数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第七章

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数学分析课本(华师大三版)-习题及答案16+17

46．讨论函数
1 ⎧ 2 2 ( x , y ) ≠ 0,0) ⎪( x + y ) sin 2 f ( x, y) = ⎨ x + y2 ⎪ 0 ( x , y ) = (0,0) ⎩
在 ( 0,0) 处的可微性与偏导数的连续性． 47．设函数 u = f ( x , y ) 满足拉普拉斯方程
12．求下列函数的全微分． (1) z = x y
2 3
(2) z =
xy x−y ⎛ x+ y⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 1 − xy ⎠
(3) z = arcsin 13．求 z = xy sin 14．求 z =
y x 1 x + y2
2
(4) z = arctan⎜ ⎜ 在点 (0,1) 的全微分．
y ，当 x = 2 ，y = 1，Δx = 01 . ，Δy = −0.2 时的全增量 Δz 与全 x du ； dt
2 2 2
(3) u = ln( x +
y 2 + z 2 ) 从点 A ( 1 , 0 , 1 ) 到点 B ( 3 , − 2 , 2 ) 的方向.
2 2
27. 求函数 z = x + y 在点 p ( 1 , 2 ) 处的最大方向导数. 28. 求下列函数的梯度 (1) z =
4 + x 2 + y 2 在点 ( 2 , 1 ) ;
(2) z = x y − xy ，其中 x = u cos v，y = u sin v ，求
3
∂ 2z 17．设 z = yf ( x − y ) ，求 2 ． ∂y
2 2
18．求由下列方程确定的函数 y ( x ) 的导数． (1) x + 2 xy − y = a (3) xy − ln y = a

最新华师大版七年级数学下册第七章各小结练习题(附答案)

