基于贝叶斯+DLM+的桥梁结构可靠度预测
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模型建立需要确定的参数 ：时间间隔长度 ｔ ；θ０ ＝ （μ０ β０ ）的先验分布参数 ｍ０ ，Ｃ０ ；观测误差方差 Ｖ ｔ 和 状态误差方差 Ｗ ｔ 的分布参数 。
模型时间间隔长度 ｔ 取为 １ 年 ；Ｖ ｔ 根据检测信息 的样本方差进行估计 ；Ｗ ｔ 代表状态向量随时间变化不 确定性的增加或者信息的损失 。 根据文献 ［１２‐１３ ］的
βｔ
ωｔ２
式中 ：ωｔ１ 与 ωｔ２ 为状态的噪声变量 ，表示在 （ｔ － １ ）时刻
向 ｔ 时刻递推过程中的状态不确定性 ，均为零均值正
态随机变量 。
由式（ ５ ） ～ （ ７ ）可得退化抗力的观测方程与状
态方程为
ｙｔ ＝ ＦｔＴ θｔ ＋ ｖｔ ，ｖｔ ～ Ｎ［０ ，Ｖ ｔ ］
（８ ）
θｔ ＝ Ｇｔ θｔ －１ ＋ ωｔ ，ωｔ ～ Ｎ［０ ，Ｗ ｔ ］
未知 两 种 情 况 ；Ｗ ｔ 为 已 知 的 方 差 阵 ，代 表 模 型 由
（ｔ － １）时刻递推到 ｔ 时刻过程中的不确定性 。
ｖｔ 和 ｗｔ 分别为观测误差和状态误差 （观测噪声
和状态噪声 ） 。 在此假设 ｖｔ 和 ｗｔ 各自独立且相互
独立 。
由式（ １ ） ～ 式（ ３ ）可推导出观测变量与状态变
（哈尔滨工业大学 土木工程学院 ， 黑龙江 哈尔滨 １５００９０ ）
摘 要 ： 桥梁结构的性能是时变的 ，可利用时间序列模型来描述 ，本文引入贝叶斯动态线性模型 （ＤＬＭ ） 。 运用 贝叶斯 ＤＬＭ 建立桥梁结构退化抗力的观测方程和状态方程 ，通过贝叶斯因子对桥梁结构检测信息进行监控 ， 通过检测信息和退化抗力状态参数的先验信息 ，对退化抗力的状态参数进行贝叶斯后验概率推断 ，通过不断的 “概率预测‐修正”递推运算 ，获得最优退化抗力的状态概率估计预测老化桥梁的退化抗力 ，建立一个 ＤＬＭ 预测 桥梁抗力的变化趋势 。 ＤＬＭ 以及 ＤＬＭ 的概率递推过程类似于著名的卡尔曼滤波算法 ，可以实现桥梁退化抗力 的贝叶斯动态预测（向前预测和向后预测） ，考虑到状态变量的不确定性 ，本文引入折扣因子确定状态误差方差 。 基于贝叶斯动态修正的抗力概率模型建立桥梁结构可靠度的预测公式 。 通过算例验证了本文所建模型的合 理性 。 关键词 ： 贝叶斯方法 ； 动态线性模型 ； 桥梁抗力 ； 折扣因子 ； 贝叶斯预测 中图分类号 ： Ｔ Ｕ３９１ ； Ｔ Ｕ３９２畅 ５ 文献标志码 ： Ａ ｄｏｉ ： １０畅 ３９６９ ／ｊ畅 ｉｓｓｎ畅 １００１‐８３６０畅 ２０１４畅 ０６畅 ０１５
Ａｂｓｔｒａｃｔ ：Ｔ ｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｂｒｉｄｇｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｗ ａｓ ｔｉｍｅ‐ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ， ｗ ｈｉｃｈ ｗ ａｓ ａｂｌｅ ｔｏ ｂｅ ｄｅｐｉｃｔｅｄ ｂｙ ｔｉｍｅ ｓｅ‐ ｒｉｅｓ ｍｏｄｅｌｓ ． Ｔ ｈｅ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｄｙｎａｍｉｃ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ （ＤＬＭ ） ｗ ａｓ ｔｈｅｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ． Ｔ ｈｅ ｓｔａｔｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｏｂｓｅｒｖａ‐ ｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｄｅｇｒａｄａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｂｒｉｄｇｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｗ ｅｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｄｙ ‐ ｎａｍｉｃ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ ． Ｔ ｈｅ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｄｅｇｒａｄａｔｉｏｎ ｓｔａｔｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗ ｅｒｅ ｄｅｄｕｃｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｐｏｓｔｅｒｉｏｒ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ． Ｔ ｈｒｏｕｇｈ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒｅｃａｓｔ ‐ｕｐｄａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｄｅｇｒａｄａｔｉｏｎ ｓｔａｔｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｗ ａｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｏ ｐｒｅｄｉｃｔ ｔｈｅ ｂｒｉｄｇｅ ｄｅｇｒａｄａｔｉｏｎ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ． Ｔ ｈｅ ＤＬＭ ｗ ａｓ ｂｕｉｌｔ ｔｏ ｐｒｅｄｉｃｔ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｅｎｄｅｎｃｙ ｏｆ ｂｒｉｄｇｅ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅｓ ． Ｔ ｏ ａｌｌｏｗ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｐｉｓｔｅｍｉｃ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｏｆ ｓｔａｔｅ ｖａｒｉａｎｔｓ ， ｔｈｅ ｄｉｓｃｏｕｎｔ ｆａｃｔｏｒ ｗ ａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｐｅｃｉｆｙ ｔｈｅ ｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｓｔａｔｅ ｅｒｒｏｒｓ ． Ｔ ｈｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｂｒｉｄｇｅ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｗ ａｓ ｂｕｉｌｔ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｂａｙｅｓｉａｎ ＤＬＭ ｏｆ ｂｒｉｄｇｅ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ． Ｆｉｎａｌｌｙ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｏｄｅｌ ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ：Ｂａｙｅｓｉａｎ ｍｅｔｈｏｄ ； ｄｙｎａｍｉｃ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ ； ｂｒｉｄｇｅ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ； ａ ｄｉｓｃｏｕｎｔ ｆａｃｔｏｒ ； Ｂａｙｅｓｉａｎ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ
９４
铁 道 学 报
第 ３６ 卷
基于上述问题 ，本文引入贝叶斯动态线 性模型 对桥梁退化抗力进行动态预测 。 动态线性模型不仅 可以实现对监测 ／检测信息的监控 ，而且可以基于监 测 ／检测信息实现桥梁结构可靠度的在线 ／离线实时 预测 。
１ 贝叶斯动态线性模型
贝叶斯动态模型［４‐５］ 利用客观信息和主观信息相
（１ ）
θｔ ＝ Ｇｔ θｔ －１ ＋ ωｔ ，ωｔ ～ Ｎ［０ ，Ｗ ｔ ］
ｔ ＝ １ ，２ ，… ，Ｔ
（２ ）
（θｔ －１ ｜ Ｄｔ －１ ） ～ Ｎ ［ｍｔ －１ ，Ｃｔ －１ ］
（３ ）
式中 ：ｙｔ 为观测变量 ，θｔ 为状态变量 ，均为正态随机变
量 ；ｖｔ 为观测误差向量 ；ωｔ 为状态误差向量 ，均为零均
量的关系 。
（ｙｔ ｜ θｔ ） ～ Ｎ［ ＦｔＴ θｔ ，Ｖ ｔ ］ ，（θｔ ｜ θｔ －１ ） ～ Ｎ［Ｇｔ θｔ －１ ，Ｗ ｔ ］
（４ ）
由式 （ １ ） ～ 式（ ４ ）可知贝叶斯动态线性模型的
动态递推过程 ，如图 １ 所示 。
图 １ 贝叶斯动态线性模型的动态递推过程
２ 基于动态线性模型的桥梁退化抗力预测
ｔ ＝ １ ，２ ，… ，Ｔ
（９ ）
式中 ：Ｆｔ ＝
１ ，Ｇｔ ＝
１ １ ，θｔ ＝
Ｘｔ
，ωｔ ＝
ωｔ１
，
０
０ １
βｔ
ωｔ２
σ２ｘ ０ Ｗ ＝ ０ σ２β 。
第６期
樊学平等 ：基于贝叶斯 ＤＬＭ 的桥梁结构可靠度预测
９５
２畅 ２ 退化抗力贝叶斯动态线性模型的求解
本文选择了相对简单的线性增长结构性能模
第 ３６ 卷第 ６ 期 ２０１４年６月
铁 道 学 报 ＪＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ Ｔ ＨＥ ＣＨＩＮＡ ＲＡＩＬＷＡＹ ＳＯＣＩＥＴ Ｙ
Ｖｏｌ畅 ３６ Ｎｏ畅 ６ Ｊｕｎｅ ２０１４
文章编号 ：１００１‐８３６０（２０１４）０６‐００９３‐０６
基于贝叶斯 ＤＬＭ 的桥梁结构可靠度预测
樊学平 ， 吕大刚
测等领域 。
动态线性模型是由两个方程确定的系统构成 ，
可描述为 ：观测变量如何依赖于状态变量 ；状态变量
如何随时间变化 。 表示系统内部的动态变化和随机
扰动 。
若假定观测变量与状态变量均服从正态分布 ，则
称这类模型为正态动态线性模型 ，所表示的观测方程 、
状态方程以及初始先验信息可以表示为
ｙｔ ＝ ＦｔＴ θｔ ＋ ｖｔ ，ｖｔ ～ Ｎ［０ ，Ｖ ｔ ］
而实际上抗力的平均值在实时发生着变化 ，βｔ 为 ｔ 时刻的退化抗力平均值的变化量 ，本文中的状态变 量包括退化 抗 力 的 平 均 值 和 退 化 抗 力 平 均 值 的 变 化
量 。 建立的抗力退化状态方程为
ｘｔ ＝ ｘｔ －１ ＋ βｔ －１ ＋ ωｔ１ ，ωｔ１ ～ Ｎ ［０ ，Ｗ ｔ１ ］ （ ６ ）
于结构性能监测序列数据分析与预测时 ，存在一定的 局限性 。 比如时间序列法适合于具有随机性的平稳数 据序列的预报 ；灰色预测法适合于具有强趋势性数据 序列的预报 ；神经网络法样本需求量很大 ，而桥梁结构 性能的监测数据相对有限 。 因此用这些预测方法得到 的结果与实测结果存在着一定的误差 ，不能很好地反 映老化桥梁性能的退化规律 。
型［１２］ ，并结合 ２畅 １ 节 ，可得退化抗力所建的贝叶斯动
态模型的观测方程 、状态方程以及初始先验信息 。
ｙｔ ＝ ［１ ０］［μｔ βｔ ］Ｔ ＋ ｖｔ
ｖｔ ～ Ｎ［０ ，Ｖ ｔ ］
（１０ ）
μｔ
１ １ μｔ －１
ωｔ１
＝
＋
βｔ
０ １ βｔ －１
ωｔ２
ωｔ ～ Ｎ［０ ，Ｗ ｔ ］ ｔ ＝ １ ，２ ，… ，Ｔ （１１）
值正态随机变量 ；Ｄｔ － １ 为 （ｔ － １ ）时刻以及 （ｔ － １ ）时刻
以前的有效信息集合 。
对于每一个时刻 ｔ ，模型对应一个四元素组合｛ Ｆ ，
Ｇ ，Ｖ ，Ｗ ｝ｔ ＝ ｛ Ｆｔ ，Ｇｔ ，Ｖ ｔ ，Ｗ ｔ ｝ ，其中 Ｆｔ 为已知矩阵 ，表
示观测方程的回归矩阵 ；Ｇｔ 也为已知的状态转移矩 阵 ；Ｖ ｔ 为方差阵 ，代表观测误差的不确定性 ，有已知和
２畅 １ 退化抗力贝叶斯动态模型的建立 设 ｙｔ 为 ｔ 时刻桥梁结构的退化抗力观测值 ，ｘｔ 为
ｔ 时刻退化抗力的平均值 ，ｖｔ 为观测误差 ，则建立的观 测方程为
ｙｔ ＝ ｘｔ ＋ βｔ ＋ ｖｔ ，ｖｔ ～ Ｎ［０ ，Ｖ ｔ ］
（５ ）
式（ ５ ）对应于式（ １ ） ，Ｆｔ ＝ １ 。 ０
结合的方法进行预测 ，建立动态模型 ，利用检测到的
结构性能信息不断修正先验模型 ，从而得到更为符
合实际情况的预测结果［６‐１１］ 。 贝叶斯动态模型具有
许多优点 ：不 需 要 平 稳 性的 假 设 ；不 仅 依 赖 样 本 数
据 ，也依赖先验知识 ；能够进行实时在线预测 。 贝叶
斯动态模型方法已成功用于大坝变形分析 、经济预
Ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ Ａｇｉｎｇ Ｂｒｉｄｇｅｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｂａｙｅｓｉａｎ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｌｉｎｅａｒ Ｍｏｄｅｌ
ＦＡ Ｎ Ｘｕｅ‐ｐｉｎｇ ， Ｌ 册 Ｄａ‐ｇａｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ， Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔ ｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ， Ｈａｒｂｉｎ １５００９０ ， Ｃｈｉｎａ）
βｔ ＝ βｔ －１ ＋ ωｔ２ ，ωｔ２ ～ Ｎ ［０ ，Ｗ ｔ２ ］
（７ ）
式 （ ６ ）和 式 （ ７ ）组 成 的 状 态 方 程 Ｘｔ ＝ βｔ
１ １ ０ １
Ｘｔ －１ ＋
ωｔ１ 对应于式（ ２ ） 中 Ｇｔ ＝
１ １ 、
βｔ －１
ωｔ２
０ １
θｔ ＝ Ｘｔ 以及 ωｔ ＝ ωｔ１ 的情况 。
桥梁结构退化抗力预测的研究是桥梁结构时变可 靠度研究的关键问题 。 在结构性能的预测方法方面 ， 已经取得了不少的研究成果［１‐３］ ，如 Ａ ｓａｏｋａ 法 、时间 序列法 、灰色预测法及神经网络法等 。 这些方法运用
收稿日期 ：２０１２‐０３‐１４ ；修回日期 ：２０１２‐０９‐２６ 基金项目 ：国家自然科学基金 （５１１７８１５０ ） 作者简介 ：樊学平（１９８３ — ） ，男 ，山西运城人 ，博士研究生 。 Ｅ‐ｍａｉｌ ：ｆ ｘ ｐ＿２００４＠ １６３畅 ｃｏ ｍ
（μ０ β０ ） ～ Ｎ［ｍ０ ，Ｃ０ ］
（１２ ）
式中 ：ｙｔ 为退化抗力在 ｔ 时刻的观测值 ；μｔ 为 ｔ 时刻观
测退化 抗 力 的 平 均 值 ；βｔ 为 结 构 性 能 指 标 均 值 在
（ｔ － １）时刻与 ｔ 时刻之间的变化 ，均为正态随机变量 ；
ｖｔ 为观测噪声 ；ωｔ１ 与 ωｔ２ 表示在（ｔ － １）时刻向 ｔ 时刻递 推过程中的不确定性 ，均为零均值正态随机变量 。
模型建立需要确定的参数 ：时间间隔长度 ｔ ；θ０ ＝ （μ０ β０ ）的先验分布参数 ｍ０ ，Ｃ０ ；观测误差方差 Ｖ ｔ 和 状态误差方差 Ｗ ｔ 的分布参数 。
模型时间间隔长度 ｔ 取为 １ 年 ；Ｖ ｔ 根据检测信息 的样本方差进行估计 ；Ｗ ｔ 代表状态向量随时间变化不 确定性的增加或者信息的损失 。 根据文献 ［１２‐１３ ］的
βｔ
ωｔ２
式中 ：ωｔ１ 与 ωｔ２ 为状态的噪声变量 ，表示在 （ｔ － １ ）时刻
向 ｔ 时刻递推过程中的状态不确定性 ，均为零均值正
态随机变量 。
由式（ ５ ） ～ （ ７ ）可得退化抗力的观测方程与状
态方程为
ｙｔ ＝ ＦｔＴ θｔ ＋ ｖｔ ，ｖｔ ～ Ｎ［０ ，Ｖ ｔ ］
（８ ）
θｔ ＝ Ｇｔ θｔ －１ ＋ ωｔ ，ωｔ ～ Ｎ［０ ，Ｗ ｔ ］
未知 两 种 情 况 ；Ｗ ｔ 为 已 知 的 方 差 阵 ，代 表 模 型 由
（ｔ － １）时刻递推到 ｔ 时刻过程中的不确定性 。
ｖｔ 和 ｗｔ 分别为观测误差和状态误差 （观测噪声
和状态噪声 ） 。 在此假设 ｖｔ 和 ｗｔ 各自独立且相互
独立 。
由式（ １ ） ～ 式（ ３ ）可推导出观测变量与状态变
（哈尔滨工业大学 土木工程学院 ， 黑龙江 哈尔滨 １５００９０ ）
摘 要 ： 桥梁结构的性能是时变的 ，可利用时间序列模型来描述 ，本文引入贝叶斯动态线性模型 （ＤＬＭ ） 。 运用 贝叶斯 ＤＬＭ 建立桥梁结构退化抗力的观测方程和状态方程 ，通过贝叶斯因子对桥梁结构检测信息进行监控 ， 通过检测信息和退化抗力状态参数的先验信息 ，对退化抗力的状态参数进行贝叶斯后验概率推断 ，通过不断的 “概率预测‐修正”递推运算 ，获得最优退化抗力的状态概率估计预测老化桥梁的退化抗力 ，建立一个 ＤＬＭ 预测 桥梁抗力的变化趋势 。 ＤＬＭ 以及 ＤＬＭ 的概率递推过程类似于著名的卡尔曼滤波算法 ，可以实现桥梁退化抗力 的贝叶斯动态预测（向前预测和向后预测） ，考虑到状态变量的不确定性 ，本文引入折扣因子确定状态误差方差 。 基于贝叶斯动态修正的抗力概率模型建立桥梁结构可靠度的预测公式 。 通过算例验证了本文所建模型的合 理性 。 关键词 ： 贝叶斯方法 ； 动态线性模型 ； 桥梁抗力 ； 折扣因子 ； 贝叶斯预测 中图分类号 ： Ｔ Ｕ３９１ ； Ｔ Ｕ３９２畅 ５ 文献标志码 ： Ａ ｄｏｉ ： １０畅 ３９６９ ／ｊ畅 ｉｓｓｎ畅 １００１‐８３６０畅 ２０１４畅 ０６畅 ０１５
Ａｂｓｔｒａｃｔ ：Ｔ ｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｂｒｉｄｇｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｗ ａｓ ｔｉｍｅ‐ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ， ｗ ｈｉｃｈ ｗ ａｓ ａｂｌｅ ｔｏ ｂｅ ｄｅｐｉｃｔｅｄ ｂｙ ｔｉｍｅ ｓｅ‐ ｒｉｅｓ ｍｏｄｅｌｓ ． Ｔ ｈｅ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｄｙｎａｍｉｃ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ （ＤＬＭ ） ｗ ａｓ ｔｈｅｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ． Ｔ ｈｅ ｓｔａｔｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｏｂｓｅｒｖａ‐ ｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｄｅｇｒａｄａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｂｒｉｄｇｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｗ ｅｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｄｙ ‐ ｎａｍｉｃ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ ． Ｔ ｈｅ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｄｅｇｒａｄａｔｉｏｎ ｓｔａｔｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗ ｅｒｅ ｄｅｄｕｃｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｂａｙｅｓｉａｎ ｐｏｓｔｅｒｉｏｒ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ． Ｔ ｈｒｏｕｇｈ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒｅｃａｓｔ ‐ｕｐｄａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｄｅｇｒａｄａｔｉｏｎ ｓｔａｔｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｗ ａｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｏ ｐｒｅｄｉｃｔ ｔｈｅ ｂｒｉｄｇｅ ｄｅｇｒａｄａｔｉｏｎ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ． Ｔ ｈｅ ＤＬＭ ｗ ａｓ ｂｕｉｌｔ ｔｏ ｐｒｅｄｉｃｔ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｅｎｄｅｎｃｙ ｏｆ ｂｒｉｄｇｅ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅｓ ． Ｔ ｏ ａｌｌｏｗ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｐｉｓｔｅｍｉｃ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｏｆ ｓｔａｔｅ ｖａｒｉａｎｔｓ ， ｔｈｅ ｄｉｓｃｏｕｎｔ ｆａｃｔｏｒ ｗ ａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｐｅｃｉｆｙ ｔｈｅ ｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｓｔａｔｅ ｅｒｒｏｒｓ ． Ｔ ｈｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｂｒｉｄｇｅ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｗ ａｓ ｂｕｉｌｔ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｂａｙｅｓｉａｎ ＤＬＭ ｏｆ ｂｒｉｄｇｅ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ． Ｆｉｎａｌｌｙ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｏｄｅｌ ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ：Ｂａｙｅｓｉａｎ ｍｅｔｈｏｄ ； ｄｙｎａｍｉｃ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ ； ｂｒｉｄｇｅ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ； ａ ｄｉｓｃｏｕｎｔ ｆａｃｔｏｒ ； Ｂａｙｅｓｉａｎ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ
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铁 道 学 报
第 ３６ 卷
基于上述问题 ，本文引入贝叶斯动态线 性模型 对桥梁退化抗力进行动态预测 。 动态线性模型不仅 可以实现对监测 ／检测信息的监控 ，而且可以基于监 测 ／检测信息实现桥梁结构可靠度的在线 ／离线实时 预测 。
１ 贝叶斯动态线性模型
贝叶斯动态模型［４‐５］ 利用客观信息和主观信息相
（１ ）
θｔ ＝ Ｇｔ θｔ －１ ＋ ωｔ ，ωｔ ～ Ｎ［０ ，Ｗ ｔ ］
ｔ ＝ １ ，２ ，… ，Ｔ
（２ ）
（θｔ －１ ｜ Ｄｔ －１ ） ～ Ｎ ［ｍｔ －１ ，Ｃｔ －１ ］
（３ ）
式中 ：ｙｔ 为观测变量 ，θｔ 为状态变量 ，均为正态随机变
量 ；ｖｔ 为观测误差向量 ；ωｔ 为状态误差向量 ，均为零均
量的关系 。
（ｙｔ ｜ θｔ ） ～ Ｎ［ ＦｔＴ θｔ ，Ｖ ｔ ］ ，（θｔ ｜ θｔ －１ ） ～ Ｎ［Ｇｔ θｔ －１ ，Ｗ ｔ ］
（４ ）
由式 （ １ ） ～ 式（ ４ ）可知贝叶斯动态线性模型的
动态递推过程 ，如图 １ 所示 。
图 １ 贝叶斯动态线性模型的动态递推过程
２ 基于动态线性模型的桥梁退化抗力预测
ｔ ＝ １ ，２ ，… ，Ｔ
（９ ）
式中 ：Ｆｔ ＝
１ ，Ｇｔ ＝
１ １ ，θｔ ＝
Ｘｔ
，ωｔ ＝
ωｔ１
，
０
０ １
βｔ
ωｔ２
σ２ｘ ０ Ｗ ＝ ０ σ２β 。
第６期
樊学平等 ：基于贝叶斯 ＤＬＭ 的桥梁结构可靠度预测
９５
２畅 ２ 退化抗力贝叶斯动态线性模型的求解
本文选择了相对简单的线性增长结构性能模
第 ３６ 卷第 ６ 期 ２０１４年６月
铁 道 学 报 ＪＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ Ｔ ＨＥ ＣＨＩＮＡ ＲＡＩＬＷＡＹ ＳＯＣＩＥＴ Ｙ
Ｖｏｌ畅 ３６ Ｎｏ畅 ６ Ｊｕｎｅ ２０１４
文章编号 ：１００１‐８３６０（２０１４）０６‐００９３‐０６
基于贝叶斯 ＤＬＭ 的桥梁结构可靠度预测
樊学平 ， 吕大刚
测等领域 。
动态线性模型是由两个方程确定的系统构成 ，
可描述为 ：观测变量如何依赖于状态变量 ；状态变量
如何随时间变化 。 表示系统内部的动态变化和随机
扰动 。
若假定观测变量与状态变量均服从正态分布 ，则
称这类模型为正态动态线性模型 ，所表示的观测方程 、
状态方程以及初始先验信息可以表示为
ｙｔ ＝ ＦｔＴ θｔ ＋ ｖｔ ，ｖｔ ～ Ｎ［０ ，Ｖ ｔ ］
而实际上抗力的平均值在实时发生着变化 ，βｔ 为 ｔ 时刻的退化抗力平均值的变化量 ，本文中的状态变 量包括退化 抗 力 的 平 均 值 和 退 化 抗 力 平 均 值 的 变 化
量 。 建立的抗力退化状态方程为
ｘｔ ＝ ｘｔ －１ ＋ βｔ －１ ＋ ωｔ１ ，ωｔ１ ～ Ｎ ［０ ，Ｗ ｔ１ ］ （ ６ ）
于结构性能监测序列数据分析与预测时 ，存在一定的 局限性 。 比如时间序列法适合于具有随机性的平稳数 据序列的预报 ；灰色预测法适合于具有强趋势性数据 序列的预报 ；神经网络法样本需求量很大 ，而桥梁结构 性能的监测数据相对有限 。 因此用这些预测方法得到 的结果与实测结果存在着一定的误差 ，不能很好地反 映老化桥梁性能的退化规律 。
型［１２］ ，并结合 ２畅 １ 节 ，可得退化抗力所建的贝叶斯动
态模型的观测方程 、状态方程以及初始先验信息 。
ｙｔ ＝ ［１ ０］［μｔ βｔ ］Ｔ ＋ ｖｔ
ｖｔ ～ Ｎ［０ ，Ｖ ｔ ］
（１０ ）
μｔ
１ １ μｔ －１
ωｔ１
＝
＋
βｔ
０ １ βｔ －１
ωｔ２
ωｔ ～ Ｎ［０ ，Ｗ ｔ ］ ｔ ＝ １ ，２ ，… ，Ｔ （１１）
值正态随机变量 ；Ｄｔ － １ 为 （ｔ － １ ）时刻以及 （ｔ － １ ）时刻
以前的有效信息集合 。
对于每一个时刻 ｔ ，模型对应一个四元素组合｛ Ｆ ，
Ｇ ，Ｖ ，Ｗ ｝ｔ ＝ ｛ Ｆｔ ，Ｇｔ ，Ｖ ｔ ，Ｗ ｔ ｝ ，其中 Ｆｔ 为已知矩阵 ，表
示观测方程的回归矩阵 ；Ｇｔ 也为已知的状态转移矩 阵 ；Ｖ ｔ 为方差阵 ，代表观测误差的不确定性 ，有已知和
２畅 １ 退化抗力贝叶斯动态模型的建立 设 ｙｔ 为 ｔ 时刻桥梁结构的退化抗力观测值 ，ｘｔ 为
ｔ 时刻退化抗力的平均值 ，ｖｔ 为观测误差 ，则建立的观 测方程为
ｙｔ ＝ ｘｔ ＋ βｔ ＋ ｖｔ ，ｖｔ ～ Ｎ［０ ，Ｖ ｔ ］
（５ ）
式（ ５ ）对应于式（ １ ） ，Ｆｔ ＝ １ 。 ０
结合的方法进行预测 ，建立动态模型 ，利用检测到的
结构性能信息不断修正先验模型 ，从而得到更为符
合实际情况的预测结果［６‐１１］ 。 贝叶斯动态模型具有
许多优点 ：不 需 要 平 稳 性的 假 设 ；不 仅 依 赖 样 本 数
据 ，也依赖先验知识 ；能够进行实时在线预测 。 贝叶
斯动态模型方法已成功用于大坝变形分析 、经济预
Ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ Ａｇｉｎｇ Ｂｒｉｄｇｅｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｂａｙｅｓｉａｎ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｌｉｎｅａｒ Ｍｏｄｅｌ
ＦＡ Ｎ Ｘｕｅ‐ｐｉｎｇ ， Ｌ 册 Ｄａ‐ｇａｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ， Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔ ｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ， Ｈａｒｂｉｎ １５００９０ ， Ｃｈｉｎａ）
βｔ ＝ βｔ －１ ＋ ωｔ２ ，ωｔ２ ～ Ｎ ［０ ，Ｗ ｔ２ ］
（７ ）
式 （ ６ ）和 式 （ ７ ）组 成 的 状 态 方 程 Ｘｔ ＝ βｔ
１ １ ０ １
Ｘｔ －１ ＋
ωｔ１ 对应于式（ ２ ） 中 Ｇｔ ＝
１ １ 、
βｔ －１
ωｔ２
０ １
θｔ ＝ Ｘｔ 以及 ωｔ ＝ ωｔ１ 的情况 。
桥梁结构退化抗力预测的研究是桥梁结构时变可 靠度研究的关键问题 。 在结构性能的预测方法方面 ， 已经取得了不少的研究成果［１‐３］ ，如 Ａ ｓａｏｋａ 法 、时间 序列法 、灰色预测法及神经网络法等 。 这些方法运用
收稿日期 ：２０１２‐０３‐１４ ；修回日期 ：２０１２‐０９‐２６ 基金项目 ：国家自然科学基金 （５１１７８１５０ ） 作者简介 ：樊学平（１９８３ — ） ，男 ，山西运城人 ，博士研究生 。 Ｅ‐ｍａｉｌ ：ｆ ｘ ｐ＿２００４＠ １６３畅 ｃｏ ｍ
（μ０ β０ ） ～ Ｎ［ｍ０ ，Ｃ０ ］
（１２ ）
式中 ：ｙｔ 为退化抗力在 ｔ 时刻的观测值 ；μｔ 为 ｔ 时刻观
测退化 抗 力 的 平 均 值 ；βｔ 为 结 构 性 能 指 标 均 值 在
（ｔ － １）时刻与 ｔ 时刻之间的变化 ，均为正态随机变量 ；
ｖｔ 为观测噪声 ；ωｔ１ 与 ωｔ２ 表示在（ｔ － １）时刻向 ｔ 时刻递 推过程中的不确定性 ，均为零均值正态随机变量 。