第7章--梁的强度问题

如果已经计算出静矩，则可确定形心位置； 如果已知形心在某一坐标的位置，则可计算图形对于这一
坐标系中坐标轴的静矩。
工程力学
第7章 梁的强度问题
对于组合图形，分解为若干个可以直接确定形心位置的 图形，然后分别计算对于给定坐标轴的静矩，求代数和即：
n
SzA 1yc1A 2yc2......A nycn A iyci i1
工程力学 中性轴 z 不是横截面的对称轴时
第7章 梁的强度问题
yt，max yc，max
Oz y
t,max

Myt,max Iz
c,max

Myc,max Iz
简单截面的弯曲截面系数
b
⑴ 矩形截面
h
Iz

bh 3 12
Wz

Iz h/ 2
bh2 6
z
y
b 3h I y 12
Wy

主轴平面：所有相同的形心主轴组成的平面。
工程力学
F
F
第7章 梁的强度问题
F
平面弯曲：所有外力都作用在梁的同一主轴平面 内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线 位于外力作用平面内。
aP A
Q
Pa B
纯弯曲
某段梁的内力只有弯矩没 有剪力时，该段梁的变形称
为纯弯曲。如AB段。
x
x M
z
yC
O
C
zC
y
yC

Sz A

ydA
A
A
zC

Sy A

zdA
A
A
工程力学
静矩与形心的关系：
第7章 梁的强度问题
z
yC
C
zC y
yC

Sz A
zC

Sy A
O
SzyCA, SyzCA
工程力学
第7章 梁的强度问题
根据静矩的定义和静矩与形心的关系可以看出：
同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩 对于不同的坐标轴，其静矩可能为正也可能为负 对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
D d
(4) 型钢截面：参见型钢表
弯曲截面模量
bh3 IZ 12
d4
IZ 64
WZ

bh 2 6
WZ

d3
32
IZ(D4 64d4)6D 44(14)
WZ
D3
32
(14)
d
d
D
D
（6）梁弯曲后其轴线的曲率计算公式 梁的轴线弯曲后的曲率数学表达式
C Mz Iz
yt，max yc，max
O
z
y
bmax

Mz ybmax Iz
（拉）
bcmax

Mz ybcmax Iz
（压）
工程力学
第7章 梁的强度问题
最大正应力与危险截面：
（1）某一个横截面上的最大正应力不一不定就是梁内的最 大正应力，应先判断危险截面；
极惯性矩
z
y
r
O
Ip
r2dA
A
dA
图形对点o的截面二次极矩
（极惯性矩）
z
r2 y2 z2
Ip IyIz
y
极惯性矩恒为正。
惯性积
z
y
dA
Iyz

yzdA
A
z
O
y
惯性积由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。
工程力学
第7章 梁的强度问题
a. 对于实心圆截面：
IP A
7.2.1 静矩和形心及其相互关系
z
y
Sz
ydA
A
图形对于z 轴和y轴的
dA
Sy

zdA
A
截面一次 矩（静矩）
z
y
O
dA视为垂直于图形的力，ydA和zdA为dA对于z轴和y轴 的力矩，Sz和Sy分别为A对z轴和y轴之矩。
形心：图形几何形状的中心。若将面积视为垂直图形 平面的力，形心即为合力的作用点。
z
y
Iz A y2dA
图形对z 轴和y轴
dA
的截面二
z
Iy
z2 dA
A
次轴矩
O
y
惯性矩恒为正。
工程力学
第7章 梁的强度问题
Βιβλιοθήκη Baidu
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方 的乘积，即
Iy Aiy2
iy
Iy A
Iz Aiz2
iz
Iz A
i 、 i y
z 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
A
C Mz Iz
M zy Iz
z y
负号表示：当弯矩为正时，y坐 标为正的点处将产生压应力。实际 中可根据拉压定正负
（4）中性轴的位置
E y Cy
dA FN 0
A
dACydA0 sz ydA 0
A
A
结果表明：中性轴Z通过截面形心，并且垂直于对称轴， 所以，确定中性轴的位置，就是确定截面的形心位置。
C E
1 Mz EI z
E I z 梁的弯曲刚度。
结果表明：梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正 比，与弯曲刚度成反比。
工程力学
第7章 梁的强度问题
§ 7.3.3 梁的弯曲正应力公式的应用与推广
计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题：
关于正应力的正负号：
1）首先确定横截面上的弯矩的实际方向，确定中 性轴的位置；
Iy b/ 2