第7章一次方程组 7.1 二元一次方程组和它的解1．下列哪个是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ＝1，x ＝y ＋1的解( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝32．二元一次方程x －2y ＝1有无数多个解，下列四组值中，不是该方程的解的是( )A ．⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－12B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1 C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－13．关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋y ＝n ，x －ny ＝2m 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，则m＋n 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．04．某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道得＋5分，每答错一道得－2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x 道题，答错了y 道题，则( )A ．x －y ＝20B ．x ＋y ＝20C ．5x －2y ＝60D ．5x ＋2y ＝605．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋11＝y ，6x ＋16＝yB ．⎩⎪⎨⎪⎧9x －11＝y ，6x －16＝yC ．⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋11＝y ，6x －16＝yD ．⎩⎪⎨⎪⎧9x －11＝y ，6x ＋16＝y6．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2是关于x ，y 的二元一次方程ax ＋y ＝3的解，则a＝__ __．7已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝2，bx ＋ay ＝－3的解，则a ＋b 的值是( )A ．－1B ．1C ．－5D ．58．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋2y ＝－3的解，则a ＋b 的值为__ __．9．写出二元一次方程4x ＋y ＝20的正整数解．10．(逻辑推理)为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1 200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元．在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有( )A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种参考答案【分层作业】1．B 2．B3．D 【解析】把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2代入，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，－2n ＝2m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2，则m ＋n ＝0.故选D ．4．C 【解析】答对得分为5x 分，答错得分为－2y 分，不答得分为0分，共得分60分，则5x －2y ＝60.5．D6．1 【解析】把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2代入二元一次方程ax ＋y ＝3中，得a＋2＝3，解得a ＝1.7．A 【解析】将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝2，bx ＋ay ＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＝2，3b －2a ＝－3.两式相加；得a ＋b ＝－1.故选A ．8．1 【解析】把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋2y ＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝6，①a ＋2b ＝－3.②，由①＋②，得3a ＋3b ＝3，即a ＋b ＝1.9．解：将原方程变形，得y ＝20－4x . 因为x ，y 均为正整数，所以x 只能取小于5的正整数．当x ＝1时，y ＝16；当x ＝2时，y ＝12；当x ＝3时，y ＝8；当x ＝4时，y ＝4.所以4x ＋y ＝20的正整数解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝16或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4. 10．B 【解析】设购买篮球x 个，排球y 个．依题意，得120x＋90y ＝1 200，化简得4x ＋3y ＝40.∵x ，y 均为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，∴共有3种购买方案．第7章一次方程组7.2 二元一次方程组的解法第1课时用代入法解二元一次方程组(1)1．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，①2x －y ＝5 ②时，化简比较容易的变形是( )A ．由①，得x ＝2－4y3 B ．由①，得y ＝2－3x4 C ．由②，得x ＝y ＋52 D ．由②，得y ＝2x －52．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋m ＝－4，y －3＝m 可得出x 与y 之间的关系是( )A ．x ＋y ＝1B ．x ＋y ＝－1C ．x ＋y ＝7D ．x ＋y ＝－73．已知|x －2y |＋(3x －4y －2)2＝0，则x ＝ __ __，y ＝__ __． 4．解方程组：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝6，y ＝x －2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x ＋y ＝10.5．已知x ，y 是有理数，则满足(x ＋2y －7)2＋|3x －y |＝0的x 的值为__ __，y 的值为__ __．6．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的方程y ＝kx ＋b 的两个解，则k ＝____，b ＝__ __．7．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为，则篮球的单价为__ __元，足球单价为__ __元．8．小张把两个大小不同的苹果放到天平上称量，当天平保持平衡时的砝码质量如图．问：这两个苹果的质量分别为多少克？9．(数学运算)对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：a b＝2a＋b.例如34＝2×3＋4＝10.(1)求2(－5)的值；(2)若x(－y)＝2，且2y x＝－1，求x＋y的值．参考答案【分层作业】1．D 2．B3．2 1 【解析】∵|x －2y |＋(3x －4y －2)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，①3x －4y ＝2.②由①，得x ＝2y ③把③代入②，得6y －4y ＝2，解得y ＝1 把y ＝1代入①，得x ＝2.4．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝6，①y ＝x －2.②把②代入①，得3x ＋x －2＝6. 解得x ＝2.把x ＝2代入②，得y ＝0.则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，①4x ＋y ＝10.② 由①，得y ＝1－x .③把③代入②，得4x ＋1－x ＝10，解得x ＝3.把x ＝3代入③，得y ＝－2.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．1 3 【解析】∵(x ＋2y －7)2＋|3x －y |＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.6．4 -57．⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝435，x －y ＝3 50 47 8．解：设大苹果的质量为x g ，小苹果的质量为y g.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋50，x ＋y ＝300＋50，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝150.答：大苹果的质量为200 g ，小苹果的质量为150 g. 9．解：(1)2(－5)＝2×2－5＝－1.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，4y ＋x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝79，y ＝－49，故x ＋y ＝13.第7章一次方程组 7.2 二元一次方程组的解法第2课时用代入法解二元一次方程组(2)1．解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋6y ＝3，6x －4y ＝5，得y ＝( )A ．－112B ．－217C ．－234D ．－11342．母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中的信息可知一枝鲜花的价格是__ __元．3．已知a ，b 互为相反数，并且3a －2b ＝5，则a 2＋b 2＝__ __． 4．解二元一次方程组：(1)⎩⎨⎧x ＋13＝2y ，①2（x ＋1）－y ＝11；②(2)⎩⎪⎨⎪⎧2（x －150）＝5（3y ＋50），10%·x ＋6%·y ＝8.5%×800.5．已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，bx －ay ＝5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，求4a －3b的值．6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意如下：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问大马和小马各有多少匹？7．(数学运算)对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法．如解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2（x ＋y ）＝3，①x ＋y ＝1.②解：把②代入①，得x ＋2×1＝3，解得x ＝1. 把x ＝1代入②，得y ＝0.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.请用同样的方法解方程组：⎩⎨⎧2x －y －2＝0，①2x －y ＋57＋2y ＝9.②参考答案【分层作业】1．D 2．15 3．24．解：(1)由①，得x ＋1＝6y .③把③整体代入②，得12y －y ＝11，解得y ＝1. 把y ＝1代入③，得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.(2)原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －15y ＝550，①5x ＋3y ＝3 400.②由②，得3y ＝3 400－5x .③把③代入①，得2x －5(3 400－5x )＝550，解得x ＝650.把x ＝650代入③，得y ＝50.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝650，y ＝50.5．解：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，bx －ay ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝7，b ＋2a ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝175，b ＝－95，则4a －3b ＝4×175＋3×95＝19. 6．解：设大马x 匹，小马y 匹．依题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝100，3x ＋y3＝100，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝75. 答：大马有25匹，小马有75匹． 7．解：由①，得2x －y ＝2.③ 把③代入②，得1＋2y ＝9，解得y ＝4.把y ＝4代入③，得x ＝3.则原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.第7章一次方程组 7.2 二元一次方程组的解法第3课时用加减法解二元一次方程组(1)1．用加减法解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝5，①3x ＋4y ＝－1.②下列四种解法中，正确的是( )A ．①＋②，得6x －2y ＋(－4y )＝5－1B ．②－①，得4y －2y ＝－1＋5，所以y ＝2C ．②－①，得4y ＋2y ＝－1－5，所以y ＝－1D ．②－①，得4y ＋2y ＝1－5，所以y ＝－232．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，3x －8y ＝14的解为 ( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－13．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，x －2y ＝5，则2x ＋6y 的值是( )A ．－2B ．2C ．－4D ．44．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝4，①3x ＋2y ＝1.②用加减消去x 的方法是__ __，用加减消去y 的方法是__ __．5．用消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝5，①4x －3y ＝2 ②时，两位同学的解法如下：解法一：由①－②，得3x ＝3.解法二：由②，得3x ＋(x －3y )＝2.③ 把①代入③，得3x ＋5＝2.(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“”；(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．6．解方程组：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9；(2) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝7，x －3y ＝1.7．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的一组解，则a ＋b ＝__ __．8．校田园科技社团计划购进A ，B 两种花卉，两次购买每种花卉的数量以及每次的总费用如下表所示：花卉数量/株总费用/元AB 第一次购买 10 25 225 第二次购买2015275(1)你从表格中获取了什么信息？(请用自己的语言描述，写出一条即可)(2)A，B两种花卉每株的价格各是多少元？9．(数学运算)对于有理数x，y，定义新运算：x⊗y＝ax＋by，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．例如，3⊗4＝3a ＋4b，则若3⊗4＝8，即可知3a＋4b＝8.已知1⊗2＝1，(－3)⊗3＝6，求2⊗(－5)的值．参考答案【分层作业】1．C2．D 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，①3x －8y ＝14.②②－①×3，得－5y ＝5，解得y ＝－1. 把y ＝－1代入①，得x ＋1＝3，解得x ＝2.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.3．C 【解析】两式相减，得x ＋3y ＝－2，则2(x ＋3y )＝－4，即2x ＋6y ＝－4.故选C ． 4．②×2－①×3 ①×2＋②×3 5．解：(1)解法一中的解题过程有错误．由①－②，得3x ＝3“×”，应为由①－②，得－3x ＝3.(2)由①－②，得－3x ＝3，解得x ＝－1. 把x ＝－1代入①，得－1－3y ＝5，解得y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.6．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，①x ＋3y ＝9.②②－①，得4y ＝8，解得y ＝2.把y ＝2代入①，得x －2＝1，解得x ＝3.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝7，①x －3y ＝1.② ①＋②，得2x ＝8，解得x ＝4.将x ＝4代入②，得4－3y ＝1，解得y ＝1.故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.7．5 【解析】根据二元一次方程组的定义，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以a ＋b ＝5.8．解：(1)略．答案不唯一，信息合理即可． (2)设A ，B 两种花卉每株的价格分别是x 元、y 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋25y ＝225，20x ＋15y ＝275，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝5.答：A ，B 两种花卉每株的价格分别是10元、5元．9．解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝1，①－3a ＋3b ＝6.②①×3＋②，得9b ＝9，即b ＝1. 将b ＝1代入①，得a ＝－1. 故2⊗(－5)＝2a －5b ＝－2－5＝－7.第7章一次方程组 7.2 二元一次方程组的解法第4课时用加减法解二元一次方程组(2)1．用加减法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝7，x ＋2y ＝5时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是( )①⎩⎪⎨⎪⎧6x －2y ＝7，x ＋2y ＝5 ②⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝7，3x ＋6y ＝15 ③⎩⎪⎨⎪⎧6x －2y ＝14，x ＋2y ＝5 ④⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝7，3x ＋6y ＝5A ．①②B ．②③C ．①③D ．④2．已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x ＋4y ＝9，则x 2－2xy ＋y 2x 2－y 2的值是( )A ．－5B ．5C ．－6D ．63．已知x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2018，x ＋2y ＝2019，则x －y 的值为__ __．4．用加减法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝19，3x －5y ＝－1； (2)⎩⎨⎧3x －5y ＝24，x 2＋y 3＝1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝4，x －y ＝－3； (4)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，3x －y ＝11.5．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4－3m ，x －3y ＝3m －5(m 为常数)，则x －y ＝__ __．6．用适当的方法解方程组：(1)⎩⎨⎧3x －12－x －y3＝1，x －y 4＋x ＋2y3＝1；(2)⎩⎨⎧0.4x ＋0.3y ＝2.4，x －33－y ＋65＝0.7．《九章算术》中有记载：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？大意是：今有甲、乙两人持钱不知有多少．若甲得到乙所有钱的12，则有50钱；若乙得到甲所有钱的23，则也有50钱，问甲、乙各持钱多少？8．(数学运算)已知关于x，y的二元一次方程(a－1)x＋(a＋2)y＋5－2a＝0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．参考答案【分层作业】1．B2．C 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，①2x ＋4y ＝9.②②－①×2，得2y ＝7，解得y＝72.