[工学]概率论与数理统计第四版课后学习资料第二章.ppt

0,e=T 1,e=H
例2 在一袋中装有编号为1，2，3的3只球， 在袋中任取一只球，放回，再任取一只球， 记录它们的编号。我们关心的是它们的号 码之和，则试验的样本空间S={e}= {(i,j)},i,j=1,2,3
以X记两号码之和，对于每一个样本点e， X都有一个值与之对应。
X X(e) i j,e (i, j)，i, j 1, 2, 3
第二章 随机变量及其分布
随机试验的结果未必是数量的, 如抛硬币 得正面或反面, 检查产品是正品和次品等等, 为了数学处理的方便以及理论研究的需要, 我们将随机试验的结果与实数对应起来，将 随机试验的结果数量化，引入随机变量的 概念.
§2.1 随机变量
例1 抛硬币的试验中，S={H，T}，定义
X=X(e)=
例2.某种电子元件的使用寿命超过1500小时为 一级品, 已知一大批该产品的一级品率为0.2, 从中随机抽查20只, 求这20只元件中一级品的 只数X的分布律.
解: X~b(20, 0.2).
则P{X k} (k20 )(0.2)k (0.8)20k , k 0, 1, 2, ... , 20.
S
e1
有了随机变量X, 以前的各种随机事件均可用X的 变化范围来表示:如例1中:
A=“正面朝上”用{X=1}表示 B=“反面朝上”用{X=0}表示
反过来, X的一个变化范围表示一个随机事件.
{0<X<2} =“正面朝上”.
{X<0} =,
注: (1) 可用随机变量X描述事件.
例掷一颗骰子, 设出现的点数记为X, 事件A为“掷 出的点 数大于 3”, 则A可表示为“X>3”.
例3. 测试灯泡寿命试验, 其结果是用数量表示 的.记灯泡的寿命为X, 则X是定义在样本空间
S={e}={t|t≥0}上的函数, 即
X=X(e)=t, e=t∈S.
1. 定义: 设随机试验E的样本空间是S={e}，若对于 每一个e∈S, 有一个实数X(e)与之对应, 即X(e)是定 义在S上的单值实函数，称为随机变量。 （random variable, 简记为r.v.)
解：（方法一）
设Ai (i 1, 2, 3, 4)为第i人维护的20台中发生故障不能及时 维修，B为80台中发生故障不能及时维修，
X 表示第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数， 则X～b(20, 0.01)
P(B) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 ) P{ X 2}
1 P{ X 0} P{ X 1} 0.0169
例3. 某人进行射击, 每次命中率为0.02, 独立射击 400次, 试求至少击中两次的概率. 解 : 设400次射击中击中的次数为X,
则X~ b(400, 0.02).
P{X
k}
( 400 k
)(0.02)k
(0.98)400k
,k
0,
1,
...,400.
则 P{X 2} 1-P{X 0}-P{X 1}
例1. 设X是n重贝努利试验中事件A发生的 次数,每次试验中A发生的概率为p,则X是一 个随机变量, 我们来求它的分布律.
一般地有
P{X
k}
(
n k
)pk
(1
p)nk
,
k
0,
1,
2,
...
,n.
称X服从参数为n,p的二项分布, 记为X~b(n,p).
当n=1时, P{X=k}=pk(1-p)1-k, k=0,1, 即为0-1分布.
解: X 0 1
2
3
4
pk p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
即 P{X=k}=(1-p)kp, k=0,1,2,3.
P{X=4}=(1-p)4
几种重要的离散型随机变量
（一）0-1 分布
设随机试验E有两种可能的结果： S={e1,e2},设随机变量X：
X
X(e)
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1, 0，
(1) 离散型随机变量; (2) 非离散型随机变量.10 连续型随机变量
20 非连续型随机变量
§2.2 离散型随机变量及其分布律
1. 定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个 或可列无限多个, 则称为离散型随机变量. 2. 离散型 r.v.的分布律 :
设离散型 r.v.X所有可能取值为xk (k 1, 2, 3, ...) P{X xk } pk , k 1,2,... (1)
（方法二） 设Y为80台中同一时刻发生故障的台数， 则Y～b(80, 0.01)
1 (0.98)400 400 (0.02) (0.98)399 .
当n较大, p又较小时, 二项分布的计算比较 困难, 例如 0.98400，0.02400, …, 可以用Poisson分布近似计算.
例4. 设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障由一 个人处理。考虑两种方法，其一是由4人维护，每 人负责20台，其二是由3人共同维护80台，试比较 这两种方法在设备发生故障不能及时维修的概率 的大小。
当e 当e
e1 e2
分布律为P{X k} pk (1 p)1k ,k 0,1
称X服从参数为p的 0 1 分布
(二) 伯努利试验 、 二项分布
定义: 设试验E只有两个可能结果A与A, 则称E为伯努利试验。设
P(A) p (0 p 1), 将试验E独立重复地进行n次,这样的试验称 为n重伯努利试验 .
pk满足 : pk 0, k 1,2,...,且 pk 1,
则称(1)式为离散型 r.v.X的概率 k1分布或分布律. (1)式也可用表格形式表示:
X x1 x2 … pk p1 p2 …
xn … pn ...
例1. 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组 信号灯,每组信号灯以概率p禁止汽车通过, 以X表 示汽车首次停下时已通过信号灯的组数, 求X的 分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的).
一般地，若L是一个实数集合，将X在L上 取值写成{X L}，它表示事件
B {e | X(e) L} 则有P{X L} P(B) P{e | X(e) L}
(2)随机变量随着试验的结果而取不同的值,在 试验之前不能确切知道它取什么值, 但是随机 变量的取值有一定的统计规律性—概率分布.
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