圆的切线方程

结论一： 过圆 x y r 上一点 M ( x0 , y0 ) 切线 2 y 方程是 x0 x y0 y r
2 2 2
x y r
2 2
2
O
M ( x0 , y0 )
x0 x y0 y r
2
x
练习、已知C:x2 y2 4，求过点P0 (1, 3)的切线方程。
x 3y 4
2
结论三：
过圆x y Dx Ey F 0上一点( x0 , y0 )的切线 x x0 y y0 方程为： xx0 yy0 D E F 0. 2 2 y
2 2
M ( x0 , y0 )
O
x
例2. 已知C : x2 ( y 2)2 4, 求过点（ A 31 ， ）的切线l的方程
( x 2) ( y 2) 1
2 2
C(2, 2)
•
| 2k 2 3k 3 | k 1
2
2
y 3 k ( x 3) kx y 3k 3 0
1
4 3 | 5k 5 | k 1 k 或k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3 4
• B(-3，-3)
例3 : 求过点A(2, 4)向圆x y 4所引
2 2
的切线方程。
解：设所求圆的切线方 程为: y 4 k ( x 2)
y A( 2 ,4 )
圆心0,0, r 2, kx y 4 2k 0 k 0 0 4 2k 1 k
2
o
x
3 2 k 4
x a x0 a y b y0 b x0 a y0 b 0
2 2
MP ( x x0 , y y0 )
x
又 x0 a y0 b r 2
2 2
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r .
结论二：
过圆( x a) ( y b) r 上一点( x0 , y0 )的切
2 2 2
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r . 线方程为：
2
y
M ( x0 , y0 )
(a,b)
O
x
设切线上任一点P(X,Y)，
y
M ( x0 , y0 )
C(a,b)
CM MP CM MP 0
CM ( x0 a, y0 b)
O
P(X,Y)
x x0 x0 a y y0 y0 b 0
x a ( x0 a) x0 a y b ( y0 b) y0 b 0
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0
法一： 公式法
3x+ y 2 1 2 4 化简 3x-y-2=0
C
y
3 法二： kl 3 CA l kCA 3
A x
切线方程为： y 1 3( x 3)即 3x y 2 0 法三：圆心到切线的距离等于半径 设斜率为 k l : y 1 k ( x 3)
0 0 3b
2 2

2 3 圆的切线方程为： 2 x 3 y 13 0或2 x 3 y 13 0
13 13 b 3
例5:自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，
求反射光线所在直线的方程 A(-3，3) •
但斜率不存在时， x2 故切线方程为： 3x 4 y 10 0或x 2
三、已知斜率的切线方程:
例4 : 设圆的方程为x 2 y 2 13, 它与斜率 2 为 的直线相切，求切线方程。 3 2 解：设圆的切线方程为：y x b 3
圆心0,0, r 13,2x 3 y 3b 0
3k 1 1 k
2
2
k 3
二、过圆外一点的切线方程：
设切线方程为 y－yo= k(x－xo) 圆心到切线的距离等于圆半径 (1) 利用 _______________________________ 待定 k; 联立方程组消去一元后判别式等于零 (2) 利用 _______________________________ 待定 k; 注：此时切线一般有两条，故 k 有二解， k 不存在 若只求出一解，需考虑 ___________
圆的切线方程的几种基本类型:
1.过圆上一点的切线方程 2.过圆外一点的切线方程 3.已知斜率的切线方程
一、过圆上一点的切线方程：
例1：
已知圆的方程是 x y r ，求经过
2 2 2
上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
y
M ( x0 , y0 )
O
x
一、过圆上一点的切线方程：