把y ＝72代入①，得72＋x ＝1，解得x ＝－52.故x 2－2xy ＋y 2x 2－y 2＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －y x ＋y＝－52－72－52＋72＝－6.故选C ．3．-1 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2018，①x ＋2y ＝2019.②由①－②，得x －y ＝－1.4．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝267，y ＝－187.(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. 5．－12 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4－3m ，①x －3y ＝3m －5.②①－②，得4y ＝9－6m ，解得y ＝9－6m4. 把y ＝9－6m 4代入①，解得x ＝7－6m 4. 故原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝7－6m 4，y ＝9－6m 4，则x －y ＝7－6m 4－9－6m 4＝－12.6．解：(1)由原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋2y ＝9，①7x ＋5y ＝12.②②－①，得3y ＝3，即y ＝1. 把y ＝1代入①，得x ＝1.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.(2)由原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝24，①5x －3y ＝33.②由①＋②，得9x ＝57，即x ＝193.把x ＝193代入①，得4×193＋3y ＝24，即y ＝－49. 所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝193，y ＝－49.7．解：设甲、乙的持钱数分别为x 钱、y 钱．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝50，y ＋23x ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝37.5，y ＝25.答：甲、乙的持钱数分别为37.5钱和25钱． 8．解：将方程化为(x ＋y －2)a ＝x －2y －5. 由于x ，y 的值与a 的取值无关，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.第7章一次方程组7.2 二元一次方程组的解法第5课时二元一次方程组的应用1．现有A ，B 两种商品，买3件A 商品和2件B 商品用了160元，买2件A 商品和3件B 商品用了190元．如果准备购买A ，B 两种商品共10件，下列方案中费用最低的为( )A ．A 商品7件和B 商品3件 B ．A 商品6件和B 商品4件C ．A 商品5件和B 商品5件D ．A 商品4件和B 商品6件2． 5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为．3．甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如下表所示．但其中有一人把总价算错了，则此人是()甲乙丙丁红豆棒冰/支369 4奶油棒冰/支42117总价/元18205129A．甲B．乙C．丙D．丁4．在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观．以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．5．(数学建模) (1)问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？(2)反思归纳：现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是____．(填写序号)．①bc＋d＝a；②ac＋d＝b；③ac－d＝b.参考答案【分层作业】1．A 【解析】设A 种商品每件x 元，B 种商品每件y 元．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝160，2x ＋3y ＝190，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝50.∵A 商品的单价较低，∴选项中A 商品7件和B 商品3件的方案费用最低．故选A ．2．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝200，（1－15%）x ＋（1－10%）y ＝1743．B4．解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x 人，女生人数为y 人．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，x ＝1.5y ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝20.答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．5．(2)② 解：(1)设竹签有x 根，山楂有y 个．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4＝y ，8（x －7）＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝104.答：竹签有20根，山楂有104个．(2)∵每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，∴ac ＋d ＝b .故答案为②第7章一次方程组*7.3 三元一次方程组及其解法第1课时三元一次方程组的解法1．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解．那么在解三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋z ＝9，x ＋2y ＋z ＝8，x ＋y ＋2z ＝7时，下列没能实现这一转化的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，y －z ＝1B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，3x ＋y ＝11C ．⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝2，3x ＋z ＝10D ．⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝1，3y ＋z ＝72．三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ＝6z ，①x ＋2y ＋z ＝16②的解是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝5B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5，z ＝6C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，z ＝2D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，z ＝23．已知实数a ，b ，c 满足2a ＋13b ＋3c ＝90，3a ＋9b ＋c ＝72，则3b ＋ca ＋2b＝__ __． 4．解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝12，①x ＋2y ＋5z ＝22，②x ＝4y .③5．解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3z ＝0，3x ＋2y ＋5z ＝12，2x －4y －z ＝－7.6．(直观想象)利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是( C )图1 图2A ．73 cmB ．74 cmC ．75 cmD ．76 cm参考答案【分层作业】1．A 【解析】因为解三元一次方程组的步骤是先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，所以没能实现这一转化的是A 选项，转化后仍旧是三个未知数．2．D3．1【解析】⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋13b ＋3c ＝90，①3a ＋9b ＋c ＝72.②，②×3－①，得9a ＋27b ＋3c －2a －13b －3c ＝216－90，即a ＋2b ＝18.①×3－②×2，得6a ＋39b ＋9c －6a －18b －2c ＝270－144，即3b ＋c ＝18.故3b ＋c a ＋2b ＝1818＝1.4．解：把③代入①，得5y ＋z ＝12.④ 把③代入②，得6y ＋5z ＝22.⑤ ④×5－⑤，得19y ＝38，解得y ＝2.把y ＝2代入④，得z ＝2.把y ＝2，z ＝2代入①，得x ＋2＋2＝12，解得x ＝8.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，z ＝2.5．解：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3z ＝0，①3x ＋2y ＋5z ＝12，②2x －4y －z ＝－7.③①＋②，得4x ＋8z ＝12.④ ②×2＋③，得8x ＋9z ＝17.⑤ ④×2－⑤，得7z ＝7，解得z ＝1.将z ＝1代入④，得x ＝1. 将x ＝1，z ＝1代入①，得y ＝2. 故原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝1.6．C 【解析】设长方体木块的长和宽分别为x cm ，y cm ，桌子的高度是h cm.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋h －y ＝80，①y ＋h －x ＝70.②①＋②，得2h ＝150，解得h ＝75.即桌子的高度是75 cm.第7章一次方程组*7.3 三元一次方程组及其解法第2课时三元一次方程组的应用1．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1－3k ，①x ＋2y ＝2②的解满足x ＋y ＝0，则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．不能确定2．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)；接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a ，b ，c 对应密文a ＋2b ，2b ＋c ，3c .例如：明文1，2，3对应的密文5，7，9.当接收方收到密文14，9，15时，则解密得到的明文为() A．10，5，2 B．10，2，5C．2，5，10 D．5，10，23．在代数式at2＋bt＋c中，当t＝1，2，3时，代数式的值分别是0，3，28.求当t＝－1时，这个代数式的值．4．对于有理数x、y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1*2＝9，(－3)*3＝6，0*1＝2，求(－2)*5的值．5．有一个三位数，它的十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字的和，个位上的数字与十位上的数字之和等于8，百位上的数字与个位上的数字对调后所得的三位数比原来的三位数大99.求原来的三位数．6．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)车型甲乙丙汽车运载量(吨/辆)5810汽车运费(元/辆)400500600(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？(2)为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？(3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．7．(数学运算)大约1 500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是：今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？参考答案【分层作业】1．B2．B 【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝14，2b ＋c ＝9，3c ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝2，c ＝5.故选B ．3．解：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝－30，c ＝19，所以原式＝11t 2－30t ＋19.当t ＝－1时，原式＝11×(－1)2－30×(－1)＋19＝60. 4．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c ＝9，－3a ＋3b ＋c ＝6，b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5，c ＝－3，则此新运算为x *y ＝2x ＋5y －3，故(－2)*5＝2×(－2)＋5×5－3＝18.5．解：设原来的三位数的百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数为100a ＋10b ＋c ，则将百位上的数字与个位上的数字对调后的三位数为100c ＋10b ＋a .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ＋c ，b ＋c ＝8，（100c ＋10b ＋a ）－（100a ＋10b ＋c ）＝99，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5，c ＝3，所以原来的三位数为253.6．解：(1)设需甲车型a 辆，乙车型b 辆．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋8b ＝120，400a ＋500b ＝8 200，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝10，答：需甲车型8辆，乙车型10辆．(2)设需甲车型x 辆，乙车型y 辆，丙车型z 辆．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝16，5x ＋8y ＋10z ＝120.消去z ，得5x ＋2y ＝40，即x ＝8－25y .由x ，y 是非负整数，且不大于16，得y ＝0，5，10，15. 由z 是非负整数，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝0z ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5z ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝10z ＝2.，故有三种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； ③甲车型8辆，乙车型0辆，丙车型8辆． (3)三种方案的运费分别是：①400×6＋500×5＋600×5＝7 900(元)； ②400×4＋500×10＋600×2＝7 800(元)． ③400×8＋600×8＝8 000(元)．答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7 800元．7．解：设公鸡有x 只，母鸡有y 只，小鸡有z 只．根据题意，得⎩⎨⎧5x ＋3y ＋13z ＝100，x ＋y ＋z ＝100.整理，得7x ＋4y ＝100，即x ＝100－4y 7＝4（25－y ）7. ∵x ≥0，y ≥0，且都是自然数，∴25－y7≥0， ∴y ≤25，25－y 是7的倍数，∴25－y ＝0，7，14，21，∴y ＝25，18，11，4 ∴共有4种情况：①公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只； ②公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只； ③公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； ④公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只．第7章一次方程组7.4 实践与探索1．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x 人，物品价格为y 钱，可列方程组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧8x －3＝y 7x ＋4＝yB ．⎩⎪⎨⎪⎧y －8x ＝3y －7x ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧8x －y ＝37x －y ＝4D ．⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋3＝y 7x －4＝y2．用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问：两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？3．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7 公里以内(含7公里)不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．(1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；(2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算两人各自的实际乘车时间．4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图．根据图中的数据(单位：m)解答下列问题：(1)用含x，y的代数式表示地面总面积；(2)已知客厅面积比卫生间面积多21 m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1 m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？5．(数学运算)下表为某主题公园的几种门票价格，李三同学用1 600元作为购买门票的资金.(1)李三若用全部资金购买“指定日普通票”和“夜票”共10张，则“指定日普通票”和“夜票”各买多少张？(2)李三若想用全部资金购买“指定日普通票”“平日普通票”和“夜票”共10张(每种至少一张)，请你帮他设计应如何购买？参考答案【分层作业】1．A2．解：设做第一种x 个，第二种y 个．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝2 000，x ＋2y ＝1 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝400.答：第一种做200个，第二种做400个．3．解：(1)设小王的实际行车时间为x 分钟，小张的实际行车时间为y 分钟．由题意，得1.8×6＋0.3x ＝1.8×8.5＋0.3y ＋0.8×(8.5－7)， ∴x －y ＝19，∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．(2)由(1)及题意，得⎩⎨⎧x －y ＝19，1.5y ＝12x ＋8.5.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝19，①3y －x ＝17.②①＋②，得2y ＝36， ∴y ＝18. ③将③代入①，得x ＝37.∴小王的实际乘车时间为37分钟，小张的实际乘车时间为18分钟．4．解：(1)地面总面积为(6x ＋2y ＋18)m 2.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧6x －2y ＝21，6x ＋2y ＋18＝15×2y ，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝32.地面总面积为 6×4＋2×32＋18＝45(m 2)．铺地砖的总费用为 45×80＝3 600(元)．答：铺地砖的总费用为3 600元．5．解：(1)设购买“指定日普通票”x 张，“夜票”y 张．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，200x ＋100y ＝1 600.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.答：购买“指定日普通票”6张，“夜票”4张．(2)设李三购买“指定日普通票”a 张，“平日普通票”b 张，则购买“夜票”(10－a －b )张．依题意，得200a ＋160b ＋100(10－a －b )＝1 600，∴b ＝30－5a3.∵a ，b ，(10－a －b )均为正整数，且每种至少一张， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5，10－a －b ＝2.答：李三购买“指定日普通票”3张，“平日普通票”5张，“夜票”2张．。

