集合论与图论试题与参考答案 哈工大本科
哈尔滨工业大学大二计算机专业集合论与图论试卷及答案 (2)
哈尔滨工业大学集合论与图论计算机学院XX 年秋季一、 解答下列问题，要求只给出答案（每题2分，共16分）1.设A B 、为集合，试求一个集合X ，合得A X B ∆=。
（ A B ∆ ）2.设{}1,2,3,4A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。
（42214-=）3.设{}1,2,,10A =，试求A 上反自反二无关系的个数。
（29022n n -=）4.设{}12,,,p A u u u =，()112q p p ≤-。
试求以V 为顶点集具有条边的无向图的个数。
（ ⎝⎛-2/)1(p p q ） 5.设T 是一个有P 个顶点的正则二元树，试求下的叶子数，其中P 是奇数。
（12P +） 6.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？（m n 和为偶数）7.设(),G V E =为无向图，,V P E P ==。
如果G 是边通图，那么G 至少有几个生成树？ （3个）8. 具有p 个顶点q 条边的平面连通图中，p 和q 应满足什么样的关系式？(36q p ≤-)二、以下各题要求只给出答案（每题2分，共14分）１.设{}()()(){},,,,,,,,,X a b c d R a b b c c a ==，试求R 的传递闭包。
（()()()()()()()()(),,,,,,,,,,a a b b c c a b b c c a a c b a c b ，，，，，，，）2.将置换（123456789791652348）分解为循环置换的乘积，然后分解成对换的乘积()()()()()()()()()173298465171329282426=。
3.设0000010110100000010000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12345110000210110310100410110500001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 如果A 4.设{}{}0,1,,,,,,,B E a b c x y z ==。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).．画出具有个、个、个顶点地三次图.．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？．证明：一个连通地(，)图中≥.．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。
．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.．设是一个(，)图，证明：()≥，则中有回路；()若≥，则包含两个边不重地回路.．证明：若图不是连通图，则是连通图.．设是个(，)图，试证：()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )．证明：每一个自补图有或个顶点.．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥..给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有≥．试求中不同地哈密顿回路地个数.．试证：图四中地图不是哈密顿图.．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。
哈工大集合论习题
第一章 习题1.写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假 3设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证：12n A A A ===4.设{,{}}S φφ=，试求2S？5.设S 恰有n 个元素，证明2S有2n个元素。
6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆8. 设A 、B 、C 是集合，证明：()()A B C A B C ∆∆=∆∆9.设A 、B 、C 为集合，证明\()(\)\A B C A B C =10.设A ，B ，C 为集合，证明： ()\(\)(\)A B C A C B C =11.设A,B,C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =12.设A,B,C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
13.设A,B,C 为集合，试证：(\)\(\)\(\)A B C A B C B =14.设X Y Z ⊆⊆，证明\(\)(\)Z Y X X Z Y =15.下列命题是否成立？ （1）(\)\(\)A B C A B C =（2）(\)()\AB C A B C =（3）\()()\A B C A B B = 16．下列命题哪个为真？ a)对任何集合A,B,C ，若AB BC =，则A=C 。
b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C =，则B=C 。
c)对任何集合A,B ，222A BAB =。
d)对任何集合A,B ，222A B AB =。
e)对任何集合A,B ，\22\2A BA B =。