b2h 6
d
⑵ 圆形截面
z y
Iz

Iy

πd 4 64
Wz Wy dI/z2dI/y2π3d32
工程力学 ⑶ 空心圆截面
O y
第7章 梁的强度问题
I z I y
π 64
D4 d4
πD 4 1 4
z
64
式中 d/D
Wz DI/z2π3D2 3 14 Wy
n
SyA 1zc1A2zc2......Anzcn A izci i1
工程力学
组合图形的形心坐标为：
n
y C
Sz A

Ai yci
i1 n
Ai
i1
n
z C
Sy A

Ai zci
i1 n
Ai
i1
第7章 梁的强度问题
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 截面二次轴矩（惯性矩）
工程力学
第7章 梁的强度问题
工程力学
第7章 梁的强度问题
§7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 杆件的内力(轴力、扭矩、剪力和弯矩）—取决于外力 的������大小������。������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 杆件的应力、变形-取决于内力分量的类型和大小、杆 件的尺寸及横截面形状等几何量。 横截面几何性质：面积、形心、静矩、惯性矩、惯性半 径、极惯性矩、惯性积、主轴等。
工程力学
第7章 梁的强度问题
横向弯曲：梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面 上将同时产生剪力和弯矩。此时，梁的横截面上不仅有正应 力，还有切应力。此弯曲为横向弯曲。
7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析 分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各
点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。 由于横截面上的应力是看不见的，而梁的变形是可以看 见的，应力又和变形有关，因此，可以根据梁的变形情 形推知梁横截面上的正应力分布。
2 d A A
2dd2 D 2 3 ddD 4
00
3 2
d
O
D
工程力学
第7章 梁的强度问题
b. 对于空心圆截面：
IP A2 d A 0 2 d 2 D 2 3 ddD 3 4 2 d 4D 43 1 2 4
(

d D
)
d

（3）应用静力学方程待定常数
纯弯曲时，横截面上只能有弯矩一个内力分量，轴力 必须为零。所以有：
dA FN 0
A
(dA)y Mz
A
z
x
dA
y
(dA)y Mz
A
E y Cy

O
(CydA)yCy2dAMz
A
A
s dA dA
y
z
y2dA Iz
正交，只是绕截面内某一轴旋转了一个角度。
② 单向受力假设：梁看成许多纵向纤维组成。变形后纵向直
线与横向直线保持正交，可认为纵向纤维没有收到横向的
剪切和挤压，只受到单向的拉伸或压缩。
两个概念
中性层：梁内一层既不受拉伸也 不受压缩的纤维
中性轴：中性层与横截面的交线。
中性轴
中性层
A
A’
O
O’
dx AA' OO1
2）根据“弯矩是分布正应力合成的合力偶矩”。
工程力学
第7章 梁的强度问题
关于最大正应力计算：
（1）若梁具有一对相互垂直的对称轴，其加载方向与其中一 根对称轴一致，则中性轴与另一对称轴一致，此时最大拉应 力与最大压应力绝对值相等；
b
h z
y
z y
工程力学
第7章 梁的强度问题
（2）若梁的横截面只一根对称轴，且加载方向与对称轴一致 ，则中性轴过截面形心并垂直于对称轴。此时最大拉应力与 最大压应力绝对值不相等。
平面假定
物理关系
变形
应变分布
应力分布
静力 方程
应力公式
工程力学
（1）平面假设与应力分 布
梁的纯弯曲实验
纵向线变为曲线，且上缩 下伸；
横向线变形后仍为直线， M 有转动的角度；
横向线与纵向线变形后仍 保持正交。
第7章 梁的强度问题
ac bd
M ac
b
d
工程力学
第7章 梁的强度问题
① 平面假设：横截面变形后仍为平面，并且与变形后梁的轴线
d
O
D
工程力学
第7章 梁的强度问题
圆截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为：
I d4 64
对于圆环截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为：
I D4 (14),d
64
D
工程力学
第7章 梁的强度问题
矩形截面对于通过其形心、平行于矩形周边坐标轴 的惯性矩
Iy