数学分析课本(华师大三版)

数学分析课本(华师大三版)篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题x1．若f?(e)?1?x，则f(x)?___________2．设f(x)的一个原函数为xe，则?xf?(x)dx?_____________ 3．若e?xx是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?________________4．若f(x)?1，则f(x)?____________ 5．?max(x,x)dx?___________________6．若f(x)有原函数xlnx，则?xf??(x)dx?_______________ 7．?ln(sinx)sin2?3??2xdx?________________8．若?dx(1?2cosx)2?Asinx1?2cosx?B?dx1?2cosx，则A?__________，B?__________ 9．设?xf(x)dx?arcsinx?C，则? dxx(4?x)lnx?1x2dxf(x)?_________10．??_________________11．?dx?_________________12．?13．?14．??a?sin(lnx)?cos(lnx)nx?________________?f(x)?xf?(x)?dxdx1?ex?________________?_____________15．?16．?xex2(1?x)dx?_____________________4sinx?3cosxsinx?2cosxdx?______________217．已知f?(2?cosx)?sinx?tan 2x，则f(x)?_______________ 18．?f?(x)1??f(x)?2dx?______________19. 若?f(x)dx?F(x)?C,而u??(x),则?f(u)du?___________. 20设函数f(x)的二阶导数f??(x)连续,那么?xf??(x)dx?__________. 21设f(x)的原函数是sinxx,则?xf?(x)dx?__________.11222已知曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x??1时,y?则f(x)?__________;f(x)的极小值是__________.1?x2是极大值,23已知一个函数的导数为f(x)?,并且当x?1时,这个函数值等于32?,则这个函数为F(x)?__________. 24 设f?(sin2x)?cosx(x?1),则f(x)?__________.225 若f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),则?f(x)dx?__________.26 若(?f(x)dx)??lnx,则f(x)?__________. 27 已知e28?x2是f(x)的一个原函数,则?f(tanx)secxdx?__________.22?f()dx?__________. 2xx1?x29 设f(x)dx??C,则f(x)?__________.1?x?1?30 在积分曲线族?二、选择填空题 1．设I?1xxdx中,过(1,1)点的积分曲线是y?__________.?xe?1e?1xx，则I?()(1?e)?C (1?e)?x?C ?2ln(1?e)?C (e?1)?C2．设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数xxx3．设I1??1?xdx,I2??du，则存在函数u?u(x)，使()x(1?xex)u(1?u)?I2?x ?I2?x ??I1 ?I1 4．当n??1时，?xn lnxdx?() nn?1n(lnx?1n)?C B.xn?1(lnx?1n?1)?Cn?1?1xn?1xn(lnx?1n?1)?CD.n?1lnx?C 7．?(cosx2 ?sinx2)dx?() (sinx?cos x)?C (cos xx222?sin 2)?C?cosxxx22?C?sin2?C8．?x?sinx1?cosxdx?()??2cotx??C9．若f(x)的导函数是e?x?cosx，则f(x)的一个原函数为()?x?cosxB.?e?x?sinxC.?e?x??x?sinx10．若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

