高数下总结

；
3）在投影域 上计算二重积分
例.计算 ，其中 是由平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1所围成的四面体的边界曲面。
解. 在平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1的部分依次记为 ，于是
对于 ，由于 的方程x=0，从而
同理 ， ，对于 ， 的方程x+y+z=1可化为
z=1-x-y， ， 在XOY坐标面上投影区域 ：
第九章多元函数微分学
1.二元函数：
2.二元函数的极限： 求法与一元基本一致，下判断其存在性：
一般找俩条特殊路线，若二者极限不相等则二重极限不存在，即常取 ， 等简单路线，若结果与K有关则极限不存在（注意一定要将 给消掉）
例.判断下列二重极限是否存在，存在并求其值
（1） （2） （3）
解：（1）取 ，则原式= = ，与K有关，故极限不存在
2可微则偏导一定存在（逆命题不成立）且 (全微分公式)
3函数有一阶连续偏导则函数一定可微
4偏导不存在一定不可微
例.讨论函数 在 是否可微
解.思路：求其在 点极限是否存在，判断其连续性从而判断其是否可微
取 ，则 = = 取决于 ，故 在 点极限不存在（即使存在若不等于0，该函数在 点不连续，亦不可微），故 在 点不连续，故函数在 不可微
解
（2）计算曲线积分 ，其中 为圆周 （按逆时针方向绕行）
解：圆周参数方程为
3.格林公式：若曲线L组成一个单连通区域D，P（x,y）,Q(x,y)在D上有一阶偏导数，则
（平面单连通域的概念．设 为平面区域，如果 内任一闭曲线所围的部分都属于 ，则称 为平面单连通区域，否则称为复连通区域）
例.计算： ，L是沿圆周 正向闭路
（2）化为先对 后对 的累次积分，即Y型区域。这时 为
因此
（先求后面的积分，由于求的是x积分，故先把y当做常数求，求得的结果直接当 做前面积分的被积函数，再继续求即可得结果）
极坐标法
在极坐标中区域D可表示为 （ 为区域上点和原点连线与X轴正向夹角，r为区域上点与原点的距离)则
例.(1) ，其中 为圆周 和 及直线 所围成的在第一象限的区域。
故原式=
(后面的积分与x无关，故可把x当做常数拿到前面积分中)
（即把后面积分结果乘到前面积分中去）
= （这个积分高中就学过了，过程就不写了）
3.斯托克斯公式考试很少涉及到
（2）取 。则原式= = ，与K有关，故极限不存在
（3）此题无法利用上述方法判断其是否存在，故直接求
原式= = = （用了第二个重要极限）
3.二元函数连续性： 在 连续等价于
4.偏导数求法：对x求则把y看成常数，反之亦然
例.求 （ 为二阶偏导）
解.
5.全微分几个概念间关系
1可微函数一定连续（不连续一定不可微）
10.多元函数微分学几何应用
曲面在某点切平面求法，举例说明（填空题极易考到）
例.曲面 在点（1,2,0）处的切平面方程是？
解.先令 对其分别求x,y,z偏导得
故其在（1,2,0）切平面方程为
代入数据即得方程为2x+y-4=0
曲面在某一点的法线为：
第9章重积分
二重积分求法汇总：
直角坐标法
X-型区域 ：
dx
例.（1）计算积分 ， 为圆周： （ ）
解.圆的参数方程为 ： ， ；
此题直接用直角坐标计算的比较麻烦。
（2）计算积分 其中 是曲线 上介于（0,0）、（1,1）之间的一弧解.由于 所以
2.第二类曲线积分
若曲线方程为 则
同样假如给的L方程为 ，则可看为 代入公式得
例.（1）计算曲线积分 ，其中 是抛物线 上从点 到点 的一段。
9.多元函数求极值
方法：先求其一阶偏导为0的点（即驻点），再求其二阶偏导
将所得驻点代入 ，若其值大于0则此驻点是极值点，且当 小于0时为极大值，大于0时为极小值
例. 求其极值
解. 令二者等于0可得驻点为（2，-2）
二阶偏导： ， ， 故 =4>0
且 =-2小于0所以（2，-2）为其极大值点，代入的得极大值为8
解.采用极坐标系：积分区域 如右图所示。
={(
于是
=
=
=
=
(2) ，其中 为圆周 所围成的在区域。
解.采用极坐标系：积分区域 如右图所示，
圆周 的极坐标方程为 ，
则积分区域为
={(
于是
= =
= =
第11章曲线积分
1.第一类曲线积分
计算公式：若曲线L方程为
则 dt
若给的曲线L方程为 ，则可看做 代入上述公式可得
6.复合函数求导法则：分道相加，连线相乘
1中间函数为一元：
则 其中 可用 表示（f对一个变量的偏导）
同理 可用 表示，这样就避免了u、v在最后结果中出现了
例. ，求
解. ， ，
则Βιβλιοθήκη Baidu
2中间函数为二元：
则 下面举一个特别重要的例子
例. 具有二阶连续偏导， ，求
解. ， ，
则
由于 具有二阶连续偏导，故
（ 表示 对第2个变量v的偏导，其他同理）
；
（ⅳ） 在 内处处成立.
