重大数学实验六非线性规划
非线性规划高考知识点归纳总结
非线性规划高考知识点归纳总结非线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究在非线性目标函数和非线性约束条件下的优化问题。
在高考数学中，非线性规划通常不会作为主要考点，但了解其基本概念和简单应用对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。
首先，非线性规划问题可以定义为：给定一个目标函数 \( f(x_1,x_2, ..., x_n) \) 和一组约束条件 \( g_i(x_1, x_2, ..., x_n) \leq 0 \)（对于 \( i = 1, 2, ..., m \)），以及 \( h_j(x_1,x_2, ..., x_n) = 0 \)（对于 \( j = 1, 2, ..., p \)），求 \( x \) 的值，使得目标函数 \( f \) 达到最大值或最小值。
在高考中，非线性规划的知识点通常包括以下几个方面：1. 目标函数与约束条件：理解目标函数和约束条件在非线性规划中的作用，以及它们如何影响问题的解。
2. 可行域：掌握如何根据约束条件确定可行域，这是求解非线性规划问题的基础。
3. 拉格朗日乘数法：了解拉格朗日乘数法的基本原理，以及如何利用它求解带有等式约束的非线性规划问题。
4. KKT条件：掌握KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，这是求解非线性规划问题的必要条件。
5. 数值方法：了解一些基本的数值方法，如梯度下降法、牛顿法等，这些方法在实际求解非线性规划问题时非常有用。
6. 实际应用：能够将非线性规划的概念应用到实际问题中，如资源分配、成本最小化等。
在复习非线性规划时，建议从以下几个步骤进行：- 理解概念：首先，要理解非线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行域等。
- 掌握方法：其次，要掌握求解非线性规划问题的基本方法，如拉格朗日乘数法和KKT条件。
- 练习题目：通过大量的练习题目来巩固知识点，提高解题能力。
- 实际应用：尝试将非线性规划的概念应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。
第6章非线性规划
x1 + 2 x 2 ≤ 10 x1 , x 2 ≥ 0
能源 产量y 产量
生产资料1 生产资料 (x1) 1
生产资料2 生产资料 (x2) 2
能源 原理
一、非线性规划的数学模型： 非线性规划的数学模型：
目标函数或约束条件中有非线性函数的规划问题。 目标函数或约束条件中有非线性函数的规划问题。 一般形式： 一般形式：
2 例 : 判断函数凹凸性 : f ( X ) = 3 x 1 + 2 x 2 − 2 x 1 − x 2 + 10 2
∂2 f (X ) ∂x12 解∵ H = 2 ∂ f (X ) ∂ x ∂x 2 1
∂2 f (X ) ∂ x1 ∂ x 2 6 = ∂ 2 f ( X ) 0 2 ∂x 2
六、寻优方法概述： 寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类 无约束条件的NLP问题。 NLP问题 ① 无约束条件的NLP问题。 有约束条件的NLP问题。 NLP问题 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法 间接法(解析法) 适应于目标函数有简单明确的数学表达式。 ① 间接法(解析法)：适应于目标函数有简单明确的数学表达式。 直接法(搜索法) 目标函数复杂或无明确的数学表达式。 ② 直接法(搜索法)：目标函数复杂或无明确的数学表达式。 消去法(对单变量函数有效) a.消去法(对单变量函数有效)： 不断消去部分搜索区间，逐步缩小极值点存在的范围。 不断消去部分搜索区间，逐步缩小极值点存在的范围。 爬山法(对多变量函数有效) b.爬山法(对多变量函数有效)： 根据已求得的目标值，判断前进方向，逐步改善目标值。 根据已求得的目标值，判断前进方向，逐步改善目标值。
非线性规划(数学建模)
1.023
1.031 1.073 1.311 1.080 1.150 1.213 1.156 1.023 1.076 1.142 1.083 1.161 1.076 1.110 0.965
1.048
1.226 0.977 0.981 1.237 1.074 1.562 1.694 1.246 1.283 1.105 0.766 1.121 0.878 1.326 1.078
m ax ( 1)R (X)Q (X), st .. x xn 1 1 x 2 x i 0 i 1 ,2 , ,n
3个模型均为非线性规划模型。
引 例
投资选择问题
某公司在一个时期内可用于投资的总资本为 b万元, 可供选择
的项目有n个。假定对第i个项目的投资总额为ai万元，收益总额为
2.212
1.296 0.688 1.084 0.872 0.825 1.006 1.216 1.244 0.861 0.977 0.922 0.958 0.926 1.146 0.990
引 例
收益和风险
每个投资项目的收益率可以看成一个随机变量,其均值可
以用样本均值(历史均值)来近似.因此, 预计第j种投资的平 均收益率为
0.978
0.947 1.003 1.465 0.985 1.159 1.366 1.309 0.925 1.086 1.212 1.054 1.193 1.079 1.217 0.889
1.184
1.323 0.949 1.215 1.224 1.061 1.316 1.186 1.052 1.165 1.316 0.968 1.304 1.076 1.100 1.012
max s.t.