第六章微分中值定理与其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数,则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________. 2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ,则=a ______,=b ______. 3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________. 4．设2442-+=xx y ,则曲线在拐点处的切线方程为___________. 5．=-+→x ex xx 10)1(lim ___________. 6．设)4)(1()(2--=x x x x f ,则0)(='x f 有_________个根,它们分别位于________区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______,极大值是_______.12．设x xe x f =)(,则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________.13．已知bx ax x x f ++=23)(,在1=x 处取得极小值2-,则=a _______,=b _____.14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点,则=k ________.15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ,n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值,则=∞→n n M lim ___________.16．设)(x f 在0x 可导,则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 与2=x 取得极值,则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______,最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小.26．曲线)1ln(x e x y +=的渐近线为__________.二.选择填空1．曲线2)5(35+-=x y 的特点是< >.A.有极值点5=x ,但无拐点B.有拐点)2,5(,但无极值点C.5=x 是极值点,)2,5(是拐点D.既无极值点,又无拐点2．奇函数)(x f 在闭区间[]1,1-上可导,且M x f ≤)(',则< >. A.M x f ≥)( B.M x f >)( C.M x f ≤)( D.M x f <)(3．已知方程)0(122>=+y y y x 确定y 为x 的函数,则< >.A.)(x y 有极小值,但无极大值B.)(x y 有极大值,但无极小值C.)(x y 即有极大值又有极小值D.无极值4．若)(x f 在区间),[+∞a 上二阶可导,且0)(>=A x f ,,0)('<a f 0)(<''x f )(a x >,则方程0)(=x f 在()+∞,a 内< >A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根 5．已知)(x f 在0=x 处某邻域内连续,2cos 1)(lim0=-→xx f x ,则在0=x 处)(x f < >.A.不可导B.可导且2)0('=fC.取得极大值D.取得极小值6．设函数)(x f 在区间[)+∞,1内二阶可导,且满足条件0)1()1(='=f f ,1>x 时0)(<''x f ,则xx f x g )()(=在[)+∞,1内< > A ．必存在一点ε,使0)(=εfB ．必存在一点ε,使0)(='εfC ．单调减少 D. 单调增加7．设)(x f 有二阶连续导数,且0)0(='f ,1)(lim 0=''→xx f x ,则< > A ．)0(f 是)(x f 的极大值 B.)0(f 是)(x f 的极小值C ．())0(,0f 是曲线)(x f y=的拐点 D ．)0(f 不是)(x f 的极值,())0(,0f 也不是曲线)(x f y =的拐点8．若)(x f 和)(x g 在0x x =处都取得极小值,则函数)()()(x g x f x F +=在0x x =处< >A ．必取得极小值 B.必取得极大值C.不可能取得极值D.是否取得极值不确定9．设)(x y y =由方程03223=+-by y ax x 确定,且1)1(=y ,1=x 是驻点,则< >A.3==b aB.25,23==b aC.21,23==b a D.3,2-=-=b a 10．曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为< >A.0B.1C.2D.311．)(),(x g x f 是大于0的可导函数,且0)(')()()('<-x g x f x g x f ,则当b x a <<时有< >A ．)()()()(x g b f b g x f > B.)()()()(x g a f a g x f >C.)()()()(b g b f x g x f >D.)()()()(a g a f x g x f >12．曲线()()211arctan 212+-++=x x x x e y x 的渐近线有< > A ．1条 B.2条 C.3条 D.4条13．q x x x f ++=2)(3的O 点的个数为< >A ．1 B.2 C.3 D.个数与q 有关14．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==111t b t x 则曲线< > A ．只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线C ．无渐近线 D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15．设)(x f y =为0sin =-'+''x ey y 的解,且0)(0='x f ,则)(x f 有< > A ．0x 的某个邻域内单调增加B ．0x 的某个邻域内单调减少C ．0x 处取得极小值D ．0x 处取得极大值16. 罗尔定理中的三个条件;)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且)()(b f a f =是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf 成立的< >.)(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要17. 下列函数在],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是< >.)(A );ln(ln x )(B x ln ; )(C xln 1; )(D )2ln(x -; 18. 若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且21,x x 是),(b a 内任意两点,则至少存在一点ξ使得下式成立< >.)(A )()()()(2112ξf x x x f x f '-=-),(b a ∈ξ;19. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数,x x x ∆+,是),(b a 内的任意两点,则< > .)(B 在x x x ∆+,之间恰有一个ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ)(C 在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ)(D 对于x 与x x ∆+之间的任一点ξ,均有x f y ∆'=∆)(ξ20.若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且对),(b a 内任意两点21,x x 恒有21212)()()(x x x f x f -≤-,则必有< >.)(C x x f =)()(D c x f =)( <常数>21. 已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则方程)(x f '0=有< >.)(A 分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内的三个根;)(B 四个根,它们分别为4,3,2,14321====x x x x ;)(C 四个根,分别位于);4,3(),3,2(),2,1(),1,0()(D 分别位于区间)4,1(),3,1(),2,1(内的三个根;22. 若)(x f 为可导函数,ξ为开区间),(b a 内一定点,而且有0)()(,0)(≥'->x f x f ξξ,则在闭区间],[b a 上必总有< >.23. 若032<-b a ,则方程0)(23=+++=c bx ax x x f < >. )(A 无实根 )(B 有唯一实根 )(C 有三个实根 )(D 有重实根24. 若)(x f 在区间],[+∞a 上二次可微,且,0)(,0)(<'>=a f A a f 0)(≤''a f <a x >>,则方程0)(=x f 在],[+∞a 上< >.)(A 没有实根 )(B 有重实根 )(C 有无穷多实根 )(D 有且仅有一个实根25. 设)()(lim 0x g x f x x →为未定型,则)()(lim 0x g x f x x ''→存在是)()(lim 0x g x f x x →也存在的< >. )(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件26. 指出曲线23x x y -=的渐近线< >. )(A 没有水平渐近线,也没有斜渐近线;)(B 3=x 为垂直渐近线,无水平渐近线;)(C 既有垂直渐近线,又有水平渐近线;)(D 只有水平渐近线.27 曲线)2)(1(1arctan 212+-++=x x x x e y x 的渐近线有< >. )(A 1条 ; )(B 2条 ; )(C 3条 ; )(D 4条 ;28．函数x x a x f 2cos 21cos )(-=在3π=x 取得极值,则=a 〔〕. )(A 0 ； )(B 21 ； )(C 1 ； )(D2 . 29．下列曲线集邮水平渐近线,又有垂直渐近线的是〔〕.)(A xx x x f +=32sin )( ； )(B 13)(2-+=x x x f ； )(C )3ln()(xe xf -= ； )(D 2)(x xe x f -=. 30． x x x -→111lim =〔〕.)(A 1 ； )(B 1-e ； )(C e ； )(D ∞ .三、计算题1. 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ使得f ′<ξ>=0：〔1〕f<x>=⎪⎩⎪⎨⎧=≤<0;x 0,,π1x ,0x 1xsin〔2〕f<x>=|x|, —|≤x ≤|.2. 求下列不定式极根: <1>x sin 1e lim x 0-→x ; <2> x cos 2sinx -1lim 6x x →; <3> 1-cosx x -x)1n(1lim 0+→x ; <4> sinx-x x -tgx lim 0→x ; <5> 5sec 6-tgx lim 2+→x x x ; <6> )11x 1(lim 0--→x x e ; <7> sinx 0)tgx (lim +→x ; <8> x -111lim x x →; <9> x 12)1(lim x x ++∞→; <10> x x x ln sin lim 0+→; <11> )sin 1x 1(lim 220xx -→; <12> 210)x tgx (lim x x →.3.求下列不定式极限: <1>2sin 1)1cos(ln lim 1x x x π--→; <2>x 2arctgx)ln (πlim x -+∞→; <3> x x x sin 0lim +→ <4> x tg x x tgx 24)(lim → <5> xx x x x 1)1ln(lim 2)1(0-++→ <6> )1(lim 0xctgx x -→; <7> x e x xx -+→10)1(lim ; <8> x x ln 1)arctgx 2(lim -+∞→π.4. 求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式:<1> f<x>=x 3+4x 2+5,在x=1处; <2> f<x>=,11x+在x=0处; <3> f<x>=cosx 的马克林公式.5. 求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式：〔1〕f<x>=arctgx 到含x 5的项；〔2〕f<x>=tgx 到含x 5的项.6.求下列极限: <1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-∞→→)11ln(lim )2(;)1(sin lim 230x x x x x x x e x x x ; <3>ctgx)x1(x 1lim 0x -→. 7. 估计下列近似公式的绝对误差: <1>21||,6sin 3≤-≈x x x x 当; <2>,82112x x x -+≈+当x ∈[0,1]. 8. 计算: <1>数e 准确到10-9;<2>lg11准确到10-5.1. 确定下列函数的单调区间:<1> f<x>=3x-x 3; <2> f<x>=2x 2-lnx; <3> f<x>=22x x -; <4> f<x>=x x 12-. 9. 求下列函数的极值.<1> f<x>=2x 3-x 4; <2> f<x>=212x x +; <3>f<x>=x nx)(|2; <4> f<x>=arctgx-21ln<1+x 2>. 10. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:<1> y=x 5-5x 4+5x 3+1,[-1,2];<2> y=2tgx-tg 2x, [0,2π]; <3> y=x lnx, <0,+∞>.11. 把长为1的线段截为两段, 问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大?12. 一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器的高的比例应该怎样?13. 设用某仪器进行测量时,读得n 次实验数据为a 1,a 2,…, a n .问以怎样的数值x 表达所要测量的真值,才能使它与这n 个数之差的平方和为最小？14. 求下列函数的极值:<1> f<x>=|x<x 2-1>|; <2> f<x>=1)1(242+-+x x x x ;<3> f<x>=<x-1>2<x+1>3. 15. 设f<x>=alnx+bx 2+x 在x 1=1,x 2=2处都取得极值;试定出a 与b 的值;并问这时f 在x 1与x 2是取得极大值还是极小值?16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小.17. 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为BC=a 千米的B 城<见图7-1>.轮船运费的单价是α元/千米.火车运费的单价是β元/千米<β>α>,试求运河边上的一点M,修建铁路MB,使总运费最省.18. 确定下列函数的凸性区间与拐点:<1> y=2x 3-3x 2-36x+25; <2> y=x+x 1; <3> y=x 2+x1; <4> y=ln<x 2+1>; 19. 问a 和b 为何值时,点<1,3>为曲线y=ax 3+bx 3的拐点?四、证明题1. 证明：〔1〕方程x 3—3x+c=0〔这里C 为常数〕在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；〔2〕方程x n +px+q=0<n 为自然数,p,q 为实数>当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根.2. 证明：〔1〕若函数f 在[a,b]上可导,且f '<x>≥m,则f≥f<a>+m<b-a>;<2>若函数f 在[a,b]上可导,且|f '<x>|≤M,则|f-f<a>|≤M<b-a>；〔3〕对任意实数x 1,x 2,都有|sinx 1-sinx 2|≤|x 1-x 2|.3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：〔1〕aa b a b n b a b -<<-1,其中0<a<b; 〔2〕21h h +<arctgh<h,其中h>0. 4. 设函数f 在[a,b]上可导.证明：存在ξ∈〔a,b 〕,使得2ξ[f-f<a>]=f '<ξ>.5. 设函数在点a 具有连续的二阶导数.证明：)('')(2)()(20lim a f ha f h a f h a f h --++→. 6. 试讨论函数f<x>=x 2,g<x>=x 3在闭区间[-1,1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论,为什么？7. 设0<α<β<2π,试证明存在θ∈<a,b>,使得 ctg aa =--cos cos sin sin ββθ. 8. 设h>0,函数f 在[a-h,a+h]上可导.证明：〔1〕)(f')(f'hh)f(a h)f(a h a h a θθ--+=--+,θ∈〔0,1〕；〔2〕)('f )('f h h)f(a f(a)h)f(a h a h a θθ--+=-+-+,θ∈〔0,1〕. 9. 以S<x>记由〔a,f<a>〕,<b,f>,<x,f<x>>三点组成的三角形面积,试对S<x>应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.10. 若函数f, g 和h 在[a,b]上连续,在〔a,b 〕内可导,证明存在实数ξ∈<a,b>,使得)(h' )(g' )(f'h(b) g(b) f(b)h(a)g(a) f(a)ξξ ξ=0.再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理.11. 设f 为[a,b]上二阶可导函数,且f<a>=f=0,并存在一点c ∈〔a,b 〕使得f<c>>0.证明至少存在一点ξ∈<a,b>,使得f ''<ξ><0.12. 证明达布定理：若f 在[a,b]上可导,且f '<a>≠f ',k 为介于f '<a>与f '之间的任一实数,则至少存在一点ξ∈<a,b>,使得f '<ξ>=k.13. 设函数f 在〔a,b 〕内可导,且f ＇单调.证明f ＇在〔a,b 〕内连续.14. 证明：设f 为n 阶可导函数,若方程f 〔x 〕=0有n+1个相异实根,则方程f <n><x>=0至少有一个实根.15. 设p<x>为多项式,α为p<x>=0的r 重实根.证明：α必定是p ＇<x>=0的r-1重实根.16. 证明：〔1〕设f 在〔a,+∞〕上可导,若f(x)lim +∞→x 和(x)f'lim +∞→x 都存在,则(x)f'lim +∞→x =0;<2>设f 在<a,+∞>上n 阶可导.若f(x)lim +∞→x 和(x)f lim k+∞→x 都存在,则 (x)f lim k +∞→x =0,<k=1,2,…,n>.17. 设函数f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数,试应用罗比塔法则证明:18. 对函数f 在区间[0,x]上应用拉格朗日中值定理有f<x>-f<0>=f ＇<θx>x,θ∈<0,1>. 试证对下列函数都有21lim 0=→θx ; <1> f<x>=ln<1+x>; <2> f<x>=e x .19. 设f<0>=0,f ＇在原点的某邻域内连续,且f ＇<0>=0.证明:1lim f(x)0=+→x x .20. 证明定理6.5中0g(x)lim 0,f(x)lim x x ==+∞→+∞→情形时的罗比塔法则:若 0)(lim ,0fx lim ==+∞→+∞→x x x <ii> 存在M 0>0,使得f 与g 在<M0,+∞>内可导,且g ＇<x>≠0; <iii> A (x )g'(x )f'lim (x )g'(x )f'lim x x ==+∞→+∞→<A 为实数,也可为±∞或∞>,则 21. 证明:2x 3e x f(x)-=为有界函数.22. 应用函数的单调性证明下列不等式. <1> tgx>x-)3π(0,x ,3x 3∈; <2> )2π(0,x x,sinx π2x ∈<<; <3> 0x ,x )2(1x x x )n(1|2πx 22>+-<+<- 23. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0, x ,x 1sin x f(x )24. <1> 证明:x=0是函数f 的极小值点;<2>说明在f 的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.24. 证明:设f<x>在<a,b>内可导,f<x>在x=b 连续,则当f '<x>≥0<a<x时,对一切x ∈<a,b>有f<x>≤f,当f '<x>≤0<a<x时,对一切x ∈<a,b>有f<x>≥f.25. 证明:若函数f 在点x 0处有f '+<x 0><0<>0>,f '_<x 0>>0<<0>,则x 0为f 的极大<小>值点.26. 证明：若函数f,g 在区间[a,b]上可导,且f '<x>>g '<x>, f<a>=g<a>,则在(]b a ,内有f<x>>g<x>.27. 证明:,sinx x x tgx >⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π0,x . 28. 证明:<1> 若f 为凸函数,λ为非负实数,则λf 为凸函数;<2> 若f 、g 均为凸函数,则f+g 为凸函数；<3>若f 为区间I 上凸函数,g 为J ⊃f上凸的递增函数,则gof 为I 上凸函数.29. 设f 为区间I 上严格凸函数.证明:若X 0∈I 为f 的极小值点,同x 0为f 在I 上唯一的极小值点.30. 应用凸函数概念证明如下不等式:<1>对任意实数a,b,有)e (e 21e b a 2ba +≤+; <2>对任何非负实数a,b, 有 2arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a ≥arctga+arctgb. 31. 证明:若f.g 均为区间I 上凸函数,则F<x>=max{f<x>,g<x>}也是I 上凸函数.32. 证明:<1>f 为区间I 上凸函数的充要条件是对I 上任意三点x 1<x 2<x 3,恒有)f(xx 1)f(xx 1)f(xx 1Δ332211=≥0. <2>f 为严格凸函数的充要条件是对任意x 1<x 2<x 3,△>0.33. 应用詹禁不等式证明:<1> 设a i >0<i=1,2,…n>,有n a a a a a a a 1a 1a 1nn 21n n 21n21+++≤≤+++ . <2>设a i ,b i >0<I=1,2,…,n>,有81)b (p 1)a (b a m 1i q i n1i p n 1i i i ∑∑∑===≤, 其中P>0,q>0,q1p 1+=1. 五、考研复习题1. 证明:若f<x>在有限开区间<a,b>内可导,且f(x)lim a x +→f(x)lim b x -→=,则至少存在一点ξ∈a,b>,使f '<ξ>=0.2. 证明:若x>0,则<1>)(211x x x x θ+=-+,其中21)(41≤≤x θ; <2>21)(lim ,41)(lim 0==+∞→→x x x x θθ. 3. 设函数f 在[a,b]上连续,在<a,b>内可导,且ab>0.证明存在ξ∈<a,b>,使得)(f )(f f(b)f(a)b a b a 1ξξξ'-=-. 4. 设f 在[a,b]上三阶可导,证明存在ξ∈<a,b>,使得)(f a)(b 121(b)]f (a)f a)[(b 21f(a)f(b)3ξ'''--'+'-+=. 5. 对f<x>=ln<1+x>应用拉格朗日中值定理,证明:对x>0有11)1ln(10<-+<xx . 6. 证明:若函数f 在区间[a,b]上恒有f ''<x>>0,则对<a,b>内任意两点x 1,x 2,都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2x x f 2)f(x )f(x 2121, 其中等号仅在x 1=x 2时才成立.7. 证明:第6题中对<a,b>内任意n 个点x 1,x 2…,x n 也成立⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥∑∑--n x f )f(x n 1n 1k k n1k k , 其中等号也仅在x 1=x 2=…=x n 时才成立.8. 应用第7题的结果证明：对任意n 个正数x 1,x 2,…,x n 恒成立n n 21x x x nxn x2x1⋯≥+⋯++, 即算术平均值不小于几何平均值.9. 设a 1,a 2,…,a n 为n 个正实数,且证明：〔i 〕n n 21x a a a (x)limf =∞→〔ii 〕{}x n 21x a a ,a max f(x)lim =∞→ 10. 求下列极限：〔1〕x)ln(1121x )x (1lim -→--；〔2〕2x 0x x x )ln(1x e lim +-→；〔3〕sinx 1sinx lim 20x x →.11. 证明:若函数f 在点a 二阶可导,且f ''<a>≠0,则对拉格朗日公式f<a+h>-f<a>=f '<a+θh>h,0<θ<1 中的θ有21θlim 0h =→ 12. 设h>0,函数f 在U<a,h>内具有n+2阶连续导数,且f <n+2><a>≠0,f 在U<a,h>内的泰勒公式为f<a+h>=f<a>+f '<a>h+…++n (n)h n!(a)f 1)1()!1()(++++n n h n h a f θ,0<θ<1. 证明:2n 1θlim 0h +=→. 13. 设函数f 在[a,b]上二阶可导,0(b)f (a)f ='='.证明存在一点ξ∈<a,b>,使得14. 设a,b>0,证明方程x 3+ax+b=0不存在正根.15.设k>0,试问k 为何值时,方程arctgx-kx=0存在正根.16. 证明:对任一多项式p<x>来说,一定存在点x 1与x 2,使p<x>在<x 1,+∞>与<-∞,x 2>上分别为严格单调.17. 证明:当x ∈[0,1]时有不等式121-p ≤X p +<1+x>p ≤1<其中实数p>1>.18. 讨论函数 f<x>=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0,x 0,0,x ,x 1sin x 2x 2 <1>在x=0点是否可导?<2>在x=0的任何邻域内函数是否单调?19. 设函数f 在[0,a]上具有二阶导数,且|f ''<x>|≤M,f 在<0,a>内取得最大值.证明:|f '<0>|+|f '<a>|≤Ma.20. 设f 在[)+∞,0上可微,且0≤f '<x>≤f<x>,f<0>=0.证明:在[)+∞,0上f<x>≡0.21. 设f<x>满足f ''<x>+f '<x>g<x>-f<x>=0,其中g<x>为任一函数.证明:若f<x 0>=f<x 1>=0<x 0<x 1>,则f 在[x 0,x 1]上恒等于0.22. 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何x 1,x 2∈I,函数ϕ<λ>=f<λx 1+<1-λ>x 2>为[0,1]上的凸函数.。

