2019年高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换(讲)

第03节 简单的三角恒等变换

【考纲解读】

【知识清单】

1. 两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β

)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtan βtan α＋tan β

； T (α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β

. 变形公式：

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；

.

函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．

2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

C 2α：cos 2α＝cos 2

α－sin 2

α＝2cos 2

α－1＝1－2sin 2

α； T 2α：tan 2α＝1－tan2α2tan α

. 变形公式：

cos 2

α＝21＋cos 2α，sin 2

α＝21－cos 2α

1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2

【重点难点突破】

考点1两角和与差的三角函数公式的应用

【1-1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点

，

，

记射线

与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的

坐标为__________． 【答案】

【解析】设射线OB 与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且

，C

点坐标为

.

【1-2】已知：，，且，

则

=_______.

【答案】

【1-3】【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它

的终边过点P（）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或

【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.

详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，

所以.

点睛：三角函数求值的两种类型：

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

【领悟技法】

1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有

熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．

提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋2π

(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋2π

(k ∈Z )，可利用诱导公式化简． 【触类旁通】

【变式一】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是

（ ）

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】

故选D.

【变式二】已知均为锐角，且，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求

的值．

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．

∴

．

【变式三】已知函数的部分图像如图所示.

（Ⅰ）求函数)的解析式，并写出的单调减区间；

（Ⅱ）的内角分别是A,B,C.若,,求的值.

【答案】（Ⅰ）的单调减区间为. （Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）由图象最高点得A=1，

由周期.

当时，，可得，

因为，所以．

.

由图象可得的单调减区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,

，，

.

.

.

.

考点2 二倍角公式的运用公式的应用

【2-1】【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到

，从而确定选项.

详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，

因为，

解得，即，所以，故选B.

【2-2】【2017浙江ZDB联盟一模】已知，，则__________，__________．

【答案】

【解析】因为，，所以

因为，所以，因此 .