hb3 12
Iz

bh3 12
工程力学 组合图形的惯性矩和惯性积
第7章 梁的强度问题
组合图形对于某一轴的惯性矩和（惯性积）等于 各组合图形对于同一轴的惯性矩（惯性积）之和。
§7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力
7.3.1 平面弯曲与纯弯曲的概念
对称面：梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴 组成的平面。
dx
OO1
(y)dddy y
工程力学 其中:
1 d dx
第7章 梁的强度问题
为中性面弯曲后的曲率半径.即梁的轴线弯曲后的曲
率半径,与Y坐标无关.
y
（ 2）胡克定律与应力分布 胡克定律:
E
y
O z
s dA dA
z y
工程力学
第七章 梁的强度问题
§ 7.1 工程中的弯曲构件
疯 人 院 。 失 心疯丶 ↘你吥 蓜夏·颜 凉小悸 动ゞ请 勿扰ヤ 雨沫丶 熙潘多 拉ル逗你玩失 心 疯 ゝ 嘘 ， 安静！ 小纠结 伤信泪 扮红妆 〃子不 语﹏乱 人心他 的城#冷 眸控 丶叹╰ 明 月 颜 小 兮 ⊕沐° 小兮_花 染颜_∶ 颜汐 夕∶我 不配℡ ﹌小情 绪〆゛ 琉璃丶 子偷鈊 de贼 小 晴 天 乀 乱世 人 ∮墨 ヾ花残 °小男 人er错 错错陌 上花伊 沐雪’ 冷Se调苏沐熙 ° 顾 小 染 シ 墨小邪 〆紫薇 儿未了 情忆 往 昔苏柒 若浅浅 爱慕小 迟°樱 寳宝____黑丝 控 ° 其 它 设 计Xx.柒 小沫夏 。微凉 浅小瞳 マ戒bu掉 冷 〤夜轩 失心疯 莓小汐 °羽化 尘 简 小 诺 ⊕ ★゛伊 筱沫丶 沫小熙 ぃ空心 人＞降 落伞＜ 半颗心 罂花° 雨╰彩 虹ˇ糖╮ 谇 谇 淰 独 憔 悴馥·幽 兰安槿 沫梦雨 果erぃ 失心控 °仦疯 癫ゆ陌 汐夏‖洛 可可 ‖“干” 露 露 旧 ·时 光 替代品 坏ヤ脾 气Me>坏 蛋离 心咒丶 扮鬼脸 o（>﹏ <）o浅 \时光 ゛粉嘟 嘟 夏 小 兮 ＊ 嘘，安 静。笨 小蛋″冷 小 姬 旧时光 °誮小 妖o（ ￣3￣） o⊕笨 小果丶 么 _咘 _兜 ° 依 小熙 __敏 感 词躲猫 猫洛 小 颜颜 小哆° 莫小柒 ⊕么么 熊^ō^乱 人心
E y Cy
C E
横截面上的弯曲正应力 沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
工程力学
第7章 梁的强度问题
若要计算横截面上的各点的正应力，需要解决两个问题:
y坐标是从中性轴开始计算的，中性轴的位置没有确定； 中性面的曲率半径也没有确定；
工程力学
第7章 梁的强度问题
对于有两根对称轴的截面，两根对称轴的交点就是截面 的形心。
（5）最大正应力公式与弯曲截面模量
横截面上的最大正应力，即横截面上到中性 轴上最远点上的正应力，Y坐标值最大，将Ymax 代入正应力式。
max
Mz ymax Iz
Mz Wz
弯曲截面系数
Wz Iz / ymax
单位是mm3 或 m3