f)对任何集合A,B ，222A BAB∆=∆。
17．设R,S,T 是任何三个集合，试证：（1）()()S T S T S T ∆=∆；（2）()()()R S T R S R T ∆⊇∆∆；（3）()()()()()R S R T R ST R S R T ∆∆⊆∆⊆∆∆；（4）()()()RS T RS R T ∆⊇∆ 18．设A 为任一集，{}IB ξξ∈为任一集族（I φ≠），证明：()()IIA B A B ξξξξ∈∈=19．填空：设A,B 是两个集合。
答案08秋季集合论与图论试题A
本试卷满分90分(计算机科学与技术学院07级)10分，每小题各1 分)B ，则A 等于什么？2. 设X 为集合，R 为X 上的偏序关系，计算U R ，等于什么?i 1(R )3. 把置换123456789分解成循环置换的乘积。
436987251((149) (2367) (58))4. 什么是无穷集合？(凡能与自身的一个真子集对等的集称为无穷集合)5 .设T 是一棵树，p 2，贝U p 个顶点的树T 至多有多少个割点？(p -2 )6. 设D 是一个有p 个顶点q 条弧的有向图，若D 是连通的，则q 至 少是多大？ ( p -17. 设V {1,2, , n}，则以V 为顶点集的无向图共有多少个？8.设V {1,2, , n}，则以V 为顶点集的有向图共有多少个？ 2p(p1))哈工大2008年秋季学期注 意 行 为 规 范一、填空(本题满分1.设A,B 是集合，若A B遵 守 考场纪 律(2 P (P 1)/29.每个有3个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2,则该图至少有多少个圈？（ 3 ）10.设T是一个正则二元树，它有n。
个叶子，则T有多少条弧？（2（n0-1 ））二、判断对错（本题满分10分，每小题各1分）1.设A,B是两个集合，则A B且A B不可能同时成立。
（错）2.在集合｛1,2, ,10｝上可以定义210个二元运算。
（错）3 . 设f：X Y , 若是可逆的。
（错）是一个集合，则上的自反和反自反的二元关系个数相同。
（对）5.设为一个有限字母表，上所有字（包括空字）之集记为。
则不是可数集。
（错）6.设G是一个（p,q）图，若q p，则G中必有圈。
（对）7.若G是一个(p,p)连通图，则G至多有p个生成树。
(对)8.设r 2，G是r正则图且顶点连通度为1，贝U (G) r。
(对)9.把平面分成p个区域，每两个区域都相邻，则p最大为5。
(错)10.有向图的每一条弧必在某个强支中。
哈工大集合与图论习题
第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
集合论与图论2009f
哈工大 2009 年 秋季学期 集合论与图论试题题号一 二 三 四 五 总分 分数学号 姓名本试卷满分90分-参考答案（计算机科学与技术学院08级）一、填空（本题满分20分，每空各1分）1．设B A ,为集合，若B B A B B A \)()\( =，则B 等于什么？ （B φ= ）2．设X A Y X f ⊆→,:，则))((1A f f -与A 有何关系？ ())((1A f f -A ⊇ )3．给定集合{}12345S =，，，，，找出S 上的等价的关系R ，此关系R 能产生划分{}{}{}{}12345，，，，。
（)}4,5(),5,4(),5,5(),4,4(),3,3(),1,2(),2,1(),2,2(),1,1{(） 4．设,,R I N 分别表示实数，整数，自然数集（包括0），定义映射321,,f f f ， 试确定它们的性质（单射、满射、双射）。
（1）11:,()2x f R R f x →=； （1f 是单射 ）（2）22:,()f I N f x x →= ； （2f 是满射 ）（3）2)(,:33+=→x x f R R f 。
（3f 是双射 ）5．在集合}12,11,,2,1{ =A 上定义的整除关系“|” 是A 上的偏序关系，则 极大元有几个？（ 6个 ）6．设X 是一个集合，X ＝n ，求X 上对称的二元关系有多少？（222n n + ）7．设R 是集合X 上的一个二元关系，则（1）R 是传递的充分必要条件是什么？ （R R ⊆2 ）（2）R 是对称的充分必要条件是什么？ （1-=R R ）8．设G 是有p 个顶点的K -正则偶图，则p 至少是多少？ （2p K ≥ ）9．有n 个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药，而每种药恰好放在两个药 箱中，则（1）每个药箱里有多少种药？ （ 1-n ）（2）n 个药箱里共有多少种药？ （ 2/)1(-n n ）10. 设G 是无向图，有12条边，6个3度顶点，其余顶点的度数均小于3，则G 至少有多少个顶点？ （ 9 ）11．设T 是有p )3(≥p 个顶点的无向树且T 的最大度为)(T ∆，则（1）)(T ∆的范围为多少？ （1)(2-≤∆≤p T ）（2）若2)(=∆T ，则T 中最长路的长度为多少？ （ 1-p ）12．设G 是有8个顶点的极大平面图，则G 的面数f 为多少？ （ 12 ）13．设G 是),(q p 图，若1-<p q ，则G 的顶点连通度)(G k 为多少？（ 0 ）14．设T 为任一棵正则二元树，q 为边数，)2(≥t t 为树叶数，则q 等于什么？（)1(2-=t q ）15．设,p q 为正整数，则,p q 为何值时q p K ,为欧拉图？ （,p q 为偶数）二、简答下列各题（本题满分10分）1．设C B A ,,是三个任意集合，且)()(C B A C B A =，则A 与C 应满足什么关系？说明理由。
哈工大离散数学期末
