第3章随机信号分析
随机信号分析第三章new
因而,我们根据定义式,求得过程X (t) 的均值,自相关函数和均 方值分别为
mX (t ) E[ X (t )] E[ cos(0t )]
2 0
1 cos(0t ) d 0 2
过程X( t )的均值为“0”(常数),
R X (t1 , t 2 ) R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[ cos( 0 t ) cos( 0 (t ) )]
1 x(t ) x(t ) Rx ( ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t ) dt f ( )
其结果 f ( ) 是个确定的时间函数。
若对随机过程 X ( , t ) 求时间自相关,则
X (t ) X (t ) X (t ) X (t ) RX ( ) 1 T 1 lim T X (t ) X (t )dt Tlim 2T T 2T f ( , )
例3.1 设随机过程 X (t ) cos(0t )
式中, , 0 皆为常数, 是在 (0,2 )上均匀分布的随机变量。
试问: X( t )是否是平稳随机过程?为什么? 解:由题意可知,随机变量 的概率密度为
1 / 2 , f ( ) 0,
0 2 其他
1
说明
要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳? 是很困难的 一般在实用中,只要产生随机过程的主要物理条件,在 时间进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 另一方面,对有些非平稳过程,可以根据需要,如果它 在所观测的时间段内是平稳的,就可以视作这一时间段 上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内,认为 是平稳过程。 一般在工程中,通常只在相关理论的范围内讨论过程的 平稳问题。即:讨论与过程的一、二阶矩有关的问题
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
⎧8δ (ω ) + 20(1 − ω /10), (2) S (ω ) = ⎨ 0, ⎩ 求它们的自相关函数和均方值。 解:(1)
(4) 否, R Y (0) = −1 在原点不是非负 (5)是 3.15 3.16 已 知 随 机 过 程 X (t ) 和 Y (t ) 独 立 且 各 自 平 稳 , 自 相 关 函 数 为 RX (τ ) = 2e − τ cos ω0τ 与 RY (τ ) = 9 + exp(−3τ 2 ) 。令随机过程 Z (t ) = AX (t )Y (t ) ,其中 A 是均值为 2,方差为 9 的随机变量,且与 X (t ) 和 Y (t ) 相互独立。求过程 Z (t ) 的 均值、方差和自相关函数。 解: (6) 是 (7) 是 (8) 是
2 2 3.14 对于两个零均值广义平稳随机过程 X ( t ) 和 Y ( t ) , 已知 σ X = 5 ,σY = 10 ,
问下述函数可否作为自相关函数,为什么? (1) RX (τ ) = 5u (τ ) exp ( −3τ ) ; (3) RY (τ ) = 9 (1 + 2τ 2 ) ; ⎡ sin ( 3τ ) ⎤ (5) RX (τ ) = 5 ⎢ ⎥ ; ⎣ 3τ ⎦ (6) RX (τ ) = 5 exp(− τ ) ; 解:根据平稳随机信号相关函数的性质, (1)否,非偶函数 (2)否,非偶函数 (3) 否, R Y (0) = 9 ≠ σ 2Y
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ,其中 ω 0 是常数, A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量,它们均值为零,方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明:Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
Z (t )的均值: E[ Z (t )] = E[ A ⋅ X (t ) ⋅ Y (t )] = E[ A] ⋅ E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )] = 2 E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )]
2 mX = RX (∞) = lim
2 cos ω0τ = 0 → mX = 0 τ →∞ eτ
⎡ 2 1.3 0.4 __ ⎤ ⎢ __ 2 1.2 0.8⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0.4 1.2 __ 1.1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.9 __ __ 2 ⎦ 3.12 解:根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性,得到: ⎛ 2 1.3 0.4 0.9 ⎞ ⎜ 1.3 2 1.2 0.8 ⎟ ⎟ C= ⎜ ⎜ 0.4 1.2 2 1.1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.9 0.8 1.1 2 ⎠ 3.13
= E[100 sin 2 (ω 0 t + θ ) ×100 sin 2 (ω 0 t + ω 0τ + θ ) ] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) − cos(4ω 0 t + 2ω 0τ + 4θ )] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) ] ∴ R Z (τ ) 仅与 τ 有关,且均值为常数,故 Y(t ) 是平稳过程。
