2017上海各区数学一模 24、25汇总 - 解析

2017年上海市一模压轴题 解析

一、（2017徐汇一模）

24． 解：（1）∵抛物线32++-=bx x y 与y 轴交于点C ，∴)3,0(C ；

又抛物线32++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），

∵OC OB =；∴)0,3(B ；∴0339=++-b ，解得2=b ；∴322++-=x x y ；∴)4,1(D ．

（2）∵OC OB =，∴︒=∠=∠45OBC OCB ； ∵)3,0(C ，)4,1(D ，∴︒=∠45DCy ；

∴︒=︒⨯-︒=∠90452180DCB ；∴32

23cot ===∠DC BC DBC ． （3）由322++-=x x y ，可得)0,1(-A ．在AOC ∆和BCD ∆中，

3==CD BC AO CO ， ︒=∠=∠90DCB AOC ，∴AOC ∆∽BCD ∆，∴CBD ACO ∠=∠；

又CBD E OCB ACO ACB ∠+∠=∠+∠=∠，∴︒=∠=∠45OCB E ；

当EBM ∆和ABC ∆相似时，已可知CBA E ∠=∠；

又点M 在线段CA 延长线上，EBA ACB ∠=∠，∴可得ACB EMB ∠=∠；

∴23==BC MB ；

由题意，得直线AC 的表达式为33+=x y ；设)33,(+x x M ．

∴18)33()3(22=++-x x ，解得561-=x ，02=x （舍去）；∴点M 的坐标是)5

3,56(--． 25．（本题满分14分）

解：（1）过点D 作AC DF //．交BP 于点F ． C

E

∴21==QE DQ PE DF ；又BC DE //，∴1==AB

AC BD EC ； ∴x BD EC ==；y x PE --=3；

∵AC DF //，∴AB BD AP DF =；即323x y y x =--，∴3

239+-=x x y ；定义域为：30<

∴当PEQ ∆是等腰三角形时，PBC ∆也是等腰三角形；

︒1当BC PB =时，ABC ∆∽PBC ∆；∴AC CP BC ⋅=2；

即)3(34y -=，解得35

=y ，∴35

3239=+-x x ，解得1912

==x BD ；

︒2当2==BC PC 时，1==y AP ；∴13239=+-x x ，56

==x BD ；

︒3当PB PC =时，点P 与点A 重合，不合题意．

（3）∵BC DE //，∴︒=∠+∠180CBD BDQ ；又CQB ∠和CBD ∠互补，

∴︒=∠+∠180CBD CQB ；∴BDQ CQB ∠=∠；∵CE BD =，

∴四边形BCED 是等腰梯形；∴CED BDE ∠=∠；∴CED CQB ∠=∠；

又CED ECQ CQB DQB ∠+∠=∠+∠，∴ECQ DQB ∠=∠；∴BDQ ∆∽QEC ∆；∴

EC DQ QE BD =：即

222x DQ =，∴2x

DQ =，23x

DE =；

∵BC DE //，∴AB AD BC DE

=；即33223x x

-=； 解得 7324

254-=x ．

二、（2017黄埔一模）

24．（本题满分12分）

解：（1）令抛物线的表达式为c bx ax y ++=2，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++64160390c b a c b a c b a ，解得：⎪⎩

⎪⎨⎧=-==682c b a ，所以

抛物线的表达式为6822+-=x x y .

（2）由（1）得平移前抛物线的对称轴为直线x =2，顶点为()2,2-.

则平移后抛物线的对称轴为直线x =8，令()0,8a D -，其中0>a ，则()0,8a E +. 由题意知：AC AE AD AC

=，即AE AD AC •=2， 则()()1818061422

-+•--=-+-a a ， 解得：22,1±=a ，944,3±=a ，其中负值舍去，当94=a ，不合题意舍去.

所以()0,6D ，()0,10E .

令平移后抛物线为e dx x y ++=2

2，则⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=++⨯010*********e d e d ， 解得：⎩⎨⎧=-=120

32e d ，即平移后抛物线为1203222+-=x x y ，

平移后抛物线的顶点为()8,8-，所以k =6，平移方向为向下.

25．（本题满分14分）

解：（1）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，∴AB =5，sinA =54，tanB =4

3. 当CD ⊥AB 时，△ACD 为直角三角形，

∴CD =512sin =•A AC ，5

922=-=CD AC AD . 又在Rt △CDE 中，59tan =

∠•=DCE CD DE ，∴57=--=DE AD AB BE . （2）当△CDE 是等腰三角形时，

可知DCE B A CDE ∠=∠>∠>∠，DCE B CED ∠=∠>∠，

所以唯有CDE CED ∠=∠. 又DCE B ∠=∠，BDC CDE ∠=∠，

∴BDC CDE CED BCD ∠=∠=∠=∠，∴BD =BC =4，∴AD =1.

（3）作CH ⊥AB ，垂足为H ，则512=CH ，5

9=AH . 则在Rt △CDH 中，95

182222+-=+=x x DH CH CD . 又△BDC ∽△CDE ，得DB DE CD •=2，即()()x y x x x ---=+-

5595182， 解得：⎪⎭

⎫ ⎝⎛<<--=2505253280x x x

y .