数值分析第三版课本习题及答案

第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)0()(0,1,,);nkkj jj x l x x k n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='=ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.27.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A fh --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x fx -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4.用辛普森公式求积分1xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7.用复化梯形公式求积分()b af x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nnnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

华东师大数学分析答案完整版

华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。

2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。

3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。

4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。

6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。

7. 变限积分的导数是原函数的导数。

8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。

9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。

10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。

二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。

A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。

A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。

A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。

A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。

解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。

2. 求不定积分∫(e^x) dx。

解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案07

第七章实数的完备性习题§1 关于实数集完备性的基本定理 1．证数集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n11有且只有两个聚点11-=ξ和12=ξ. 2．证明：任何有限数集都没有聚点. 3．设(){}n n b a ,是一个严格开区间套，满足1221b b b a a a n n <<<<<<< ，且()0lim =-∞→n n n a b .证明：存在唯一的一点ξ，使得,2,1,=<<n b a n n ξ4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立. 5．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛+= ,2,11,21n n n H .问：（1）H 能否覆盖()1,0？（2）能否从H 中选出有限个开区间覆盖()()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1001,21,0ii i ？ 6．证明：闭区间[]b a ,的全体聚点的集合是[]b a ,本身.7．设{}n x 为单调数列.证明：若{}n x 存在聚点，则必是唯一的，且为{}n x 的确界. 8．试用有限覆盖定理证明聚点定理.9．试用聚点定理证明柯西收敛准则. §2 闭区间上连续函数性质的证明1．设f 为R 上连续的周期函数.证明：f 为R 上有最大值与最小值.2．设I 为有限区间.证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界.举例说明此结论当I 为无限区间时不一定成立. 3．证明：()xxx f sin =在()+∞,0上一致连续. 4．试用有限覆盖定理证明根的存在定理.5．证明：在()b a ,上的连续函数f 为一致连续的冲要条件是()()0,0-+b f a f 都存在. §3 上极限和下极限1．求以下数列的上、下极限：（1）(){}n11-+；（2）()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-121n n n；（3）{}12+n ；（4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+4sin 12πn n n ；（5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n n πsin 12；（6）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 3cos π.2．设{}{}n n b a ,为有界数列，证明：（1）()n n n n a a --=∞→∞→lim lim ；（2）()n n n n n n n b a b a +≤+∞→∞→∞→lim lim lim(3)设() ,2,10,0=>>n b a n n ，则b n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a ∞→∞→∞→∞→∞→∞→≥≤lim lim lim ,lim lim lim ；（4）若0lim ,0>>∞→n n n a a ，则nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim.3．证明：若{}n a 为递增数列，则n n n n a a ∞→∞→=lim lim .4．证明：若() ,2,10=>n a n 且11limlim =∙∞→∞→nn n n a a ，则数列{}n a 收敛.5．证明定理7.86．证明定理7.9 总练习题1．证明：{}n x 为有界数列的充要条件是{}n x 的任一子列都存在其收敛子列.2．设f 在()b a ,内连续，且()()0lim lim ==-+→→x f x f bx ax .证明：f 在()b a ,内有最大值或最小值.3．设f 在[]b a ,上连续，又{}[]b a x n ,⊂，使得()A x f n n =∞→lim .证明：存在[]b a x ,0∈，使得()A x f =0.4．设f 和g 都在区间I 上一致连续.（1）若I 为有限区间，证明：g f ∙在I 上一致连续；（2）若I 为无限区间，举例说明g f ∙在I 上不一定一致连续.5．设f 定义在()b a ,上.证明：若对()b a ,内任一收敛数列{}n x ，极限()n n x f ∞→lim 都存在，则f 在()b a ,上一致连续.6．函数f 在[)+∞,a 上连续，且有斜渐近线，即有数c b ,，使得()[]0lim =--∞→c bx x f x证明：f 在[)+∞,a 上一致连续.习题答案§1 关于实数集完备性的基本定理 5．（1）能；（2）(i)不能，(ii)能. §3 上极限和下极限 1．（1）2，0；（2）21，21-；（3）+∞∞+,；（4）2，-2；（5）ππ,；（6）1，1. 典型习题解答1．（§1 第7题）设{}n x 为单调数列.证明：若{}n x 存在聚点，则必是唯一的，且为{}n x 的确界.证明：设{}n x 为递增数列，设ξ为{}n x 的聚点.下证{}n x sup =ξ1）ξ是{}n x 的上界.若不然，{}n N x x ∈∃，使N x <ξ，取ξε-=N x 0，由{}n x 的递增性，()0,εξ 内只含有{}n x 中的有限项121,,,-N x x x .这与ξ是{}n x 的聚点矛盾.从而ξ是{}n x 的上界.2）ξ<∀a ，取20a-=ξε，则(){}n N x x ⋂∈∃0,εξ ，使得N x a <.所以{}n x sup =ξ.由确界的唯一性，聚点是唯一的. 2．（§1 第8题）试用有限覆盖定理证明聚点定理.证明：设S 是实轴上的一个有界无限点集，则0>∃M ，使得[]M M S ,-⊂.假设[]M M ,-中的任意点都不是S 的聚点，则[]0,,>∃-∈∀x M M x δ，使得()x x δ; 中只有S 中的有限多个点.令()[]{}M M x x H x ,;-∈=δ ，它是闭区间[]M M ,-的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在[]M M ,-的一个有限开覆盖1H ，从而1H 覆盖S .所以S 是有限集，矛盾.3．（§2 第4题）试用有限覆盖定理证明根的存在定理.证明：假设[]b a x ,∈∀，有()0≠x f .由连续函数的保号性，存在()x x δ; 使得()x f 在()[]b a x x ,;⋂δ 上同号.记()[]{}a a x x H x ,;∈=δ ，显然它覆盖[]b a ,，从而存在[]b a ,的有限子覆盖：(){},2,1;1==i x H i x i δ.因为()x f 在()[]b a x i x i ,;⋂δ 上同号() ,2,1=i ，且1H 又覆盖[]b a ,，故()x f 在[]b a ,上同号.但()()0∃>∀δε只要δ<-///x x ，就有()()ε<-///x f x f （1）取21δδ=，则()()b a a a x x ,,,1///⋂+∈∀δ，有（1）式成立.由柯西准则，()0+a f 存在.同理()0-b f 也存在.（充分性）令()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-∈=+=b x b f b a x x f a x a f x F ,0,,,0，则()x F 在[]b a ,上连续.从而()x F 在[]b a ,上一致连续，所以f 在()b a ,上一致连续.5．（总练习题第5题）设f 定义在()b a ,上.证明：若对()b a ,内任一收敛数列{}n x ，极限()n n x f ∞→lim 都存在，则f 在()b a ,上一致连续.证明：假设f 在()b a ,上不一致连续，则00>∃ε，对0>δ，总存在()b a x x ,,///∈，尽管δ<-///x x ，但有()()0///ε≥-x f x f .令n1=δ，与它相应的两点记为()b a x x n n ,,///∈，尽管δ<-///n nx x ，但有()()0///ε≥-n n x f x f （1）当n 取遍所有正整数时，得数列{}{}()b a x x n n ,,///⊂，由致密性定理，存在{}/n x 的收敛子列{}/k n x ，设0/lim x x k n k =∞→.又()∞→→-+-≤-⇒<-k x x x x x x n x x kk k k kk n n n n kn n 010////0///// 即0//lim x x k n k =∞→由（1）式有()()0///ε≥-k k n n x f x f ，令∞→k ，得()()0///lim lim 0ε≥-=∞→∞→k kn k n k x f x f 这与00>ε相矛盾.所以f 在()b a ,上一致连续.6．（总练习题第6题）函数f 在[)+∞,a 上连续，且有斜渐近线，即有数c b ,，使得()[]0lim =--∞→c bx x f x证明：f 在[)+∞,a 上一致连续.证明：令()()c bx x f x F --=，则F 在[)+∞,a 上连续.又因为()0lim =∞→x F x ，所以F 在[)+∞,a 上一致连续.又()c bx x G +=在[)+∞,a 上一致连续，因此f 在[)+∞,a 上一致连续.。

数学分析三习题答案

数学分析三习题答案数学分析三习题答案数学分析是数学的一门重要分支，它研究的是函数、极限、连续等概念和性质。

在学习数学分析的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固和加深对知识的理解。

下面是一些数学分析三的习题答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 求极限lim (x→0) (sinx/x)解：这是一个常见的极限问题。

我们可以利用泰勒展开公式来求解。

根据泰勒展开公式，sinx的泰勒展开式为x-x^3/3!+x^5/5!-...，当x趋近于0时，我们只需要保留到x^3这一项，即sinx≈x。

所以，lim (x→0) (sinx/x) = lim (x→0) 1 = 1。

2. 求函数的导数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x解：要求函数f(x)的导数，我们可以使用导数的定义。

根据导数的定义，f'(x) = lim (h→0) (f(x+h) - f(x))/h。

将函数f(x)带入导数的定义中，得到f'(x) = lim (h→0) ((x+h)^3 - 3(x+h)^2 + 2(x+h) - (x^3 - 3x^2 + 2x))/h。

化简后可得f'(x) = lim(h→0) (3x^2 - 6xh + 3h^2 + 2h)/h。

继续化简，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 3。

3. 求不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解：要求不定积分，我们可以使用不定积分的基本公式。