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ,其中 ω 0 是常数, A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量,它们均值为零,方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明:Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机信号分析基础第三章课后答案
第三章,平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性,反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化,mx 不是t 的函数。
同样均方值也应是常数。
(2)二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关,而与时间起点t1无关。
因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。
则称他们是联合宽平稳的。
第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中,A 具有瑞利分布,其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ,σσ,()πΦ20,在上均匀分布,A Φ与是两个相互独立的随机变量,0ω为常数,试问X(t)是否为平稳过程。
解:由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX )(,可见()[]t X E 与t 无关,()21t t R ,XX 与t 无关,只与()12t t -有关。
3. 随机信号分析_随机信号的频域分析
1 s (t ) 2
S ( )e jt d F 1 [ S ( )]....... (反变换)
其中S(w)称为信号s(t)的频谱,它反映了s(t)中各种频率成分 的分布状况。 可以证明:对一般实信号s(t),其频谱是w的复函数, 即
S ( ) S ( ) ,(“*”表示复共轭)。
(3). 功率谱密度是 的偶函数
G X ( ) G X ( )
根据傅立叶变换的性质,当
xiT (t) 为 t 的实函数时,其频谱满足
X iT ( ) X iT ( ) X iT ( ) X iT ( ) 则随机过程截断后的频谱为 X T ( ) X T ( ) X T ( ) X T ( )
a .s
4、各态历经过程的功率谱密度 若过程 X(t) 的平均功率和 其样本函数的平均功率
a .s
1 P GX ( )d 2 - 1 P Gk ( )d k 2 -
由X(t)的各态历经性,P Pk 因此有
a.s
1 2 GX () Gk () lim X kT () T 2T
| s (t ) |dt
(绝对可积)
或
2 | s ( t ) | dt (信号的总能量有限)
若s(t)满足上述条件,则其傅立叶变换对存在。
S ( ) s (t )e jt dt F [ s (t )].................. (正变换)
即各态历经过程 X(t) 的功率谱密度 GX ( )与其样本函数的功率 谱密度 Gk ( ) 以概率1 相等。
5 、实随机过程功率谱密度的性质 功率谱密度是随机过程在频域中主要的统计特征。 (1). 功率谱密度为非负值 由定义式3-12
随机信号分析第三章
E{ X (t + Δt )} → E{ X (t )}
或
m X (t + Δt ) → m X (t )
(3.2.10)
由此可以得出结论: 如果 X (t ) 均方连续,则其均值函数亦连续。(3.2.10)式也可以表示为
Δt →0
lim E{ X (t + Δt )} = E{ X (t )} = E{l ⋅ i ⋅ m X (t + Δt )}
(3.1.11)
假定系统是线性时不变的,由线性时不变的基本特性和两个基本定理可以看出,如果 X (t ) 是 严平稳的,则 Y (t ) 也是严平稳的。如果 X (t ) 是广义平稳的,则 Y (t ) 也是广义平稳的。
108
3.2 随机过程的导数与积分
与确定性过程一样,导数和积分是随机过程的两种重要的运算,而导数和积分又是以极限为基 础的。因此,本节首先介绍随机变量极限的概念,进而引入导数和积分的概念。随机变量的极限有 几种,我们只讨论其中最常用的一种,即均方极限,因此,我们讨论的导数和积分都是均方意义下 的导数和积分。
3.2.3 随机过程的导数
有了随机过程极限与连续性的定义后,我们就可以引入导数的概念。 1 导数的定义 定义:设随机过程 X (t ) ,如果下列极限存在,
l ⋅i ⋅m
Δt →∞
X (t + Δt ) − X (t ) Δt dX (t ) , 即 dt
(3.2.12)
则称此极限为随机过程 X (t ) 的导数,记为 X ′(t ) 或
以上两个定理是线性变换的两个基本定理,它给出了随机过程经过线性变换后,输出的均值和 相关函数的计算方法。 从两个定理可知,对于线性变换,输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确 定。推广而言,对于线性变换,输出的 k 阶矩可以由输入的相应阶矩来确定。如
随机信号分析 第三章平稳随机过程(3)
2.9随机过程X(t)=Acos(wt)+Bsin(wt),其中w为常数,A,B是两个互相独 立的高斯变量,并且E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]= σ2 求X(t)的数学期望和自相关函数.