《集合论与图论》计算机学院03年秋季（本试题满分90分）一、（10分，每小题1分）计算：1．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。
计算从X 到Y 的映射的个数。
（答案： ）2．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。
若m ≤n，计算从X 到Y 的单射的个数。
（答案： ）3.设X 为集合且X n =。
计算X 到X 的双射的个数。
（答案： ）4.设X 为集合且X n =。
计算X 上有多少个不同的自反的二元关系。
（答案： ）5.设X 为集合且X n =。
计算X 上有多少个二元运算。
（答案： ）6.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集无向图的个数。
（答案： ） 7.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集的有向图的个数。
（答案： ）8.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集的比赛图的个数。
（答案： ）9.（P，P）连通图中有多少个圈？（答案： ）10. n 个叶子的正则二元树中有多少条有向弧？（答案： ）二、（10分，每小题1分）以下每小题中给出了四个答案，其中仅有一个是正确的。
请找出正确的答案并将其号码添在括号中。
11. Km,n 是哈密顿图当且仅当。
（ ）（a）m≤n （b）m≥n （c）m＝n（d）（m<n 或m>n） 12. 下面哪个条件是Km,n 有哈密顿路的充要条件？（ ）（a）m<n （b）m>n （c）m＝n（d）m＝n 或m＝n+1 13. 设r≥2，G 是r-正则图且1)(=G χ，则（ ）14. 把平面分为α个区域，使任两个区域相邻，则α的最大值为（ ） （a）x(G)＝r （b）x(G)<r （c）x（G）≤〔2r 〕 （d）x(G)＝〔2r 〕 （a）5 （b）3 （c）2 （d）415. 4个顶点的二元树（顶点无标号）共有（ ）（a）3个 （b）4 （c）7 （d）816. 设f：,X Y A X →⊆，则（ ）（a）1(())f f A A −⊆ （c）-1f A A f ⊇))((（b）1(())f f A A −= （d）（a）或（b）17. :,f X Y B Y →⊆，则（ ）（a）1(())f fB B −⊇ （c）1(())f f B B −⊆ （b）1(())f f B B −= （d）（b）或（c）18.设,R X X X ⊆×为集合。
哈工大集合论习题课-树及割集习题课
第六章树及割集习题课1课堂例题例1设T是一棵树,T有3个度为3顶点,1个2度顶点,其余均是1度顶点.那么(1)求T有几个1度顶点(2)画出满足上述要求的不同构的两棵树.分析：对于任一棵树T ,其顶点数p和边数q的关系是：q p 1且pdeg(v) 2q ,根据这些性质容易求解.i 1解：(1)设该树T的顶点数为p,边数为q,并设树T中有x个1 度顶点.于是pdeg(v) 3 3 12 x 2q 且p 3 1 x, q p1,得x 5.i 1(2)满足上述要求的两棵不同构的无向树,如图1所示.图1例2设G是一棵树且(G) k ,证实G中至少有k个度为1项电c 证：设T 中有p个顶点,s个树叶,那么T中其余p s个顶点的度数均大于等于2,且至少有一个顶点的度大于等于k.由握手定理可得：p2q 2 p 2deg(v i) 2( p s 1) k s,有s k.i 1所以T中至少有k个树叶.习题例1假设无向图G中有p个顶点,p 1条边,那么G为树.这个命题正确吗为什么解：不正确.K3与平凡图构成的非连通图中有四个顶点三条边,显然它不是树.例2设树T中有2n个度为1的顶点,有3n个度为2的顶点,有n个度为3的顶点,那么这棵树有多少个顶点和多少条边解：设T 有p 个顶点,q 条边,那么q p 1 2n 3n n 1 6n 1deg(v) 2q 有：1 2n 2 3n 3 n 2q 2(6n 1) 12n 2,解得：n =2. v V故 q 11, p 12.例3证实恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路.证：设T 是一棵具有两个顶点度数为1的(p,q)树,那么q p 1且p deg(V i ) 2q 2( p 1). i 1又T 除两个顶点度数为1外,其他顶点度均大于等于2,故pp 2deg(V i ) 2deg(v . 2( p 1),即i 1i 1p 2 deg(V i ) 2( p 2).1 1因此p 2个分支点的度数都恰为2,即T 为一条通路.例4画出具有4、5、6、7个顶点的所有非同构的无向树.解：4个顶点的非同构的无向树有两棵,如图 21(a),(b)所示;5个顶点的非同构的无向树有3棵,如图21(c),(d),(e)所示.（a ） (b)(c)(d)(e)图26个顶点的非同构的无向树有6棵,如图3所示图37个顶点的非同构的无向树有11棵,如图4所示.所画出的树具有6条边,因而七个顶点的度数之和应为12.由于每个顶点的度数均大于等于1,因而可产生以下七种度数序列 (d 1,d 2,L ,d 7)：(1) 1111116；⑵ 1111125； (3) 1111134; (4) 1111224; (5) 1111233；（b ） 1112223； 〔7〕 1122222.在〔1〕中只有一个星形图,因而只能产生 1棵树T 1.在〔2〕, 〔3〕中有两个星形图,因而也只能各产生1棵非同构的 树,分别设为T 2,T 3.