R( X ) Q( X ) x1 x2 x8 1, xi 0
第六章 非线性规划
第六章 非线性规划由前几章知道，线性规划的目标函数和约束条件都是其自变量的线性函数，如果目标函数或约束条件中包含有自变量的非线性函数，则这样的规划问题就属于非线性规划。
第一节 基本概念一、 非线性规划的数学模型非线性规划数学模型的一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≥==),,2,1(0)(),,2,1(0)()(min l j x g m i x h x f ji （6.1）其中，X=（n χχχ,,,21 ）T 是n 维欧氏空间E n 中的点（向量），目标函数)(X f 和约束函数)()(X j X i g h 、为X 的实函数。
有时，也将非线性规划的数学模型写成 ⎩⎨⎧=≥),,2,1(0)()(min l j X g X f j (6.2)即约束条件中不出现等式，如果有某一约束条件为等式0)(=X g j ，则可用如下两个不等式约束替代它： ⎩⎨⎧≥-≥0)(0)(X g X g jj模型（6.2）也常表示成另一种形式：{}⎩⎨⎧=≥=⊂∈),,2,1(,0)(|),(min l j X g X R E R X X f j n (6.3)上式中R 为问题的可行域。
若某个约束条件氏“≤”不等式的形式，只需用“-1”乘这个约束的两端，即可将其变成“≥”的形式。
此外，由于[])(m in )(m ax x f X f --=，且这两种情况下求出的最优解相同（如有最优解存在），故当需使目标函数极大化时，只需求其负函数极小化即可。
二、二维问题的图解当只有两个自变量时，求解非线性规划也可像对线性规划那样借助于图解法。
考虑非线性规划问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥-+=-+-+-=000505)1()2()(min 212122212221x x x x x x x x x X f (6.4)如对线性规划所作的那样，在21Ox x 坐标平面画出目标函数的等值线，它是以点（2.1）为圆心的同心圆，再根据约束条件画出可行域，它是抛物线段ABCD （图6-1）。
非线性规划的相关概念
非线性规划的相关概念引言非线性规划是数学规划领域中的一个重要研究方向，它是线性规划的推广和扩展。
在许多实际问题中，约束条件和目标函数往往是非线性的，因此需要非线性规划方法来解决这些问题。
本文将介绍非线性规划的基本概念和相关理论。
基本概念1. 可行解在非线性规划中，可行解指的是满足约束条件的解。
具体地，给定约束条件和目标函数，如果存在一组解使得所有约束条件都得到满足，那么这组解就是可行解。
非线性规划的目标是找到一个可行解，使得目标函数值最小或最大。
2. 局部极小解和全局极小解在非线性规划中，局部极小解指的是在某个局部范围内，目标函数值最小的可行解。
全局极小解指的是在整个可行域内，目标函数值最小的可行解。
在非线性规划中，寻找全局极小解往往非常困难，因为非线性规划问题一般没有全局最优解的性质。
因此，通常采用近似算法来寻找接近全局极小解的解。
3. 无约束问题和约束问题非线性规划可以分为无约束问题和约束问题。
无约束问题是指在没有约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题是指在满足一组约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题通常比无约束问题更加复杂，因为需要考虑约束条件的影响。
相关理论1. 梯度下降法梯度下降法是非线性规划中常用的优化方法之一。
基本思想是通过迭代更新解，使得目标函数值逐渐降低。
具体地，梯度下降法使用目标函数的梯度信息来指导搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法通常在局部范围内找到局部极小解，并且易于实现。
2. 牛顿法牛顿法是一种经典的非线性优化方法，广泛应用于非线性规划问题的求解。
它利用目标函数和约束条件的一阶和二阶导数信息来更新解。
具体地，牛顿法通过计算目标函数的海森矩阵来确定搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法在局部范围内通常能够快速收敛到极小解。
3. 二次规划二次规划是非线性规划中的一种特殊形式，目标函数是二次函数，约束条件是线性条件。
它可以通过求解一组二次方程组来得到最优解。
高教版数学建模与数学实验第3版第6讲_非线性规划.ppt
(6) [x,fval]= fmincon(…) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(…) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(…)
注意：
[1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法．默认 时: 若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置 为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函 数将选择大型算法．当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型 算法．
问题(1)可简记为 min f X ． X D
定义2 对于问题(1),设 X * D ,若存在 0 ,使得对一切
X D ,且 X X * ,都有 f X * f X ,则称X*是f(X)在D上的
局部极小值点（局部最优解）．特别地,当X X* 时，若
f X * f X ,则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最
1112x1 x22 2
0 0
x1 x2
c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2];
Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[];
[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
3．运算结果为：
步骤(5)；否则，缩小步长限制，令
k j
=
k j
j = 1,L, n，返
回步骤(3)，重解当前的线性规划问题；
5)
判断精度：若
k j
j =1,L,n，则点 X k1为近似最优解；
否则，令
k 1 j
=
k j
j =1,L,n，k=k+1，返回步骤(2)． 返回
第六章非线性规划(管理运筹学,李军)
2020/7/30
10
1.3 非线性规划问题的图示
x2 6
3 2
0
23
f(X)=4 f(X)=2
x1 6
由左图可见,等值线 f (X)=2和约束条件直 线6-6相切，切点D即
为此问题的最优解， X*=(3, 3)，其目标函 数值 f (X*)=2。
2020/7/30
11
1.3 非线性规划问题的图示
在此例中，约束h(X ) x1 x2 6 0 对最优解发生 了影响，若以 h(X ) x1 x2 6 0 代替原约束， 则非线性规划的最优解是X (2,2) ，即图中的 C点，此时 f (X ) 0。由于最优点位于可行域 的内部，故事实上约束 h(X ) x1 x2 6 0 并未 发挥作用，问题相当一个无约束极值问题。
xn2
2020/7/30
22
充分条件
（充分条件）等价于： 如果函数f (X)在X*点的梯度为零且海赛矩 阵正定，则X*为函数f (X)的严格局部极小 点。
2020/7/30
23
2.3 凸函数和凹函数
设 f (X)为定义在En中某一凸集R上的函 数，若对于任何实数（0<<1）以及R中 的任意两点X(1)和X(2) ，恒有：
2020/7/30
38
3.2 下降迭代算法
确定搜索方向P (k)是关键的一步，各种算法的区 别主要在于确定搜索方向P (k)的方法不同。
步长 k 的选定一般都是以使目标函数在搜索方 向上下降最多为依据的，称为最佳步长，即沿 射线 X X (k) P(k) 求目标函数的极小值
k : min f ( X (k) P(k) )
2020/7/30
21
充分条件
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
《非线性规划》课件
非线性规划的约束条件
非线性规划的约束条件是指限制问题解的一组方程或不等式。这些约束条件可以包括物理限制、资源约 束和行为限制等。
非线性规划的求解方法
线性化方法
将非线性问题转化为等价的 线性问题，然后使用线性规 划方法求解。
牛顿法
使用牛顿迭代法逐步逼近最 优解。
拟牛顿法
使用近似Hessian矩阵的方法 优化牛顿法。
变尺度法、全局优化方法
1
变尺度法
通过改变尺度，将问题转化为更易求解的形式。
2
全局优化方法
使用启发式算法寻找全局最优解。
非线性规划的应用领域
生产计划问题
优化生产计划，提高效率和利润。
交通运输问题
优化交通网络和运输流程。
优化电力系统
使电力系统运行更加高效和可靠。
决策支持系统
为决策者提供优化建议和决策支持。
医资源分配和治疗方案。
非线性规划的挑战
复杂的问题结构和求解困难。
未来的研究方向
未来的研究方向包括改进算法性能、适用于大规模问题的方法和考虑不确定性的优化模型等。
《非线性规划》PPT课件
在这个《非线性规划》PPT课件中，我们将深入探讨非线性规划的各个方面， 并介绍其在不同领域的应用。让我们一起开启这个激动人心的学习之旅！
什么是非线性规划？
非线性规划是一种在优化问题中寻找最优解的数学方法。它处理的是有非线 性约束条件和目标函数的优化问题。
非线性规划的优化目标
数学实验非线性规划.docx
《大学数学实验》作业非线性规划班级:姓名:学号: 日期:目录【实验目的】 (3)【实验内容】 (3)题目1 （课本习题第九章第4题） (3)【第（1）问求解】 (3)【第（2）问求解】 (7)【第（3）问求解】 (7)【拓展实验、思考、对比、分析】 (8)【木题小结】 (10)题目2（课本习题第九章第8题） (10)【模型建立】 (11)【模型求解】 (14)【第（1）问求解】 (14)【第（2）问求解】 (20)【第（3）问求解】 (22)【拓展实验、思考、对比、分析】 (23)【本题小结】 (25)【实验心得、体会】 (25)注：本实验作业脚本文件均以ex9_4_l形式命名，其中ex代表作业，9_4_1表示第九章第四小题第一个程序。
自编函数均以exf9_4_l形式命名，exf代表作业函数，9_4_1 表示第九章第四题第一个自编函数。
【实验目的】1.掌握用MATLAB优化工具箱和LINGO解非线性规划的方法；2.练习建立实际问题的非线性规划模型。
【实验内容】题目1 （课本习题第九章第4题）某公司将3种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙）混合生产两种产品（分别记为A, B）。
按照生产工艺的要求，原料甲、乙必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合牛产A, Bo已知原料甲、乙、丙的含硫量分别是3%, 1%, 2%,进货价格分别为6千元/t, 16千元/t, 10千元/t；产品A, B的含硫量分别不能超过2.5%, 1.5%,售价分别为9千元/t, 15千元/t。
根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量都不能超过500t；产品A, B的最大市场需求量分别为100t, 200to（1）应如何安排生产？⑵如果产品A的最大市场需求量增长为600t,应如何安排生产？⑶如果乙的进货价格下降为13千元/t,应如何安排生产？分别对（1）、（2）两种情况进行讨论。
【第（1）问求解】【模型建立】⑴模型该题为带约束非线性规划问题，其模型包含决策变量、FI标函数和约束条件。
重大数学实验六非线性规划
T rj rjk / T k 1
收益的风险可定义为收益的波动程度,可用样本方差(历史方差)来度量, 为：
投资组合 X=(x1,x2,…,xn)在第 k 年的收益率为:
投资组合 X=(x1,x2,…,xn) 的平均收益率为:
