三角函数的图像和性质(学生)

三角函数的图像和性质【知识要点】

一、三角函数的图象与性质

【例题1—1】用五点法作函数)3

2sin(2π

+=x y 的图象。

【例题1—2】当]2

32[π

π，-∈x 时，求函数x y cos =的单调增区间和最值．

【例题1—3】求函数)62sin(3)(π-=x x f 在区间]20[π

，上的值域．

二、正弦函数与余弦函数的周期性 1、周期性

（1）周期性的定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．

（2）最小正周期：如果在周期函数)(x f 的所有周期中存在一个最小的的正数，那么这个最小的正数就叫做最小正周期． 2、周期性的概念的理解： （1）存在一个非零实数T ；

（2）对于定义域内的每一个x 值，都有T x +属于这个定义域； （3）满足)()(x f T x f =+． 3、求周期的方法: （1）定义法；

（2）利用结论，如函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的最小正周期ω

π

2（0≠ω）；

（3）图象法：先作出函数的图象，再观察函数的周期性．

【例题2—1】函数3)3

3sin(3)(-+=π

x x f 的最小正周期为（ ）

A 、

3π B 、32π C 、π3 D 、2

3π 【例题2—2】若函数)3tan(2)(π

+=kx x f 的最小正周期T 满足21<

数k 的最小值为 ．

【题型剖析】

一、三角函数的定义域

【例题1—1】求下列函数的定义域： （1）1sin 22cos 2)(--=x x x f ；（2）)33tan(2)(π

-=x x f ；（3）1sin 1log )(2-=x

x f

二、三角函数的值域

【例题2—1】求下列函数的值域：

（1）x x x f sin sin )(+=；（2）)cos(sin )(x x f =

【例题2—2】求下列函数的值域：

（1）2sin 2cos )(2-+=x x x f ；（2）]44[sin cos )(2π

π，，-∈-=x x x x f

【例题2—3】求函数1

cos 2

cos )(--=x x x f 的值域。

【例题2—4】（1）函数]4

4[tan sin )(π

π，，-∈+=x x x x f 的值域；

（2）若]43[ππ，-∈x ，求函数1tan 2cos 1

)(2++=x x x f 的最值及相应的x 的值。

三、三角函数的周期

【例题3—1】判断函数][)6

2cos )(πππ

，，（-∈-=x x x f 是否是周期函数。

【例题3—2】求下列函数的周期

（1）)()63sin 2)(R x x x f ∈-=，（π；

（2）)(2sin )(R x x x f ∈=。

【例题3—3】设函数)0(cos )(>=ωωx x f ，将)(x f y =的图象向右平移3

π

个单位长度后，所得到的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）

A 、3

1

B 、3

C 、6

D 、9

四、三角和函数的奇偶性 【例题4—1】函数)2

21cos )(π

+-

=x x f （的奇偶性是（ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数 D 、既是奇函数又是偶函数 【例题4—2】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，

-=x x f sin )(x cos 。当R x ∈时，求)(x f 。

【例题4—2】已知函数)2cos()(ϕ+=x x f 满足)1()(f x f ≤对R x ∈恒成立，则（ ） A 、函数)1(+x f 一定是偶函数 B 、函数)1(-x f 一定是偶函数 C 、函数)1(+x f 一定是奇函数 D 、函数)1(-x f 一定是奇函数

【例题4—3】已知函数)0(2sin )(3≠++=a x ax x f ，若3)(=b f ，求)(b f -的值。

【例题4—4】判断下列函数的奇偶性 （1）x

x x f tan 1

tan )(+=；（2）x x f tan lg )(=

五、三角函数单调区间问题 【例题5—1】（1）函数])0[)(26

sin(2)(ππ

，∈-=x x x f 为增函数的区间是

。

（2）函数)3

2tan()(π

-=x x f 的单调递增区间是 。

【例题5—2】设0>ω，若函数x x f ωsin 2)(=在]43[π

π，-上单调递增，则ω的取

值范围是 。

【例题5—3】求函数)43cos(log )(2

1π

+=x x f 的单调区间。

【例题5—4】求函数)4

sin()(π

+-=x x f 的单调区间。

六、利用三角函数的单调性比较大小 【例题6—1】比较下列各组数据的大小

（1）4sin 3sin 2sin ，，；

（2）)1415cos(883sin 0

-，；（3）3

2tan

3

tan

2

2π

π和

【例题6—2】下列不等式成立的是（ ）

A 、)5sin()103(sin ππ->-

B 、10sin 18sin π

π> C 、6tan 89tan ππ> D 、)3

23cos()47(cos π

π->-

七、三角函数对称中心和对称轴 【例题7—1】函数)3

2sin(2)(π

+

=x x f 的图象的（ ）

A 、关于原点对称

B 、关于点)06

(，π

对称

C 、关于y 轴对称

D 、关于直线12π

=x 对称

【例题7—2】求函数)32tan(3)(π

+=x x f 的图象的对称中心。

【例题6—3】若函数x a x x f cos sin )(+=的图象关于直线6

π

=

x 对称，则=a