在〔4〕, 〔5〕中有三个星形图,但三个星形图是各有两个是同构 的,因而各可产生两棵非同构的树,分别设为T 4,T 5和丁6,丁7.在〔6〕中,有四个星形图,有三个是同构的,考虑到不同的排列情况,共可产生三棵非同构的树,设为 T 8,T 9,T 10O在〔7〕中,有五个星形图,都是同构的,因而可产生1棵树,设为T 11.七个顶点的所有非同构的树T 1：T 11如图2所示.例5设无向图G 是由k 〔k 边才能使G 成为一棵树解：设G 中的k 个连通分支为：T 1,T 2,L ,T k , V i T i , i 1,2,L ,k .在G 中添加边{M,v-} , i 1,2,L ,k 1 ,设所得新图为T ,那么T 连通且无回路, 因而T 为树.故所加边的条数k 1是使得G 为树的最小数目. 例6证实：任意一棵非平凡树都是偶图.分析：假设考虑一下数据结构中树〔即有向树〕的定义,那么可以很 简单地将树中的顶点按层次分类, 偶数层顶点归于顶点集V .,奇数层 顶点归于顶点集V 1 ,图G 中每条边的端点一个属于V o ,另一个属于V 1 , 而不可能存在关联同一个顶点集的边.同理,对于无向树,可以从任 何一个顶点V 出发,给该树的顶点标记奇偶性,例如,v 标记0,与v 相邻的顶点标记1,再给与标记为1的所有相邻的顶点标记0,依次类 推,直到把所有的顶点标记完为止.最后,根据树的性质证实,任何 边只可能关联V 1 〔标记为1的顶点集〕和V o 〔标记为0的顶点集〕之 间的顶点.T 2 T 3 T 4T 7 2〕棵树构成的森林,至少在G 中添加多少条T 1 T 9图4证1从任何一个顶点V出发,给该树的顶点做标记,v标记0,与V相邻的顶点标记1,然后再给与标记为1的所有顶点相邻的顶点标记0,……,依次类推,直到把所有的顶点标记完为止.下面证实：对于任何边只能关联V i (标记为1的顶点集)和V.(标记为0的顶点集)之间的顶点.不妨假设,假设某条边e关联V1中的两个顶点,设为V1和V2,又由于根据上述的标记法那么,有必至八的路P和V2至卜的路P2.设P1与P2离V1和v2最近的顶点为u ,所以,树中存在回路：V1PuP2V2eV) ,与树中无回路的性质矛盾.所以,任意边只能关联S (标记为1的顶点集)和V.(标记为0的顶点集)之间的顶点.所以,任意一棵非平凡树都是偶图.证2设T是任一棵非平凡树,那么T无回路,即T中所有回路长都是零.而零是偶数,故由偶图的判定定理可知T是偶图.例7(1) 一棵无向树有n个度数为i的顶点,i 1,2,L ,k.r)2,n3,L ,、均为数,问?应为多少(2)在(1)中,假设n,(3 r k)未知,n j(j r)均为数,问n r 应为多少k 解：(1)设T为有p个顶点,q条边无向树,那么q p 1, p R.i 1由握手定理：PPkdegV i 2q , 有degV i in i 2q 2p 2 , 即i 1i 1i 1kkin i 2p 2 2 n i 2o①i 1i 1由式①可知：kkkn〔n 2n i 2 (i 2)5 2.i 2i 2i 2(2)对于r 3,由①可知：1 k ,n r ——(2 i)n i 2 .r 2 i 1 i r例8证实：任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶.证：设T为一棵非平凡的无向树,L V1V2L V k为T中最长的路,假设端点V1和V k中至少有一个不是树叶,不妨设V k不是树叶,即有deg(V k) 2 ,那么V k除与L上的顶点V k1相邻外,必存在V k1与V k相邻,而V k1 不在L上,否那么将产生回路.于是ML VM 1仍为T的一条比L更长的路, 这与L为最长的路矛盾.故V k必为树叶.同理,V1也是树叶.例9设无向图G中有p个顶点,q 1条边,那么G为连通图当且仅当G中无回路.证：必要性：由于G中有p个顶点,边数q p 1,又由于G是连通的,由定理可知G为树,因而G中无回路.充分性：由于G中无回路,又边数q p 1,由定理可知G为树, 所以G是连通的.例10设G是一个(p,g)图,证实：假设g p,那么G中必有回路.证：(1)设G是连通的,那么假设G中无回路,那么G是树,故q p 1与q p矛盾.故G中必有回路.(2)设G不连通,那么G中有k(k 2)个分支,G1,G2,L,G k.假设G中无回路,那么G的各个分支G(i 1,2,L ,k)中也无回路,于是各个分支都是树,所以有：q p i 1 , i 1,2,L , k.相加得：q p k(k 2) 与q p矛盾,故G中必有回路.综上所述,图G中必有回路. p例11设d1,d2,L ,d p是p个正整数,p 2,且d 2p 2.证实存在一棵顶点度数为d1&,L ,d p的树.i1证：对顶点p进行归纳证实.当p 2时,d〔d2 2 2 2 2,那么d〔d2 1 ,故以d1, d2为度数的树存在,即为一条边.p1设对任意p 1个正整数d1,d2,L a1,只要d i 2(p 1) 2,那么存i 1在一棵顶点度数为d1,d2,L ,d p1的树.p对p个正整数d；d,L ,d p ,假设有d； 2P 2 ,那么d；,d2,L ,d p中必有i1一个数为1,必有一个数大于等于2;不妨设d1 1,d p 2,因此对p 1p1个正整数d2,d3,L ,d p 1,d p 1,有d i' (d p 1) 2( p 1) 2 ,故存在一棵顶i2点度数为d2,d3,L ,d p 1,d p 1的树T.设T中u的度数为d p 1,在丁中增加一个顶点V及边{u,v},得到一个图T ,那么T为树.又T的顶点度数为d；,d2,L ,d p,故由归纳法知原命题成立例题例1 G的一条边e不包含在G的任一回路中当且仅当e是G的桥.分析：这个题给出了判断桥的充要条件,应该记住.