现代数字信号处理 (姚天任 著) 华中科技大学出版社 课后答案5

解之可得：
9． 解：
C 4 , x ( q, q, q )
C 4, x ( 2,2,2) x(n) x(n 2) x(n 2) x(n 2) 170 ；
n
h(1)
kh
234 298 1.3765 ； h(2) 1.7529 170 170
百度文库
课
C 4, x (2,0,2) x(n)x(n 2) x(n) x(n 2) 298 。
da
k (V ' ) ] V v v
1 2 vk
后 答
'
( 1 x 1 , 2 x 2 , , k x k ) T ， V ' (1v1 , 2 v 2 ,, k v k ) T 。
案 网
5． 证明：
w.
' ' v k k (V ' ) v1' v 2 ( j ) [ ' ' ] ' v1 v 2 v k v v v1v 2 v k
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w.
■
，计算：
案 网
u2
C 3, x ( , q) bq 3,u C 3, x ( , 2)
u2
co
■
m
故得到方程组：
116d1 40d 2 90d 3 20 90d1 55d 2 64d 3 116 64d 40d 38d 90 1 2 3
1
k (V ' ) ] 1 2 k ( j ) [ v1v 2 v k v v
n
1
ww
( i )C (1 x1 , 2 x 2 , , k x k )
i 1
k
6． 证明统计独立的两个随机矢量“和的累量等于累量的和” 。 证明： 设两随机矢量为 X 和 Y ，它们的累量生成函数分别为： x 和 y ，则：
w.
0
2 vk 2 vk
co
■
0 0
■
m
(V ) ln E{exp( jV T ( X Y )} ln E{exp( jV T X jV T Y )} ln E{exp( jV T X ) exp( jV T Y )} ln E{exp( jV T X ) E exp( jV T Y )} ln E{exp( jV T X ) ln E exp( jV T Y )} x (V ) y (V )
7． 解： 由闭合公式 h(k )

C 3, x ( q , k ) C 3, x ( q , q )
C 3, x (2,2) x(n) x(n 2) x(n 2) 64 ；
n n
C 3, x (2,2) x(n) x(n 2) x(n 2) 116 。
■ 4． 证明：
R y (m1 , m2 ) E[ y (n) y (n m1 ) y ( x m2 )]
n' n a
E[ y (n ' a ) y (n ' m1 a) x(n ' m2 a )] E[ x(n ' ) x(n ' m1 ) x(n ' m2 )] R x (m1 , m2 )
1
1
* A3 ( z ) (1 z1 z 1 )( z 2 z 1 ) ；
* A4 ( z ) ( z1 z 1 )(1 z 2 z 1 ) 。
证明： 2． 证明：
R x (m1 , m2 ) E[ x(n) x(n m1 ) x( x m2 )]
E[ x(n) x(n m2 ) x( x m1 )] R x (m2 , m1 )
由傅立叶变换的性质， 将上述双谱的等式进行傅立叶反变换， 可导出三阶相关的关系式， 即有：
da
n ' n m1
后 答
E[ x(n '' m1 m2 ) x(n '' ) x(n '' m 2 )]
w.
案 网
co
■
m
混合相位信号为：
R y (m1 , m2 ) R x (m1 , m2 ) Rh (m1 , m2 )
所以， x(n) 和 y (n) 具有相同的谱。
记 X ( x1 , x 2 , , x k ) ， V (v1 , v 2 , , v k ) ；
T T
X
现考察：

ln E{exp( jV 'T X )}
kh
n
课
(V ) ln E{exp( jV T X ' )}

C (1 x1 , 2 x 2 , , k x k ) ( j ) n [

E[ x(n '' ) x(n '' m2 ) x(n '' m1 m2 )] R x (m2 , m1 m2 ) E[ x(n '' ) x(n '' m1 m2 ) x(n '' m2 )] R x (m1 m2 , m2 )
■
B y ( w, w) Y ( w1 )Y ( w2 )Y * ( w1 w2 )
取 1,0,1 分别代入，并计算：
C 3, x (2,0) 116 ； C 3, x (1,1) 90 ； C 3, x (0,2) 64 ； C 3, x (1,3) 38 C 3, x (3,2) 20 ； R xx (1) R xx (1) 40 ； R xx (0) 55 。
求解该方程得：
a1 0.8123 a 2 0.0982
ww
w.
kh
da
课
后 答
w.
案 网
co
m
■
ww
X ( w1 ) H ( w1 ) X ( w2 ) H ( w2 ) X * ( w1 w2 ) H * ( w1 w2 ) X ( w1 ) X ( w2 ) X * ( w1 w2 ) H ( w1 ) H ( w2 ) H * ( w1 w2 ) B x ( w, w) Bh ( w, w)
h(1)
8． 解：
90 116 1.40625 ； h(2) 1.8125 64 64
课
n
da
bq 3,u
后 答
C 3, x (2,1) x(n) x(n 2) x(n 1) 90 ；
kh
C
l 1 q 3, x
由公式
( l , l q)bl R xx ( )
后 答
n
ww
这也就是周期图估计； 2） 而因为线性代数法是基于高阶相关与二阶的关系，所以二阶的线性代数法不存在。 ■ 11． 解： 由方程 C (k 0 ) A 0 ，取 M 0 ； k 0 0 ，则计算：
C 3, x (1,0) 130 ； C 3, x (2,0) 116 ； C 3, x (3,0) 66 。
习题六 1． 解： 设最小相位信号为 A1 ( z ) a 0 (1 z1 z )(1 z 2 z ) ，其中 | z1 | 1 ， | z 2 | 1 。 为简化起见，简记 A1 ( z ) (1 z1 z )(1 z 2 z ) ，则最大相位信号为：
* * A2 ( z ) ( z1 z 1 )( z 2 z 1 ) ； 1 1
n
da
■
C 4, x (2,0,1) x(n) x(n 2) x(n) x(n 1) 234 ；
10． 解： 1） 闭合公式法： 在没有观测噪声的情况下，基于二阶相关有：
w.
C 3, x (1,0) 170 ；
2 q m h( k m) h( k ) R ( m) k 0 0
w.
也即： C 3, x ( 1, 1)b1 C 3, x ( 2, )b2 R xx ( )
两边同除以 b2 ，并记 d 1
3, u b1 1 ， d2 ， d1 ，可得： 2 b2 b2 u
ww
C 3, x ( 1, 1)d1 R xx ( )d 2 C 3, x ( , 2)d 3 C 3, x ( 2, )
案 网
由四阶闭合公式 h( k )
，计算：
m 0,1, , q mq
w.
C 3, x (0,0) 225 ；
C 4, x (q,0, k )
co
■
b1 1.5951 b2 1.9279 3 ,u 2 4.0667 u
m
得到方程：
225a1 130a 2 170 170a1 225a 2 116
E[ x(n ' m1 ) x(n ' m2 m1 ) x(n ' )]
E[ x(n ' ) x(n ' m2 m1 ) x(n ' m1 )] R x (m2 m1 , m1 )
w.
3． 证明：
kh
n ' ' n ' m21 m21
课
E[ x(n ' ) x(n ' m1 ) x(n ' m2 m1 )] R x (m1 , m2 m1 )