解:根据数学期望和自相关函数的定义可得:
Байду номын сангаас
E[X(t)]=E[Acos(wt)+Bsin(wt)] =E[A]cos(wt)+E[B]sin(wt)=0
1.4:随机变量X在[ , a]上均匀分布,证明 的方差a 2 / 3, x 1 特征函数为C( ju ) sin ua. au
解:因为X服从均匀分布,所以可 以些出它的概率密度函 数: 1 p ( x ) 2a , x a 0, 其他 1 x2 a 所以E[ x] xp( x)dx * 0, 2a 2 a a
R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[( A cos wt B sin wt )( A cos w(t ) B sin w(t ))] E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ AB] cos wt sin(wt w ) E[ AB] sin wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) 2 cos w R X ( )
例4:随机变量X和Y之间成线性关系:Y=X+5,已 知X服从标准的高斯分布,求所机变量Y的概率密度。
解:随机变量X和Y之间存在唯一的反函数,其表达式为X=Y-5
则f(y)=y-5,|f’(y)|=1,
第三章 随机信号分析
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的 信号。知道当前的值,不能精确地预计未来某个时刻 的值。 一般来说,由人工产生的信号大都是确知信号,如 周期正弦波、雷达的发射信号等 自然界产生的许多信号都是随机信号,如海浪、地 物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的 生理信号等。 在实际中遇到的信号,大部分都是随机信号。即使 由人工产生的信号是确知的,但信号经信道传输以后 也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1
p 2 x 1 , x 2 ,
24
2、严平稳随机过程的数字特征
(1) 数学期望(均值函数):与时间无关
E X t
x p1 x , t d x
第三章 随机信号
1
学习目标
随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征(均值函数、方差函数、相关函 数); 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、 维纳-辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质,其一维概率密度函数和正 态分布函数,高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统,其输出过程的均值函数、 自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式,其包络、相位的统计特性,其 同相分量、正交分量的统计特性; 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学) 匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
13
如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度,即n越大,对随机过程统计特性的描述
就越充分,但问题的复杂性也随之增加。
14
2、随机过程的数字特征
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第3章
mX t E X t
2π 0
x
f
d
2π 0
a
cos
0t
1 2π
d
0
mX
RX t1,t2 RX t,t E X t X t
E a cos 0t a cos 0 t
a2 2
E
cos 0
cos 20t
0
平稳的。
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
例3.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、 B 构成的随机信号X(t)=Acosω0t+Bsinω0t是宽平稳随机信号。 式中, ω0为常数, A、B的数学期望为零, 方差σ2相同。
证明 由题意知:
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
事实上, 工程中很难用到严格平稳随机信号, 因为其定 义实在太“严格”了。 函数的时移不变性通常是十分困难的, 几乎不可能实现。 实 际应用中讨论的各种随机信号, 通常只研究其一、 二阶矩 (均值、 均方值和相关函数)的特性。 因此, 接下来研究 随机信号一、 二阶矩特性的平稳性, 也就是下面讨论的广义 平稳性。
CX(0)=σ2X=RX(0)-m2X
(3-10)
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
