的值，且图示。 解：① 求值 ∵r = x ex + y ey + z ez 由题意可知：x=1, y=2, z=2 将此代入A及r 得： A = 2ex + 4 ey + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez ② 图示 A r
场：某一物理量在空间的分布称场
场
场 A（或A）
物理量
静态场: A（M） 均匀场: A（t）
动态场
均匀平面场: A（z,t)
一般时变场: A(M,t)
1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢 单位矢量 eA : 模(大小)为1,以矢量 A 的方向为方向的矢量。 A e 1 A eA = A/A A 坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单位矢量。
第一章 矢量分析与场论
标量场和矢量场 矢量场的初等运算
矢量场的微、积分
梯度、散度、旋度 亥姆霍兹定理 场的图示法
1.1 常用坐标系（正交系）
形式 直角 坐标 x,y,z 取值范围 几何意义 -∞＜x＜∞ X=C；是一截距为C且与X轴⊥的平面 -∞＜y＜∞ Y=C；是一截距为C且与Y轴⊥的平面 -∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面 0≤ ＜∞ =C；是一Z轴为轴心半径为C的柱面 0≤ ＜2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面） -∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面 r=C；是一O点为中心C为半径的球面 =C；O为顶点Z为中心轴C为半顶角 的圆锥面 0≤ ≤2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面） z （ 0 0 z 0 ） 0≤r ＜∞ 0≤ ≤
圆柱
,,z
球面
r,,
z x
O
（ x 0 y0 z0 ）
·
·
z （ r 0 0 0 ） r
·
y
x
O
O
y
x
三种正交系的相互关系 z
r
·
y
） （
x
X=cos = rsin cos Y=sin = rsin sin Z=rcosθ r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2 = rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r) cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 = 1