投资组合 X=(x1,x2,…,xn)的风险为:
1.0000
0.0000
0.0187 0.1296 0.0203
0.0100 0.1244 0.0160
0.1152 0.0098
首先将各投资收益资料建立成数据资料：Investment.dat 并将其导入到 Matlab 中： 0.075 0.084 0.061 0.052 0.055 0.077 0.109 0.127 0.156 0.117 0.092 0.103 0.08 0.063 0.061 0.071 0.087 0.08 0.057 0.036 0.031 -0.058 0.02 0.056 0.175 0.002 -0.018 -0.022 -0.053 0.003 0.465 -0.015 0.159 0.366 0.309 -0.075 0.086 0.212 0.054 0.193 0.079 0.217 -0.148 -0.265 0.371 0.236 -0.074 0.064 0.184 0.323 -0.051 0.215 0.224 0.061 0.316 0.186 0.052 0.165 0.316 -0.032 0.304 0.076 0.1 -0.185 -0.284 0.385 0.266 -0.026 0.093 0.256 0.337 -0.037 0.187 0.235 0.03 0.326 0.161 0.023 0.179 0.292 -0.062 0.342 0.09 0.113 -0.302 -0.338 0.318 0.28 0.093 0.146 0.307 0.367 -0.01 0.213 0.217 -0.097 0.333 0.086 -0.041 0.165 0.204 -0.17 0.594 0.174 0.162 0.023 0.002 0.123 0.156 0.03 0.012 0.023 0.031 0.073 0.311 0.08 0.15 0.213 0.156 0.023 0.076 0.142 0.083 0.161 0.076 0.11 -0.149 -0.232 0.354 0.025 0.181 0.326 0.048 0.226 -0.023 -0.019 0.237 0.074 0.562 0.694 0.246 0.283 0.105 -0.234 0.121 -0.122 0.326 0.677 0.722 -0.24 -0.04 0.2 0.295 1.212 0.296 -0.312 0.084 -0.128 -0.175 0.006 0.216 0.244 -0.139 -0.023 -0.078 -0.042 -0.074 0.146
数学建模—非线性规划实验报告
实验六数学建模—非线性规划实验目的：1．直观了解非线性规划的基本内容．2．掌握用数学软件求解优化问题．实验内容：1、某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台．每季度的生产费用为()2bxaxxf+=（单位:元）, 其中x是该季度生产的台数．若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问:工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低．讨论a、b、c变化对计划的影响，并作出合理的解释．2、一基金管理人的工作是: 每天将现有的美元、英镑、马克和日元四种货币按当天汇率相互兑换，使在满足需要的条件下，按美元计算的价值最高．设某天的汇率、现有货币和当天需求如下：问该天基金管理人应如何操作. (“按美元计算的价值”指兑入、兑出汇率的平均值，如1英镑相当于()258928.01697.1+=1.696993美元.)实验过程与结果：1、（1）模型建立决策变量：设第1，2，3季度分别生产x1，x2，x3台发动机，第1，2季度末分别有存货40-x1，x1+x2-100台，第3季度末无存货目标函数：设总费用为z=a(x1+x2+x3)+b(x1^2+x2^2+x3^2)+c[(x1-40)+(x1+x2-100)]约束条件：生产的发动机应该在第3季度末全部卖出，则有x1+x2+x3=180；同时要保证第1，2季度能供货且有能力生产，要求x1≥40，x1+x2≥100,100≥x1,100≥x2,100≥x3非负约束：x1,x2,x3≥0综上可得：Maxz=a(x1+x2+x3)+b(x1^2+x2^2+x3^2)+c[(x1-40)+(x1+x2-100)]s.t．x1+x2+x3=180x1+x2≥100x1≥400≤x1,x2,x3≤100（2）模型求解结果为：即工厂应第一季度生产50台发动机，第二季度生产60台发动机，第三季度生产70台发动机，才能既满足合同又使总费用最低。
数学实验报告——利用MALTAB进行非线性规划
㈡简要分析
本题是一道比较简单的非线性规划求解问题， 不涉及数学建模以及应用分析 等问题，只需要将所给问题转化为 MATLAB 代码进行处理。这里可以采用不同的 算法，并对比进行分析。
㈢方法与公式
1、求解规划方法
求解本题可以考虑几种规划。 对于第(1)组约束来说，仅含有上下界约束，可以考虑使用 SQP 方法或者置 信域方法；但是考虑到本题规模较小，这里仅采用 SQP 方法。（事实是，设定使 用大规模算法后，MATLAB 仍旧自动使用 SQP 完成计算，因而无法进行对比）； 对第(2)组约束来说，仅可以使用 SQP 方法； 对第(3)组约束来说，可以使用 SQP 方法，也可以利用后两个等式把规划化 化简后再使用 SQP 方法。
5、脚本 2
5