例3.1 设有随机信号X(t)=Acosπt, 其中A是均值为 零、 方差为σ2A的高斯随机变量, 试问随机信号X(t)是否严
解 当t=1/2时, X(t)=0, 它与t=0时的分布不同, 则X(t)不是严格平稳的。
= 2 cos0t cos0 t+ + sin 0t sin 0 t+ = 2 cos0 =RX
第3章随机信号分析
➢ 随机信号:信号的某个或某几个参数不 能预知或不能完全预知。 ➢ 随机噪声:不能预测的噪声。(简称噪声)
➢ 随机过程:随机信号与随机噪声的统称。
1
主要内容
3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统
12
3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统
13
定义一:若随机过程的任何n维分布函数或概率 密度函数与时间起点无关,则称之为平稳随机过 程。(狭义)
即: fn (x 1 ,x 2 , x n ;t1 ,t2 , ,tn ) f n ( x 1 ,x 2 , x n ; t 1 ,t 2 , ,t n )
15
假设x(t)是平稳随机过程的任一实现,其数字特征为:
a
lim T
2
lim T
T 1 T 1 T 2 T 2 T 2T 2 [x x((tt)) dat]2dt
lim R ()T T 1 T 2 T 2x(t)x(t)dt
则由“各态历经性”可得随机过程的数字特征为:
a a
2 2
R ()R ()
平稳随机过程的数字特征: ① 数学期望和方差与t无关,分别为a和σ2 ② 自相关函数仅与时间间隔有关,即 R (t1,t1)R ()
14
定义二:数字特征满足上述特性的随机过程 称为平衡随机过程。(广义)
通信系统中的信号与噪声大部分都是平稳随 机过程。
平稳随机过程的各态历经性:平稳随机过 程的数字特征可由随机过程中的任一实现 的数字特征来决定,即随机过程的数字特 征可用“时间平均”代替“统计平均”。
随机信号分析课件
谱密度函数
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数,可以了解信号在不同频率下的强度分布。
04
随机信号的频域分析
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法, 通过将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的线性组合, 可以更好地理解信号的频率成分。
功率谱密度的计算
功率谱密度可以通过傅里叶变换的模平方得到, 也可以通过相关函数得到。
功率谱密度的应用
功率谱密度在信号处理中用于频域滤波、噪声抑 制、频率估计等方面。
滤波器设计
滤波器的分类
滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波 器等类型,不同类型的滤波器具有不同的频率响应特性。
滤波器的设计方法
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、共轭性、对称 性等性质,这些性质有助于简化信号处理和分析的过程。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛 的应用,例如频谱分析、滤波器设计、调制解调等。
功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度是描述随机信号频域特性的重要参数, 它表示信号功率随频率的分布情况。
04
通信
在通信领域中,随机信号分析 用于信道容量评估、信噪比估
计、误码率分析等方面。
雷达
在雷达领域中,随机信号分析 用于目标检测、跟踪和成像等
方面。
地球物理学
在地球物理学领域中,随机信 号分析用于地震勘探、矿产资
源评估等方面。
金融
在金融领域中,随机信号分析 用于股票价格波动分析、风险
评估等方面。
02
随机信号分析课件第三章全解
1
2
S
X
(
)e
j
d
RX (t,t ) RX ( )
A RX (t,t ) A RX ( ) RX ( )
那么
SX ()
RX
(
)e
j
d
RX
(
)
1
2
S
X
(
)e
j
d
维纳-辛钦定理
平稳随机过程的相关函数和功率谱密度皆为偶函数
SX () 2 0 RX ( ) cosd
T 2T
T
T RXY (t, t)dt
lim 1
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]d
T 2
2T
互功率谱密度定义为
SX(Y )=lim T
1 2T
E
X
* X
(T ,) XY
(T ,)
那么有QXY
=
1
2
-
S XY
d
类似地互功率谱密度定义为
SYX
lim
T
1 2T
E
X
* Y
(T
,
)
X
沿实轴的变化相一致。二者只是符号的一致,各自 的函数形式并不一样。
【例题】
S
X
(
)
10(2 4 10 2
5) 24
用复频率表示功率谱。
解:
SX (s)
SX
(
js)
10(s2 5) s4 10s2 24
jω
10(s 5)(s 5)
(s 2)(s 2)(s 6)(s 6)
第三章 随机信号通过线性系统分析
