复旦版数学分析答案全解ex6-1

⎟⎞dx ⎠
=
1 ln 4
4x
+
2 (2)x ln 2 − ln 3 3
−
1 ln 9
1 9x
+C
。
（10） ∫
2 ⋅ 3x − 5 ⋅ 2x 3x
dx
=
∫
2dx
−
5∫
(
2 3
)
x
dx
=
2x −
5 ⋅(2)x ln 2 − ln 3 3
+C
。
（11）
∫
cos 2x cos x − sin
x
dx
=
∫
(cos
+ 1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 x
+ 1⎟⎟⎠⎞dx
∫= (2 + 1 + 1 + 1 + x )dx = 2x − 6 +33 x + 2 x + 2 x3 + C 。
6 x7 3 x2
x
6x
3
169
∫ ∫ （9）
⎜⎛ 2 x ⎝
+
1 3x
⎟⎞ 2 ⎠
dx
=
⎜⎛ 4 x ⎝
+
2⋅(2)x 3
+
1 9x
4
程为
y
=
3
4
x3
−
x
+
5
。
4
4
171
此文只供参考，写作请独立思考，不要人云亦云，本文并不针对某个人（单位），祝您工作愉快！一是主要精 力要放在自身专业能力的提升上，二是业余时间坚持写作总结，这是一个长期的积累过程，剩下的，不用过于 浮躁，交给时间就好了。 每个人都有自己的爱，不能强迫自己去做。每个人都有自己的意志，不能被强迫。每个人都有自己的命运，而 不是自己的结。放松你的思想，满足于现状。不要控制你的情绪。去吧，依靠你的梦想。成功取决于奋斗。成 长取决于经验。幸福取决于开放。幸福取决于满足。很容易被人看不起。如果你看起来有点肤浅，你可以放心 。往下看，你会很高兴的。敞开心扉，敞开心扉。只有看透了，我们才能成熟。这很容易理解。 为了成功，你需要给生活足够的速度。这是胜利者的态度，也是胜利者的态度。为了实现这个伟大的目标，我 们必须能够忍受别人的嘲笑和独自工作的孤独。有了信念和追求，人就能忍受一切艰难困苦，适应一切环境。 美属于自信，平静属于准备，奇迹属于坚持。 真正的努力，是“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”的积累；是“贵有恒，何必三更眠五更起 ；最无益，只怕一日曝十日寒”的自律；是“千淘万漉虽辛苦，吹尽黄沙始到金”的执着。
⎟⎟⎠⎞dx ;
⒀ ∫ (1 − x 2 ) x x dx ;
⒁
∫
cos 2x cos2 x sin 2
x
dx .
∫ ∫ ∫ ∫ 解（1） (x3 + 2x2 − 5 x)dx = x3dx + 2 x2dx − 5
xdx
=
1
x4
+
2
x3
−
10
3
x2
+
C
。
43 3
（2） ∫ (sin x + 3ex )dx = ∫ sin xdx + 3∫ exdx = − cos x + 3ex + C 。
x
+
sin
x)dx
=
wenku.baidu.comsin
x
−
cos
x
+
C
。
（12）
∫
⎜⎜⎝⎛
1
2 +x
2
−
3 1−
x2
⎟⎟⎠⎞dx
=
2∫
1
dx +x
2
− 3∫
dx = 2 arctan x − 3arcsin x + C 。
1− x2
∫ （13） ∫ (1 − x2 )
x
x dx =
3
(x4
11
− x 4 )dx =
4
x
7 4
−
∫ （6） ∫ (x2 − 2)3 dx = (x6 − 6x4 +12x2 − 8)dx = 1 x7 − 6 x5 + 4x3 − 8x + C 。 75
∫ （7）
∫
(x
+
1 x
)2
dx
=
(x2 + 2 + 1 )dx = 1 x3 + 2x − 1 + C 。
x2
3
x
（8） ∫ ⎜⎜⎝⎛
x+ 1 3 x2
习 题 6.1
⒈ 求下列不定积分：
⑴ ∫ (x3 + 2x2 − 5 x )dx ;
⑵ ∫ (sin x + 3ex )dx ;
⑶ ∫ (xa + ax )dx ;
⑷ ∫ (2 + cot 2 x)dx ;
⑸ ∫ (2 csc2 x − sec x tan x)dx ;
⑹ ∫ (x2 − 2)3 dx ;
标的倒数，求该曲线的方程。
解 由题意，曲线 y = f (x) 在点 (x, y) 处的切线斜率为 dy = 1 ，于是
dx x
y
=
∫
dx x
=
ln
x
+C
，将点 (e,−1)
代入，得
C = −2 ，所以曲线的方程为
y = ln x − 2 。
3．已知曲线 y = f (x) 在任意一点 (x, f (x)) 处的切线斜率都比该点横坐标
∫ ∫ （3） ∫ (xa + ax )dx =
xadx +
axdx = 1 xa+1 + ax + C (a ≠ 1) 。
a +1
ln a
（4） ∫ (2 + cot 2 x)dx = ∫ (1+ csc2 x)dx = x − cot x + C 。
（5） ∫ (2 csc2 x − sec x tan x)dx = 2∫ csc2 xdx −∫ sec x tan xdx = −2 cot x − sec x + C 。
4
15
x4
+C。
7 15
∫ ∫ ∫ （14）
∫
cos 2x cos2 x sin 2
x
dx
=
cos2 x − sin 2 x dx =
cos2 x sin 2 x
csc2 xdx −
sec2 xdx
= − cot x − tan x + C = −2csc 2x + C 。
⒉ 曲线 y = f (x) 经过点 (e,−1) ，且在任一点处的切线斜率为该点横坐
的立方根少 1，
（1） 求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意
图；
（2） 若已知该曲线经过 (1,1) 点，求该曲线的方程。
解（1）由题意可得
dy = 3 x −1 ，所以
dx
∫ y =
(3
x
−1)dx
=
3
4
x3
−
x
+
C
，这
4
170
就是所求曲线方程的所有可能形式。
（2）将点 (1,1) 代入上述方程，可得 C = 5 ，所以过点 (1,1) 的曲线方
⑺
∫(x +
1 )2 dx ;
x
⑻ ∫ ⎜⎜⎝⎛
x+ 1 3 x2
+ 1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 x
+
1⎟⎟⎠⎞dx
;
∫ ⑼
⎜⎛ 2 x ⎝
+
1 3x
⎟⎞2 dx ⎠
;
⑽
2 ⋅ 3x − 5 ⋅ 2x
∫
3x
dx ;
⑾
∫
cos 2x cos x − sin x
dx ;
∫ ⑿
⎜⎜⎝⎛
1
2 +x
2
−
3 1− x2