v1 = -10*ones(1,4); v2 = 10*ones(1,4); x00 = [-3,-1,-3,-1]; x01 = -[-3,-1,-3,-1]; x02 = [10,-20,5,3]; x03 = [-5,10,15,-20]; opt = optimset('largeScale','off','MaxFunEvals',4000,'MaxIter', 1000,'Algorithm','active-set'); [x(1,:),f1,exitflag1,out(1)] = fmincon('fun',x00,[],[],[],[],v1,v2,@edge3,opt); [x(2,1:2),f2,exitflag2,out(2)] = fmincon('fun1',x00(2:3),[],[],[],[],v1(1:2),v2(1:2),@edge 31,opt); [x(3,:),f3,exitflag3,out(3)] = fmincon('fun',x01,[],[],[],[],v1,v2,@edge3,opt); [x(4,1:2),f4,exitflag4,out(4)] = fmincon('fun1',x01(2:3),[],[],[],[],v1(1:2),v2(1:2),@edge 31,opt); [x(5,:),f5,exitflag5,out(5)] = fmincon('fun',x02,[],[],[],[],v1,v2,@edge3,opt); [x(6,1:2),f6,exitflag6,out(6)] = fmincon('fun1',x02(2:3),[],[],[],[],v1(1:2),v2(1:2),@edge 31,opt); [x(7,:),f7,exitflag7,out(7)] = fmincon('fun',x03,[],[],[],[],v1,v2,@edge3,opt); [x(8,1:2),f8,exitflag8,out(8)] = fmincon('fun1',x03(2:3),[],[],[],[],v1(1:2),v2(1:2),@edge 31,opt); answer = zeros(1:8); for i = 1:8 out(i) end for j = 1:4 x(2*j,3)=x(2*j,1); x(2*j,1) = -x(2*j,2);
非线性规划课件
②再固定x₂=x₂ (1): 求以x₁为单变量的目标函数的极值点，
得 X(2)=(x,(2),x₂ (1))T ,S(2)=f(X(2))
此时S(2)优于S(1), 且搜索区间缩短为x₁*∈[x,(2),b,],x₂*∈[x₂ (1),b₂] 第二步：如此交替搜索，直至满足给定精度ε为止
否则，继续缩短区间，
直至满足给定的精度为
①f(x₂)≥f(xq), 取[aq=ao,b,=x,]
X₁ =X2
x'2=b₁-λ(b₁-aq) ②f(x₂)<f(x₁), 取[a=x2,b,=b,]
x=aq+λ(b₁-aq)
10
x₂ =x₁
例 求 解 f(x)=-18x²+72x+28 的极大值点，δ≤0.1,起始搜索区间为[0,3] 解：①用间接法：令 f'(x)=-36x+72=0, 得驻点 x=2
xq*∈[aq,b,],x²*∈[a₂ ,b₂ ],.,x*∈[an,b,]
1、原理： ①从起点 X(0) 出发，沿平行于 x, 轴的方向P(1)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(1)上近似极值点 X(1);
②从点 X(1) 出发，沿平行于 x₂ 轴的方向P(2)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(2)上近似极值点 X(2); ③从点 X(2) 出发，照此交替进行下去，直至满足给定的精度ε为止
六、 寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类
① 无约束条件的NLP问题。 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法
① 间接法(解析法):适应于目标函数有简单明确的数学表达式。
1.实验6-1 原油采购与加工——解法1(非线性规划NLP,用LINGO求解)
河北大学《数学模型》实验 实验报告一、实验目的学会利用LINGO 进行实验，熟练掌握用LINGO 求解简单的非线性规划问题以及整数规划问题。
二、实验要求1.原油采购与加工——解法1（非线性规划NLP ，用LINGO 求解）1. 输入非线性规划模型（参考教材 p103）。
2．另存，文件扩展名为.lg4，用 LINGO 语法。
3. 运行,结果与 p103-104 的结果比较。
2.原油采购与加工——解法2（整数规划IP ，用LINGO 求解）1. 输入整数规划模型（参考教材 p104）并运行。
2. 结果与 p106 的结果比较。
3.原油采购与加工——解法3（整数规划IP ，用LINDO 求解）1. 输入整数规划模型并运行。
2. 结果与 p105 的结果比较。
三、实验内容1.原油采购与加工——解法1（非线性规划NLP ，用LINGO 求解）（参考教材 p104-106）模型：⎧ 10x (0 ≤ x ≤ 500) c (x ) = ⎪ (500 ≤ x ≤1000) 已知 ⎨1000 + 8x ⎪3000 + 6x (1000 ≤ x ≤1500)⎩Max z = 4.8(x 11 + x 21) + 5.6 (x 12 + x 22 ) - c (x )x 11 + x 12 ≤ 500 + xx 21 + x 22 ≤1000x ≤1500x 11 ≥ 0.5x + x 21 11x 12 ≥ 0.6x + x2212x11, x12, x21, x22, x ≥0变换为以下的非线性规划模型：Max z =4.8(x11+ x21)+5.6 (x12+ x22)-(10x1+8x2+6x3)x11+ x12≤500+ xx21+ x22≤1000x11≥ 0.5x + x2111x12≥ 0.6x + x2212x = x1+ x2+ x3(x1- 500)x2= 0 (x2- 500)x3= 00 ≤x1 , x2 , x3≤ 500x11, x12, x21, x22, x ≥0在模型窗口中输入以下模型：1.Model:2.Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;3.x11+x12 < x + 500;4.x21+x22 < 1000;5.x11 - x21 > 0;6.2*x12 - 3*x22 > 0;7.x=x1+x2+x3;8.(x1 - 500) * x2=0;9.(x2 - 500) * x3=0;10.x1 < 500;11.x2 < 500;12.x3 < 500;13.end2.原油采购与加工——解法2（整数规划IP，用LINGO求解）（参考教材p106-107）模型同实验 04-06。
