数列求通项与求和常用方法归纳+针对性练习题

数列通项与求和常见方法归纳

一、知能要点

1、求通项公式的方法：

(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式a n ；

(2)利用前n 项和与通项的关系

a n ＝⎩⎪⎨

⎪⎧

S 1

S n －S n －1

n ＝1，

n ≥2；

(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式； (4)累加法：如a n ＋1－a n ＝f (n )， 累积法，如a n ＋1

a n ＝f (n )；

(5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0，且A ≠1)．

2、求和常用的方法：

(1)公式法： ①d n n na a a n S n n

2

)

1(2)(11-+=+=

②

⎪⎩

⎪

⎨⎧≠--==)

1(1)

1()1(11q q q a q na S n n

(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，

即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项：

①111(1)1

n n n n =-++ ②1111()()n n k k

n n k =-++ ③2

2

2111

111111111();1211

1(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k

<=--=<<=---+++--

④1111

[](1)(

2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-+++++ ⑤

=

<

<

=

(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 项和公式的推导方法) .

(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n 项和公式的推导方法) .

(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

二、知能运用典型例题

考点1：求数列的通项 [题型1]

)

(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)

(1

n f a a n n =-+，利用累加法(逐

差相加法)求解。

【例1】已知数列{}n

a 满足2

11=a ，n

n a a

n n ++

=+21

1，求n

a 。

解：由条件知：1

1

1)1(1121+-

=+=+=

-+n n n n n n a a

n n

分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

)

()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a

)

111()4131()3121()211(n

n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=

所以n

a a

n

111-

=-

2

11=

a Θ，n

n a

n

1231121-=-+=

∴

[题型2]

n

n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为)

(1n f a a n

n =+，利用累乘法(逐

商相乘法)求解。

【例2】已知数列{}n

a 满足32

1=a ，n

n a n n

a

1

1

+=

+，求n

a 。

解：由条件知1

1+=

+n n a

a n

n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得

)

1(-n 个等式累乘之，即

1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n

n 1

433221-⨯

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又3

2

1

=

a

Θ，

n

a n 32=

∴

[题型3]

q

pa a n n +=+1(其中p ，q 均为常数，且0)1(≠-p pq )。

解法(待定系数法)：转化为：)

(1t a p t a

n n -=-+，其中p q t -=1，

再利用换元法转化为等比数列求解。 【例3】已知数列{}n

a 中，11=a ，3

21

+=+n n a a

，求n a 。

解：设递推公式3

21

+=+n n a a

可以转化为)

(21

t a t a

n n -=-+即

3

21-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)

3(231

+=++n n a a

,令3

+=n n

a b

，则

4

311=+=a b ,且23

3

11

=++=

++n n n

n a a b

b .所以{}n

b 是以41

=b 为首项，2为公比

的等比数列，则1

1224+-=⨯=n n n

b ,所以3

21-=+n n

a

.

[题型4]

n

n n q pa a +=+1(其中p ，q 均为常数，且0)1)(1(≠--q p pq )。 (或1

n

n n a

pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数)。