2019年高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换(讲)

第03节 简单的三角恒等变换【考纲解读】【知识清单】1. 两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtan βtan α＋tan β； T (α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β. 变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝1－tan2α2tan α. 变形公式：cos 2α＝21＋cos 2α，sin 2α＝21－cos 2α1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2【重点难点突破】考点1两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________． 【答案】【解析】设射线OB 与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C点坐标为.【1-2】已知：，，且，则=_______.【答案】【1-3】【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【领悟技法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋2π(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋2π(k ∈Z )，可利用诱导公式化简． 【触类旁通】【变式一】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】故选D.【变式二】已知均为锐角，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．∴．【变式三】已知函数的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数)的解析式，并写出的单调减区间；（Ⅱ）的内角分别是A,B,C.若,,求的值.【答案】（Ⅰ）的单调减区间为. （Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）由图象最高点得A=1，由周期.当时，，可得，因为，所以．.由图象可得的单调减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,，，....考点2 二倍角公式的运用公式的应用【2-1】【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.【2-2】【2017浙江ZDB联盟一模】已知，，则__________，__________．【答案】【解析】因为，，所以因为，所以，因此 .【2-3】【江苏省淮安市五模】已知，且，则的值为．【答案】【解析】由得，而，则，所以，又，则，所以；【领悟技法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【触类旁通】【变式一】已知，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【变式二】已知，且，则的值为__________.【答案】【解析】因为，所以，，，又因为，所以.【变式三】已知，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得（2）原式考点3 三角恒等式的证明 【3-1】求证：2α＝41sin 2α. 【解析】∵左边＝2α＝2α＝2α＝2＝cos αsin 2αcos 2α＝21sin αcos α ＝41sin 2α＝右边． ∴原式成立．【3-2】求证：sin αsin β＝sin α2α＋β－2cos(α＋β). 【解析】证法一：右边＝sin αα＋βsin α＝sin αα＋βsin α ＝sin αα＋β－α]＝sin αsin β＝左边.证法二：sin α2α＋β－sin αsin β＝sin α2α＋β－sin β＝sin αα＋βsin α＝2cos(α＋β)， 所以sin α2α＋β－2cos(α＋β)＝sin αsin β.【3-3】已知，，且，.证明：.【解析】，即，，，，又，，，，，.【领悟技法】1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．（3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． 2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝2α＋β－2α－β；2α－β＝.（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等 【触类旁通】【变式一】求证：.【解析】左边＝cos αsin α＋＝右边．故原式得证．【变式二】已知，证明：.考点4 三角函数公式的综合应用【4-1】【2018湖北省部分重点中学起点】设函数，其中θ∈，则导数f ′(1)的取值范围是________．【答案】[，2]【解析】由题【4-2】【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知，则__________；__________．【答案】或. .【解析】分析：先把两边平方得到，利用弦切互化所得方程可以化成关于的方程，解出后可求．详解：由可以得到，故，也就是，整理得到，故或．当时，；当时，．故填或，．【4-3】【2018届江苏省南京市三模】在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．又因为β为锐角，所以cosβ＝．因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，因此sin2α＝2sinαcosα＝，所以sin(2α－β) ＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．【领悟技法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【触类旁通】【变式一】【2018届山东省桓台第二中学4月月考】已知函数为奇函数，且，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：（1）由为奇函数得，解得的值；再根据，得（2）根据解析式化简得，再根据两角和正弦余弦公式以及二倍角公式化简得的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知因为所以又，所以或①由所以②由，得所以综上， 或【变式二】【2017浙江温州二模】已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析： （1）∴函数的最小正周期是（2）∴，，∴，又.∴ ∴，∴.【易错试题常警惕】易错典例：若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．易错分析：不注意挖隐含条件，角的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．正确解析：由题意知：sin θ＋cos θ＝51， ∴(sin θ＋cos θ)2＝251.∴sin 2θ＝－2524，即2sin θcos θ＝－2524＜0. 则sin θ与cos θ异号． 又sin θ＋cos θ＝51＞0， ∴2π＜θ＜43π.∴π＜2θ＜23π. 故cos 2θ＝－＝－257.温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。