运筹学―第六章非线性规划精品PPT课件
F1 1 Fn1 Fn2
, n 2,3,
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
23 3
…
Fn1
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Fn
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
… 233
hj (x) 0, j 1,...q
(NLP)
X
x
Rn
gi (x) hj (x)
0, i 1,..., p 0, j 1,..., q
约束集
如果(NLP)的约束集X是凸集，目标函数f是 X上的凸函数，则(NLP)叫做非线性凸规划， 或简称为凸规划。
凸规划的性质
定理 6.3 对于非线性规划(NLP)，若 gi ( x), i 1,..., p 皆为 Rn 上的凸函数， h j ( x), j 1,..., q 皆为线性函数， 并且 f 是 X 上的凸函数，则 NLP 是凸规划。
性质 6.2 设 S Rn 是非空凸集， f : Rn R 是凸函数， c R ，则集合
H S ( f , c) x S f ( x) c
是凸集。
凸函数的判 定
定理 6.1 设 S Rn 是非空开凸集， f : S R 可微，则
（1） f 是 S 上的凸函数的充要条件是
f ( x1 )T ( x 2 x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 ) ， x1 , x 2 S
试获得 n 组 与 t 之间的实验数据 (ti , i ) ，
i=1，2，…,n。试确定参数 c1 ， c 2 ， c 3 ，
非线性规划实训报告范文
一、前言非线性规划是运筹学中的一个重要分支，主要研究非线性约束条件下的优化问题。
为了提高我们的实践能力，加深对非线性规划理论的理解，我们选择了非线性规划实训作为本学期的实践课程。
本文将详细记录实训过程，总结实训成果，并对实训过程中遇到的问题进行分析。
二、实训目的与要求1. 了解非线性规划的基本概念和理论；2. 掌握非线性规划问题的建模方法；3. 熟悉非线性规划算法，如梯度下降法、牛顿法等；4. 通过实际问题，提高解决非线性规划问题的能力。
三、实训环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3. 数学软件：MATLAB4. 非线性规划软件：Optimization Toolbox四、实训原理非线性规划问题一般可以表示为以下形式：min f(x)s.t. g_i(x) ≤ 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., n其中，f(x)为目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别为不等式约束和等式约束。
五、实训过程1. 学习非线性规划的基本概念和理论，包括目标函数、约束条件、可行域、最优解等；2. 通过MATLAB软件，学习非线性规划问题的建模方法，如二次规划、非线性约束优化等；3. 熟悉非线性规划算法，如梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等；4. 分析实际问题，建立非线性规划模型，并选择合适的算法进行求解；5. 对求解结果进行分析，评估算法的效率和精度。
六、实训案例1. 案例一：二次规划问题目标函数：min f(x) = x1^2 + 2x2^2 + 2x1x2约束条件：g1(x) = x1 + x2 - 1 ≤ 0g2(x) = x1 - x2 - 1 ≤ 0x1, x2 ≥ 0通过MATLAB软件，利用二次规划算法求解该问题，得到最优解为x1 = 0.5, x2 = 0.5，最小值为1。
2. 案例二：非线性约束优化问题目标函数：min f(x) = x1^2 + x2^2约束条件：g1(x) = x1^2 + x2^2 - 1 ≤ 0g2(x) = x1 - x2 - 1 ≤ 0x1, x2 ≥ 0通过MATLAB软件，利用非线性规划算法求解该问题，得到最优解为x1 = 1.5, x2 = 0.5，最小值为2.25。
运筹学课件第六章 非线性规划
或 x
k 1
x tk p , tk 0
k k
称p k 为 第k轮 搜 索 方 向 ， 为 第k轮 沿 搜 索 方 向 tk p k的 步 长 。
第11页
n n n 定义3 设f : R R, x R , p R , p 0， 0，使得 若
f ( x tp) f ( x ), t (0, )
2 1
令 0 得： f ( x1 )T ( x 2 x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 )
f ( x 2 ) f ( x1 )
第23页
x1 , x 2 S f ( x ) ( x x ) f ( x ) f ( x )
1 T 2 1 2 1
1 T 2 1 2 1
证 (1) 必要性.设f是S上的凸函数，则对 (0,1), 有
f ( x 2 (1 ) x1 ) f ( x 2 ) (1 ) f ( x1 )
x1 , x 2 S
f ( x 1 ( x 2 x 1 )) f ( x1 )
第14页
全局优化算法概述
全局优化方法可分为随机性方法和确定性方法. 确定性方法充分利用了问题的解析性质, 如函数的 凸性、单调性、稠密性等, 产生一个确定性的有限 或无限点序列, 使得该点序列收敛于全局最优解. 包 括分枝定界算法、区间算法、填充函数法、割平面 法、顶点枚举法等,这类算法在理论上有较强的可行 性, 但对较为复杂的大型优化问题却难于应用.