• • • • • 1、输出表达式(零状态响应,因果系统) 2、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距
x (t ) ► 输入为随机信号X(t)的某个实验结果的一个样本函数,则输 出为:
y (t )
h ( ) x ( t ) d
2012-6-30 3
3.1 线性系统的基本理论
系统可分为: (1)线性系统:线性放大器、线性滤波器 (2)非线性系统:限幅器、平方律检波器 对于线性系统:已知系统特性和输入信号的统计特性,可以求出系统输 出信号的统计特性
2012-6-30
4
• 下面的分析线性系统是单输入单输出(响应)的、连续或离散时不变 的、物理可实现的稳定系统。
证明:已知系统输入随机信号的自相关函数,可以求出系统 输出端的自相关函数
R Y ( t1 , t 2 ) E [ Y ( t1 ) Y ( t 2 )] h ( t1 ) h ( t 2 ) R X ( t1 , t 2 )
R Y ( t1 , t 2 ) E [Y ( t1 )Y ( t 2 )]
R Y X ( t1 , t 2 ) R X ( t1 , t 2 ) * h ( t1 )
2012-6-30 17
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
证明:由于系统的输出是系统输入的作用结果,因此,系统 输入输出之间是相关的,系统输入输出相关函数为
R X Y ( t1 , t 2 ) R X ( t 1 , t 2 ) * h ( t 2 )
时不变线性系统
若输入信号x(t)时移时间C, 输出y(t)也只引起一个相同 的时移,即 y(t-C) = L[x(t-C)]
第三章电子讲义:随机信号分析
第三章随机信号分析知识结构-随机过程的基本概念和统计特征-平稳随机过程与各态历经性-平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度-高斯过程及其应用-随机过程通过线形系统教学目的-了解随机信号的概念和基本分析方法;-掌握随机过程数字特征、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度的关系及其计算-掌握平稳随机过程通过线性系统的性质和相应计算。
教学重点-随机过程的基本概念和数字特征-自相关函数与功率谱密度的关系(即维纳-辛钦定理)-平稳随机过程通过线形系统教学难点-各态历经性的理解-随机过程的自相关函数的性质-维纳-辛钦定理教学方法及课时-多媒体授课(4学时)(2个单元)备注(在上课之前最好让学生复习一下“概率论”)单元四(2学时)§3.1 引言(随机信号的范畴和基本分析方法)本节知识要点:研究随机信号的意义和基本方法随机过程是信号和噪声通过通信系统的过程,因此,分析与研究通信系统,总离不开对信号和噪声的分析。
通信系统中遇到的信号,通常总带有某种随机性,即它们的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知(如能预知,通信就失去意义)。
我们把这种具有随机性的信号称为随机信号。
通信系统中还必然遇到噪声,例如自然界中的各种电磁波噪声和设备本身产生的热噪声、散粒噪声等,它们更不能预知。
凡是不能预知的噪声就统称为随机噪声,或简称为噪声。
从统计数学的观点看,随机信号和噪声统称为随机过程。
因而,统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。
其基本分析方法主要是通过分析其基本的数字特征,如均值、方差、相关函数等来实现的。
§3.2 随机过程的基本概念本节知识要点:随机过程概念及其基本数字特征1、随机过程的一般概念通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。
这种过程的基本特征是,它是时间t的函数,但在任一时刻观察到的值却是不确定的,是一个随机变量。
或者,它可看成是一个由全部可能实现构成的总体,每个实现都是一个确定的时间函数,而随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。
随机信号分析常建平李海林版课后习题答案
由于百度文库格式转换的原因,不能整理在一个word 文档里面,下面是三四章的答案。
给大家造成的不便,敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B),其中A 是均值为2,方差为1的高斯变量,B 是(0,2?)上均匀分布的随机变量,且A 和B 独立。
求(1)证明X(t)是平稳过程。
(2)X(t)是各态历经过程吗?给出理由。
(3)画出该随机过程的一个样本函数。
