重大数学实验六非线性规划

0.075 0.084 0.061 0.052 0.055 0.077 0.109 0.127 0.156 0.117 0.092 0.103 0.08 0.063 0.061 0.071 0.087 0.08 0.057 0.036 0.031 0.045 -0.058 0.02 0.056 0.175 0.002 -0.018 -0.022 -0.053 0.003 0.465 -0.015 0.159 0.366 0.309 -0.075 0.086 0.212 0.054 0.193 0.079 0.217 -0.111 -0.148 -0.265 0.371 0.236 -0.074 0.064 0.184 0.323 -0.051 0.215 0.224 0.061 0.316 0.186 0.052 0.165 0.316 -0.032 0.304 0.076 0.1 0.012 -0.185 -0.284 0.385 0.266 -0.026 0.093 0.256 0.337 -0.037 0.187 0.235 0.03 0.326 0.161 0.023 0.179 0.292 -0.062 0.342 0.09 0.113 -0.001 -0.302 -0.338 0.318 0.28 0.093 0.146 0.307 0.367 -0.01 0.213 0.217 -0.097 0.333 0.086 -0.041 0.165 0.204 -0.17 0.594 0.174 0.162 -0.032 0.023 0.002 0.123 0.156 0.03 0.012 0.023 0.031 0.073 0.311 0.08 0.15 0.213 0.156 0.023 0.076 0.142 0.083 0.161 0.076 0.11 -0.035 -0.149 -0.232 0.354 0.025 0.181 0.326 0.048 0.226 -0.023 -0.019 0.237 0.074 0.562 0.694 0.246 0.283 0.105 -0.234 0.121 -0.122 0.326 0.078 0.677 0.722 -0.24 -0.04 0.2 0.295 1.212 0.296 -0.312 0.084 -0.128 -0.175 0.006 0.216 0.244 -0.139 -0.023 -0.078 -0.042 -0.074 0.146 -0.01
基础实验
一、实验内容
1．建立非线性规划模型的基本要素和步骤； 2．熟悉使用 MATLAB 命令对非线性规划模型进行计算与灵敏度分析； 3．学会计算无约束优化问题和有约束优化问题的技巧。
二、实验过程（一般应包括实验原理或问题分析，算法设计、程序、计算、图表等， 实 验结果及分析）
基础实验： 1.求解无约束优化：
双目标: 最大化利润,最小化风险
s.t.
三、数学模型的建立与求解(一般应包括模型、求解步骤或思路，程序放在后面的附录中)
建立双目标模型: 最大化利润,最小化风险：
s.t.
四、实验结果及分析
1 Q ( X max
x1+x2+…+x8=1, xi 0, i=1,2,…,8 x1+x2+…+x8=1, xi 0, i=1,2,…,8
T rj rjk / T k 1
收益的风险可定义为收益的波动程度,可用样本方差(历史方差)来度量, 为：
投资组合 X=(x1,x2,…,xn)在第 k 年的收益率为:
投资组合 X=(x1,x2,…,xn) 的平均收益率为:
投资组合 X=(x1,x2,…,xn)的风险为:
function f=QQ11(x) R=-0.2*sqrt(0.5*(x(1)^2+x(2)^2)); P=0.5*(cos(2*pi*x(1))+cos(2*pi*x(2))); r=-20*exp(R);p=-1*exp(P); f=r+p+22.713 %QQ12.m: x1=[-1 -1]; options=optimset('display','iter','tolfun',1e-10); [x,fval]=fminunc('QQ11',x1,options) 输出： f = 3.6201 f = 3.6201 f = 3.6201 f = -0.0053 f= 1.7905 f = 1.7905 f = 1.7905 f = 0.0812 f = 0.0062 f = 0.0062 f = 0.0062 f = -0.0034 f = -0.0050 f = -0.0050 f = -0.0050 f = -0.0052 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 f = -0.0053 x= 0 0 fval = -0.0053 2. 求解非线性规划,试判定你所求到的解是否是最优? f= f= f= f= f= f= f= f= f= f= f= -0.0053 0.0812 -0.0034 -0.0052 -0.0053 -0.0053 -0.0053 -0.0053 -0.0053 -0.0053 -0.0053 f= f= f= f= f= f= f= f= f= f= f= -0.0053 0.0812 -0.0034 -0.0052 -0.0053 -0.0053 -0.0053 -0.0053 -0.0053 -0.0053 -0.0053
应用实验（或综合实验）
一、实验内容 4. 组合投资问题
设有 8 种投资选择:5 支股票,2 种债券,黄金. 投资者收集到这些投资项目的年收益率的历史数据 (见表 6.1), 投资者应如何分配他的投资资金,即需要确定这 8 种投资的最佳投资分配比例. 表 6.1 8 种投资项目的年收益率历史数据 项目 年份 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994
min f ( x1 , x2 ) 20e 0.2 s.t.
2 2 0.5( x1 x2 )
e0.5(cos(2 x1 ) cos(2 x2 )) 22.713
5 xi 5, i 1, 2
1) 画出该曲面图形, 直观地判断该函数的最优解; 2) 使用 fminunc 命令求解, 能否求到全局最优解? %第一题1)： X=-5:0.1:5; Y=X; [x1,x2]=meshgrid(X,Y); R=-0.2*sqrt(0.5*(x1.^2+x2.^2)); P=0.5*(cos(2*pi.*x1)+cos(2*pi.*x2)); r=-20*exp(R);p=-1*exp(P); yf=r+p+22.713; mesh(x1,x2,yf);title('第一题图') 运行图： %第一题2): %QQ11.m:
开课学院、实验室： 实验时间
课程 数学实验 名称 指导 教师
： 非线性规划与多目标规划
验证
实验项目 名 成 称 绩
实验项目类型
演示 综合 设计 其他
√
实验目的
[1] 学习非线性规划模型的标准形式和建模方法； [2] 掌握建立非线性规划模型的基本要素和求解方法； [3] 熟悉 MATLAB 软件求解非线性规划模型的基本命令； [4] 通过范例学习，了解建立非线性规划模型的全过程，与线性规划比较其难点何在。 本实验包括基础实验、应用实验和创新实验，基础实验和应用实验要求独立完成，创新实验要求合 作完成。通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设和建立优 化模型，并且使学生学会使用 MATLAB 软件和 Lingo 软件求解非线性规划模型，注意初始解的选择不同会 导致软件求出的解的变化（是局部最优解还是整体最优解） 。解决现实生活中的最优化问题是本科生学习 阶段中一门重要的课程，因此，本实验对学生的学习尤为重要。
x1=x(1),x2=x(2),x3=x(3),fMax=-fval 输出结果： x1 = 8.1242 x2 = 5 x3 = 38.7417 fMax = 0.6571 当取 x0=[2 1 1]时，输出为：x1 = 2 x2 = 1 x3 = 1 fMax = 3.2160e-07 可见当初始值不同时，所得结果是不同，由此可知所求结果并非最优解。
1.0000
0.0000
0.0187 0.1296 0.0203
0.0100 0.1244 0.0160
0.1152 0.0098
首先将各投资收益资料建立成数据资料：Investment.dat 并将其导入到 Matlab 中： 0.075 0.084 0.061 0.052 0.055 0.077 0.109 0.127 0.156 0.117 0.092 0.103 0.08 0.063 0.061 0.071 0.087 0.08 0.057 0.036 0.031 -0.058 0.02 0.056 0.175 0.002 -0.018 -0.022 -0.053 0.003 0.465 -0.015 0.159 0.366 0.309 -0.075 0.086 0.212 0.054 0.193 0.079 0.217 -0.148 -0.265 0.371 0.236 -0.074 0.064 0.184 0.323 -0.051 0.215 0.224 0.061 0.316 0.186 0.052 0.165 0.316 -0.032 0.304 0.076 0.1 -0.185 -0.284 0.385 0.266 -0.026 0.093 0.256 0.337 -0.037 0.187 0.235 0.03 0.326 0.161 0.023 0.179 0.292 -0.062 0.342 0.09 0.113 -0.302 -0.338 0.318 0.28 0.093 0.146 0.307 0.367 -0.01 0.213 0.217 -0.097 0.333 0.086 -0.041 0.165 0.204 -0.17 0.594 0.174 0.162 0.023 0.002 0.123 0.156 0.03 0.012 0.023 0.031 0.073 0.311 0.08 0.15 0.213 0.156 0.023 0.076 0.142 0.083 0.161 0.076 0.11 -0.149 -0.232 0.354 0.025 0.181 0.326 0.048 0.226 -0.023 -0.019 0.237 0.074 0.562 0.694 0.246 0.283 0.105 -0.234 0.121 -0.122 0.326 0.677 0.722 -0.24 -0.04 0.2 0.295 1.212 0.296 -0.312 0.084 -0.128 -0.175 0.006 0.216 0.244 -0.139 -0.023 -0.078 -0.042 -0.074 0.146
q R ( R(1 X j k
Байду номын сангаас
由图可知，高回报的收益伴随着高风险，这也与实际相符。 其中图中收益最低（风险最低）一点投资组合为： x= 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 收益为： Income = 0.1412 风险系数为：Risk = 0.0554 收益最高（风险最高）一点投资组合为： x= 0.8574 0.0086 0.0039 0.0035 0.0051 0.0927 收益为：Income=0.1412 0.1408 0.1387 0.1347 0.1315 风险系数为：Risk=0.0554 0.0506 0.0361 0.0262 0.0219 五、附录（程序等）
债券 1
债券 2
股票 1
股票 2
股票 3
股票 4
股票 5
黄金
二、问题分析
设投资的期限是一年， 不妨设投资总数为 1 个单位， 用于第 i 项投资的资金比例为 xi , X=(x1,x2,…,xn) 称为投资组合向量. 显然有：
x1+x2+…+xn=1, xi≥0； 每个投资项目的收益率可以看成一个随机变量,其均值可以用样本均值(历史均值)来近似. 设 rjk 代 表第 j 种投资在第 k 年的收益率. 则预计第 j 种投资的平均收益率为 ：
max z s.t.
2 0.201x14 x2 x3 107 675 x12 x2 0 2 x12 x3 0 107 0 x1 36, 0 x2 5, 0 x3 125
0.419
分别建立 3 个 M 文件： %QQ21.m： function f=QQ21(x) f=-(10^(-7))*0.201*(x(1)^4)*x(2)*x(3)^2; %QQ22.m： function [G,Geq]=QQ22(x) G=[x(2)*x(1)^2-675;-1*(10^(-7))*x(1)^2*x(3)^2-0.419]; Geq=[]; %QQ23.m： x0=[8 5 2]; A=[];b=[]; Aeq=[];bed=[]; lb=[0 0 0];ub=[36 5 125]; [x,fval]=fmincon('QQ21',x0,A,b,Aeq,bed,lb,ub,'QQ22');