根据不定积分的基本公式，∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。

将函数x^2 + 2x + 1带入不定积分的基本公式中，得到∫(x^2 + 2x + 1) dx = (x^3)/3 + x^2 + x + C。

4. 求定积分∫[0, 1] (x^2 + 2x + 1) dx解：要求定积分，我们可以使用定积分的基本公式。

根据定积分的基本公式，∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案01

第一章实数集与函数习题§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数。

证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明|22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗？7、设x>0，b>0，a ≠b 。

证明xb x a ++介于1与ba 之间。

8、设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。

§2数集、确界原理 1、用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6；（3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。

2、设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案Part-I

a1 = b1 = 1 > 0, an + bn 2 = (an −1 + bn −1 2) 2 . Find the limit lim
n →∞
an . b pn . n →∞ q n
28. Assume p1 > 0, q1 > 0, pn +1 = pn + 3qn , qn +1 = pn + qn . Find the limit lim 29. Assume x1 = a, x2 = b, xn +1 =
41. Prove that (1) (2)
f ( x) = 3 x is uniformly continuous on [0, +∞) ; g ( x) = e x cos 1 is not uniformly continuous on [0,1] . x
42. Suppose that f
is defined on [ a, +∞) . And | f ( x ) − f ( y ) |≤ k | x − y | (k > 0) holds
an =a; n →∞ n
an 1 1 ∈ [a − , a + ] (n = 1, 2L) . n n n
f ∈ C (−∞, +∞) and that | f ( x) − f ( y ) |≤ k | x − y | (0 < k < 1) holds for any
x, y ∈ (−∞, +∞) . Prove that f has the unique fixed point on (−∞, +∞) .
34. Let f ∈ C[ a, b] . And for arbitrary x ∈ [ a, b] , there exists y ∈ [ a, b] such that

(完整版)华东师大数学分析标准答案

第四章函数的连续性第一节连续性概念1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）；（2）。

x x f 1)(=x x f =)( 证：（1）的定义域为，当时，有xx f 1)(= ),0()0,(+∞-∞=D D x x ∈0,由三角不等式可得：，0011x x x x x x -=-00x x x x --≥ 故当时，有00x x x <-002011x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数，取则，当且时，ε,01020>+=x x εεδ0x <δD x ∈δ<-0x x 有ε<-=-0011)()(x x x f x f 可见在连续，由的任意性知：在其定义域内连续。

)(x f 0x 0x )(x f (2) 的定义域为对任何的，由于x x f =)(),,(+∞-∞),(0+∞-∞∈x，从而对任给正数，取，当时，00x x x x -≤-εεδ=δ<-0x x 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故在连续，由的任意性知，在连续。

)(x f 0x 0x )(x f ),(+∞-∞2．指出函数的间断点及类型：（1）；（2）；（3）；=)(x f xx 1+=)(x f x x sin =)(x f ]cos [x （4）；（5）；=)(x f x sgn =)(x f )sgn(cos x （6）；（7）=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11sin )1(17,7,71解：（1）在间断，由于不存在，故是的第二类间断点。

)(x f 0=x 1(lim xx x +∞→0=x )(x f（2）在间断，由于，)(x f 0=x 1sin lim )(lim 0==++→→xxx f x x故是的跳跃间断点。

华东师大数学分析答案完整版

历年考研真题评析!
%题!&!!北京大学#$##3年$设,!$$在(%#;’上无界#求证)16#(%#;’#使得对 ,#&##,!$$在!#(##= &#$2 (%#;’上无界 !
分析!本题采用闭区间套定理证明!
证明!取%#;中点%$&;#则(%#%$&;’#(%$&;#;’中至少有一个区间使 ,!$$无界 !如果两个都是可任取一个 $#记为 (%! #;!’!
,!($$%8!($$&9 !($$% (8!$$&9 !$$
而
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由之可得 ! ! !8!$$%,!$$($,!($$#9 !$$%,!$$&$,!($$
这里 8!$$#9!$$分别是奇函数和偶函数!
+ , %例"&!求数集 ’% !&!&$&!(!$& &#0& 的上"下确界!
向的基础 !数学归纳法是证明某些不等式的重要工具 !
二 !数集 " 确界原理
!" 邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概念的基本工具! 在无限区间记号!()#%’#!() #%$#(%#& )$#!%#& )$#!( ) #& )$中出现的 ( ) 与 & )仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把&)#( )#) 当作数来运算!

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

P.182 习题1．验证下列等式（1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明（1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时, y的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？解由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。

因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222 C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22 ⑻C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2 ⑼ C x x dx x x dx xx x x dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀C x dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(P.188 习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x x dx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1ππππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇C x dx xxxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot (21)⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245 C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解令t x =61, 则6t x =, 56t dx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵C x x x dx x x x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷ C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222 ⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3 ⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-，同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n mP.199 习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得1=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dx x x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材P.186 例9或P.193关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dx cos 35解令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材P.185例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总练习题求下列不定积分： ⑴C x x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷⎰⎰⎰⎰===xx x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sin C x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸C x e C e u e du u e u x dx e x u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，C xC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿⎰+dx x )1arctan(解令u x =+1，du u dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I。

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

P.182 习题1．验证下列等式（1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明（1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时,y 的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？解由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。

因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷ ⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22⑻ C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2⑼ C x x dx x x dx xx xx dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀ Cx dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁ C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂ C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(P.188 习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴ C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹ C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼ C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1πππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇ C x dx x xxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot(21) ⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解令t x =61, 则6t x =, 56tdx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴ C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵ C x x x dx xx x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln ⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸ C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻ ⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼ ⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以 C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-，同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n mP.199 习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得31=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dxx x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材P.186 例9或P.193关于k I 的递推公式⑺.于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dxcos 35解令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材P.185例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总练习题求下列不定积分： ⑴Cx x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵ ]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷ ⎰⎰⎰⎰===x x x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sinC x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸ C x e C e u e du u e u x dx ex u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，CxC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿ ⎰+dx x )1arctan(解令u x =+1，duu dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄ ⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I. .。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第七章

第七章实数的完备性一、练习题1. 设{(a n ,b n )}是一严格开区间套,即a 1<a 2<…<a n <…<b n …<b 2<b 1，且∞→n lim (b n -a n )=0.证明存在唯一一点ξ,有 a n <ξ<b n ,n=1,2…2. 试举例说明在有理数集内,所有完备性定理都不能成立.3. 试用区间套定理证明数列的单调有界定理.4. 试用确界原理证明区间套定理.5. 设H=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 1,2,n |n 1,2n 1是一个无限开区间集,问:(1) H 能否覆盖(0,1)?(2) 能否从H 中先出有限个开区间覆盖⎪⎭⎫⎝⎛21,0? (3) 能否从H 中先出有限个开区间覆盖⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1001? 6. 证明: 若x ∈[a,b],若x ∈(a,b)的聚点;反之,若x 为[a,b]的聚点,则x ∈[a,b].7. 证明:单调数列{x n }若存在聚点,则一定是唯一的,且是{x n }的确界.8. 试用致密性定理证明单调有界定理.9. 试用聚点定理证明区间套定理.10. 试用有限覆盖定理证明聚点定理.11. 试用聚点定理证明柯西收敛准则.12. 试用确界原理证明聚点定理13. 设f 为(-∞,+∞)上连续的周期函数,试证f 在(-∞,+∞)上有最大值与最小值.14. 证明:任何实系数奇次多项式方程至少有一个实根15. 设I 为有限区间.证明:若f 在I 上一致连续,则f 在I 上有界.16. 证明: 若f 在[)+∞a,上连续,+∞→x lim f(x)存在且有限,则f 在[)+∞a,上一致连续. 17. 设f 在(a,b)内连续,x 1,x 2,…x n ∈(a,b),证明存在ζ∈(a,b),使得f(ζ)=∑=n 1j j )f(x n 1.18. 试用覆盖定理证明根的存在性定理.19. 证明:在(a,b)上连续函数f 为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.20. 求下列数列的上、下极限：（1）{1+（-1）n }；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12n n1)(n ；（3）{2n+1}；（4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+4n πsin 1n 2n；（5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n π}sin n 1n2; (6)⎭⎬⎫⎩⎨⎧n |3n πcos | 21. 证明下列数列上、下极限的关系式: (1) ∞→n lim a n =-∞→n lim (-a n ), ∞→n lim a n =-∞→n lim (-a n ); (2) ∞→n lim a n +∞→n lim b n ≤∞→n lim (a n +b n );∞→n lim a n +∞→n lim b n ≥∞→n lim (a n +b n ) (3) ∞→n lim a n -∞→n lim b n ≤∞→n lim (a n -b n ),∞→n lim a n -∞→n lim b n ≥∞→n lim (a n -b n ); (4) 若a n ,b n >0,则∞→n lim a n ∞→n lim b n ≤∞→n lim a n b n ,∞→n lim a n ∞→n lim b n ≥∞→n lim a n b n ; (5) 若∞→n lim a n >0,则∞→n limn a 1=n n a lim 1∞→.22. 数列{x n }的上(下)确界就是该数列的上(下)极限,对吗?为什么?23. 证明:若{a n }为单调递增数列,则∞→n lim a n =∞→n lim a n 24. 证明:若an>0(n=1,2,…)且∞→n lim a n ·∞→n lim n a 1=1, 则数列 {a n }收敛.25. 证明: 若a n ≤b n (n=1,2,…),则∞→n lim a n ≤∞→n lim b n , ∞→n lim a n ≤∞→n lim b n . 26. 证明设{x n }为有界数列. (1)A 为{x n }上极限的充要条件是A =∞→n lim nk sup ≥{x k }; (2)A 为{x n }下极限的充要条件是A=∞→n lim nk inf ≥{x k }. 27. 证明:{x n }为有界数列的充要条件是{x n }的任一子列都存在它的收敛子列.28. 设f(x)在(a,b)内连续,且+→a x lim f(x)=-→b x lim f(x)=0.证明f(x)在(a,b)内有最大值或最小值.29. 证明: 设f(x)在[a,b]上连续,若{x n}⊂[a,b],且lim f(x n)=A,则必存在点x0∈[a,b],使得n→∞f(x0)=A.30. 设函数f和g都在区间I上一致连续.(1) 证明f+g在I上一致连续;(2) 若I为有限区间,证明f·g在I上一致连续;(3) 若I为无限区间,举例说明f·g在I上不一定一致连续.31. 证明:设函数f(x)定义在有限区间(a,b)上,若对于(a,b)内任一收敛数列{x n},极限lim f(x n)都n→∞存在,则f(x)在(a,b)上一致连续.32. 设函数f在[)a,上连续,且有渐近线,即有数b与c,使得+∞lim[f(x)-bx-c]=0,证明f在x+∞→[)a,上一致连续.+∞。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案07