一般我们用到的是 ，如果二者相等且满足 是单连通区域，则积分与路径无关，这样就可以转换为两点间的其他简单曲线来做啦。
第12章曲面积分
1.对面积的曲面积分――化为投影域上的二重积分
计算方法与步骤：
1）画出曲面 草图，写出曲面方程 ；
2）做三代换：① ；② ；③曲面 在 面上的投影域 ．将对面积的曲面积分化为二重积分
故原式 这种题一定要弄懂！！！
7.隐函数微分法
1一个方程情形：
则 ， 则
例. 求全微分dz
解.令 则 ，
故
2方程组情形（有3个未知量时求的是导数，有4个未知量时求的是偏导）
方法：对方程两边同时对x或y或其他变量求（偏）导即可
例（1） 求 ， （2） 求 ，
解.（1）方程组两边同时对z求导得：
解得
（2）方程两边同时对x求偏导得：
Y-型区域 ：
例.计算二重积分：
（1） ，其中 为 所围成的平面区域。
（2） ,其中 为抛物线 和直线 所围成的平面区域。
解（1）区域 如右图所示。由区域的形状，选择先
积 后积 。即使用X-型区域
联立方程 ，
解得交点为：
区域
于是 (先求后面积分，由于对y积 = 分故可先把x看做常数，求 = 得的结果直接当做前面的被 积函数。另外后面积分中的 常数可直接拿到前面积分中去）
所以
2.对坐标的曲面积分
基本计算公式：曲面 方程为z=z(x,y)，它在XOY坐标平面投影为D，则
当 取曲面上侧时为正，
反之则取负
计算方法与步骤
1）利用高斯公式
为封闭曲面，则
．
条件一： 在空间区域 内偏导连续，条件二：曲面 为闭曲面的外侧．
注：高斯公式用到了三重积分，你们应该不考，重点掌握下面这种方法
解得
8.方向导数与梯度
1方向导数：设二元函数 在点 处可微，则 在点 处沿任意方向 的方向导数都存在，且其值： 其中 为 对x轴正向的转角
例.求 在点（1,0）处沿从点P(2,1)到点Q（3,0）方向 的方向导数
解.方向 即为向量 所指方向， = ，故 ，又
， 所以，
， 代入公式即得
2梯度： 在 梯度为 ，它是一个向量。
解. 所以 ，
由格林公式得 = =
4.平面曲线积分与积分路径无关的条件：
定理：若函数 在区域 有连续的偏导数， 是单连通区域，那么以下四个条件相互等价：
（ⅰ）对任一全部含在 内闭路, ；
（ⅱ）对任一含在 内的曲线 ，曲线积分 与路径无关（只依赖曲线的端点）；
（ⅲ）微分式 在 内是某一个函数 的全微分，即
2）合一投影法
把 ， 全部转换为 ，再利用基本计算公式求解
由上学期知识可得
，
例.计算 ，其中 为平面 在第一卦限部分的上侧。
解.由题 ，故
现在求 （ ）在XOY坐标平面的投影区域D：
令Z=0可得它在XOY平面的投影平面方程为
由于 在第一卦限，故其投影一定在XOY平面第一象限，
故其在XOY投影区域D可表示为： (X型区域)
序言：除了级数与三重积分高数下的知识基本都在这里了，而且都是考试必备知识，所以哪个知识点没弄懂一定要针对性地找点题目弄懂！
第八章向量代数与空间解析几何
1.
2.
3.平面的点法式方程：设平面过P（x0,yo, z0）,法向量 ，则平面方程为：
4.平面法向量一般求法：一般法向量 与俩向量 ， ，则
，如果不会用行列式就用高中方法求法向量即由 求