托勒密定理及逆定理的证明

托勒密定理及逆定理的证明：

托勒密定理 ：如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．

证明：设ABCD 是圆内接四边形。

在弦BC 上，圆周角∠BAC = ∠BDC ， 而在AB 上，∠ADB = ∠ACB 。

在AC 上取一点K ，使得∠ABK = ∠CBD ；

因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD ， 所以∠CBK = ∠ABD 。 因此△ABK ∽△DBC ，

同理也有△ABD ∽△KBC 。

因此AK/AB = CD/BD ，且CK/BC = DA/BD ； （1） 因此AK·BD = AB·CD ，且CK·BD = BC·DA ； （2） 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA ； 但AK+CK = AC ，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA 。 证明： 设四边形ABCD 有外接圆O ，AC 和BD 相交于P ，∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD 的四边都相等，则四边形ABCD 为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设AB

∥BD ，于是△ABD ≌△EDB ，从而AD=BE ． S 四边形ABCD =

2

1

AC ×BD ×sin α 又S 四边形BCDE =

2

1

（BE ×BC+DE ×CD ）sin ∠EBC 而S 四边形ABCD =S 四边形BCDE ， 所以

21（BE ×BC+DE ×CD ）sin ∠EBC=2

1

AC ×BD ×sin α 即(AD ×BC+AB ×CD)sin ∠EBC=AC ×BD ×sin α． 由于∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC ， 所以AD ×BC+AB ×CD=AC ×BD ．

托勒密定理逆定理的证明：

证明：在任意四边形ABCD 中，连接AC ，取点E 使得∠1=∠2（即∠ABE=∠ACD ） ∠3=∠4（即∠BAE=∠CAD ，） 则△ABE ∽△ACD

所以 CD BE =AC AB ，即BE·AC=AB·CD (1)

又有比例式

AC AB =AD

AE

得： AE AB =AD AC

而∠BAC=∠1+∠EAC ，∠DAE=∠2+∠EAC

A B

C

D

E

1 2

3 4

5 6

K

A

B

C

D

得∠BAC=∠DAE 所以△ABC ∽△AED 相似. 得：

ED BC =AD

AC

即ED·AC=BC·AD (2) 且∠5=∠6 (1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD 得：AB·CD+AD·BC≥AC·BD

当BE+ED= BD 时，点B ，E ，D 共线 此时因为∠3=∠4，∠5=∠6

在△ABC 中，∠1+∠2+∠EAC+∠3+∠6=180o 得：∠1+∠2+∠EAC+∠4+∠5=180o 即∠BAD+∠BCD=180o

得此时，A ，B ，C ，D 四点共圆。

（仅在四边形ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 所以命题得证