如果有 f ( x* ) f ( x), x D, x x* 则称 x * 是(P)的严格全局最优解或严格全局极小点， 称 f ( x * ) 是(P)的严格全局最优值或严格全局极小值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
max z s.t.
2 0.201x14 x2 x3 107 675 x12 x2 0 2 x12 x3 0 107 0 x1 36, 0 x2 5, 0 x3 125
0.419
分别建立 3 个 M 文件： %QQ21.m： function f=QQ21(x) f=-(10^(-7))*0.201*(x(1)^4)*x(2)*x(3)^2; %QQ22.m： function [G,Geq]=QQ22(x) G=[x(2)*x(1)^2-675;-1*(10^(-7))*x(1)^2*x(3)^2-0.419]; Geq=[]; %QQ23.m： x0=[8 5 2]; A=[];b=[]; Aeq=[];bed=[]; lb=[0 0 0];ub=[36 5 125]; [x,fval]=fmincon('QQ21',x0,A,b,Aeq,bed,lb,ub,'QQ22');
应用实验（或综合实验）
一、实验内容 4. 组合投资问题
设有 8 种投资选择:5 支股票,2 种债券,黄金. 投资者收集到这些投资项目的年收益率的历史数据 (见表 6.1), 投资者应如何分配他的投资资金,即需要确定这 8 种投资的最佳投资分配比例. 表 6.1 8 种投资项目的年收益率历史数据 项目 年份 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994
1.0000
0.0000
0.0187 0.1296 0.0203
0.0100 0.1244 0.0160
0.1152 0.0098
首先将各投资收益资料建立成数据资料：Investment.dat 并将其导入到 Matlab 中： 0.075 0.084 0.061 0.052 0.055 0.077 0.109 0.127 0.156 0.117 0.092 0.103 0.08 0.063 0.061 0.071 0.087 0.08 0.057 0.036 0.031 -0.058 0.02 0.056 0.175 0.002 -0.018 -0.022 -0.053 0.003 0.465 -0.015 0.159 0.366 0.309 -0.075 0.086 0.212 0.054 0.193 0.079 0.217 -0.148 -0.265 0.371 0.236 -0.074 0.064 0.184 0.323 -0.051 0.215 0.224 0.061 0.316 0.186 0.052 0.165 0.316 -0.032 0.304 0.076 0.1 -0.185 -0.284 0.385 0.266 -0.026 0.093 0.256 0.337 -0.037 0.187 0.235 0.03 0.326 0.161 0.023 0.179 0.292 -0.062 0.342 0.09 0.113 -0.302 -0.338 0.318 0.28 0.093 0.146 0.307 0.367 -0.01 0.213 0.217 -0.097 0.333 0.086 -0.041 0.165 0.204 -0.17 0.594 0.174 0.162 0.023 0.002 0.123 0.156 0.03 0.012 0.023 0.031 0.073 0.311 0.08 0.15 0.213 0.156 0.023 0.076 0.142 0.083 0.161 0.076 0.11 -0.149 -0.232 0.354 0.025 0.181 0.326 0.048 0.226 -0.023 -0.019 0.237 0.074 0.562 0.694 0.246 0.283 0.105 -0.234 0.121 -0.122 0.326 0.677 0.722 -0.24 -0.04 0.2 0.295 1.212 0.296 -0.312 0.084 -0.128 -0.175 0.006 0.216 0.244 -0.139 -0.023 -0.078 -0.042 -0.074 0.146
T rj rjk / T k 1
收益的风险可定义为收益的波动程度,可用样本方差(历史方差)来度量, 为：
投资组合 X=(x1,x2,…,xn)在第 k 年的收益率为:
投资组合 X=(x1,x2,…,xn) 的平均收益率为:
投资组合 X=(x1,x2,…,xn)的风险为:
开课学院、实验室： 实验时间
课程 数学实验 名称 指导 教师
： 非线性规划与多目标规划
验证
实验项目 名 成 称 绩
实验项目类型
演示 综合 设计 其他
√
实验目的
[1] 学习非线性规划模型的标准形式和建模方法； [2] 掌握建立非线性规划模型的基本要素和求解方法； [3] 熟悉 MATLAB 软件求解非线性规划模型的基本命令； [4] 通过范例学习，了解建立非线性规划模型的全过程，与线性规划比较其难点何在。 本实验包括基础实验、应用实验和创新实验，基础实验和应用实验要求独立完成，创新实验要求合 作完成。通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设和建立优 化模型，并且使学生学会使用 MATLAB 软件和 Lingo 软件求解非线性规划模型，注意初始解的选择不同会 导致软件求出的解的变化（是局部最优解还是整体最优解） 。解决现实生活中的最优化问题是本科生学习 阶段中一门重要的课程，因此，本实验对学生的学习尤为重要。