证：必要性：设e 是连通图G 的桥,e 关联的两个顶点是u 和v . 假设e 包含在G 的一个回路中,那么除边e uv 外还有一条分别以u 和v 为端点的路,所以删去边e 后,G 仍是连通的,这与e 是桥相矛盾.充分性：假设边e 不包含在G 的任意回路中,那么连接顶点u 和v 只有 边e,而不会有其它连接u 和v 的路.由于假设连接u 和v 还有不同于边e 的路,此路与边e 就组成了一条包含边e 的回路,从而导致矛盾.所 以,删去边e 后,u 和v 就不连通了,故边e 是桥.例2设G 是连通图,满足下面条件之一的边应具有什么性质(1)在G 的任何生成树中；(2)不在G 的任何生成树中.解：(1)在G 的任何生成树中的边应为G 中的桥.(2)不在G 的任何生成树中的边应为G 中的环.例3非平凡无向连通图G 是树当且仅当的G 的每条边都是桥.证：必要性：假设T 中存在边e VM 不是桥,那么G e 仍连通,因而v,v j 之间必另有一,条(不通过e)的路.设此路为：v »向1耳2021 年刈v j , 于是G 中有回路v i e ji v i2e j2L v j ev ,这与G 是树矛盾,故G 的每条边都是 桥.充分性：只要证实G 中无回路即可.假设G 中有回路C ,那么C 中任何边都不是桥,与题设中每条边都是 桥矛盾.例4图1给出的带权图表示7个城市a,b,c,d,e, f ,g 及架起城市间直接 通信线路的预测造价,试给出一个设计方案使得各城市间能够通信且 总造价最小,要求计算出最小总造价.图1图2图3解：该题就是求图的最小生成树问题.因此,图的最小生成树即 为所求的通信线路图,如图2所示.其权即是最小总造价,其权为： (T) 1 3 4 8 9 23 48 o例7设T 是一棵树,p 2,那么(1) p 个顶点的树T 至多有多少个割点； bb 2023 15 23g3628 1617(2)p个顶点的树T有多少个桥解：(1)树的度为1的顶点(叶子)不是割点,而树至少有2 个顶点的度为1,故树至多有p 2个顶点为割点.(2)树的每一条边都是桥,故p个顶点的树有p 1个桥.例8证实或否认断言：连通图G的任意边是G的某一棵生成树的弦.答：错误.假设e是桥,那么不成立.。
哈工大集合论与图论作业题答案
第六章图的根本概念P206习题1.画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个).11个2.画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)o16个3.画出具有4个、6个、8个顶点的三次图.略4.某次宴会上,许多人互相握手.证实：握过奇数次手的人数为偶数(注意,0是偶数)o把实际问题转化为图论问题,然后用握手定理的推论.P209习题1.设u与v是图G的两个不同顶点.假设u与v间有两条不同的通道(迹),那么G 中是否有圈假设u与v间有两条不同的通道,G中无圈假设u与v间有两条不同的迹,G中有圈2.证实：一个连通的(p , q)图中q?p-1.数学归纳法3.设G是一个(p, q)图,且q (p 1)(p 2)/2,那么G是连通的.征2用反征法口假咬囹G是小庄逋叼,那么图G至少狂仕两?逢逋分支.尸⑵⑼)和&二仇必)时,G 的最大可能边数勺二名+公式T)'2 +p式1)/2 ,其中曲三户一］,1 < < p-1 ?所以〞(pZp-W2,与题设矛盾n所以假设.是简单图,那么仃是连通的.6.在一个有n个人的宴会上,每个人至少有m个朋友(2&m< n).试证：有不少于m+1个人,使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁, 每人的左、右均是他的朋友. 证实：把实际问题转化为图论问题,就和下面的题一样了.8.设G是图.证实：假设5 (G) >2,那么G包含长至少是6(G)+1的圈.这两个题和这个题一样的证实方法.例3设行=(匕均是无向图,证实：假设久⑴之出,那么行包含长至少为中+ 1的|口1路, iiF：设上是G中最长的路, £:v t P2L v…a由于WE—d次置之所以必自Z上的m个顶点工门,,…,叫(2 = «o,VQ与耳邻接,干是马巧…%巧便是G中的一个回路,且长至少为2去晨假设上上不存在陋个顶点与耳邻接,那么在最长路L外必有一个顶点与巧邻接,于是有更长路矛盾.P216习题1.证实：假设图G不是连通图,那么GC是连通图.由于G不连通,故G至少有两个分支对于G,中任意两个顶点把和v ：(1)假设"匕匕,¥曰匕,那么仃与野不在G中邻接.由补图的定义可知：N与F必在T中邻接；(2)假设以廿三艮(或匕),取WE匕(或昨),那么廿与w, w与在G都不邻接,故"与1#, w与廿在G'必邻接.于是ww窜就是G'中的一条踏.综上可知,由于对G『中任意两个加点〞和% .和y之间都有路连接,故G, 连通.2.证实：每一个自补图有4n或4n+1个顶点.(3)由于每个自补图G的对应的完全图的边数必为偶数,即q-p(p-1)/2为偶数.而当p二123时,图G无自补图,只有p之4时,图G才有自补图;于是「可写成如下形式,4/4〃+ L4叱2刈】+3,其中〃为正整数；代入〞风p -1)2中,只有加也十1才能使&为偶数r故每个自补图必有4“成4"】个顶点.例4证实：在一个连通图中,两条最长的路有一个公共的顶点口证】设乙与乙是图中的两条最长的路r 4飞打4 J上上：叫的力—但设心与心没有公共顶点*由于<7是连通的,所以心与上上之间必TT一条路尸连接且|尸岸1 0令尸与4上的匕连接,与&上的2连接,那么假设,之J*那么路先岭次〃产产1%比4长,矛盾：假设,,J f那么路修/…%7VM.I…/比4长,矛盾.故假设不成立,即两条最长的路必有公共顶点,P228习题1.