(1)(2) 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+,求:①该过程的平均功率?②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率? 解()()()21521()lim2T TT E X t X t X t X t dt A T -→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程3-7如图3.10所示,系统的输入()X t 为平稳过程,系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明:输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立,它们的均值至少有一个为零,功率谱密度分别为 令新的随机过程①证明()X t 和()Y t 联合平稳; ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω? ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω? ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ? ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳=与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-,其导数为()()Y t X t '=。
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例题:已知随机变量θ 在区间(-π ~ π )均匀分布。求θ 和2sin θ 的均值和方差。 解: θ 在区间(-π ~ π )均匀分布,则θ 的概率密度函数 为f(θ )=1/2 π , -π < θ < π ;f(θ )= 0, θ 取其它值时。 θ 的均值:
E[ ] f ( )d
⑥ x5 ≦ x﹤ x6 时, F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ …+ P(x5) = 2/3 + 1/12 =5/6。 ⑦x6 ≦ x时, F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ …+ P(x6) = 5/6 +1/6 =1。 依此画出F(x) ~x波形如下: P(x) 1/3
第 3 章 随机信号分析
2.1 随机信号分析基础 2.2 随机信号的统计特性 2.3 随机过程的一般表述 2.4平稳随机过程 2.5平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 2.6高斯随机过程 2.7窄带随机过程
2.8正弦波加窄带高斯噪声
2.9随机过程通过线性系统
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2.2 随机信号的统计特性 一、概率
④ 随机变量X的函数g(x)的期望为 E[g(x)]= …………X为连续随机变量 g ( x) f ( x)dx
E[g(x)]=
g ( x ) P( x x ) g ( x ) P( x )
i 1 i i i 1 i i
… X为离散随机变量
⑵原点矩 n阶原点矩:E[xn]= 2阶原点矩:E[x2]=
2
④D[X ± Y] = D[X] + D[Y] ±2CXY
⑷联合矩 联合原点矩:E[XnY k]称为两个随机变量X和Y的联合 原点矩,反映X和Y的关联程度。 当n=k=1时, E[XY]称为互相关函数或相关矩。
E[XY]
联合中心矩: E {(X-E[X])n (Y-E[Y]) k} 当n=k=1时,E {(X-E[X]) (Y-E[Y])}=CXY …协方差 E {(X-E[X]) (Y-E[Y])}= E {(X Y - Y mx- X my+mxmy)} = E[XY]- E[X] E[Y] =RXY-mxmy ∴ CXY=RXY-mxmy
f ( )d
x2
x
④P(x1≦x ≦x2)= P(x ≦x2) -P(x≦x1)=
f ( x ) dx
x1
4、多维随机变量:如 二维 两个随机变量X、Y,其可能取值为x、y,将两 个事件(X ≦x)和(Y ≦y)同时出现的概率定义为 二维随机变量X、Y的二维(联合概率)分布 函数,F( X,Y)。即F( X,Y)=P(X ≦x, Y ≦y) 若二维分布函数F( X,Y)是连续的,且二阶混合偏 导数存在,则定义 2 F ( x , y )
2 2
2
3E[g(x)]=2sin θ 的均值:
g ( x) f ( x)dx
1 2
三角函数在一个 周期内的均值为0
E[2 sin ] 2E[sin ] 0
1 d ( cos ) | 0 E[cos ] E[cosn ] 0 E[sin ] E[sin n ] 0
x
n
f ( x)dx
为X的均方值。
x 2 f ( x)dx
1阶原点矩: E[x]= xf ( x)dx 为X的期望。 ⑶中心矩 n n]= n阶中心矩:E[(x-mx) ( x mx ) f ( x)dx
1阶中心矩: E[(x-mx)1]= E[x] -E[mx]= mx- mx= 0
P(A)表示随机事件A发生的概率。 必然事件: P(A)=1 不可能事件: P(A)=0 0≦ P(A) ≦1 全概率公式:互不相容事件A1、A2 、…、AN ,
P( A ) 1
k 1 k
N
条件概率:A发生条件下,B发生的概率P(B/A) 为: P(B/A)=P(A,B)/P(A) P(A,B)为A,B都发生的概率。