习题七1．用闭区间套定理证明确界存在定理．2．用维尔斯特拉斯聚点原则证明单调有界数列必有极限．3．用有限覆盖定理证明闭区间套定理．4．设S 为闭区间[，证明：若,]a b x S ∈，则x 为S 的聚点；反之，若x 为S 的聚点，则x 必属于S ．5．设H 为点集S 的聚点集合，若x 为H 的聚点，则必为S 的聚点．6．证明：有限点集没有聚点．7．利用柯西收敛准则，证明下列数列收敛： (1) a n n n =+++sin sin sin 122222Λ； (2) a n n n =⋅+⋅+++11212311Λ()； (3) a nn =++++11213122Λ2n . 8．若对数列{存在常数M ，对一切n 有}a n A a a a a a a M n n =−+−++−≤−||||||21321Λ,证明：(i) 为收敛数列；(ii) 也为收敛数列． {}A n {}a n 9．应用柯西收敛准则证明下列数列不收敛：(1) ; (2) a n n =−()1n a nx n =sin2 ; (3) a nn =++++112131Λ. 10．设H n nn =+={(,,,,}121123Λ为开区间集，问： (1) H 是否为的开覆盖？(,)01(2) 能否从H 中选出有限个开区间覆盖(,)012？1(3) 能否从H 中选出有限个开区间覆盖(,11001)？ 11．试用聚点定理证明区间套定理．12．试用聚点定理证明柯西收敛准则． 13．试用确界原理证明聚点定理（聚点原则）．13．试用确界原理证明聚点定理（聚点原则）．14. 设并且0)(11=+++=−n n n a x a x x f Λ0≠n a .试证明：（1）若为奇数，则方程至少有一个实根与异号；（2）若为偶数，且n n a n 0<n a ，则方程至少有一个正根和一个负根.15. 证明：若函数具有下列二性质：（1）在闭区间[上有定义且并单调；（2）能取介于和之间的所有数作为其函数值，则在[,]连续.)(x f ,]a b )(a f )(b f )(x f a b 16. 证明：函数)(x f ax −=1sin 若0≠x 及=0，在任意闭区间[取介于和之间的一切值，但在[并不连续.)(a f ,]a b )(a f )(b f ,]a b 17. 证明：若函数在区间内连续，并且)(x f ),(b a n x x x ,,,21Λ为此区间中的任意值，则存在一个数值∈ζ),(b a ，使得)]()()([1)(21n x f x f x f nf +++=Λζ. 18. 证明：若函数与在[连续，且<,>，则存在，使)(x f )(x g ,]a b )(a f )(a g )(b f )(b g ∈c ),(b a )()(c g c f =.19. 证明：若函数在[连续，则函数在在[有最小值. )(x f ,]a b )(x f ,]a b m 20. 证明：(1) 函数)(x f x =在),0[∞+一致连续.(2) 函数在有限区间一致连续，在R 不一致连续.)(x f 3x =),(b a (3) 函数)(x f x sin +=在R 一致连续.21. 证明：若函数与在区间I 一致连续，则和函数+在区间I 一致连续.)(x f )(x g )(x f )(x g 22. 证明：若∈∀y x ,I （区间），满足条件 y x k x f x f −≤−)()(，其中：为常数，则在I 一致连续.k )(x f223. 证明；若函数在)(x f ),0[∞+连续且b x f x =+∞→)(lim ，则函数在一致连续.)(x f ),0[∞+24. 用一致连续定义证明：若函数在与都一致连续，则函数在[一致连续.)(x f ],[c a ],[b c )(x f ,]a b 25. 证明：在上的连续函数为一致连续的充分必要条件是),(b a )(x f )0(),0(−+b f a f 存在并且有限.26. 设函数在连续，并且)(x f ]2,0[a )2()0(a f f =，试证存在，使得],0[0a x ∈)()(00a x f x f +=.27. 证明：设函数在有限区间有定义，若对于内任一收敛数列，极限都存在,则在区间一致连续. )(x f ),(b a ),(b a }{n x )(lim n x x f ∞→)(x f ),(b a3。

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第七章实数的完备性
一、练习题
1. 设{(a n ,b n )}是一严格开区间套,即
a 1<a 2<…<a n <…<
b n …<b 2<b 1，
且∞
→n lim (b n -a n )=0.证明存在唯一一点ξ,有 a n <ξ<b n ,n=1,2…
2. 试举例说明在有理数集内,所有完备性定理都不能成立.
3. 试用区间套定理证明数列的单调有界定理.
4. 试用确界原理证明区间套定理.
5. 设H=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 1,2,n |n 1,2n 1是一个无限开区间集,问:
(1) H 能否覆盖(0,1)?
(2) 能否从H 中先出有限个开区间覆盖⎪⎭⎫
⎝⎛21,0? (3) 能否从H 中先出有限个开区间覆盖⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,1001? 6. 证明: 若x ∈[a,b],若x ∈(a,b)的聚点;反之,若x 为[a,b]的聚点,则x ∈[a,b].
7. 证明:单调数列{x n }若存在聚点,则一定是唯一的,且是{x n }的确界.
8. 试用致密性定理证明单调有界定理.
9. 试用聚点定理证明区间套定理.
10. 试用有限覆盖定理证明聚点定理.
11. 试用聚点定理证明柯西收敛准则.
12. 试用确界原理证明聚点定理
13. 设f 为(-∞,+∞)上连续的周期函数,试证f 在(-∞,+∞)上有最大值与最小值.
14. 证明:任何实系数奇次多项式方程至少有一个实根
15. 设I 为有限区间.证明:若f 在I 上一致连续,则f 在I 上有界.
16. 证明: 若f 在[)+∞a,上连续,+∞
→x lim f(x)存在且有限,则f 在[)+∞a,上一致连续. 17. 设f 在(a,b)内连续,x 1,x 2,…x n ∈(a,b),证明存在ζ∈(a,b),使得
f(ζ)=∑=n 1j j )f(x n 1.
18. 试用覆盖定理证明根的存在性定理.
19. 证明:在(a,b)上连续函数f 为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.
20. 求下列数列的上、下极限：
（1）{1+（-1）n }；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12n n
1)(n ；
（3）{2n+1}；（4）⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+4n πsin 1n 2n
；（5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n π}sin n 1n2; (6)⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n |3n πcos | 21. 证明下列数列上、下极限的关系式: (1) ∞→n lim a n =-∞→n lim (-a n ), ∞→n lim a n =-∞
→n lim (-a n ); (2) ∞→n lim a n +∞→n lim b n ≤∞
→n lim (a n +b n );
∞→n lim a n +∞→n lim b n ≥∞
→n lim (a n +b n ) (3) ∞→n lim a n -∞→n lim b n ≤∞
→n lim (a n -b n ),
∞→n lim a n -∞→n lim b n ≥∞
→n lim (a n -b n ); (4) 若a n ,b n >0,则∞→n lim a n ∞→n lim b n ≤∞
→n lim a n b n ,
∞→n lim a n ∞→n lim b n ≥∞
→n lim a n b n ; (5) 若∞→n lim a n >0,则∞→n lim
n a 1=n n a lim 1
∞→.
22. 数列{x n }的上(下)确界就是该数列的上(下)极限,对吗?为什么?
23. 证明:若{a n }为单调递增数列,则
∞→n lim a n =∞
→n lim a n 24. 证明:若an>0(n=1,2,…)且∞→n lim a n ·∞→n lim n a 1=1, 则数列 {a n }收敛.
25. 证明: 若a n ≤b n (n=1,2,…),则
∞→n lim a n ≤∞→n lim b n , ∞→n lim a n ≤∞
→n lim b n . 26. 证明设{x n }为有界数列. (1)A 为{x n }上极限的充要条件是
A =∞→n lim n
k sup ≥{x k }; (2)A 为{x n }下极限的充要条件是
A=∞→n lim n
k inf ≥{x k }. 27. 证明:{x n }为有界数列的充要条件是{x n }的任一子列都存在它的收敛子列.
28. 设f(x)在(a,b)内连续,且+→a x lim f(x)=-
→b x lim f(x)=0.证明f(x)在(a,b)内有最大值或最小值.
29. 证明: 设f(x)在[a,b]上连续,若{x n}⊂[a,b],且
lim f(x n)=A,则必存在点x0∈[a,b],使得
n
→
∞
f(x0)=A.
30. 设函数f和g都在区间I上一致连续.
(1) 证明f+g在I上一致连续;
(2) 若I为有限区间,证明f·g在I上一致连续;
(3) 若I为无限区间,举例说明f·g在I上不一定一致连续.
31. 证明:设函数f(x)定义在有限区间(a,b)上,若对于(a,b)内任一收敛数列{x n},极限
lim f(x n)都
n
→
∞
存在,则f(x)在(a,b)上一致连续.
32. 设函数f在[)
a,上连续,且有渐近线,即有数b与c,使得
+∞
lim[f(x)-bx-c]=0,证明f在
x
+∞
→
[)
a,上一致连续.
+∞。