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子,使得每一对不邻接的顶点u和v,均有：degu+degv> 9.下列图中任意一对不邻接的顶点u和v ,均有：degu+degv> 9 .2.试求Kp中不同的哈密顿圈的个数.〔p-1〕!/2 4.完全偶图Km n为哈密顿图的充分必要条件是什么?〔2〕=＞假设|匕＜|匕,有〔1〕可知区门不是哈密顿图；假设IRWI/I,同理有K〞不是哈密顿图.故&◎是哈密顿图时只有14 1=1/ I,即一-*U假设加二〃,那么匕扇即斗廛gv=|1I/2+|炉］,2二/卜由定理知：?明,是哈密顿图二10.证实具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图.证：〔1〕设G是,个具有奇数顶点的偶图,那么G的顶点集了有•个二划分, 即展的匕｝H有因周匕I,不妨设| - K彩|,那么有印〔0—=1七忸匕I,由哈密顿图的必要条件可知：G不是哈密顿图.。
大学集合论与图论期末考试复习资料
集合论与图论JK211009——在线考试复习资料2021版一、单选题1.设G是简单有向图,可达矩阵P(G)刻画下列关系中的是()A.点与边B.边与点C.点与点D.边与边答案：C2.A.6B.5C.4D.3答案：B3.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：D4.A.B.C.D.答案：B5.下面不能成为图的度数序列是()A.(1,2,3,4)B.(1,2,3,6)C.(1,3,5,7)D.(1,3,4,9)答案：D6.设简单无向图G有15条边,有3个4度结点,有4个3度结点,其余结点的度数均为2,那么G的结点总数为()A.9B.10C.11D.12答案：B7.如图所示,以下说法正确的是()A.e是割点B.{a,e}是点割集C.{b,e}是点割集D.{d}是点割集答案：A8.图G和G1的结点以及边分别存在一一对应关系,此对应关系是两图同构的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也非必要条件答案：B9.设顶点集为V={a,b,c,d,e},下列几个无向图是简单图的有()A.G1=(V,E1),E1={(a,b),(b,c),(c,b),(a,e)}B.G2=(V,E2),E2={(a,b),(b,c),(c,a),(a,d),(d,e)}C.G3=(V,E3),E3={(a,b),(b,c),(c,d),(e,e)}D.G4=(V,E4),E4={(a,a),(a,b),(c,c),(c,e)}答案：B10.若R是集合A上的等价关系,则下面哪个不一定满足()A.B.R2=RC.t(R)=RD.R-1=R答案：A11.A.B.C.D.答案：A12.A.B.C.D.答案：A13.下列哪个关系矩阵具有反自反性?()A.B.C.D.答案：A14.设集合A={1,2,3,4},A上的等价关系R={<1,3>,<3,1>,<2,4>,<4,2>}∪I A,则对应于R的A划分是()A.B.C.D.答案：B15.设集合A={1,2,3,4}上的二元关系,R={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4>},S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>},则S是R的()A.自反闭包B.传递闭包C.对称闭包D..不是任何闭包答案：C16.哈密尔顿回路是()A.只是简单回路B.是基本回路,但不是简单回路C.既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路答案：C17.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6},则集合的最大元、最小元、上界、下界依次为()A.8、2、8、2B.无、2、无、2C.6、2、6、2D.8、1、6、1答案：B18.下列各组数中不能构成无向图的度数序列的是()A.(1,1,2,3,5)B.(1,3,1,3,2)C.(1,2,3,4,5)D.(1,2,3,4,6)答案：C19.A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的答案：B20.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：B21.设A={a,{a}},下列命题错误的是()A.B.C.D.答案：A22.设G1、G2、G3、G4都是(4,3)的简单无向图,则它们之间至少有几个是同构的?()A.2个B.3个C.4个D.可能都不同构答案：B23.若集合A的元素个数为4,则其幂集的元素个数为()A.1个B.4个C.8个D.16个答案：D24.设结点集V={a,b,c,d},则下列与V构成强连通图的边集的是()A.E1={<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,b>,<d,c>}B.E2={<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>}C.E3={<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>}D.E4={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}答案：A25.在0()之间写上正确的符号。
哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题
哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题哈工大 2006年秋季学期《集合论与图论》试题本试题满分90，平时作业分满分10分。
一、（10分，每小题1分）判断下列各命题真伪（真命题打“√”号，假命题打“×”号）：1．从{1，2，3}到{4，5}共有9个不同的映射。
（）2．从{1，2，3}到{4，5}共有5个不同的满射。
（）3．从{4，5}到{1，2，3}共3个不同的单射。
（）4．集合{1，2，…，10}上共有2100个不同的二元关系。
（）5．如果A为可数集，则2A也是可数集合。
（）6．欧拉图中没有割点。
（）7．有向图的每一条弧必在某个强支中。
（）8．P为正整数，Kp的顶点连通度为P－1。
（）9．（P，P）连通图至少有2个生成树。
（）10．每个有2个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2，则该图至少有2个圈。
（）二、（20分，每小题2分）计算题。
对每一小题给出计算结果：1．{1，2，…，n}上有多少个反自反且对称的二元关系？（）2．把置换123456789579413826分解成循环置换的乘积。
（）3．计算下面两个图G1和G2的色数。
（）G1：G2：（答：G1的色数为，G2的色数为）4．设X为集合，R为X上的偏序关系，计算1iiR ∞=等于什么。
（）5．求下面的有向图D的邻接矩阵和可达矩阵。
D=-------------------：（）6．一个有向图D=(V，A)满足什么条件是V到V的一个映射的图？（）7．P个顶点的无向连通图G的邻接矩阵中至少有多少个1？（）8．设X为n 个元素的集合，X上有多少个二元运算？（）9．9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送一张贺年卡。
确定能否使每个学生收到的卡均来自其送过卡的相同人？为什么？（）10．某次会议有100人参加，每人可以是诚实的，也可能是虚伪的。
已经知道下面两项事实：（1）这100人中至少有一人是诚实的；（2）任两人中至少有一人是虚伪的。
哈工大集合论习题课-第五章 图的基本概念习题课(学生)
第五章 图的基本概念习 题 课 11. 画出具有 6、8、10、…、2n 个顶点的三次图；是否有7个顶点的三次图？2. 无向图G 有21条边，12个3度数顶点，其余顶点的度数均为2，求G 的顶点数p 。
解：设图的顶点为p ，根据握手定理：1deg()2pi i v q ==∑，有212)12(2312⨯=-⨯+⨯p ，得15302==p p ，。
3. 下列各无向图中有几个顶点？（1）16条边，每个顶点的度为2；（2）21条边，3个4度顶点，其余的都为3度数顶点；（3）24条边，各顶点的度数相同。
解： 设图的顶点为p ，根据握手定理：（1）1deg()2p i i v q ==∑，即2221632p q ==⨯=；所以16p =，即有16个顶点。
（2）1deg()2p i i v q ==∑，即433(3)222142p q ⨯+⨯-==⨯=，所以13p =。
（3）各点的度数为k ，则1deg()2i pi v q ==∑，即222448k p q ⨯==⨯=，于是① 若1k =，48p =； ② 若2k =，24p =；③ 若3k =，16p =； ④ 若4k =，12p =；⑤ 若6k =，8p =；⑥ 若8k =，16p =； ⑦ 若12k =，4p =；⑧ 若16k =，3p =； ⑨ 若24k =，2p =； ⑩ 若48k =，1p =。
4．设图G 中9个顶点，每个顶点的度不是5就是6。
证明G 中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。
证：由握手定理的推论可知，G 中5度顶点数只能是0，2，6，8五种情况，此时6度顶点数分别为9，7，5，3，1个。
以上五种情况都满足至少5个6度顶点或至少6个5度顶点的情况。
5．有n 个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药，而每种药恰好放在两个药箱中，问药箱里共有多少种药？[就是求一个完全图n K 的边数(1)(2)/2q p p =--g ]6.设G 是有p 个顶点，q 条边的无向图，各顶点的度数均为3。
集合论与图论答案 第三章习题
证：因为 R 是传递的，故 (R ) R 。
（3） (R S) R S
证：因为 R S R 且 R S S ，故 (R S) R ，且 (R S) S ，从而
(R S) R S 例 3 如图 5 所示给出下图中每个关系的自反、对称和传递闭包。
3
·
·
（a）
（1）自反闭包
（b） 图5
（c）
R {(a,b) | a b } 等价于 aRb a b (a,b) R a b 。 解：(1)自反性。 因为 2A ，但 ，所以 (,) R ，故 R 不是自反的。
2
（2）反自反性。 因为{1} 2A ，{1} {1} {1} ，故 ({1},{1}) R ，故 R 不是反自反的。 （3）对称性。 x, y 2A ，若 (x, y) R ，则 x y ，所以 y x ，故 ( y, x) R ，从而 R 是对称的。 （4）反对称性。 令 x {1, 2} ， y {1,3} ，则 x y y x {1} ，故 (x, y) R 且 ( y, x) R ，
解：设 N {1, 2,3, }，在 N 上定义小于关系“ ”，则 s(t()) s() “不等关系≠”；
4
而 t(s()) t() “全关系”。
因此的确不相等。
例 7（ P988 ）是否存在 X （ X n ）上的一个二元关系 R，使得 R, R2, , Rn 两两 不相等。
解：存在。令 X {1, 2,3, , n} ， R {(1, 2),(2,3), ,(n 1, n)}即可。
但 x y ，所以 (x, y) ( y, x) ，从而 R 不是反对称的。 （5）传递性。 令 x {1} ， y {1, 2} ， z {2} ， 则 有 x y {1} 且 y z {2} ， 故
离散数学集合论哈工大答案
反之， x X ( Z \ Y ) ，则 x X 或 x Z \ Y 。 若 x X ，则由 X Y Z 有 x Y , x Z ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。 若 x Z \ Y ，则 x Z 但 x Y ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。从而
1
解： 2S { ,{ },{{ }},{ ,{ }}} 7.设 S 恰有 n 个元素，证明 2S 有 2n 个元素。 证明： （1）当 n＝0 时， S , 2 S { }, 2S 1 20 ，命题成立。 （2）假设当 n k ( k 0, k N ) 时命题成立，即 2 S 2k （ S k 时） 。那么对 于 S1 （ S1 k 1 ） ， 2S1 中的元素可分为两类，一类为不包含 S1 中某一元素 x 的 集合，另一类为包含 x 的集合。显然，这两类元素个数均为 2k 。因而 2 S1 2k 1 ， 亦即命题在 n k 1 时也成立。 由（1） 、 （2） ，可证得命题在 n N 时均成立。
S T ( S T ) ( S T ) 。
反之，因为 ( S T ) ( S T ) ，故
教材习题解答
第一章 集合及其运算
P8 习题 3. 写出方程 x 2 2 x 1 0 的根所构成的集合。 解： x 2 2 x 1 0 的根为 x 1 ，故所求集合为 {1} 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假 a)对每个集 A， A ；b)对每个集 A， A ； c)对每个集 A， A { A} ；d)对每个集 A， A A ； e)对每个集 A， A A ；f)对每个集 A， A { A} ； g)对每个集 A， A 2 A ；h)对每个集 A， A 2 A ； i)对每个集 A， { A} 2 A ；j)对每个集 A， { A} 2 A ； k)对每个集 A， 2 A ；l)对每个集 A， 2 A ； m)对每个集 A， A { A} ；n) { } ； o) {} 中没有任何元素；p)若 A B ，则 2 A 2 B q)对任何集 A， A {x | x A} ；r)对任何集 A， {x | x A} { y | y A} ； s)对任何集 A，y A y {x | x A} ； t)对任何集 A， {x | x A} { A | A A} ； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有 n 个集合 A1 , A2 , , An 且 A1 A2 An A1 ，试证： A1 A2 An 证明：由 A1 A2 A4 An A1 ，可得 A1 A2 且 A2 A1 ，故 A1 A2 。 同理可得： A1 A3 A4 An 因此 A1 A2 A3 An 6.设 S { ,{ }} ，试求 2S ？
哈工大2004年秋季学期《集合论与图论》试题答案
《集合论与图论》试题 哈工大2004/2005年秋季学期参考答案一、1．｛2，5，6｝ 2． ３．２４ ４．２４ ５．６ ６．５ ７．２162６８． ９． １０．４122164二、１． ２． rq C 222n n+ ３．{( ４． P ＝2n －1 ５．q －p ＋1６．m ＝n ７．４ ８．()９．不存在 １０．没有零因子，若有零因子,),(,)}a c a b (1),, (2),,,a b N a b N r R n N rn N nr N ∀∈−∈∀∈∈∈∈0a ≠，则存在b ≠0，使得，0ab ob ==由消去律有矛盾 0a =三、（1） p ＝6，q ＝9（2）不一定是平面图。
如K 3,3就不是平面图．（3）G 一定是哈密顿图。
因为对任一对不相邻的顶点,u v V ∈，degu ＋degv ≥p ＝6 G 不是平面图。
因为G 的顶点度数不全是偶数。
四、1.解1：a 与a -1，b 与b -1同阶，故ab 与a -1 b -1＝（ba ）-1同阶。
而（ba ）-1与ab 同阶，故ab与ba 同阶。
解2：设a 的阶为n ，则有111111()()()()nn bab bab bab bab ba bbeb e −−−−−−===L =−)nbab e −；反之，设bab 的阶为n ，即(11=，得1n ba b − e =，而1n a b eb −e ==，所以与bab a 1−同阶，而ab 与同阶。
1bab b ba −=2．设G e ，则由3个元素构成的群如表所示{,,}a b =x e a be e a ba ab e b be a3．因为R 为环，故乘法满足分配律左边＝()()na b a a a b n =+++L 1442443)((ab ab ab a b b b a nb n n =++=+++=L L 14424431442443=右边 个 个 个 五、1.因为F 有四个元支，所以（F ，＋）群的阶为4，由Lagrange 定理知，F 中每个元素对加法的阶只能为1，2，4，又因为元素的特征数只能是素数，所以特殊数只能为2。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G 是一个p(p ≥3)个顶点的图。