1/6
1/6
1/6
1/12 1/12
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x
F(X)波形图 1 5/6 2/3 1/3 0 0 1/12 x1 1/6
x2
x3
x4
x5
x6
x
F(x)性质: ① 0 ≦ F(x) ≦ 1 ② F(-∞)=0, F(∞)=1 ③ F(x)单调增,即:若x1 ≦ x2,则F(x1) ≦ F(x2) ④ F(x)右连续。
X P(xi)
x1
x2
x3
x4
x5
x6
1/12 1/12 1/6 1/3 1/6
1/6
P(xi)表示x=xi的概率P(x=xi)。
在实际问题中,往往研究X≦xi的概率比研究x=xi的概率 更有意义。因此定义:
分布函数:随机变量X的取值不超过x的概率P(X ≦x)
为X的(概率)分布函数。记为F(x)= P(X ≦x)。 F(x)是关于x的函数。如取x=x3 ,即 F(x3)= P(X ≦x3)= P(x1)+P(x2)+P(x3)=1/12+1/12+1/6=1/3
2阶中心矩: E[(x-mx)2]= ( x mx ) f ( x)dx 2 2-2 m x+m 2] = x =D[x] = E[x x x = E[x2]-2mx2+mx2 = E[x2]- mx2 = E[x2]- E2[x] 2 x 2阶中心矩称为“方差”,用 或 D(x)表示。反 映随机变量X相对于统计平均值mx的分散程度。 性质:① D[x] = E[x2]- E2[x] ② D[a]= E[a2]- E2[a] =0 ③ D[ax]= E[a2x2]- E2[ax] =a2{ E[x2]- E2[x]}= a2D[x]
E[2 sin ] 2 sin f ( )d 2 sin
2sin θ 的均方值:
E[(2 sin ) 2 ] (2 sin ) 2 f ( )d 4 sin 2
1 1 (1 cos 2 )d [ 1 sin 2 ] | 2 2 或: E[(2 sin )2 ] E[4 sin 2 )] 2E[1 cos2 ] 2
⑹随机变量基本运算规则 ① E[a]= a a为常数 ② E[ax]=a E[x] ③ E[X+Y]= E[X]+ E[Y] 2 x = D[x] =E[(x-mx)2] = E[x2]- E2[x] ① D[a]= E[a2]-E2[a] =0 ② D[ax]= E[a2x2]-E2[ax] =a2{ E[x2]-E2[x]}= a2D[x] ③ D[X+Y] = D[X] + D[Y] ±2CXY
θ 的均方值:
2 2
1 2
d
1 2
2 2
|
0
E[ ] f ( )d
2 1 2
d
1 2
3 3
|
2
3
θ 的方差:
D[ ] E[ ] E [ ]
5、随机变量的数字特征 ⑴数学期望:随机变量X的统计平均值。 mx=E[x]= xf ( x)dx …………X为连续随机变量
E[x]= xi P( x xi ) xi P( x… X为离散随机变量 i) i 1 性质: i 1 ① E[a]= a ( a为常数) ② E[ax]=a E[x] ③ E[X+Y]= E[X]+ E[Y] (X、Y均为随机变量) ④ 随机变量X的函数g(x)的期望为
x y
当rxy=0时, X与Y不相关。 ⑸统计独立与不相关:是两个不同的概念。 若f(x,y)=f(x)f(y) , 则称X、Y相互统计独立。 若两随机变量统计独立,则它们必然是不相关的。 也满足: RXY= E[XY]= E[X] E[Y]及CXY= rxy=0 不相关的充要条件为:CXY= rxy=0 …协方差为0 但X与Y不相关,不一定统计独立。
xyf ( x, y)dxdy R
xy
当CXY=0时,称X与Y不相关。
X与Y不相关时,① CXY= E[XY]- E[X] E[Y]=0 ②RXY =E[XY]= E[X] E[Y] ③D[X±Y]= D[X]+ D[Y] C xy 归一化协方差:rxy(或 xy) =
①x﹤ x1时, F(x) =P(X ≦ x ﹤x1)=0。 ② x1 ≦ x﹤ x2 时, F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)=1/12 ③ x2 ≦ x﹤ x3 时, F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ P(x2) =1/12+ 1/12=1/6。 ④x3 ≦ x﹤ x4 时, F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ P(x2)+ P(x3) = =1/12+ 1/12+ 1/6 =1/3。 ⑤ x4 ≦ x﹤ x5 时, F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ P(x2)+ P(x3)+ P(x4) = 1/12+ 1/12+ 1/6 + 1/3 =2/3。
3、概率密度函数f(x) 若F(x)是连续的,一阶导数存在,则定义
dF(x) dx
f ( x)
为随机变量x 的概率密度函数。
f(x)的性质: ①非负,即 f(x) ≧0 ② F(x)=P(X≦x)= (因为f(x)为F(x)的导数) ③ f ( x)dx F () 1