基础实验
一、实验内容
1．建立非线性规划模型的基本要素和步骤； 2．熟悉使用 MATLAB 命令对非线性规划模型进行计算与灵敏度分析； 3．学会计算无约束优化问题和有约束优化问题的技巧。
二、实验过程（一般应包括实验原理或问题分析，算法设计、程序、计算、图表等， 实 验结果及分析）
基础实验： 1.求解无约束优化：
债券 1
债券 2
股票 1
股票 2
股票 3
股票 4
股票 5
黄金
二、问题分析
设投资的期限是一年， 不妨设投资总数为 1 个单位， 用于第 i 项投资的资金比例为 xi , X=(x1,x2,…,xn) 称为投资组合向量. 显然有：
x1+x2+…+xn=1, xi≥0； 每个投资项目的收益率可以看成一个随机变量,其均值可以用样本均值(历史均值)来近似. 设 rjk 代 表第 j 种投资在第 k 年的收益率. 则预计第 j 种投资的平均收益率为 ：
q R ( R(1 X j k
由图可知，高回报的收益伴随着高风险，这也与实际相符。 其中图中收益最低（风险最低）一点投资组合为： x= 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 收益为： Income = 0.1412 风险系数为：Risk = 0.0554 收益最高（风险最高）一点投资组合为： x= 0.8574 0.0086 0.0039 0.0035 0.0051 08 0.1387 0.1347 0.1315 风险系数为：Risk=0.0554 0.0506 0.0361 0.0262 0.0219 五、附录（程序等）
min f ( x1 , x2 ) 20e 0.2 s.t.
2 2 0.5( x1 x2 )
e0.5(cos(2 x1 ) cos(2 x2 )) 22.713
5 xi 5, i 1, 2
1) 画出该曲面图形, 直观地判断该函数的最优解; 2) 使用 fminunc 命令求解, 能否求到全局最优解? %第一题1)： X=-5:0.1:5; Y=X; [x1,x2]=meshgrid(X,Y); R=-0.2*sqrt(0.5*(x1.^2+x2.^2)); P=0.5*(cos(2*pi.*x1)+cos(2*pi.*x2)); r=-20*exp(R);p=-1*exp(P); yf=r+p+22.713; mesh(x1,x2,yf);title('第一题图') 运行图： %第一题2): %QQ11.m:
x1=x(1),x2=x(2),x3=x(3),fMax=-fval 输出结果： x1 = 8.1242 x2 = 5 x3 = 38.7417 fMax = 0.6571 当取 x0=[2 1 1]时，输出为：x1 = 2 x2 = 1 x3 = 1 fMax = 3.2160e-07 可见当初始值不同时，所得结果是不同，由此可知所求结果并非最优解。
0.075 0.084 0.061 0.052 0.055 0.077 0.109 0.127 0.156 0.117 0.092 0.103 0.08 0.063 0.061 0.071 0.087 0.08 0.057 0.036 0.031 0.045 -0.058 0.02 0.056 0.175 0.002 -0.018 -0.022 -0.053 0.003 0.465 -0.015 0.159 0.366 0.309 -0.075 0.086 0.212 0.054 0.193 0.079 0.217 -0.111 -0.148 -0.265 0.371 0.236 -0.074 0.064 0.184 0.323 -0.051 0.215 0.224 0.061 0.316 0.186 0.052 0.165 0.316 -0.032 0.304 0.076 0.1 0.012 -0.185 -0.284 0.385 0.266 -0.026 0.093 0.256 0.337 -0.037 0.187 0.235 0.03 0.326 0.161 0.023 0.179 0.292 -0.062 0.342 0.09 0.113 -0.001 -0.302 -0.338 0.318 0.28 0.093 0.146 0.307 0.367 -0.01 0.213 0.217 -0.097 0.333 0.086 -0.041 0.165 0.204 -0.17 0.594 0.174 0.162 -0.032 0.023 0.002 0.123 0.156 0.03 0.012 0.023 0.031 0.073 0.311 0.08 0.15 0.213 0.156 0.023 0.076 0.142 0.083 0.161 0.076 0.11 -0.035 -0.149 -0.232 0.354 0.025 0.181 0.326 0.048 0.226 -0.023 -0.019 0.237 0.074 0.562 0.694 0.246 0.283 0.105 -0.234 0.121 -0.122 0.326 0.078 0.677 0.722 -0.24 -0.04 0.2 0.295 1.212 0.296 -0.312 0.084 -0.128 -0.175 0.006 0.216 0.244 -0.139 -0.023 -0.078 -0.042 -0.074 0.146 -0.01