材料力学第5版(孙训方编)

所以这仍然是一次超静定问题。
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第六章 简单的超静定问题
2. 变形相容条件(图c)为 l1 l3 e
这里的l3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。 3. 利用物理关系得补充方程：
FN1l FN3l e EA E3 A3
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第六章 简单的超静定问题
4. 将补充方程与平衡方程联立求解得：
FN1 FN2
l2
l1
l3 l2
F
FN2
4. 根据相容条件，利用物理方程得补充方程：
FN3 2a 1 FN1a ，
EA
2 EA
FN2a 2 FN1a
EA
EA
即
FN1=2FN3, FN2=2FN1=4FN3
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第六章 简单的超静定问题
FN1=2FN3, FN2=2FN1=4FN3
FAx
FN1 FN3 FN2
载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移 相容条件为
BMe
BM B
注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。
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第六章 简单的超静定问题
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
Mea M Bl GI p GI p
由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为
MB
Mea l
另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为
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第六章 简单的超静定问题
例题 求图a所示结构中杆1, 2, 3的内力FN1 , FN2 , FN3。
杆AB为刚性杆，杆1, 2 , 3的拉压刚度均为EA。
E
F
13 2
a
AC
D
B
a
a
aF
(a)
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第六章 简单的超静定问题
解：1. 共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独 立的静力平衡方程，故为二次超静定问题。
eEA l
1
1 2
EA
，
E3 A3
FN3
eE3 A3 l
1
1 E3 A3
2EA
所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉
力和杆3的装配内力为压力是正确的。
5. 各杆横截面上的装配应力如下：
1
2
FN1 A
74.53
MPa
（拉应力）
3
FN3 A3
19.51
MPa
（压应力）
下端的约束力，并求C截面的位移。杆 的拉压刚度为EA。
解: 1. 有两个未知约束力FA , FB(见图a)， 但只有一个独立的平衡方程
FA+FB-F=0 故为一次超静定问题。
11
第六章 简单的超静定问题
2. 取固定端B为“多余” 约束。相应的相当系统如图b， 它应满足相容条件ΔBF+ΔBB=0， 参见图c，d。
(a)
31
MA (a)
第六章 简单的超静定问题 MB
解: 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一 个独立的静力平衡方程
Mx 0，
故为一次超静定问题。
MA Me MB 0
32
第六章 简单的超静定问题
2. 以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多 余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷
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第六章 简单的超静定问题
求算FN3需利用位移(变形)相容条件 (图a)
AA AA e
列出补充方程
FN3l3 E3 A3
FN3l1
2 E1 A1cos2
e
(a)
由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为
FN3
l3 E3 A3
e
l1
2 E1 A1cos2
(拉力）
20
第六章 简单的超静定问题
28
3. 变形相容条件为
lt lF 0
4. 补充方程为
l
t
l
FNl EA
0
5. 由此得多余未知力 FN l EAt
6. 杆的横截面上的温度应力为
FN A
l Et
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第六章 简单的超静定问题
FN A
l Et
若该杆为钢杆而l =1.2×10-5/(˚C)，E=210GPa，则当
温度升高t =40˚时有
MA
Me
MB
Me
Mea l
M eb l
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第六章 简单的超静定问题 (a)
4. 杆的AC段横截面上的扭矩为
TAC
M A
M eb l
从而有
C
TAC a GI p
M eab lGI p
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第六章 简单的超静定问题
例题6-6 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧 配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求 铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上 切应力沿半径的变化情况。
而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为
FN1
FN 2
FN3
2 c os
2
c
os
l3 E3 A3
e
2E1
l1 A1 cos2
压力
至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力) 除以杆的横截面面积即得。
由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配 应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理 关系列出补充方程。
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第六章 简单的超静定问题
例题6-3 两端用刚性块连 接在一起的两根相同的钢杆1, 2(图a)，其长度l =200 mm，直 径d =10 mm。试求将长度为 200.11 mm，亦即e=0.11 mm的 铜杆3(图b)装配在与杆1和杆2 对称的位置后(图c)各杆横截面 上的应力。已知：铜杆3的横截 面为20 mm×30 mm的矩形，钢 的弹性模量E=210 GPa，铜的弹 性模量E3=100 GPa。
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第六章 简单的超静定问题
(2) 温度应力 也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温
度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。 铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩， 其横截面上会产生相当可观的温度应力。
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第六章 简单的超静定问题
例题6-4 试求两端与刚性支承连接的等截面杆(图a) 当温度升高t 时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为
Tal Tbl ，即 Ga Ipa Gb Ipb
Ta
Ga Ipa Gb Ipb
Tb
4. 联立求解补充方程和平衡方程得：
Ta
Ga Ipa Ga Ipa Gb Ipb
Me，Tb
Gb Ipb Ga Ipa Gb Ipb
Me
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5. 铜杆横截面上任意点的切应力为
第六章 简单的超静定问题
ρa
Ta
超静定杆系(结构)由于 存在“多余”约束，因此如 果各杆件在制造时长度不相 匹配，则组装后各杆中将产 生附加内力──装配内力， 以及相应的装配应力。
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第六章 简单的超静定问题
(a)
(b)
图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度 短了e，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，
