研究生数字信号处理作业(1)

14级研究生现代数字信号处理作业题（I ）

一、已知模拟信号()cos(2100)cos(2110)a x t t t ππ=⨯+⨯，现以采样频率500s f Hz =对其进行均匀采样，得到离散时间信号()x n 。假设从0t =时刻开始采样，共采样N 个点，分析以下问题： （1）写出()x n 的表达式；

（2）判断()x n 是否为周期序列，如果是周期序列，确定其最小周期；

（3）如果使用FFT 对()x n 进行频谱分析，并能分辨出()a x t 中的频率成份，请确定最小的N 值是多少？

（4）写出Matlab 环境下，基于FFT 算法对该信号进行频谱分析的程序，参数使用（3）中确定的参数，要求绘制出信号的时域图形和频谱图。

（5）在采样点数N 不变的情况下，通过补零可以增大()x n 的长度，补零增长后再基于FFT 进行频谱分析，谱分析的分辨能力是否有所提高，为什么？

二、关于相关运算，分析下面的问题

（1）写出序列()x n 与()y n 的相关运算()xy r m 的计算公式，分析其与卷积运算之间的关系。 （2）写出序列()x n 的自相关序列()xx r m 的计算公式，并用()x n 的傅立叶变换()j X e ω

表示

()xx r m 的傅立叶变换()j R e ω。

（3）若2()cos()n

x n N

π=，求其自相关序列，并判断其自相关序列的周期。

三、关于希尔伯特变换，分析以下问题： （1）希尔伯特变换的定义；

（2）希尔伯特变换都有哪些主要性质；

（3）何为解析信号，其频谱具有什么样的特征？

四、若窄带信号的最高频率是5KHz ，最低频率为4KHz ，对其进行采样，试确定最小的采样频率？如果信号的最低频率是3.7KHz ，最小的采样频率应取多少。

五、总结对正弦信号进行采样应该注意的问题。

六、关于FFT ，分析以下问题： （1）FFT 的含义是什么？

（2）以8N =为例，分别绘制基-2时间抽取FFT 算法和分裂基FFT 算法的蝶形流程图。 （3）设()x n 是长度为2N 的有限长实序列，()X k 是()x n 的2N 点DFT ，试设计用一次N 点FFT 完成计算()X k 的高效算法。

（4）用一次N 点FFT 可完成两个N 点实序列的DFT 的计算，试给出相应的算法。

七、若已知一数字滤波系统的单位取样响应序列为：15()(0.5)n

h n -=，030n ≤≤，分析以下问题：

（1）说明该滤波器是FIR 数字滤波器还是IIR 数字滤波器。

（2）计算该系统的相频响应，并说明这样的相频响应对信号处理有什么好处？

（3）如果该数字滤波系统的输入信号为()x n ，其长度为620，系统的输出信号为()y n ，请给出三种计算()y n 的方法并分析运算量。

（4）假设采样频率500s f Hz =，输出信号()y n 相对于输入信号()x n ，会延迟多长时间？ （5）分析该系统是否为最小相位系统，并说明原因。

八、关于离散余弦变换，分析以下问题： （1）离散余弦变换的定义

（2）离散余弦变换的典型特点是什么？

（3）分析离散余弦变换用于数据压缩的原理。

九、信号()x t 中有一定的高频噪声干扰，干扰信号的频率在4000~5000Hz 之间，设计一个数字滤波系统，滤除干扰信号，要求：通带截止频率为2000Hz ，通带衰减不大于3dB ，阻带截止频率为4000Hz ，阻带衰减不小于40dB ，滤波器的频率响应无起伏波纹。 （1）绘制该系统的组成框图，为系统选择合适的采样频率，并说明原因。 （2）选择数字滤波器的类型，并说明原因。

（3）基于Matlab 设计该滤波器，写出该滤波器的系统函数()H z ，并绘制所设计的数字滤波器的幅频及相频响应。

一、解：(1)

/s T f ω=Ω=Ω

1200*/5000.4*pi pi ω==

2220*/5000.44*pi pi ω==

()cos(0.4**)cos(0.44**)x n pi n pi n =+

（2）1ω/2*pi=1/5

2/2*pi ω=11/50

所以x （n ）是周期序列，最小周期为50。 （3） /s f N ω∇= ω∇=10

N=/s f ω∇=50 （4） clear;clc;

t=0:0.002:0.1;

x=cos(2*pi*100*t)+cos(2*pi*110*t); Y=fft(x,500);

subplot(211);plot(t,x);title('时域'); subplot(212);plot(abs(Y));title('频谱'); grid on ；

-2-1012时

域

050100150200250300350400450500

100

200

300频谱

0.1

0.2

0.3

0.4

0.50.6

0.7

0.8

0.9

1

-2-101

2时域

050100150200250300350400450500

100

200

300频谱

（5） 对通信信号补零，虽然增加了信号的长度，但却没有增加信息，谱分析的分辨能力实际并没有提高。因此想要提高分辨能力，应该增大采样时间，也就是引入更多信息量。

二、解：(1).xy r ()m =

()()m n y n x -∑+∞

-∞

=n

与卷积运算的关系:()()()()xy

n r m n y n x m y m =-=

-∑+∞

-∞

=*x ()m

(2).自相关序列:xx r ()()()m n x n x m n -=

∑+∞

-∞

=

()()()()m n x n x m x m n -=

-∑+∞

-∞

=*x =xx

r ()m

xx R ()()()

jw jw jw e X e X e -=

(3).()

=m xx r

()N

m n N n N

N n -∑-=ππ2cos 2cos

11

0 周期仍为N.

三、解:(1).希尔伯特变换的定义为: 给定一连续时间信号: