均匀化理论和多尺度方法ppt

上标 ε 表示该函数具有两尺度的特征。
Y-周期性：微观单胞的周期为Y
x,y x,y+Y
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6.2 多尺度模型
在
中，弹性张量
E ijk l
和柔度张量
S
ijk l
分别为
E ijkl(x)E ijkl(x,y) in Sijkl(x)Sijkl(x,y) in
假设应力场和位移场都满足平衡方程、几何方程和本构方程，有
L
1ekl1x, y ek0l x, y -e1kl x, y 2ek2l x, yL
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6.3 渐进展开法
e k l 1 e k l1 x ,y e k 0 lx ,y e 1 k lx ,y 2 e k 2 lx ,y L
代入本构方程，可得应力场的渐进展开式：
k l 1k l 1 x ,y k 0 lx ,y k 1 lx ,y 2k 2 lx ,y L
单胞模型通过在非均匀结构中提取出一个代表性体积单元(RVE)从而
可以求得有效的材料响应和演化过程。这里假设微结构是周期性重复排
列的单胞，与复合材料的宏观尺寸相比，它的不均匀性是很小的，此种
类型的材料被称作具有周期性微观结构的复合材料（第三章 ） 。但是，
单胞法还是存在许多不足。周期性假设用于预测最优材料性能非常有效，
x,
y
0
x
y
j
j
L
O n
然而实际的非均匀材料很少具有完全的周期性微结构，宏观结构上不同
的点可能具有不同的微结构形态。这种假设在处理复杂载荷条件下非线
性非均匀结构变形问题时也存在不足。为了解决上述问题，单胞模型应
该包含大的区域，采用大的模型。
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6.1 引言
20世纪70年代，学者们在研究非均匀材料时引入了一种替代的数学 方法，Benssousan和Sanchez-Palencia等称之为均匀化理论。这种方法用 于分析具有两个或者多个尺度的物质系统，它可以把含有第二相空间的 细观尺度和整体结构上的宏观尺度联系起来。
其中
in j E ijk le k n l x ,y, n 1 ,0 ,1 ,2 L
将应力的渐进展开式代入平衡方程，有
1i j 1xx j ,y1i j 1yx j ,yi0jxxj,y1i0jyxj,y
i1jxxj,y1i1jyxj,y2i2jxxj,y1i2jyxj,yLfi 0
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高等复合材料力学
Advanced Mechanics of Composite Materials
第六章 均匀化理论和多尺度方法
陈玉丽 航空科学与工程学院
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6.1 引言
在考察实际复合材料微结构状态变量和材料系数的演化时，由于热 载荷和机械载荷都是施加在宏观结构层面，所以研究采用的细观力学模 型必须能够把细观响应和宏观行为联系起来。
2）泰勒级数近似法（Taylor Series Approximation）
3）以傅里叶变换为基础的多尺度 方法
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6.3 渐进展开 法
Asymptotic expansion
在均匀化理论中， Y-周期位移场可以近似为宏观坐标 x 的展开式，
渐进展开是其中比较常用的一种展开方法中，其展开形式为：
u x u 0 ( x ,y ) u 1 ( x ,y ) 2 u 2 ( x ,y ) L , y x
6.3 渐进展开法
令 εi (i=-2,-1,0,1…) 的系数为零，得到一系列控制方程：
O 2 : O 1 : O 0 :
1 ij
x,
y
0
y
j
1 ij
x,
y
0 ij
x,
y
0
x
y
j
j
0 ij
x
,
y
x
1 ij
x
,
y
y
fi
0
j
j
（1） （2） （3）
ห้องสมุดไป่ตู้
O 1 :
1 ij
x,
y
2 ij
ij,j
fi
in
ekl
12uxlk
uxkl
in
ij
Eijklekl
in
其中 u u(x, y) 是细观坐标系 y 中的具有 Y-周期的位移场。
同时，在给定力边界和给定位移边界分别满足
ijnj ti on t - ui ui on u
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均匀化方法
1）渐进展开法（Asymptotic expansion）
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6.2 多尺度模型
对于非均匀的复合材料，当宏观结构受外部作用时，位移 和应力等结构场变量将随宏观位置的改变而不同。同时由于细观 结构的高度非均匀性，使得这些结构场变量在宏观位置 x 非常小 的邻域 ε 内也会有很大变化。因此所有变量都假设依赖于宏观 与细观两种尺度，即：
x x ,y , y= x
注意到任意一个依赖于两个尺度的函数 Φ 对宏观坐标 x 的偏微分为
xix,yx xi 1 yi
应变张量
ekl
12uxlk
uxkl
121uykl0
ul0 yk
uxkl0
ul0 xk
u1k yl
ul1 yk
ux1kl
ul1 xk
uk2 yl
ul2 yk
2
uxkl2
ul2 xk
uk3 yl
ul3 yk
胞的尺度 y 相对于宏观几何尺度为小量。
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6.2 多尺度模型
宏观尺度：
x
0
1
2
3
4
微观尺度： 01234
y=x/ε 01
例如：宏观尺度为 m，微观尺度为 nm，ε = 10-9
实际为 1m 的尺寸，即 x=1 (m)， 在微观尺度下 y=x/ε= 109 (nm) 实际为1nm的尺寸，即 y=1 (nm)，在宏观尺度下 x=yε= 10-9 (m)
通过对位移和应力场进行渐进展开以及适当的变分原理，均匀化方 法不仅可以求出等效的（均匀化）材料常数，而且可以得到两个尺度上 的应力和应变分布。相对于单胞法，这种方法的优点在于不必作全局的 周期性假设，在宏观结构的不同点可以有不同的微结构。然而，这种分 析通过引入空间重复排列单胞作了局部周期性假设。
Toledano和Murakami，Guedes和Kikuchi以及Devries等成功地把有限
元方法和均匀化方法结合起来用于分析复合材料的线弹性问题。在这些
研究当中，通过计算机模拟宏观结构的平均应力和应变场得到了全局的
响应，同时借助局部应力和应变场的- 描述得到了微结构的行为。
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6.2 多尺度模型
f u
t
☺☺☺
x
☺☺☺
☺☺☺
☺y
一具有周期性结构的复合材料弹性体 Ω，受体力f，边界 Γt 上受表面力t，边界 Γu 上给定位移边界条件。宏观某点 x 处的细 观结构可以看成是非均匀单胞在空间中周期性重复堆积而成。单