杆3在结点 A' 处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇 交点A' 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。
l Et 1.2105 / C 210109 GPa 40 C
100106 Pa 100 MPa （压应力）
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第六章 简单的超静定问题
§6-3 扭转超静定问题
例题6-5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受 扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试 求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。
于是可求出多余未知力FC。
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第六章 简单的超静定问题
Ⅲ. 注意事项 (1) 超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移
相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以 求解的。
(2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位 移等均可利用相当系统进行计算。
(3) 无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受 力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最 终结果是一样的。
3
第六章 简单的超静定问题
FA FAx A
q
FB
FA
FC q
FB
FAx A B
B C
l
l/2
l/2
(a)
(b)
图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间
支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx, FA, FB, FC， 但只有三个独立的静力平衡方程── 一次超静定问题。
超静定问题(statically indeterminate problem)：单凭静 力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。
3. 补充方程为
Fa FBl 0 EA EA
由此求得
FB
Fa l
所得FB为正值，表示FB的指向
与假设的指向相符，即向上。
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第六章 简单的超静定问题
4. 由平衡方程 FA+FB-F=0
得
FA=F-Fa/l=Fb/l。
5. 利用相当系统(如图)求得
ΔC
FAa EA
Fb a l EA
Fab lEA
(a)
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第六章 简单的超静定问题
Tb Ta
(b)
解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 ── 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程 Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。
2. 位移相容条件为 Ba Bb
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第六章 简单的超静定问题
Tb Ta
(b)
3. 利用物理关系得补充方程为
I pa
Ga M e
Ga Ipa Gb Ipb
0 a
钢管横截面上任意点的切应力为
b
Tb
I pb
GbM e
Ga Ipa Gb Ipb
a b
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第六章 简单的超静定问题
b a a a
第六章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
1
第六章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法
Ⅰ. 关于超静定问题的概述
(a)
(b)
2
第六章 简单的超静定问题
(a)
(b)
图a所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点A的位移 (如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但 只有二个独立的平衡方程── 一次超静定问题。
A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。
(a)
27
第六章 简单的超静定问题
解: 1. 由平衡方程只能知道杆两端的轴向支约束力数 值相等而指向相反，但不能给出约束力的值，可见这是一 次超静定问题。
2. 以刚性支撑B为“多余”约束后的基本静定系由 于温度升高产生的伸长变形lt和“多余”未知力FN产生 的缩短变形lF分别如图所示。
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第六章 简单的超静定问题
(4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算 方便为原则。
如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则
求解比较复杂。
y
wk.baidu.com
q
A
C
Bx
l/2
l/2
q
A
Bx
C
l/2
l/2
FB
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第六章 简单的超静定问题
§6-2 拉压超静定问题
Ⅰ. 拉压超静定基本问题 例题6-1 求图a所示等直杆AB上,
FAy
F
(b)
5. 将上述二个补充方程与由平衡条件ΣMA=0所得平衡方程
FN1a FN3
1 2
a
FN
2
(2a)
F
(3a)
0
联立求解得
FN3
3 2F 110 2
，FN1
2FN3
6 2F 110 2
，FN2
4FN3
12 2F 110 2
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第六章 简单的超静定问题
Ⅱ. 装配应力和温度应力 (1) 装配应力
A
FN3
F FN3 l1
2E1A1 cos2
FN3l1 cos
E3 A3
于是可求出多余未知力FN3 。
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例2
y A
l/2
q
C l/2
第六章 简单的超静定问题
BxA
B
l
超静定梁
q
A
B
l/2
FC
l
位移相容条件ΔCq+ΔCFC=0 相 当系统
基本静定系
补充方程为 5ql4 FCl3 0 384 EI 48EI
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第六章 简单的超静定问题
(d)
解：1. 如图d所示有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3， 但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程，故为一次超静定
问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知 内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡
方程：
Fx 0， FN3 2FN1 0
并使“多余”约束 处满足变形(位移) 相容条件
第六章 简单的超静定问题
B 1
C 2
FN3
A
ΔA'
A'
ΔA
F
D
A
A
FN3
相当系统 (equivalent system)
6
第六章 简单的超静定问题
B 1
C 2
FN3
A
ΔA'
A'
ΔA
F
D
由位移相容条 件 ΔA ΔA ，利用物 理关系(位移或变形 A 计算公式)可得补充 方程：
4
Ⅱ. 解超静定问题的基本思路
例1
解除 “多余” 约束 (例如杆3与 接点A的连接)
第六章 简单的超静定问题
超静定结构(statically indeterminate structure)
基本静定系(primary statically determinate system)
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在基本静定系上加 上原有荷载及“多 余”未知力
2. 取杆1与结点C处的连接以及杆2与结点D处的连接 为多余约束，得基本静定系如图c。
FAx
FN1 FN3 FN2
FAy
F
(b)
3
C
D
(c)
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第六章 简单的超静定问题
3. 相当系统应满足的变形相容条件如图d所示为
E
(d) C l1
FN1
l3
l1 2
，Δ
l2
2Δ l1
F
F
FN1 3
FN2
AC
D
BD