复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)配套题库(13-22章)【圣才出品】

第1部分多元函数的极限论

第13章多元函数的极限与连续

§1平面点集

1．证明的充要条件时：．

证明：

因则对当时，有即

于是一定有即

因即

又则

2．证明：若平面上的点列{M n}收敛，则它只有一个极限．

证明：设假设又有

由定义，对当n>N时，有由三角不等式，有

又为固定的两点，由ε的任意性，

得即

3．证明：若那么它的任何一个子列．

证明：因则对当n>N时，有

今取K＝N，则对一切k>K，有自然有即

4．下列点集E的内点，外点，边界点：

（1）E由满足的点所组成；

（2）E由满足的点所组成；

（3）E由满足的点所组成；

（4）E由所有这样的点（x，y）所组成，其中x和都是有理数．

解：（1）凡满足的点（x，y）是E的内点；凡满足的点（x，y）是E的

外点；凡满足的点（x，y）是E的边界点．

（2）凡满足的点（x，y）是E的内点；凡满足或

的点（x，y）是E的外点；凡满足或的点（x，y）是E的边界点．

（3）凡满足的点（x，y）是E的内点；凡满足的点（x，y）是E的外点；凡满足的点（x，y）是E的边界点．

（4）由有理数及无理数的稠密性，得平面上所有点（x，y）都是E的边界点．

5．证明：若M0是平面点集E的聚点，则在E中存在点列

证明：已知M

是平面点集E的聚点，取，在中定存在E的点

在中定存在E的点M

，

如此进行下去，得到点列且

于是当时，即

6．证明平面点列的收敛原理．

证明：

设则当n，m>N时，有

由距离的三角不等式，得

}满足当n，m>N时，有将{M n}分别

设点列{M

投影到两根坐标轴上，得数列{x n}，{y n}

因

由R1上的柯西收敛原理，得{x n}，{y n}都收敛

设则即{M

}收敛．

7．用平面上的有限覆盖定理证明魏尔斯特拉斯定理．

证明：（1）若是有界有限点集，定理成立；

（2）若是有界无穷点集，据5，只需证

至少有一个聚点．反证．设E没有聚点．

由于而矩形域

是有界闭区域．

且

对都不是E的聚点，因而存在使得至多有E中有限个点，

覆盖R

据有限覆盖定理，存在有限个开集同样覆盖R，其中每个

中至多有有限个E中的点

于是至多含E中有限个点

但由于于是矛盾．

§2多元函数的极限和连续性

1．确定并绘出下列函数之定义域：

（R＞r）

解：（1）定义域为且；

（2）定义域为满足不等式的点集；

（3）定义域为半平面；

（4）定义域为的点集；

（5）定义域为的点集．

2．求下列极限：

解：（1）因且则

（2）因则

（3）因则

（4）因

且则

（5）因

则

（6）

3．试证若存在，而当x取任何与a邻近之值时，极限

则二次极限存在且等于A：

证明：因二重极限存在，则对当且

时，恒有

现在中固定x，而在上式中令即得这就证明了

于是

4．（1）试举出两个二次极限不相等的例子；

（2）试举出只有一个二次极限存在的例子；

（3）试举出二重极限存在，但二次极限不全存在的例子．

解：（1）例在点（0，0）的二次极限

则

（2）例在点（0，0）的二次极限

但不存在．

（3）例：在点（0，0）的二次极限和二重极限